Bukti. ($1<p<\infty$) Misalkan $q$ adalah eksponen konjugat dari $p$; yaitu, $\displaystyle\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Karena

$$\left|K(x,y)f(y)\right| = \left|K(x,y)\right|^{1/q}\left|K(x,y)\right|^{1/p}|f(y)|$$ untuk semua $x,y \in X$, dari Ketaksamaan Hölder diperoleh

$$\begin{aligned} \int_X \left| K(x,y)f(y)\right| \,\mathrm{d}{\mu(y)} &\leq \left( \int_X \left| K(x,y)\right| \,\mathrm{d}{\mu(y)}\right)^{1/q} \left(\int_X \left| K(x,y)\right|\,\left|f(y)\right|^p \,\mathrm{d}{\mu(y)}\right)^{1/p} \\ & \leq C^{1/q} \left(\int_X \left| K(x,y)\right|\,\left|f(y)\right|^p \,\mathrm{d}{\mu(y)}\right)^{1/p} \end{aligned}$$ untuk semua $x \in X$. Oleh karena itu, dari Teorema Fubini–Tonelli diperoleh

$$\begin{aligned} &\int_X \left( \int_X \left| K(x,y)f(y)\right| \,\mathrm{d}{\mu(y)} \right)^p \,\mathrm{d}{\mu(x)} \leq C^{p/q} \int_X \left(\int_X \left| K(x,y)\right|\,\left|f(y)\right|^p \,\mathrm{d}{\mu(y)}\right) \,\mathrm{d}{\mu(x)} \\ & \quad = C^{p/q} \int_X \left(\int_X \left| K(x,y)\right| \,\mathrm{d}{\mu(x)}\right) \,\left|f(y)\right|^p \,\mathrm{d}{\mu(y)} \leq C^{1+p/q} \int_X \left|f(y)\right|^p \,\mathrm{d}{\mu(y)} < \infty \ . \end{aligned}$$(6.5.1) Dengan demikian,

$$\int_X \left| K(x,y)f(y)\right| \,\mathrm{d}{\mu(y)} < \infty$$ untuk hampir setiap $x\in X$. Jadi, $\displaystyle y \mapsto K(x,y)f(y) \in L^1(\mu)$ untuk hampir setiap $x\in X$. Dengan demikian, $Tf$ terdefinisi hampir di mana-mana. Selain itu, karena

$$\left|(Tf)(x)\right| \leq \int_X \left| K(x,y)f(y)\right| \,\mathrm{d}{\mu(y)} \ ,$$ dari (6.5.1) diperoleh

$$\int_X \left|(Tf)(x)\right|^p \,\mathrm{d}{\mu(x)} \leq C^{1+p/q} \int_X \left|f(y)\right|^p \,\mathrm{d}{\mu(y)} \ .$$ Setelah mengambil akar pangkat $p$ pada kedua ruas ketaksamaan terakhir, kita memperoleh

$$\| Tf\|_p \leq C^{1/p+1/q} \| f\|_p = C \|f \|_p \ .$$

($p=1$) Dari Teorema Fubini–Tonelli diperoleh

$$\begin{aligned} \int_X \int_X \left| K(x,y)f(y)\right| \,\mathrm{d}{\mu(y)} \,\mathrm{d}{\mu(x)} & = \int_X \left(\int_X \left| K(x,y)\right| \,\mathrm{d}{\mu(x)}\right) \,\left|f(y)\right| \,\mathrm{d}{\mu(y)} \\ & \leq C \int_X \left|f(y)\right|\,\mathrm{d}{\mu(y)} < \infty \ . \end{aligned}$$(6.5.2) Dengan demikian,

$$\int_X \left| K(x,y)f(y)\right| \,\mathrm{d}{\mu(y)} < \infty$$ untuk hampir setiap $x\in X$. Jadi, $\displaystyle y \mapsto K(x,y)f(y) \in L^1(\mu)$ untuk hampir setiap $x\in X$. Dengan demikian, $Tf$ terdefinisi hampir di mana-mana. Selain itu, karena

$$\left|(Tf)(x)\right| \leq \int_X \left| K(x,y)f(y)\right| \,\mathrm{d}{\mu(y)} \ ,$$ dari (6.5.2) diperoleh $\displaystyle\| Tf\|_1 \leq C \|f \|_1$.

