Mengalikan Polinomial — Prealgebra 2e

Mengalikan Polinomial dengan Monomial

Dalam Sifat Distributif, Anda telah belajar menggunakan Sifat Distributif untuk menyederhanakan bentuk seperti $2 (x - 3) .$ Anda mengalikan kedua suku di dalam tanda kurung, $x dan 3,$ dengan $2,$ untuk memperoleh $2 x - 6 .$ Dengan kosakata baru dalam bab ini, Anda dapat mengatakan bahwa Anda mengalikan binomial $x - 3,$ dengan monomial $2 .$ Mengalikan binomial dengan monomial bukanlah hal baru bagi Anda!

Kalikan: $3 (x + 7) .$

Solusi

	$3 (x + 7)$
Distribusikan.
	$3 \cdot x + 3 \cdot 7$
Sederhanakan.	$3 x + 21$

Kalikan: $x (x - 8) .$

Solusi


Distribusikan.

Sederhanakan.

Kalikan: $10 x (4 x + y) .$

Solusi


Distribusikan.

Sederhanakan.

Mengalikan monomial dengan trinomial dilakukan dengan cara yang hampir sama.

Kalikan: $−2 x (5 x^{2} + 7 x - 3) .$

Solusi

	$−2 x (5 x^{2} + 7 x - 3)$
Distribusikan.
	$−2 x \cdot 5 x^{2} + (−2 x) \cdot 7 x - (−2 x) \cdot 3$
Sederhanakan.	$−10 x^{3} - 14 x^{2} + 6 x$

Kalikan: $4 y^{3} (y^{2} - 8 y + 1) .$

Solusi

	$4 y^{3} (y^{2} - 8 y + 1)$
Distribusikan.
	$4 y^{3} \cdot y^{2} - 4 y^{3} \cdot 8 y + 4 y^{3} \cdot 1$
Sederhanakan.	$4 y^{5} - 32 y^{4} + 4 y^{3}$

Sekarang monomial akan menjadi faktor kedua.

Kalikan: $(x + 3) p .$

Solusi

	$(x + 3) p$
Distribusikan.
	$x \cdot p + 3 \cdot p$
Sederhanakan.	$x p + 3 p$

Mengalikan Binomial dengan Binomial

Sebagaimana perkalian bilangan dapat dinyatakan dengan berbagai cara, perkalian binomial dengan binomial juga dapat dilakukan menggunakan beberapa metode.

Menggunakan Sifat Distributif

Kita akan mulai dengan menggunakan Sifat Distributif. Perhatikan kembali .


Kita mendistribusikan $p$ untuk memperoleh
Bagaimana jika kita memiliki $(x + 7)$ , bukan $p$ ?
Distribusikan $(x + 7)$ .
Distribusikan lagi.	$x^{2} + 7 x + 3 x + 21$
Gabungkan suku-suku sejenis.	$x^{2} + 10 x + 21$

Perhatikan bahwa sebelum suku-suku sejenis digabungkan, kita memiliki empat suku. Kita mengalikan kedua suku pada binomial pertama dengan kedua suku pada binomial kedua—seluruhnya empat perkalian.

Berhati-hatilah membedakan jumlah dan hasil kali.

\begin{matrix} Jumlah & Hasil kali \\ x + x & x \cdot x \\ 2 x & x^{2} \\ gabungkan suku-suku sejenis & jumlahkan eksponen dari bilangan pokok yang sama \end{matrix}

Kalikan: $(x + 6) (x + 8) .$

Solusi

	$(x + 6) (x + 8)$

Distribusikan $(x + 8)$ .
Distribusikan lagi.	$x^{2} + 8 x + 6 x + 48$
Sederhanakan.	$x^{2} + 14 x + 48$

Sekarang kita akan mempelajari cara mengalikan binomial yang variabelnya memiliki koefisien.

