Menjumlahkan dan Mengurangkan Polinomial

Mengidentifikasi Polinomial, Monomial, Binomial, dan Trinomial

Dalam Menghitung Nilai, Menyederhanakan, dan Menerjemahkan Ekspresi, Anda telah mempelajari bahwa suku adalah konstanta atau hasil kali konstanta dengan satu atau beberapa variabel. Konstanta tersebut disebut koefisien. Jika berbentuk $a x^{m},$ dengan $a$ sebagai konstanta dan $m$ sebagai bilangan cacah, bentuk tersebut disebut monomial. Monomial, atau jumlah dan/atau selisih beberapa monomial, disebut polinomial.

Perhatikan akar katanya:

poly- berarti banyak
mono- berarti satu
bi- berarti dua
tri- berarti tiga

Berikut beberapa contoh polinomial:

Polinomial	$b + 1$	$4 y^{2} - 7 y + 2$	$5 x^{5} - 4 x^{4} + x^{3} + 8 x^{2} - 9 x + 1$
Monomial	$5$	$4 b^{2}$	$−9 x^{3}$
Binomial	$3 a - 7$	$y^{2} - 9$	$17 x^{3} + 14 x^{2}$
Trinomial	$x^{2} - 5 x + 6$	$4 y^{2} - 7 y + 2$	$5 a^{4} - 3 a^{3} + a$

Perhatikan bahwa setiap monomial, binomial, dan trinomial juga merupakan polinomial. Ketiganya adalah anggota khusus dalam keluarga polinomial sehingga memiliki nama khusus. Kita menggunakan istilah ‘monomial’, ‘binomial’, dan ‘trinomial’ ketika merujuk pada polinomial khusus ini, sedangkan semua polinomial lainnya cukup disebut ‘polinomial’.

Tentukan apakah setiap polinomial berikut merupakan monomial, binomial, trinomial, atau polinomial lainnya:

ⓐ $8 x^{2} - 7 x - 9$
ⓑ $−5 a^{4}$
ⓒ $x^{4} - 7 x^{3} - 6 x^{2} + 5 x + 2$
ⓓ $11 - 4 y^{3}$
ⓔ $n$

Solusi

Penyelesaian

Tabel memiliki enam baris dan empat kolom. Baris pertama berisi label bagian, Polinomial, Banyaknya suku, dan Jenis. Baris ⓐ memuat 8x kuadrat kurang 7x kurang 9, 3 suku, trinomial. Baris ⓑ memuat negatif 5a pangkat empat, 1 suku, monomial. Baris ⓒ memuat x pangkat empat kurang 7x kubik kurang 6x kuadrat tambah 5x tambah 2, 5 suku, polinomial. Baris ⓓ memuat 11 kurang 4y kubik, 2 suku, binomial. Baris ⓔ memuat n, 1 suku, monomial.
	Polinomial	Banyaknya suku	Jenis
ⓐ	$8 x^{2} - 7 x - 9$	3	Trinomial
ⓑ	$−5 a^{4}$	1	Monomial
ⓒ	$x^{4} - 7 x^{3} - 6 x^{2} + 5 x + 2$	5	Polinomial
ⓓ	$11 - 4 y^{3}$	2	Binomial
ⓔ	$n$	1	Monomial

Menentukan Derajat Polinomial

Dalam bagian ini, kita akan bekerja dengan polinomial yang hanya memiliki satu variabel pada setiap sukunya. Derajat polinomial dan derajat suku-sukunya ditentukan oleh eksponen variabel tersebut.

Monomial yang tidak memiliki variabel, hanya berupa konstanta, merupakan kasus khusus. Derajat konstanta adalah $0$ —konstanta tidak memiliki variabel.

Mari kita lihat cara kerjanya dengan mengamati beberapa polinomial. Kita akan melakukannya selangkah demi selangkah, dimulai dengan monomial, kemudian berlanjut ke polinomial yang memiliki lebih banyak suku.

