Distribusi

Batas sumber. Bagian ini mengikat distributions.tex baris 155-403 pada sumber beku.

Distribusi

Distribusi pada $\Omega$ adalah fungsional linear kontinu pada $\mathcal{D}(\Omega)$ , dengan kontinuitas didefinisikan sebagai berikut. Pemetaan $u:\mathcal{D}(\Omega) \rightarrow \mathbb{C}$ kontinu di $\phi \in \mathcal{D}(\Omega)$ jika $\displaystyle\lim_{j\rightarrow \infty}|u(\phi_j)-u(\phi)| = 0$ untuk setiap barisan $\displaystyle\left\{ \phi_j\right\}_{j=0}^\infty$ di $\mathcal{D}(\Omega)$ yang konvergen menuju $\phi$ di $\mathcal{D}(\Omega)$ . Ruang semua distribusi pada $\Omega$ dinotasikan dengan $\mathcal{D}'(\Omega)$ .

Misalkan $K$ himpunan bagian kompak dari $\displaystyle\mathbb{R}^n$ . Ruang $\mathcal{D}_K$ didefinisikan oleh
$\displaystyle\mathcal{D}_K = \left\{ u \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n) : \operatorname{supp}u \subset K \right\}$ .

Proposisi 6.3.1. Fungsional linear $u$ pada $\mathcal{D}(\Omega)$ kontinu jika dan hanya jika untuk setiap himpunan kompak $K \subset \Omega$ terdapat konstanta $C_K$ dan bilangan bulat $N_K$ sedemikian sehingga $\displaystyle\left| u(\phi) \right| \leq C_K \max_{|\boldsymbol{\alpha}|\leq N_K} \left\| \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} \phi \right\|_{\infty,K}$ untuk semua $\phi \in \mathcal{D}_K$ .

Bukti hasil ini termasuk dalam bukti Teorema 6.8 di RuFA.

Catatan. Notasi berikut sering digunakan. Untuk $u \in \mathcal{D}'(\Omega)$ dan $\phi \in \mathcal{D}(\Omega)$ , kita definisikan $\left\langle{u},{\phi}\right\rangle$ sebagai $\left\langle{u},{\phi}\right\rangle = u(\phi)$ . Sesekali kita akan menggunakan notasi ini.

Contoh. Misalkan $u$ merupakan fungsi dalam $\displaystyle L^1_{loc}(\mathbb{R}^n)$ . Fungsi $u$ mendefinisikan distribusi pada $\displaystyle\mathbb{R}^n$ melalui

$\left\langle{u},{\phi}\right\rangle = u(\phi) = \int_{\mathbb{R}^n} u(\boldsymbol{x}) \phi(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} \quad , \quad \phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n) \ .$ Secara tradisional, huruf yang sama digunakan untuk menyatakan fungsi dan distribusinya. Konteks menentukan yang mana yang dimaksud.

Untuk memverifikasi pernyataan ini, kita harus menunjukkan bahwa $\displaystyle u:\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)\rightarrow \mathbb{C}$ terdefinisi dengan baik, bahwa $u$ linear, dan bahwa $u$ kontinu.

Jika $\displaystyle\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ dan $K = \operatorname{supp}\phi$ , maka

$\begin{aligned} \left|u(\phi)\right| &= \left| \int_{\mathbb{R}^n} u(\boldsymbol{x}) \phi(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} \right| \leq \int_{K} \left|u(\boldsymbol{x})\right|\, \left| \phi(\boldsymbol{x})\right| \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} \leq \left\|\phi(\boldsymbol{x})\right\|_{\infty,K} \int_{K} \left| u(\boldsymbol{x})\right| \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} <\infty \end{aligned}$ karena $\displaystyle\left\|\phi(\boldsymbol{x})\right\|_{\infty,K} < \infty$ sebab $\phi$ kontinu pada himpunan kompak $K$ , dan $\displaystyle\int_{K} \left| u(\boldsymbol{x})\right| \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}}$ berhingga karena $\displaystyle u\in L^1_{loc}(\mathbb{R}^n)$ . Jadi, $\displaystyle u:\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)\rightarrow \mathbb{C}$ terdefinisi dengan baik.