Kalikan: $(2 x + 9) (3 x + 4) .$

Solusi

	$(2 x + 9) (3 x + 4)$
Distribusikan $(3 x + 4)$ .
Distribusikan lagi.	$6 x^{2} + 8 x + 27 x + 36$
Sederhanakan.	$6 x^{2} + 35 x + 36$

Pada contoh-contoh sebelumnya, binomialnya berupa penjumlahan. Jika terdapat pengurangan, kita harus memberi perhatian khusus untuk memastikan tanda pada hasil kali sudah benar.

Kalikan: $(4 y + 3) (6 y - 5) .$

Solusi

	$(4 y + 3) (6 y - 5)$
Distribusikan.
Distribusikan lagi.	$24 y^{2} - 20 y + 18 y - 15$
Sederhanakan.	$24 y^{2} - 2 y - 15$

Sejauh ini, hasil kali dua binomial selalu berupa trinomial. Namun, tidak selalu demikian.

Kalikan: $(x + 2) (x - y) .$

Solusi


Distribusikan.
Distribusikan lagi.
Sederhanakan.	Tidak ada suku sejenis yang dapat digabungkan.

Menggunakan Metode FOIL

Ingatlah bahwa ketika Anda mengalikan sebuah binomial dengan binomial lain, Anda memperoleh empat suku. Terkadang Anda dapat menggabungkan suku-suku sejenis sehingga memperoleh trinomial, tetapi terkadang tidak ada suku sejenis yang dapat digabungkan. Mari kita tinjau kembali contoh terakhir dan perhatikan secara khusus bagaimana keempat suku itu diperoleh.

(x + 2) (x - y)

x^{2} - xy + 2 x - 2 y

Dari mana suku pertama, $x^{2},$ berasal?

Suku itu merupakan hasil kali $x dan x,$ yaitu suku-suku pertama dalam $(x + 2) dan (x - y) .$

Pada hasil kali x tambah 2 dengan x kurang y, panah merah menghubungkan kedua suku x yang merupakan pasangan pertama.

Suku berikutnya, $- xy,$ merupakan hasil kali $x dan - y,$ yaitu dua suku luar.

Pada hasil kali x tambah 2 dengan x kurang y, panah merah menghubungkan x pertama dengan negatif y, yaitu pasangan suku luar. Panah hitam menunjukkan pasangan pertama.

Suku ketiga, $+2 x,$ merupakan hasil kali $2 dan x,$ yaitu dua suku dalam.

Pada hasil kali x tambah 2 dengan x kurang y, panah merah menghubungkan 2 dengan x kedua, yaitu pasangan suku dalam. Panah hitam menunjukkan pasangan pertama dan luar.

Suku terakhir, $−2 y,$ diperoleh dengan mengalikan dua suku terakhir.

Pada hasil kali x tambah 2 dengan x kurang y, panah merah menghubungkan 2 dengan negatif y, yaitu pasangan suku terakhir. Tiga panah hitam menunjukkan pasangan sebelumnya.

“FOIL” merupakan singkatan dari istilah bahasa Inggris First (pertama), Outer (luar), Inner (dalam), dan Last (terakhir). Kata FOIL mudah diingat dan memastikan bahwa kita memperoleh keempat hasil kali. Kita menggunakan metode FOIL untuk mengalikan dua binomial.

Pada hasil kali a tambah b dengan c tambah d, a dan c dilabeli pertama, b dan d dilabeli terakhir, b dengan c merupakan pasangan dalam, dan a dengan d merupakan pasangan luar.

Mari kita lihat kembali $(x + 3) (x + 7)$ . Sekarang kita akan membahas contoh penggunaan pola FOIL untuk mengalikan dua binomial.

Dua kolom menunjukkan bahwa Sifat Distributif dan metode FOIL sama-sama mengembangkan hasil kali x tambah 3 dengan x tambah 7 menjadi x kuadrat tambah 10x tambah 21.

Kalikan dengan menggunakan metode FOIL: $(x + 6) (x + 9) .$

Solusi

Langkah 1: Kalikan suku pertama.
Langkah 2: Kalikan suku luar.
Langkah 3: Kalikan suku dalam.
Langkah 4: Kalikan suku terakhir.
Langkah 5: Gabungkan suku-suku sejenis, jika memungkinkan.