Ingat: Setiap bilangan pokok yang ditulis tanpa eksponen memiliki eksponen tersirat sebesar $1 .$

Bagan derajat monomial, binomial, trinomial, dan polinomial. Baris Monomial memuat 5, 4b kuadrat, negatif 9x kubik, dan negatif 18; derajatnya berturut-turut 0, 2, 3, dan 0. Baris Binomial memuat b tambah 1, 3a kurang 7, y kuadrat kurang 9, serta 17x kubik tambah 14x kuadrat. Derajat setiap sukunya berturut-turut adalah 1 dan 0; 1 dan 0; 2 dan 0; serta 3 dan 2. Derajat keempat polinomial itu berturut-turut 1, 1, 2, dan 3. Baris Trinomial memuat x kuadrat kurang 5x tambah 6; 4y kuadrat kurang 7y tambah 2; 5a pangkat empat kurang 3a kubik tambah a; serta x pangkat empat tambah 2x kuadrat kurang 5. Derajat setiap sukunya berturut-turut adalah 2, 1, dan 0; 2, 1, dan 0; 4, 3, dan 1; serta 4, 2, dan 0. Derajat keempat polinomial itu berturut-turut 2, 2, 4, dan 4. Baris Polinomial memuat b tambah 1; 4y kuadrat kurang 7y tambah 2; serta 4x pangkat empat tambah x kubik tambah 8x kuadrat kurang 9x tambah 1. Derajat setiap sukunya berturut-turut adalah 1 dan 0; 2, 1, dan 0; serta 4, 3, 2, 1, dan 0. Derajat ketiga polinomial itu berturut-turut 1, 2, dan 4.

Tentukan derajat polinomial berikut:

ⓐ $4 x$
ⓑ $3 x^{3} - 5 x + 7$
ⓒ $−11$
ⓓ $−6 x^{2} + 9 x - 3$
ⓔ $8 x + 2$

Solusi

Penyelesaian

Tabel ini mengilustrasikan cara menentukan derajat berbagai ekspresi matematika, termasuk monomial, polinomial, dan konstanta, dengan mengidentifikasi eksponen tertinggi variabel.
ⓐ	$4 x$
Eksponen $x$ adalah satu. $x = x^{1}$	Derajatnya adalah 1.
ⓑ	$3 x^{3} - 5 x + 7$
Derajat tertinggi dari semua suku adalah 3.	Derajatnya adalah 3
ⓒ	$- 11$
Derajat konstanta adalah 0.	Derajatnya adalah 0.
ⓓ	$−6 x^{2} + 9 x - 3$
Derajat tertinggi dari semua suku adalah 2.	Derajatnya adalah 2.
ⓔ	$8 x + 2$
Derajat tertinggi dari semua suku adalah 1.	Derajatnya adalah 1.

Mengerjakan polinomial akan lebih mudah jika Anda menyusun suku-sukunya dalam urutan derajat menurun. Polinomial yang ditulis dengan cara ini dikatakan berada dalam bentuk standar. Lihat kembali polinomial pada . Perhatikan bahwa semuanya ditulis dalam bentuk standar. Biasakan menulis suku dengan derajat tertinggi terlebih dahulu.

Menjumlahkan dan Mengurangkan Monomial

Dalam Menggunakan Bahasa Aljabar, Anda menyederhanakan bentuk aljabar dengan menggabungkan suku-suku sejenis. Menjumlahkan dan mengurangkan monomial sama dengan menggabungkan suku-suku sejenis. Suku-suku sejenis harus memiliki variabel yang sama dengan pangkat yang sama. Ingatlah bahwa ketika menggabungkan suku-suku sejenis, hanya koefisien yang digabungkan, bukan pangkatnya.

Jumlahkan: $17 x^{2} + 6 x^{2} .$

Solusi

Penyelesaian

Langkah-langkah menyederhanakan bentuk aljabar dengan menggabungkan suku-suku sejenis.
	$17 x^{2} + 6 x^{2}$
Gabungkan suku-suku sejenis.	$23 x^{2}$

Kurangkan: $11 n - (−8 n) .$

Solusi

Penyelesaian

Tabel menunjukkan penyederhanaan bentuk aljabar 11n − (−8n) dengan menggabungkan suku-suku sejenis sehingga diperoleh 19n.
	$11 n - (−8 n)$
Gabungkan suku-suku sejenis.	$19 n$

Sederhanakan: $a^{2} + 4 b^{2} - 7 a^{2} .$

Solusi

Penyelesaian

Contoh penyederhanaan bentuk aljabar dengan menggabungkan suku-suku sejenis.
	$a^{2} + 4 b^{2} - 7 a^{2}$
Gabungkan suku-suku sejenis.	$−6 a^{^{2}} + 4 b^{2}$

Ingatlah, $−6 a^{2}$ dan $4 b^{2}$ bukan suku sejenis. Variabelnya tidak sama.