Pemetaan $\displaystyle u:\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)\rightarrow \mathbb{C}$ linear karena integral adalah pemetaan linear.

Untuk menunjukkan bahwa $\displaystyle u:\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)\rightarrow \mathbb{C}$ kontinu, ambil sembarang elemen $\phi$ dari $\displaystyle\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ dan barisan $\displaystyle\left\{ \phi_j\right\}_{j=0}^\infty$ di $\displaystyle\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ yang konvergen menuju $\phi$ di $\displaystyle\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ . Menurut definisi konvergensi di $\displaystyle\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ , terdapat himpunan kompak $\displaystyle K \subset \mathbb{R}^n$ sedemikian sehingga $\operatorname{supp}\phi_j \subset K$ untuk semua $j$ , $\operatorname{supp}\phi \subset K$ , dan

$\lim_{j\rightarrow \infty} \left\| \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} \phi_j - \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} \phi \right\|_{\infty,K} = 0$ untuk semua multiindeks $\displaystyle\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{N}^n$ . Khususnya, untuk $\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}$ , kita memperoleh

$\lim_{j\rightarrow \infty} \left\| \phi_j - \phi \right\|_{\infty,K} = 0 \ .$ Maka

$\begin{aligned} \left|u(\phi_j) - u(\phi)\right| &= \left| \int_{\mathbb{R}^n} u(\boldsymbol{x}) \left(\phi_j(\boldsymbol{x}) - \phi(\boldsymbol{x})\right) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} \right| \leq \int_K \left| u(\boldsymbol{x}) \right|\, \left|\phi_j(\boldsymbol{x}) - \phi(\boldsymbol{x})\right| \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} \\ &\leq \left\| \phi_j - \phi \right\|_{\infty,K} \int_K \left| u(\boldsymbol{x}) \right|\ \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} \rightarrow 0 \end{aligned}$ saat $j \to \infty$ . Perhatikan bahwa $\displaystyle\int_K \left| u(\boldsymbol{x}) \right| \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}}$ berhingga karena $\displaystyle u\in L^1_{loc}(\mathbb{R}^n)$ .

Contoh. Fungsi delta Dirac adalah distribusi pada $\displaystyle\mathbb{R}^n$ yang didefinisikan oleh

$\left\langle{\delta},{\phi}\right\rangle = \delta(\phi) = \phi(\boldsymbol{0}) \quad , \quad \phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n) \ .$

Catatan. Fungsi delta Dirac sering diperkenalkan dalam buku teknik sebagai fungsi yang bernilai nol di mana-mana kecuali di titik asal dan memenuhi $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty \delta(x)f(x) \,\mathrm{d}{x} = f(0)$ untuk semua fungsi $f$ . Jelas bahwa hal ini tidak masuk akal. Namun, manipulasi formal yang dilakukan menggunakan “definisi” fungsi delta Dirac tersebut dapat dibuktikan secara ketat dengan definisi yang benar dari fungsi ini pada contoh sebelumnya.

Karena sebagian besar distribusi $\displaystyle u \in \mathcal{D}'(\mathbb{R})$ yang digunakan dalam teknik berasal dari fungsi terintegralkan, notasi integral $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty u(x) \phi(x)\,\mathrm{d}{x}$ sering digunakan alih-alih $u(\phi)$ atau $\left\langle{u},{\phi}\right\rangle$ , bahkan ketika distribusi $u$ bukan fungsi terintegralkan, seperti pada fungsi delta Dirac. Dalam teks ini kita tidak akan menggunakan notasi tersebut.

