Menyelesaikan Penerapan Geometri: Volume dan Luas Permukaan

Pada bagian ini, kita akan menyelesaikan pembahasan tentang penerapan geometri. Kita akan menentukan volume dan luas permukaan beberapa bangun ruang. Karena kita akan menyelesaikan soal penerapan, kita akan kembali menampilkan Strategi Pemecahan Masalah untuk Penerapan Geometri.

Strategi Pemecahan Masalah untuk Penerapan Geometri

Baca soal dan pastikan Anda memahami semua kata dan gagasannya. Gambarlah bangun tersebut dan berilah label sesuai informasi yang diberikan.
Identifikasi apa yang dicari.
Namai apa yang dicari. Pilih sebuah variabel untuk mewakili besaran tersebut.
Terjemahkan menjadi sebuah persamaan dengan menuliskan rumus atau model yang sesuai untuk situasi tersebut. Substitusikan informasi yang diberikan.
Selesaikan persamaan menggunakan teknik aljabar yang tepat.
Periksa jawaban dalam konteks soal dan pastikan jawaban tersebut masuk akal.
Jawab pertanyaan dengan kalimat lengkap.

Menentukan Volume dan Luas Permukaan Balok

Seorang pelatih pemandu sorak meminta regunya mengecat peti kayu dengan warna sekolah agar dapat dinaiki saat pertandingan. (Lihat ). Banyaknya cat yang diperlukan untuk menutupi bagian luar setiap peti ditentukan oleh luas permukaan, yaitu ukuran persegi dari luas total semua sisinya. Besarnya ruang di dalam peti adalah volume, yaitu ukuran kubik.

Sebuah peti kayu berbentuk balok ditampilkan dari depan dan sedikit dari atas. Bilah-bilah kayu menyilang pada sisi depan, dan sisi kanan serta bagian atas peti terlihat. — Peti kayu ini berbentuk balok.

Setiap peti berbentuk balok. Dimensinya adalah panjang, lebar, dan tinggi. Balok yang ditunjukkan pada memiliki panjang $4$ satuan, lebar $2$ satuan, dan tinggi $3$ satuan. Dapatkah Anda menentukan jumlah seluruh satuan kubiknya? Mari kita amati lapis demi lapis.

Balok tersusun dari tiga lapisan berwarna. Setiap lapisan terdiri dari delapan kubus satuan dalam susunan dua kali empat. Lapisan atas berwarna biru muda, lapisan tengah merah, dan lapisan bawah biru kehijauan. — Membagi balok menjadi beberapa lapisan memudahkan kita membayangkan jumlah satuan kubik yang termuat di dalamnya. Balok berukuran $4$ kali $2$ kali $3$ ini memiliki $24$ satuan kubik.

Secara keseluruhan terdapat $24$ satuan kubik. Perhatikan bahwa $24$ merupakan hasil $panjang \times lebar \times tinggi .$

Baris atas menyatakan V sama dengan L kali W kali H. Di bawah V terdapat 24, di bawah tanda sama dengan terdapat tanda sama dengan lainnya, di bawah L terdapat 4, di bawah W terdapat 2, dan di bawah H terdapat 3.

Volume, $V,$ setiap balok adalah hasil kali panjang, lebar, dan tingginya.

V = L W H

Kita juga dapat menuliskan rumus volume balok berdasarkan luas alasnya. Luas alas, $B,$ sama dengan $panjang \times lebar .$

B = L \cdot W

Kita dapat menyubstitusikan $B$ sebagai pengganti $L \cdot W$ dalam rumus volume untuk memperoleh bentuk lain dari rumus volume.

Baris atas menyatakan V sama dengan L berwarna merah kali W berwarna merah kali H. Baris kedua menyatakan V sama dengan L kali W dalam tanda kurung berwarna merah, lalu dikali H. Baris terakhir menyatakan V sama dengan B berwarna merah kali h.

Sekarang kita memiliki bentuk lain dari rumus volume balok. Mari kita lihat penerapannya pada balok berukuran $4 \times 2 \times 3$ yang kita gunakan di awal. Lihat .

Balok tersusun dari kubus satuan dengan panjang 4, lebar 2, dan tinggi 3. Perhitungan menunjukkan V sama dengan Bh, sama dengan alas dikali tinggi, sama dengan 4 dikali 2 dikali 3, sehingga volumenya 24 satuan kubik.