($p=\infty$) Kita mempunyai

$$\int_X \left| K(x,y)f(y)\right| \,\mathrm{d}{\mu(y)} \leq \|f\|_\infty \int_X \left| K(x,y)\right| \,\mathrm{d}{\mu(y)} \leq C \|f\|_\infty$$ untuk semua $x\in X$. Jadi, $\displaystyle y \mapsto K(x,y)f(y) \in L^1(\mu)$ untuk semua $x\in X$. Dengan demikian, $Tf$ terdefinisi (hampir) di mana-mana. Selain itu, $\displaystyle\| Tf\|_\infty \leq C \| f\|_\infty$.

Norma $\| \cdot \|_\infty$ di atas adalah supremum esensial dari fungsi terukur tersebut. ◻

Bukti. Hasil ini merupakan kasus khusus Ketaksamaan Young yang Diperumum dengan $\displaystyle X=\mathbb{R}^n$ dan $K(x,y) = f\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right)$. ◻

Bukti. Substitusi $\boldsymbol{y} = \epsilon^{-1} \boldsymbol{x}$ menunjukkan bahwa

$$\int_{\mathbb{R}^n} \phi_\epsilon(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} = \int_{\mathbb{R}^n} \epsilon^{-n} \phi(\epsilon^{-1} \boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} = \int_{\mathbb{R}^n} \phi(\boldsymbol{y}) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{y}} = a$$ untuk setiap $\epsilon >0$.

Jika $\|\phi\|_1=0$, kedua kesimpulan proposisi berlaku secara langsung. Oleh karena itu, pada sisa bukti kita mengasumsikan bahwa $\|\phi\|_1>0$.

(i) Jika $\displaystyle f\in L^p(\mathbb{R}^n)$ dengan $1\leq p < \infty$, substitusi $\boldsymbol{y} = \epsilon\, \boldsymbol{z}$ menghasilkan

$$(f\ast \phi_\epsilon)(\boldsymbol{x}) - a f(\boldsymbol{x}) = \int_{\mathbb{R}^n} \left( f(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}) - f(\boldsymbol{x}) \right)\phi_\epsilon(\boldsymbol{y}) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{y}} = \int_{\mathbb{R}^n} \left( f(\boldsymbol{x}-\epsilon \boldsymbol{z}) - f(\boldsymbol{x}) \right)\phi(\boldsymbol{z}) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{z}} \ .$$ Dengan menggunakan Ketaksamaan Jensen (Teorema 3.3 dalam Ru), kita memperoleh

$$\begin{aligned} \left| (f\ast \phi_\epsilon)(\boldsymbol{x}) - a f(\boldsymbol{x}) \right|^p &\leq \left( \int_{\mathbb{R}^n} \left| f(\boldsymbol{x}-\epsilon \boldsymbol{z}) - f(\boldsymbol{x}) \right| \,\left| \phi(\boldsymbol{z})\right| \,\mathrm{d}{\boldsymbol{z}} \right)^p \\ &\leq \|\phi\|_1^{p-1}\int_{\mathbb{R}^n} \left| f(\boldsymbol{x}-\epsilon\boldsymbol{z}) - f(\boldsymbol{x}) \right|^p \,\left| \phi(\boldsymbol{z})\right| \,\mathrm{d}{\boldsymbol{z}} \ . \end{aligned}$$ Jika kita mendefinisikan $\displaystyle f_{\boldsymbol{z}} \in L^p(\mathbb{R}^n)$ dengan $f_{\boldsymbol{z}}(\boldsymbol{x}) = f(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{z})$ untuk $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{z}\in \mathbb{R}^n$, maka

$$\| f\ast \phi_\epsilon -a f \|_p^p \leq \|\phi\|_1^{p-1}\int_{\mathbb{R}^n} \int_{\mathbb{R}^n} \left| f(\boldsymbol{x}-\epsilon \boldsymbol{z}) - f(\boldsymbol{x})\right|^p\, \left| \phi(\boldsymbol{z})\right| \,\mathrm{d}{\boldsymbol{z}} \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} \leq \|\phi\|_1^{p-1}\int_{\mathbb{R}^n} \| f_{\epsilon\boldsymbol{z}} - f \|_p^p \left|\phi(\boldsymbol{z})\right| \,\mathrm{d}{\boldsymbol{z}} \ .$$ Namun,

$$\| f_{\epsilon\boldsymbol{z}} - f \|_p^p \left|\phi(\boldsymbol{z})\right| \leq (2 \|f\|_p)^p \left|\phi(\boldsymbol{z})\right| \in L^1(\mathbb{R}^n)$$ dan

$$\| f_{\epsilon\boldsymbol{z}} - f \|_p^p \left|\phi(\boldsymbol{z})\right| \rightarrow 0 \quad \text{saat} \quad \epsilon \rightarrow 0$$ untuk semua $\boldsymbol{z}$ karena $\displaystyle\| f_{\epsilon\boldsymbol{z}} - f \|_p \rightarrow 0$ saat $\epsilon \rightarrow 0$ (Teorema 9.5 dalam Ru). Dari Teorema Konvergensi Terdominasi Lebesgue diperoleh

$$\| f\ast \phi_\epsilon -a f \|_p \rightarrow 0 \quad \text{saat} \quad \epsilon \rightarrow 0 \ .$$