Menjumlahkan dan Mengurangkan Polinomial

Menjumlahkan dan mengurangkan polinomial dapat dipandang sebagai menjumlahkan dan mengurangkan suku-suku sejenis. Carilah suku-suku sejenis, yaitu suku-suku dengan variabel dan pangkat yang sama. Sifat Komutatif memungkinkan kita menyusun ulang suku-suku agar suku-suku sejenis berdekatan. Memberi garis bawah, lingkaran, atau kotak pada suku-suku sejenis juga dapat membantu.

Tentukan jumlah: $(4 x^{2} - 5 x + 1) + (3 x^{2} - 8 x - 9) .$

Solusi

Penyelesaian


Identifikasi suku-suku sejenis.
Susun ulang agar suku-suku sejenis berdekatan.
Gabungkan suku-suku sejenis.

Tanda kurung merupakan simbol pengelompokan. Ketika menjumlahkan polinomial seperti pada , kita dapat menulis ulang bentuk aljabar tanpa tanda kurung, lalu menggabungkan suku-suku sejenis. Namun, ketika mengurangkan polinomial, kita harus sangat berhati-hati dengan tandanya.

Tentukan selisih: $(7 u^{2} - 5 u + 3) - (4 u^{2} - 2) .$

Solusi

Penyelesaian


Gunakan sifat distributif dan identifikasi suku-suku sejenis.
Susun ulang suku-sukunya.
Gabungkan suku-suku sejenis.

Kurangkan: $(m^{2} - 3 m + 8)$ dari $(9 m^{2} - 7 m + 4) .$

Solusi

Penyelesaian


Gunakan sifat distributif dan identifikasi suku-suku sejenis.
Susun ulang suku-sukunya.
Gabungkan suku-suku sejenis.

Mengevaluasi Polinomial untuk Nilai Tertentu

Dalam Menggunakan Bahasa Aljabar, kita telah mengevaluasi bentuk aljabar. Karena polinomial merupakan bentuk aljabar, kita akan mengikuti prosedur yang sama untuk mengevaluasi polinomial: substitusikan nilai yang diberikan untuk variabel dalam polinomial, lalu sederhanakan.

Evaluasilah

3 x^{2} - 9 x + 7

ketika

ⓐ $x = 3$
ⓑ $x = −1$

Solusi

Penyelesaian

Evaluasi langkah demi langkah bentuk aljabar 3x kuadrat − 9x + 7 untuk x = 3.
ⓐ $x = 3$
	$3 x^{2} - 9 x + 7$
Substitusikan 3 untuk $x$	$3 {(3)}^{2} - 9 (3) + 7$
Sederhanakan bentuk berpangkat.	$3 \cdot 9 - 9 (3) + 7$
Kalikan.	$27 - 27 + 7$
Sederhanakan.	$7$

Evaluasi langkah demi langkah bentuk aljabar 3x kuadrat − 9x + 7 ketika x = −1, yang menunjukkan setiap tahap penyederhanaan.
ⓑ $x = −1$
	$3 x^{2} - 9 x + 7$
Substitusikan −1 untuk $x$	$3 {(−1)}^{2} - 9 (−1) + 7$
Sederhanakan bentuk berpangkat.	$3 \cdot 1 - 9 (−1) + 7$
Kalikan.	$3 + 9 + 7$
Sederhanakan.	$19$

Polinomial $−16 t^{2} + 300$ menyatakan ketinggian suatu benda $t$ detik setelah dijatuhkan dari jembatan setinggi $300$ kaki. Tentukan ketinggiannya setelah $t = 3$ detik.

Solusi

Penyelesaian


Substitusikan 3 untuk $t$
Sederhanakan bentuk berpangkat.
Kalikan.
Sederhanakan.

Latihan Membuat Sempurna

Mengidentifikasi Polinomial, Monomial, Binomial, dan Trinomial

Dalam latihan berikut, tentukan apakah setiap polinomial merupakan monomial, binomial, trinomial, atau polinomial lainnya.