Untuk menentukan luas permukaan balok, pikirkan cara menentukan luas setiap sisinya. Berapa banyak sisi yang dimiliki balok di atas? Anda dapat melihat tiga di antaranya.

\begin{matrix} A_{depan} = L \times W & A_{samping} = L \times W & A_{atas} = L \times W \\ A_{depan} = 4 \cdot 3 & A_{samping} = 2 \cdot 3 & A_{atas} = 4 \cdot 2 \\ A_{depan} = 12 & A_{samping} = 6 & A_{atas} = 8 \end{matrix}

Perhatikan bahwa untuk setiap sisi yang terlihat, terdapat sisi berlawanan yang identik tetapi tidak terlihat.

\begin{array}{l} S = (depan + belakang) + (sisi kiri + sisi kanan) + (atas + bawah) \\ S = (2 \cdot depan) + (2 \cdot sisi kiri) + (2 \cdot atas) \\ S = 2 \cdot 12 + 2 \cdot 6 + 2 \cdot 8 \\ S = 24 + 12 + 16 \\ S = 52 satuan persegi \end{array}

Luas permukaan $S$ balok yang ditunjukkan pada adalah $52$ satuan persegi.

Secara umum, untuk menentukan luas permukaan balok, ingatlah bahwa setiap sisinya berbentuk persegi panjang. Jadi, luasnya merupakan hasil kali kedua dimensinya, yaitu panjang dan lebar, panjang dan tinggi, atau lebar dan tinggi (lihat ). Tentukan luas setiap sisi yang terlihat, lalu kalikan setiap luas dengan dua untuk memperhitungkan sisi di bagian yang berlawanan.

S = 2 L H + 2 L W + 2 W H

Sebuah balok ditunjukkan. Rusuk-rusuknya diberi label L, W, dan H. Satu sisi diberi label LW dan sisi lainnya diberi label WH. — Untuk setiap sisi balok yang menghadap Anda, terdapat sisi lain di bagian yang berlawanan. Seluruhnya terdapat $6$ sisi.

Untuk balok dengan panjang $14$ cm, tinggi $17$ cm, dan lebar $9$ cm, tentukan ⓐ volume dan ⓑ luas permukaannya.

Solusi

Penyelesaian

Langkah 1 sama untuk ⓐ dan ⓑ, jadi kami hanya akan menampilkannya sekali.

Langkah 1. Baca soal. Gambarlah bangun tersebut dan
berilah label sesuai informasi yang diberikan.

Balok dalam perspektif tiga dimensi dengan panjang 14, lebar 9, dan tinggi 17. Rusuk yang tersembunyi ditunjukkan dengan garis putus-putus.

Tabel ini menjelaskan langkah menentukan volume balok berukuran 14 cm kali 9 cm kali 17 cm: identifikasi volume, namai V, gunakan V=LWH, substitusikan V=14·9·17, peroleh V=2,142, periksa perhitungan, dan jawab 2,142 sentimeter kubik.
ⓐ
Langkah 2. Identifikasi apa yang dicari.	volume balok
Langkah 3. Namai. Pilih sebuah variabel untuk mewakilinya.	Misalkan $V$ = volume
Langkah 4. Terjemahkan. Tuliskan rumus yang sesuai. Substitusikan.	$V = L W H$ $V = 14 \cdot 9 \cdot 17$
Langkah 5. Selesaikan persamaannya.	$V = 2,142$
Langkah 6. Periksa Kami menyerahkan pemeriksaan perhitungannya kepada Anda.
Langkah 7. Jawab pertanyaannya.	Volumenya adalah $2,142$ sentimeter kubik.

Tabel ini menjelaskan langkah menentukan luas permukaan balok berukuran 14 cm kali 9 cm kali 17 cm: identifikasi luas permukaan, namai S, gunakan S=2LH+2LW+2WH, substitusikan dimensinya, peroleh S=1,034, periksa dengan kalkulator, dan jawab 1,034 sentimeter persegi.
ⓑ
Langkah 2. Identifikasi apa yang dicari.	luas permukaan balok
Langkah 3. Namai. Pilih sebuah variabel untuk mewakilinya.	Misalkan $S$ = luas permukaan
Langkah 4. Terjemahkan. Tuliskan rumus yang sesuai. Substitusikan.	$S = 2 L H + 2 L W + 2 W H$ $S = 2 (14 \cdot 17) + 2 (14 \cdot 9) + 2 (9 \cdot 17)$
Langkah 5. Selesaikan persamaannya.	$S = 1,034$
Langkah 6. Periksa: Periksa kembali dengan kalkulator.
Langkah 7. Jawab pertanyaannya.	Luas permukaannya adalah 1,034 sentimeter persegi.