Langkah-langkah metode FOIL dirangkum di bawah ini. Metode FOIL hanya berlaku untuk mengalikan dua binomial, bukan polinomial lainnya!

Kalikan: $(y - 8) (y + 6) .$

Solusi

Langkah 1: Kalikan suku pertama.
Langkah 2: Kalikan suku luar.
Langkah 3: Kalikan suku dalam.
Langkah 4: Kalikan suku terakhir.
Langkah 5: Gabungkan suku-suku sejenis.

Kalikan: $(2 a + 3) (3 a - 1) .$

Solusi



Kalikan suku-suku pertama.
Kalikan suku-suku luar.
Kalikan suku-suku dalam.
Kalikan suku-suku terakhir.
Gabungkan suku-suku sejenis.

Kalikan: $(5 x - y) (2 x - 7) .$

Solusi



Kalikan suku-suku pertama.
Kalikan suku-suku luar.
Kalikan suku-suku dalam.
Kalikan suku-suku terakhir.
Gabungkan suku-suku sejenis. Tidak ada suku yang sejenis.

Menggunakan Metode Vertikal

Metode FOIL biasanya merupakan cara tercepat untuk mengalikan dua binomial, tetapi metode ini berlaku hanya untuk binomial. Anda dapat menggunakan Sifat Distributif untuk menentukan hasil kali dua polinomial apa pun. Metode lain yang berlaku untuk semua polinomial adalah Metode Vertikal. Metode ini sangat mirip dengan cara Anda mengalikan bilangan cacah. Perhatikan baik-baik contoh perkalian bilangan dua digit berikut.

Perkalian vertikal 23 kali 46 menghasilkan hasil kali parsial 138 dan 92 yang digeser satu tempat, lalu hasil kali akhir 1058.

Mulailah dengan mengalikan $23$ dengan $6$ sehingga diperoleh $138 .$

Kemudian kalikan $23$ dengan $4,$ dan sejajarkan hasil kali parsial pada kolom yang tepat.

Terakhir, jumlahkan hasil-hasil kali parsial.

Sekarang kita akan menerapkan metode yang sama untuk mengalikan dua binomial.

Kalikan dengan menggunakan metode vertikal: $(5 x - 1) (2 x - 7) .$

Solusi

Tidak menjadi masalah binomial mana yang diletakkan di atas. Sejajarkan kolom-kolomnya ketika mengalikan, seperti saat kita mengalikan $23 (46) .$


Kalikan $2 x - 7$ dengan $−1$ .
Kalikan $2 x - 7$ dengan $5 x$ .
Jumlahkan suku-suku sejenis.

Perhatikan bahwa hasil-hasil kali parsial itu sama dengan suku-suku yang diperoleh melalui metode FOIL.

Kita telah menggunakan tiga metode untuk mengalikan binomial. Pastikan Anda berlatih menggunakan setiap metode dan tentukan metode yang Anda sukai. Ketiga metode itu dicantumkan di sini agar mudah diingat.

Mengalikan Trinomial dengan Binomial

Kita telah mengalikan monomial dengan monomial, monomial dengan polinomial, dan binomial dengan binomial. Sekarang kita siap mengalikan trinomial dengan binomial. Ingatlah, metode FOIL tidak berlaku dalam kasus ini, tetapi kita dapat menggunakan Sifat Distributif atau Metode Vertikal. Pertama-tama, mari kita lihat contoh yang menggunakan Sifat Distributif.

Kalikan dengan menggunakan Sifat Distributif: $(x + 3) (2 x^{2} - 5 x + 8) .$

Solusi


Distribusikan.
Kalikan.	$2 x^{3} - 5 x^{2} + 8 x + 6 x^{2} - 15 x + 24$
Gabungkan suku-suku sejenis.	$2 x^{3} + x^{2} - 7 x + 24$

Sekarang mari kita lakukan perkalian yang sama dengan menggunakan Metode Vertikal.

Kalikan dengan menggunakan Metode Vertikal: $(x + 3) (2 x^{2} - 5 x + 8) .$

Solusi

Polinomial dengan suku yang lebih sedikit lebih mudah diletakkan di bawah karena dengan cara ini kita memperoleh lebih sedikit hasil kali parsial.