$5 x + 2$

Solusi

binomial

$z^{2} - 5 z - 6$

$a^{2} + 9 a + 18$

Solusi

trinomial

$−12 p^{4}$

$y^{3} - 8 y^{2} + 2 y - 16$

Solusi

polinomial

$10 - 9 x$

$23 y^{2}$

Solusi

monomial

$m^{4} + 4 m^{3} + 6 m^{2} + 4 m + 1$

Menentukan Derajat Polinomial

Dalam latihan berikut, tentukan derajat setiap polinomial.

$8 a^{5} - 2 a^{3} + 1$

Solusi

5

$5 c^{3} + 11 c^{2} - c - 8$

$3 x - 12$

Solusi

1

$4 y + 17$

$−13$

Solusi

0

$−22$

Menjumlahkan dan Mengurangkan Monomial

Dalam latihan berikut, jumlahkan atau kurangkan monomial.

${6x}^{2} + 9 x^{2}$

Solusi

15x²

${4y}^{3} + 6 y^{3}$

$−12 u + 4 u$

Solusi

−8u

$−3 m + 9 m$

$5 a + 7 b$

Solusi

5a + 7b

$8 y + 6 z$

Jumlahkan: $4 a, - 3 b, - 8 a$

Solusi

−4a −3b

Jumlahkan: $4 x, 3 y, - 3 x$

$18 x - 2 x$

Solusi

16x

$13 a - 3 a$

Kurangkan $5 x^{6} dari - 12 x^{6}$

Solusi

−17x⁶

Kurangkan $2 p^{4} dari - 7 p^{4}$

Menjumlahkan dan Mengurangkan Polinomial

Dalam latihan berikut, jumlahkan atau kurangkan polinomial.

$(4 y^{2} + 10 y + 3) + (8 y^{2} - 6 y + 5)$

Solusi

12y² + 4y + 8

$(7 x^{2} - 9 x + 2) + (6 x^{2} - 4 x + 3)$

$(x^{2} + 6 x + 8) + (−4 x^{2} + 11 x - 9)$

Solusi

−3x² + 17x − 1

$(y^{2} + 9 y + 4) + (−2 y^{2} - 5 y - 1)$

$(3 a^{2} + 7) + (a^{2} - 7 a - 18)$

Solusi

4a² − 7a − 11

$(p^{2} - 5 p - 11) + (3 p^{2} + 9)$

$(6 m^{2} - 9 m - 3) - (2 m^{2} + m - 5)$

Solusi

4m² − 10m + 2

$(3 n^{2} - 4 n + 1) - (4 n^{2} - n - 2)$

$(z^{2} + 8 z + 9) - (z^{2} - 3 z + 1)$

Solusi

11z + 8

$(z^{2} - 7 z + 5) - (z^{2} - 8 z + 6)$

$(12 s^{2} - 15 s) - (s - 9)$

Solusi

12s² − 16s + 9

$(10 r^{2} - 20 r) - (r - 8)$

Tentukan jumlah $(2 p^{3} - 8)$ dan $(p^{2} + 9 p + 18)$

Solusi

2p³ + p² + 9p + 10

Tentukan jumlah $(q^{2} + 4 q + 13)$ dan $(7 q^{3} - 3)$

Kurangkan $(7 x^{2} - 4 x + 2)$ dari $(8 x^{2} - x + 6)$

Solusi

x² + 3x + 4

Kurangkan $(5 x^{2} - x + 12)$ dari $(9 x^{2} - 6 x - 20)$

Tentukan selisih $(w^{2} + w - 42)$ dan $(w^{2} - 10 w + 24)$

Solusi

11w − 66

Tentukan selisih $(z^{2} - 3 z - 18)$ dan $(z^{2} + 5 z - 20)$

Menghitung Nilai Polinomial untuk Nilai Tertentu

Dalam latihan berikut, hitung nilai setiap polinomial untuk nilai yang diberikan.