Proposisi berikut menyatakan bahwa kita dapat mendefinisikan hasil kali dari $u \in \mathcal{D}'(\Omega)$ dan $\displaystyle f \in C^\infty(\Omega)$ sebagai distribusi $f u$ yang didefinisikan oleh

$(f u)(\phi) = u(f \phi) \quad , \quad \phi \in \mathcal{D}(\Omega) \ .$

Proposisi 6.3.6. Jika $\displaystyle f\in C^\infty(\Omega)$ dan $u \in \mathcal{D}'(\Omega)$ , maka

$v(\phi) = u(f \phi) \quad , \quad \phi \in \mathcal{D}(\Omega) \ ,$ mendefinisikan distribusi pada $\Omega$ . Distribusi ini kita notasikan dengan $f u$ , yaitu hasil kali fungsi $f$ dan distribusi $u$ .

Bukti. (i) $(f u)(\phi)$ terdefinisi dengan baik untuk semua $\phi \in \mathcal{D}(\Omega)$ karena $f \phi \in \mathcal{D}(\Omega)$ untuk semua $\phi\in \mathcal{D}(\Omega)$ .

(ii) Mudah ditunjukkan bahwa $f u$ adalah fungsional linear.

(iii) Untuk membuktikan bahwa $f u$ kontinu, kita menunjukkan bahwa $f u$ memenuhi Proposisi 6.3.1.

Misalkan $K$ himpunan bagian kompak dari $\Omega$ . Karena $u\in \mathcal{D}'(\Omega)$ , Proposisi 6.3.1 menyatakan bahwa terdapat konstanta $C_K$ dan bilangan bulat $N_K$ sedemikian sehingga $\displaystyle\left| u(\phi) \right| \leq C_K \max_{|\boldsymbol{\alpha}|\leq N_K} \left\| \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} \phi \right\|_{\infty,K}$ untuk semua $\phi \in \mathcal{D}_K$ . Menurut rumus Leibniz,

$\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} (f \phi) = \sum_{\boldsymbol{\beta} \leq \boldsymbol{\alpha}} c_{\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}} \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}-\boldsymbol{\beta}}f \,\mathrm{D}^{\boldsymbol{\beta}} \phi \ ,$ dengan koefisien $c_{\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}}$ berupa konstanta. Rumus ini serupa dengan rumus binomial. Jadi, terdapat konstanta $C_f$ sedemikian sehingga

$\| \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} (f \phi) \|_{\infty,K} \leq C_f \max_{\boldsymbol{\beta}\leq\boldsymbol{\alpha}} \|\mathrm{D}^{\boldsymbol{\beta}} \phi\|_{\infty,K}$ untuk semua $\phi \in \mathcal{D}_K$ dan $|\boldsymbol{\alpha}|\leq N_K$ . Konstanta $C_f$ hanya bergantung pada $\displaystyle\left\|\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}-\boldsymbol{\beta}} f\right\|_{\infty,K}$ dan $c_{\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}}$ untuk $\boldsymbol{\beta} \leq \boldsymbol{\alpha}$ . Akhirnya kita memperoleh

$\left| (f u)(\phi) \right| = \left| u(f \phi) \right| \leq C_K \max_{|\boldsymbol{\alpha}|\leq N_K} \left\| \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} (f \phi) \right\|_{\infty,K} \leq C_K C_f \max_{|\boldsymbol{\alpha}|\leq N_K} \left\| \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} \phi \right\|_{\infty,K}$ untuk semua $\phi \in \mathcal{D}_K$ . ◻

Dukungan distribusi $u\in \mathcal{D}'(\Omega)$ adalah komplemen dari himpunan terbuka terbesar $V\subset \Omega$ sedemikian sehingga $u(\phi)=0$ untuk semua $\phi \in \mathcal{D}(\Omega)$ dengan $\operatorname{supp}\phi \subset V$ . Ruang distribusi pada $\Omega$ yang berdukungan kompak dinotasikan dengan $\mathcal{E}'(\Omega)$ ; dengan kata lain, $\displaystyle\mathcal{E}'(\Omega) = \left\{ u \in \mathcal{D}'(\Omega) : \operatorname{supp}u \text{ kompak} \right\}$ .