Sebuah peti berbentuk balok memiliki panjang $30$ inci, lebar $25$ inci, dan tinggi $20$ inci. Tentukan ⓐ volume dan ⓑ luas permukaannya.

Solusi

Penyelesaian

Langkah 1 sama untuk ⓐ dan ⓑ, jadi kami hanya akan menampilkannya sekali.

Langkah 1. Baca soal. Gambarlah bangun tersebut dan
berilah label sesuai informasi yang diberikan.

Balok dengan panjang 30, lebar 25, dan tinggi 20 satuan. Sisi depan dan atas terlihat, sedangkan rusuk yang tersembunyi ditunjukkan dengan garis putus-putus.

Tabel ini menjelaskan langkah menentukan volume peti berukuran 30 inci kali 25 inci kali 20 inci: identifikasi volume, namai V, gunakan V=LWH, substitusikan V=30·25·20, peroleh V=15,000, periksa perhitungan, dan jawab 15,000 inci kubik.
ⓐ
Langkah 2. Identifikasi apa yang dicari.	volume peti
Langkah 3. Namai. Pilih sebuah variabel untuk mewakilinya.	Misalkan $V$ = volume
Langkah 4. Terjemahkan. Tuliskan rumus yang sesuai. Substitusikan.	$V = L W H$ $V = 30 \cdot 25 \cdot 20$
Langkah 5. Selesaikan persamaannya.	$V = 15,000$
Langkah 6. Periksa: Periksa kembali perhitungan Anda.
Langkah 7. Jawab pertanyaannya.	Volumenya adalah 15,000 inci kubik.

Tabel ini menjelaskan langkah menentukan luas permukaan peti berukuran 30 inci kali 25 inci kali 20 inci: identifikasi luas permukaan, namai S, gunakan S=2LH+2LW+2WH, substitusikan dimensinya, peroleh S=3,700, periksa perhitungan, dan jawab 3,700 inci persegi.
ⓑ
Langkah 2. Identifikasi apa yang dicari.	luas permukaan peti
Langkah 3. Namai. Pilih sebuah variabel untuk mewakilinya.	Misalkan $S$ = luas permukaan
Langkah 4. Terjemahkan. Tuliskan rumus yang sesuai. Substitusikan.	$S = 2 L H + 2 L W + 2 W H$ $S = 2 (30 \cdot 20) + 2 (30 \cdot 25) + 2 (25 \cdot 20)$
Langkah 5. Selesaikan persamaannya.	$S = 3,700$
Langkah 6. Periksa: Periksa sendiri hasilnya!
Langkah 7. Jawab pertanyaannya.	Luas permukaannya adalah 3,700 inci persegi.

Volume dan Luas Permukaan Kubus

Kubus adalah balok yang panjang, lebar, dan tingginya sama. Lihat Volume dan Luas Permukaan Kubus di bawah ini. Dengan mengganti panjang, lebar, dan tinggi dengan s dalam rumus volume dan luas permukaan balok, kita memperoleh:

\begin{matrix} V = L W H & S = 2 L H + 2 L W + 2 W H \\ V = s \cdot s \cdot s & S = 2 s \cdot s + 2 s \cdot s + 2 s \cdot s \\ V = s^{3} & S = 2 s^{2} + 2 s^{2} + 2 s^{2} \\ S = 6 s^{2} \end{matrix}

Jadi, rumus volume dan luas permukaan kubus adalah $V = s^{3}$ dan $S = 6 s^{2} .$

Sebuah kubus memiliki panjang rusuk $2.5$ inci. Tentukan ⓐ volume dan ⓑ luas permukaannya.

Solusi

Penyelesaian

Langkah 1 sama untuk ⓐ dan ⓑ, jadi kami hanya akan menampilkannya sekali.

Langkah 1. Baca soal. Gambarlah bangun tersebut dan
berilah label sesuai informasi yang diberikan.

Gambar garis sebuah kubus dalam proyeksi isometrik. Ketiga rusuk yang terlihat masing-masing diberi label 2.5 untuk menunjukkan panjang, lebar, dan tinggi yang sama.