Hitung nilainya 8 y^{2} - 3 y + 2

ⓐ $y = 5$
ⓑ $y = −2$
ⓒ $y = 0$

Solusi

ⓐ 187
ⓑ 40
ⓒ 2

Hitung nilainya 5 y^{2} - y - 7 ketika:

ⓐ $y = −4$
ⓑ $y = 1$
ⓒ $y = 0$

Hitung nilainya 4 - 36 x ketika:

ⓐ $x = 3$
ⓑ $x = 0$
ⓒ $x = −1$

Solusi

ⓐ −104
ⓑ 4
ⓒ 40

Hitung nilainya 16 - 36 x^{2} ketika:

ⓐ $x = −1$
ⓑ $x = 0$
ⓒ $x = 2$

Seorang pembersih jendela menjatuhkan penyeka kaca dari platform setinggi $275$ kaki. Polinomial $−16 t^{2} + 275$ menyatakan tinggi penyeka kaca $t$ detik setelah dijatuhkan. Tentukan tingginya setelah $t = 4$ detik.

Solusi

19 kaki

Sebuah produsen oven microwave mendapati bahwa pendapatan dari penjualan oven microwave dengan harga p dolar per unit dinyatakan oleh polinomial $−5 p^{2} + 350 p .$ Tentukan pendapatan yang diperoleh ketika $p = 50$ dolar.

Matematika Sehari-hari

Efisiensi bahan bakar Efisiensi bahan bakar (dalam mil per galon) sebuah bus yang melaju dengan kecepatan $x$ mil per jam dinyatakan oleh polinomial $- \frac{1}{160} x^{2} + \frac{1}{2} x .$ Tentukan efisiensi bahan bakar ketika $x = 40 mil per jam.$

Solusi

10 mil per galon

Jarak berhenti Jarak dalam kaki yang diperlukan sebuah mobil yang melaju dengan kecepatan $x$ mil per jam untuk berhenti di atas beton kering dan datar dinyatakan oleh polinomial $0.06 x^{2} + 1.1 x .$ Tentukan jarak berhenti ketika $x = 60 mil per jam.$

Latihan Menulis

Dengan kata-kata Anda sendiri, jelaskan perbedaan antara monomial, binomial, dan trinomial.

Solusi

Jawaban akan bervariasi.

Eloise menganggap jumlah $5 x^{2} + 3 x^{4}$ adalah $8 x^{6} .$ Apa yang salah dalam penalarannya?

Pemeriksaan Mandiri

ⓐ Setelah menyelesaikan latihan, gunakan daftar periksa ini untuk mengevaluasi penguasaan Anda terhadap tujuan bagian ini.

Kisi penilaian diri dengan lima keterampilan: mengidentifikasi polinomial, monomial, binomial, dan trinomial; menentukan derajat polinomial; menjumlahkan dan mengurangkan monomial; menjumlahkan dan mengurangkan polinomial; serta mengevaluasi polinomial untuk nilai yang diberikan. Setiap keterampilan dapat dinilai pada kolom Yakin, Dengan sedikit bantuan, atau Belum paham.

ⓑ Jika sebagian besar tanda centang Anda adalah:

…dengan yakin. Selamat! Anda telah mencapai tujuan dalam bagian ini. Renungkan keterampilan belajar yang Anda gunakan agar dapat terus menggunakannya. Apa yang Anda lakukan hingga menjadi yakin akan kemampuan Anda untuk melakukan hal-hal ini? Berikan jawaban yang spesifik.

…dengan sedikit bantuan. Hal ini harus segera ditangani karena topik yang belum Anda kuasai akan menjadi lubang di jalan menuju keberhasilan. Dalam matematika, setiap topik dibangun di atas materi sebelumnya. Penting untuk memastikan Anda memiliki dasar yang kuat sebelum melanjutkan. Kepada siapa Anda dapat meminta bantuan? Teman sekelas dan pengajar Anda merupakan sumber bantuan yang baik. Apakah ada tempat di kampus yang menyediakan tutor matematika? Dapatkah keterampilan belajar Anda ditingkatkan?

…tidak—saya tidak mengerti! Ini merupakan tanda peringatan dan tidak boleh Anda abaikan. Anda harus segera mencari bantuan atau Anda akan cepat kewalahan. Temui pengajar Anda sesegera mungkin untuk membahas situasi Anda. Bersama-sama, Anda dapat menyusun rencana agar memperoleh bantuan yang dibutuhkan.