Ruang distribusi dilengkapi dengan topologi (lemah) berikut. Kita mengatakan bahwa barisan $\displaystyle\left\{ u_j\right\}_{j=0}^\infty$ distribusi pada $\Omega$ konvergen (secara lemah) menuju $u\in \mathcal{D}'(\Omega)$ jika
$\displaystyle\lim_{j\rightarrow \infty} \left|u_j(\phi) - u(\phi) \right| = 0$ untuk semua $\phi \in \mathcal{D}(\Omega)$ . Dalam arti tertentu, ruang distribusi pada $\Omega$ “lengkap” terhadap topologi ini.

Proposisi. Misalkan $\displaystyle\left\{ u_j \right\}_{j=0}^\infty$ barisan di $\mathcal{D}'(\Omega)$ sedemikian sehingga barisan bilangan kompleks $\displaystyle\left\{ u_j(\phi) \right\}_{j=0}^\infty$ konvergen untuk setiap $\phi \in \mathcal{D}(\Omega)$ . Misalkan $u : \mathcal{D}(\Omega) \to \mathbb{C}$ adalah fungsi yang didefinisikan oleh $\displaystyle u(\phi) = \lim_{j\to \infty} u_j(\phi)$ untuk semua $\phi \in \mathcal{D}(\Omega)$ . Maka $u\in \mathcal{D}'(\Omega)$ dan barisan $\displaystyle\left\{ u_j \right\}_{j=0}^\infty$ konvergen menuju $u$ di $\mathcal{D}'(\Omega)$ .

Bukti hasil ini merupakan bagian dari bukti Teorema 6.17 dalam RuFA.

Contoh 6.3.8. Pertimbangkan fungsi

$\chi_a(x) = \begin{cases} 1/(2a) & \quad \text{jika } \ |x|<a \\ 0 & \quad \text{jika } \ |x| \geq a \end{cases} \qquad (a>0)$ Sering dinyatakan dalam buku teknik bahwa fungsi delta Dirac $\delta$ adalah limit $\chi_a$ ketika $a \to 0$ .

Pernyataan ini dapat dibuktikan secara ketat dalam kerangka teori kita. Fungsi $\chi_a$ mendefinisikan distribusi pada $\mathbb{R}$ melalui

$\chi_a(\phi) = \int_{\mathbb{R}} \chi_a(x) \phi(x) \,\mathrm{d}{x}$ untuk semua $\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ . Sekarang kita buktikan bahwa distribusi ini konvergen menuju $\delta$ ketika $a \to 0$ .

Diberikan $\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ , misalkan $\displaystyle\Phi(x) = \int_0^x \phi(t) \,\mathrm{d}{t}$ . Kita mempunyai

$\lim_{a\to 0} \chi_a(\phi) = \lim_{a\to 0}\frac{1}{2a} \int_{-a}^a \phi(x) \,\mathrm{d}{x} = \lim_{a\to 0}\frac{1}{2a} \left( \Phi(a) - \Phi(-a)\right) = \Phi'(0) = \phi(0) = \delta(\phi) \ .$ Karena ini berlaku untuk semua $\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ , kita memperoleh $\chi_a \to \delta$ di $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$ .

Atribusi dan hak. Karya sumber oleh Benoit Dionne dilisensikan berdasarkan Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International. Terjemahan dan perubahan yang dicatat menggunakan lisensi komponen yang sama. Produksi terjemahan dan edisi dibantu OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; semua kredit penulis dan kontributor manusia tetap dipertahankan. Ini bukan terbitan atau dukungan resmi Benoit Dionne maupun University of Ottawa.