Fungsi Uji

Fungsi Uji

Mulai sekarang, kecuali dinyatakan lain, $\displaystyle\Omega \subset \mathbb{R}^n$ adalah himpunan terbuka.

Ruang $\displaystyle C_c^\infty(\Omega)$ yang terdiri atas fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan tak hingga kali dan berdukungan kompak di $\Omega$ dinotasikan dengan $\mathcal{D}(\Omega)$. Ingat bahwa dukungan fungsi $f:\Omega \rightarrow \mathbb{C}$, yang dinotasikan $\operatorname{supp}f$, adalah himpunan

$$\operatorname{supp}f = \overline{\left\{ \boldsymbol{x} \in \Omega : f(\boldsymbol{x}) \neq 0 \right\}} \ ,$$ dengan $\overline{A}$ menyatakan penutup himpunan $A\subset \Omega$. Fungsi-fungsi dalam $\mathcal{D}(\Omega)$ disebut fungsi uji pada $\Omega$.

Konvergensi (dan dengan demikian topologi) pada $\mathcal{D}(\Omega)$ didefinisikan sebagai berikut. Kita mengatakan bahwa barisan $\displaystyle\left\{\phi_j\right\}_{j=0}^\infty$ konvergen menuju $\phi$ di $\mathcal{D}(\Omega)$ dan menulis $\displaystyle\phi_j \rightarrow \phi$ jika

1. terdapat himpunan kompak $K$ sedemikian sehingga $\operatorname{supp}\phi_j \subset K$ untuk semua $j$ dan $\operatorname{supp}\phi \subset K$;

2. $\displaystyle\lim_{j\rightarrow \infty} \left\| \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} \phi_j - \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} \phi\right\|_{\infty,K} =0$ untuk semua multiindeks $\displaystyle\boldsymbol{\alpha} = (\alpha_1,\alpha_2, \ldots, \alpha_n) \in \mathbb{N}^n$.

Ingat bahwa, untuk semua fungsi kontinu $\psi:\Omega \to \mathbb{C}$ dan himpunan kompak $K\subset \Omega$, $\displaystyle\left\| \psi \right\|_{\infty,K} = \max_{\boldsymbol{x}\in K} \left| \psi(\boldsymbol{x}) \right|$.

Definisi lengkap topologi konveks lokal pada $\mathcal{D}(\Omega)$ disajikan dalam RuFA; ReeSim. Di sini kami hanya menyatakan definisi konvergensi di $\mathcal{D}(\Omega)$ yang memudahkan penyajian teori distribusi.