Tabel ini menjelaskan langkah menentukan volume kubus dengan panjang rusuk 2.5 inci: identifikasi volume, namai V, gunakan V=s³, substitusikan V=(2.5)³, peroleh V=15.625, periksa pekerjaan, dan jawab 15.625 inci kubik.
ⓐ
Langkah 2. Identifikasi apa yang dicari.	volume kubus
Langkah 3. Namai. Pilih sebuah variabel untuk mewakilinya.	Misalkan V = volume
Langkah 4. Terjemahkan. Tuliskan rumus yang sesuai.	$V = s^{3}$
Langkah 5. Selesaikan. Substitusikan dan selesaikan.	$V = {(2.5)}^{3}$ $V = 15.625$
Langkah 6. Periksa: Periksa pekerjaan Anda.
Langkah 7. Jawab pertanyaannya.	Volumenya adalah 15.625 inci kubik.

Tabel ini menjelaskan langkah menentukan luas permukaan kubus dengan panjang rusuk 2.5 inci: identifikasi luas permukaan, namai S, gunakan S=6s², substitusikan S=6·(2.5)², peroleh S=37.5, periksa hasil, dan jawab 37.5 inci persegi.
ⓑ
Langkah 2. Identifikasi apa yang dicari.	luas permukaan kubus
Langkah 3. Namai. Pilih sebuah variabel untuk mewakilinya.	Misalkan S = luas permukaan
Langkah 4. Terjemahkan. Tuliskan rumus yang sesuai.	$S = 6 s^{2}$
Langkah 5. Selesaikan. Substitusikan dan selesaikan.	$S = 6 \cdot {(2.5)}^{2}$ $S = 37.5$
Langkah 6. Periksa: Pemeriksaannya kami serahkan kepada Anda.
Langkah 7. Jawab pertanyaannya.	Luas permukaannya adalah 37.5 inci persegi.

Sebuah kubus kertas catatan memiliki panjang rusuk $2$ inci. Tentukan ⓐ volume dan ⓑ luas permukaannya.

Solusi

Penyelesaian

Langkah 1. Baca soal. Gambarlah bangun tersebut dan
berilah label sesuai informasi yang diberikan.

Gambar rangka sebuah kubus dengan panjang rusuk 2 satuan. Ketiga rusuk yang terlihat diberi label 2 untuk menunjukkan panjang, lebar, dan tinggi.

Tabel ini menjelaskan langkah menentukan volume kubus dengan panjang rusuk 2 inci: identifikasi volume, namai V, gunakan V=s³, substitusikan V=2³, peroleh V=8, periksa perhitungan, dan jawab 8 inci kubik.
ⓐ
Langkah 2. Identifikasi apa yang dicari.	volume kubus
Langkah 3. Namai. Pilih sebuah variabel untuk mewakilinya.	Misalkan V = volume
Langkah 4. Terjemahkan. Tuliskan rumus yang sesuai.	$V = s^{3}$
Langkah 5. Selesaikan persamaannya.	$V = 2^{3}$ $V = 8$
Langkah 6. Periksa: Pastikan Anda melakukan perhitungan dengan benar.
Langkah 7. Jawab pertanyaannya.	Volumenya adalah 8 inci kubik.

Tabel ini menjelaskan langkah menentukan luas permukaan kubus dengan panjang rusuk 2 inci: identifikasi luas permukaan, namai S, gunakan S=6s², substitusikan S=6·2², peroleh S=24, periksa hasil, dan jawab 24 inci persegi.
ⓑ
Langkah 2. Identifikasi apa yang dicari.	luas permukaan kubus
Langkah 3. Namai. Pilih sebuah variabel untuk mewakilinya.	Misalkan S = luas permukaan
Langkah 4. Terjemahkan. Tuliskan rumus yang sesuai.	$S = 6 s^{2}$
Langkah 5. Selesaikan persamaannya.	$S = 6 \cdot 2^{2}$ $S = 24$
Langkah 6. Periksa: Pemeriksaannya kami serahkan kepada Anda.
Langkah 7. Jawab pertanyaannya.	Luas permukaannya adalah 24 inci persegi.

Menentukan Volume dan Luas Permukaan Bola

Sebuah bola berbentuk seperti bola basket, yaitu seperti lingkaran tiga dimensi. Sama seperti lingkaran, ukuran bola ditentukan oleh jari-jarinya, yaitu jarak dari pusat bola ke sebarang titik pada permukaannya. Rumus volume dan luas permukaan bola diberikan di bawah ini.