Kalikan $(2 x^{2} - 5 x + 8)$ dengan 3.
Kalikan $(2 x^{2} - 5 x + 8)$ dengan $x$ .
Jumlahkan suku-suku sejenis.

Konsep Utama

Gunakan metode FOIL untuk mengalikan dua binomial.
1. Kalikan suku-suku pertama.
2. Kalikan suku-suku luar.
3. Kalikan suku-suku dalam.
4. Kalikan suku-suku terakhir.
5. Gabungkan suku-suku sejenis, jika memungkinkan.
Mengalikan Dua Binomial: Untuk mengalikan binomial, gunakan:
- Sifat Distributif
- Metode FOIL
- Metode Vertikal
Mengalikan Trinomial dengan Binomial: Untuk mengalikan trinomial dengan binomial, gunakan:
- Sifat Distributif
- Metode Vertikal

Latihan Membuat Sempurna

Mengalikan Polinomial dengan Monomial

Dalam latihan berikut, kalikan.

$4 (x + 10)$

Solusi

4x + 40

$6 (y + 8)$

$15 (r - 24)$

Solusi

15r − 360

$12 (v - 30)$

$−3 (m + 11)$

Solusi

−3m − 33

$−4 (p + 15)$

$−8 (z - 5)$

Solusi

−8z + 40

$−3 (x - 9)$

$u (u + 5)$

Solusi

u² + 5u

$q (q + 7)$

$n (n^{2} - 3 n)$

Solusi

n³ − 3n²

$s (s^{2} - 6 s)$

$12 x (x - 10)$

Solusi

12x² − 120x

$9 m (m - 11)$

$−9 a (3 a + 5)$

Solusi

−27a² − 45a

$−4 p (2 p + 7)$

$6 x (4 x + y)$

Solusi

24x² + 6xy

$5 a (9 a + b)$

$5 p (11 p - 5 q)$

Solusi

55p² − 25pq

$12 u (3 u - 4 v)$

$3 (v^{2} + 10 v + 25)$

Solusi

3v² + 30v + 75

$6 (x^{2} + 8 x + 16)$

$2 n (4 n^{2} - 4 n + 1)$

Solusi

8n³ − 8n² + 2n

$3 r (2 r^{2} - 6 r + 2)$

$−8 y (y^{2} + 2 y - 15)$

Solusi

−8y³ − 16y² + 120y

$−5 m (m^{2} + 3 m - 18)$

$5 q^{3} (q^{2} - 2 q + 6)$

Solusi

5q⁵ − 10q⁴ + 30q³

$9 r^{3} (r^{2} - 3 r + 5)$

$−4 z^{2} (3 z^{2} + 12 z - 1)$

Solusi

−12z⁴ − 48z³ + 4z²

$−3 x^{2} (7 x^{2} + 10 x - 1)$

$(2 y - 9) y$

Solusi

2y² − 9y

$(8 b - 1) b$

$(w - 6) \cdot 8$

Solusi

8w − 48

$(k - 4) \cdot 5$

Mengalikan Binomial dengan Binomial

Dalam latihan berikut, kalikan binomial-binomial berikut menggunakan: ⓐ Sifat Distributif ⓑ metode FOIL ⓒ Metode Vertikal

$(x + 4) (x + 6)$

Solusi

x² + 10x + 24

$(u + 8) (u + 2)$

$(n + 12) (n - 3)$

Solusi

n² + 9n − 36

$(y + 3) (y - 9)$

Dalam latihan berikut, kalikan binomial-binomial berikut. Gunakan metode apa pun.