(ii) Misalkan $\displaystyle f \in L^\infty(\mathbb{R}^n)$ dan $f$ kontinu seragam pada $\displaystyle V\subset \mathbb{R}^n$. Misalkan $K \subset V$ adalah himpunan kompak.

Jika $\|f\|_\infty=0$, kesimpulannya berlaku secara langsung. Oleh karena itu, kita mengasumsikan bahwa $\|f\|_\infty>0$.

Untuk $\delta >0$ yang diberikan, pilih himpunan kompak $\displaystyle W \subset \mathbb{R}^n$ sedemikian sehingga

$$\int_{\mathbb{R}^n\setminus W} |\phi(\boldsymbol{x})| \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} < \frac{\delta}{4\|f\|_\infty} \ .$$ Hal ini mungkin karena $\displaystyle\phi \in L^1(\mathbb{R}^n)$.

Karena $f$ kontinu seragam pada himpunan terbuka $V$, terdapat $\epsilon_0>0$ sedemikian sehingga, untuk setiap $0<\epsilon<\epsilon_0$, berlaku $K-\epsilon W \subset V$ dan

$$\sup_{\boldsymbol{x}\in K,\boldsymbol{y}\in W} \left| f(\boldsymbol{x}-\epsilon \boldsymbol{y}) -f(\boldsymbol{x})\right| < \frac{\delta}{2\|\phi\|_1} \ .$$ Maka,

$$\begin{aligned} &\sup_{\boldsymbol{x}\in K} \left| (f\ast \phi_\epsilon)(\boldsymbol{x}) - a f(\boldsymbol{x}) \right| \leq \sup_{\boldsymbol{x}\in K} \int_{\mathbb{R}^n} \left| f(\boldsymbol{x}-\epsilon \boldsymbol{y}) - f(\boldsymbol{x})\right| \, \left|\phi(\boldsymbol{y})\right| \,\mathrm{d}{\boldsymbol{y}} \\ &\quad \leq \sup_{\boldsymbol{x}\in K, \boldsymbol{y} \in W} \left| f(\boldsymbol{x}-\epsilon \boldsymbol{y}) - f(\boldsymbol{x})\right| \, \int_{W} \left|\phi(\boldsymbol{y})\right| \,\mathrm{d}{\boldsymbol{y}} + 2 \| f \|_\infty \int_{\mathbb{R}^n\setminus W}\left|\phi(\boldsymbol{y})\right| \,\mathrm{d}{\boldsymbol{y}} \\ &\quad \leq \frac{\delta}{2 \|\phi\|_1} \, \int_{W} \left|\phi(\boldsymbol{y})\right| \,\mathrm{d}{\boldsymbol{y}} + 2 \| f \|_\infty \, \frac{\delta}{4\|f\|_\infty} < \delta \qquad (0<\epsilon<\epsilon_0) \ . \end{aligned}$$ Karena untuk setiap $\delta>0$ terdapat $\epsilon_0>0$ sedemikian sehingga estimasi di atas berlaku bagi setiap $0<\epsilon<\epsilon_0$, hal ini membuktikan konvergensi seragam pada $K$. ◻

Bukti. Pertama, kita perlu memperluas definisi integral. Misalkan $\Omega$ adalah ruang terukur dengan ukuran $\mu$, $E$ adalah ruang vektor topologis ¹ dan $f:\Omega \to E$ adalah fungsi terukur. Integral $f$ atas $\Omega$ adalah elemen $y \in E$, jika elemen demikian ada, sedemikian sehingga

$$u(y) = \int_\Omega u\circ f \,\mathrm{d}{\mu}$$(6.5.3) untuk semua $\displaystyle u \in E^\ast$. Kita mengasumsikan bahwa $\displaystyle E^\ast$ memisahkan titik-titik di $E$ ² untuk menjamin ketunggalan $y$ jika ada. Ada pendekatan yang lebih tradisional untuk mendefinisikan integral dalam (6.5.3) dengan menggunakan padanan “jumlah Riemann.” Pendekatan ini dapat ditemukan dalam buku teks analisis fungsional yang lebih tradisional.