Menunjukkan asal-usul rumus-rumus ini, seperti yang kita lakukan untuk balok, berada di luar cakupan mata kuliah ini. Kita akan menghampiri $π$ dengan $3.14 .$

Sebuah bola memiliki jari-jari $6$ inci. Tentukan ⓐ volume dan ⓑ luas permukaannya.

Solusi

Langkah 1 sama untuk ⓐ dan ⓑ, jadi kita hanya akan menunjukkannya satu kali.

Langkah 1. Baca soal. Gambar bangunnya dan beri label
dengan informasi yang diberikan.

Ilustrasi tiga dimensi sebuah bola menunjukkan jari-jari 6 dari pusat ke permukaannya. Garis putus-putus menunjukkan bagian tersembunyi dari bidang ekuator.

Metode langkah demi langkah untuk menghitung volume bola.
ⓐ
Langkah 2. Identifikasi apa yang Anda cari.	volume bola
Langkah 3. Nyatakan. Pilih variabel untuk mewakilinya.	misalkan V = volume
Langkah 4. Terjemahkan. Tuliskan rumus yang sesuai.	$V = \frac{4}{3} π r^{3}$
Langkah 5. Selesaikan.	$V \approx \frac{4}{3} (3.14) 6^{3}$ $V \approx 904.32 inci kubik$
Langkah 6. Periksa: Periksa kembali perhitungan Anda dengan kalkulator.
Langkah 7. Jawab pertanyaannya.	Volume kira-kira 904.32 inci kubik.

Tabel ini menguraikan langkah-langkah penyelesaian soal, khususnya cara menghitung luas permukaan bola beserta tindakan dan hasil yang sesuai.
ⓑ
Langkah 2. Identifikasi apa yang Anda cari.	luas permukaan bola
Langkah 3. Nyatakan. Pilih variabel untuk mewakilinya.	misalkan S = luas permukaan
Langkah 4. Terjemahkan. Tuliskan rumus yang sesuai.	$S = 4 π r^{2}$
Langkah 5. Selesaikan.	$S \approx 4 (3.14) 6^{2}$ $S \approx 452.16$
Langkah 6. Periksa: Periksa kembali perhitungan Anda dengan kalkulator
Langkah 7. Jawab pertanyaannya.	Luas permukaan kira-kira 452.16 inci persegi.

Globe Bumi berbentuk bola dengan jari-jari $14$ inci. Tentukan ⓐ volume dan ⓑ luas permukaannya. Bulatkan jawaban ke perseratus terdekat.

Solusi

Langkah 1. Baca soal. Gambar bangun dengan
informasi yang diberikan dan beri label.

Globe bergaya menampilkan Amerika Utara dan Selatan, Eropa, serta Afrika. Garis putus-putus menunjukkan khatulistiwa, dan ruas garis mendatar berlabel 14 menunjukkan ukuran dari pusat.

Tabel ini memperlihatkan proses penyelesaian soal tujuh langkah, dari mengidentifikasi hal yang tidak diketahui hingga memberikan jawaban akhir, melalui contoh perhitungan volume bola.
ⓐ
Langkah 2. Identifikasi apa yang Anda cari.	volume bola
Langkah 3. Nyatakan. Pilih variabel untuk mewakilinya.	misalkan V = volume
Langkah 4. Terjemahkan. Tuliskan rumus yang sesuai. Substitusikan. (Gunakan 3.14 untuk $π$ )	$V = \frac{4}{3} π r^{3}$ $V \approx \frac{4}{3} (3.14) 14^{3}$
Langkah 5. Selesaikan.	$V \approx 11,488.21$
Langkah 6. Periksa: Kami menyerahkan kepada Anda untuk memeriksa perhitungan Anda.
Langkah 7. Jawab pertanyaannya.	Volume kira-kira 11,488.21 inci kubik.

Panduan langkah demi langkah yang menunjukkan perhitungan luas permukaan bola dengan pendekatan penyelesaian soal yang terstruktur.
ⓑ
Langkah 2. Identifikasi apa yang Anda cari.	luas permukaan bola
Langkah 3. Nyatakan. Pilih variabel untuk mewakilinya.	misalkan S = luas permukaan
Langkah 4. Terjemahkan. Tuliskan rumus yang sesuai. Substitusikan. (Gunakan 3.14 untuk $π$ )	$S = 4 π r^{2}$ $S \approx 4 (3.14) 14^{2}$
Langkah 5. Selesaikan.	$S \approx 2461.76$
Langkah 6. Periksa: Kami menyerahkan kepada Anda untuk memeriksa perhitungan Anda.
Langkah 7. Jawab pertanyaannya.	Luas permukaan kira-kira 2461.76 inci persegi.