$(y + 8) (y + 3)$

Solusi

y² + 11y + 24

$(x + 5) (x + 9)$

$(a + 6) (a + 16)$

Solusi

a² + 22a + 96

$(q + 8) (q + 12)$

$(u - 5) (u - 9)$

Solusi

u² − 14u + 45

$(r - 6) (r - 2)$

$(z - 10) (z - 22)$

Solusi

z² − 32z + 220

$(b - 5) (b - 24)$

$(x - 4) (x + 7)$

Solusi

x² + 3x − 28

$(s - 3) (s + 8)$

$(v + 12) (v - 5)$

Solusi

v² + 7v − 60

$(d + 15) (d - 4)$

$(6 n + 5) (n + 1)$

Solusi

6n² + 11n + 5

$(7 y + 1) (y + 3)$

$(2 m - 9) (10 m + 1)$

Solusi

20m² − 88m − 9

$(5 r - 4) (12 r + 1)$

$(4 c - 1) (4 c + 1)$

Solusi

16c² − 1

$(8 n - 1) (8 n + 1)$

$(3 u - 8) (5 u - 14)$

Solusi

15u² − 82u + 112

$(2 q - 5) (7 q - 11)$

$(a + b) (2 a + 3 b)$

Solusi

2a² + 5ab + 3b²

$(r + s) (3 r + 2 s)$

$(5 x - y) (x - 4)$

Solusi

5x² − 20x − xy + 4y

$(4 z - y) (z - 6)$

Mengalikan Trinomial dengan Binomial

Dalam latihan berikut, kalikan menggunakan ⓐ Sifat Distributif dan ⓑ Metode Vertikal.

$(u + 4) (u^{2} + 3 u + 2)$

Solusi

u³ + 7u² + 14u + 8

$(x + 5) (x^{2} + 8 x + 3)$

$(a + 10) (3 a^{2} + a - 5)$

Solusi

3a³ + 31a² + 5a − 50

$(n + 8) (4 n^{2} + n - 7)$

Dalam latihan berikut, kalikan. Gunakan salah satu metode.

$(y - 6) (y^{2} - 10 y + 9)$

Solusi

y³ − 16y² + 69y − 54

$(k - 3) (k^{2} - 8 k + 7)$

$(2 x + 1) (x^{2} - 5 x - 6)$

Solusi

2x³ − 9x² − 17x − 6

$(5 v + 1) (v^{2} - 6 v - 10)$

Matematika Sehari-hari

Berhitung mental Anda dapat menggunakan perkalian binomial untuk mengalikan bilangan tanpa kalkulator. Misalkan Anda perlu mengalikan $13$ dengan $15 .$ Nyatakan $13$ sebagai $10 + 3$ dan $15$ sebagai $10 + 5 .$

ⓐ Kalikan $(10 + 3) (10 + 5)$ menggunakan metode FOIL.
ⓑ Kalikan $13 \cdot 15$ tanpa menggunakan kalkulator.

Solusi

ⓐ 195
ⓑ 195

Berhitung mental Anda dapat menggunakan perkalian binomial untuk mengalikan bilangan tanpa kalkulator. Misalkan Anda perlu mengalikan $18$ dengan $17 .$ Nyatakan $18$ sebagai $20 - 2$ dan $17$ sebagai $20 - 3 .$

ⓐ Kalikan $(20 - 2) (20 - 3)$ menggunakan metode FOIL.
ⓑ Kalikan $18 \cdot 17$ tanpa menggunakan kalkulator.

Latihan Menulis

Metode mana yang lebih Anda sukai untuk mengalikan dua binomial—Sifat Distributif, metode FOIL, atau Metode Vertikal? Mengapa?

Solusi

Jawaban dapat bervariasi.

Metode mana yang lebih Anda sukai untuk mengalikan trinomial dengan binomial—Sifat Distributif atau Metode Vertikal? Mengapa?

Pemeriksaan Mandiri

ⓐ Setelah menyelesaikan latihan, gunakan daftar periksa ini untuk mengevaluasi penguasaan Anda terhadap tujuan bagian ini.

Kisi dengan tiga keterampilan: mengalikan polinomial dengan monomial, mengalikan binomial dengan binomial, dan mengalikan trinomial dengan binomial. Setiap keterampilan dapat dinilai pada kolom Dengan yakin, Dengan sedikit bantuan, atau Saya belum paham.

ⓑ Apa yang ditunjukkan daftar periksa ini tentang penguasaan Anda terhadap bagian ini? Langkah apa yang akan Anda ambil untuk meningkatkan pemahaman?