Untuk $\displaystyle\boldsymbol{z}\in\mathbb{R}^n$ dan $\displaystyle\phi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$, definisi konvolusi fungsi memberikan

$$\big((u\ast\psi)\ast\phi\big)(\boldsymbol{z}) =\int_{\mathbb{R}^n}(u\ast\psi)(\boldsymbol{y}) \phi(\boldsymbol{z}-\boldsymbol{y})\,\mathrm{d}{\boldsymbol{y}} =\int_{\mathbb{R}^n}\left\langle{u},{\psi(\boldsymbol{y}-\mathord{\cdot})}\right\rangle \phi(\boldsymbol{z}-\boldsymbol{y})\,\mathrm{d}{\boldsymbol{y}} \ .$$ Untuk $\boldsymbol{z}$ yang tetap, definisikan pemetaan bernilai $C^\infty(\mathbb{R}^n)$ dengan

$$F(\boldsymbol{y})(\boldsymbol{x})= \psi(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x})\phi(\boldsymbol{z}-\boldsymbol{y})$$ dan definisikan

$$h(\boldsymbol{x})=\int_{\mathbb{R}^n}F(\boldsymbol{y})(\boldsymbol{x})\,\mathrm{d}{\boldsymbol{y}} =\int_{\mathbb{R}^n}\psi(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}) \phi(\boldsymbol{z}-\boldsymbol{y})\,\mathrm{d}{\boldsymbol{y}} =\int_{\mathbb{R}^n}\psi(\boldsymbol{w}) \phi(\boldsymbol{z}-\boldsymbol{x}-\boldsymbol{w})\,\mathrm{d}{\boldsymbol{w}} \ .$$ Untuk setiap himpunan kompak $B\subset\mathbb{R}^n$ dan setiap multiindeks, integran beserta turunannya terhadap $\boldsymbol{x}\in B$ hanya melibatkan $\boldsymbol{y}\in\boldsymbol{z}-\operatorname{supp}\phi$, yang merupakan himpunan kompak. Karena itu, diferensiasi di bawah tanda integral berlaku seragam pada $B$, dan $h$ adalah integral bernilai $C^\infty(\mathbb{R}^n)$ dari $F$. Kekontinuan perluasan $u$ pada $C^\infty(\mathbb{R}^n)$, bersama (6.5.3) untuk $\displaystyle\Omega=\mathbb{R}^n$ dan $\displaystyle E=C^\infty(\mathbb{R}^n)$, kemudian memberikan

$$\big((u\ast\psi)\ast\phi\big)(\boldsymbol{z}) =\left\langle{u},{h}\right\rangle=\int_{\mathbb{R}^n}u\circ F\,\mathrm{d}{\boldsymbol{y}} \ .$$ Untuk setiap $\displaystyle\boldsymbol{w} \in \mathbb{R}^n$, definisikan $\displaystyle q(\boldsymbol{w})\in C^\infty(\mathbb{R}^n)$ dengan

$$q(\boldsymbol{w})(\boldsymbol{x}) = \phi(\boldsymbol{z} - \boldsymbol{x} - \boldsymbol{w})$$ untuk semua $\displaystyle\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n$, maka

$$\begin{aligned} \big( (u\ast \psi) \ast \phi \big)(\boldsymbol{z}) & = \int_{\mathbb{R}^n} \psi(\boldsymbol{w}) \left\langle{u},{q(\boldsymbol{w})}\right\rangle \,\mathrm{d}{\boldsymbol{w}} = \int_{\mathbb{R}^n} \psi(\boldsymbol{w}) \left\langle{u},{\left(\phi^\vee\right)_{\boldsymbol{z}-\boldsymbol{w}}}\right\rangle \,\mathrm{d}{\boldsymbol{w}} \\ &= \int_{\mathbb{R}^n} \psi(\boldsymbol{w}) \big( u \ast \phi \big)(\boldsymbol{z} - \boldsymbol{w}) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{w}} = \big( \psi \ast (u \ast \phi) \big)(\boldsymbol{z}) \end{aligned}$$ untuk $\displaystyle\boldsymbol{z} \in \mathbb{R}^n$ dan semua $\displaystyle\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$. Dengan demikian, $\psi \ast (u \ast \phi) = (u\ast \psi) \ast \phi$ untuk semua $\displaystyle\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$. Namun, menurut definisi konvolusi dua distribusi dengan salah satunya berdukungan kompak, pernyataan ini berarti bahwa $\psi \ast u = u\ast \psi$. ◻