Menentukan Volume dan Luas Permukaan Tabung

Jika Anda pernah melihat kaleng minuman ringan, Anda tahu seperti apa bentuk tabung. Sebuah tabung adalah bangun ruang dengan dua lingkaran sejajar berukuran sama di bagian atas dan bawah. Bagian atas dan bawah tabung disebut alas. Tinggi $h$ tabung adalah jarak antara kedua alas. Untuk semua tabung yang akan kita bahas di sini, sisi dan tinggi, $h$ , tegak lurus terhadap alas.

Sebuah tabung memiliki jari-jari r pada alas lingkaran bagian atas dan tinggi h yang diukur secara vertikal dari alas bawah ke alas atas. — Tabung memiliki dua alas lingkaran berukuran sama. Tinggi adalah jarak antara kedua alas.

Balok dan tabung agak serupa karena keduanya memiliki dua alas dan satu tinggi. Rumus volume balok, $V = B h$ , juga dapat digunakan untuk menentukan volume tabung.

Untuk balok, luas alas, $B$ , adalah luas alas persegi panjang, panjang × lebar. Untuk tabung, luas alas, $B,$ adalah luas alas lingkarannya, $π r^{2} .$ membandingkan cara penggunaan rumus $V = B h$ untuk balok dan tabung.

Bagian a menunjukkan balok dengan panjang l, lebar w, dan tinggi h. Rumus volumenya diturunkan dari V sama dengan Bh menjadi V sama dengan lwh. Bagian b menunjukkan tabung berjari-jari r dan bertinggi h. Rumus volumenya diturunkan dari V sama dengan Bh menjadi V sama dengan pi r kuadrat h. — Melihat kemiripan tabung dengan balok dapat mempermudah pemahaman rumus volume tabung.

Untuk memahami rumus luas permukaan tabung, bayangkan sebuah kaleng sayuran. Kaleng tersebut memiliki tiga permukaan: bagian atas, bagian bawah, dan bagian yang membentuk selimut kaleng. Jika Anda memotong label dari sisi kaleng dengan hati-hati lalu membentangkannya, Anda akan melihat bahwa label itu berbentuk persegi panjang. Lihat .

Sebuah kaleng berbentuk tabung dan jaring-jaringnya ditampilkan. Jaring-jaring terdiri dari dua lingkaran berjari-jari r dan sebuah persegi panjang dengan tinggi h dan lebar w sama dengan keliling lingkaran, yaitu 2πr. — Dengan memotong dan membentangkan label kaleng sayuran, kita dapat melihat bahwa selimut tabung berbentuk persegi panjang. Panjang persegi panjang adalah keliling alas tabung, dan lebarnya adalah tinggi tabung.

Jarak mengelilingi tepi kaleng adalah keliling alas tabung; jarak ini juga merupakan panjang $L$ label persegi panjang. Tinggi tabung adalah lebar $W$ label persegi panjang. Jadi, luas label dapat dinyatakan sebagai

Baris atas menyatakan A sama dengan l kali w merah. Di bawah l tertulis 2 kali pi kali r. Di bawah w tertulis h merah.

Untuk menentukan luas permukaan total tabung, kita menjumlahkan luas kedua lingkaran dengan luas persegi panjang.

Luas permukaan tabung adalah jumlah luas lingkaran atas, lingkaran bawah, dan persegi panjang pada selimut tabung: S sama dengan πr² ditambah πr² ditambah 2πrh, sehingga S sama dengan 2πr² ditambah 2πrh.

Luas permukaan tabung dengan jari-jari $r$ dan tinggi $h,$ adalah

S = 2 π r^{2} + 2 π r h

Sebuah tabung memiliki tinggi $5$ inci dan jari-jari $3$ inci. Tentukan ⓐ volume dan ⓑ luas permukaannya.

Solusi

Langkah 1. Baca soal. Gambar bangunnya dan beri label
dengan informasi yang diberikan.

Gambar garis hitam-putih sederhana sebuah tabung dengan dimensinya: jari-jari 3 satuan dan tinggi 5 satuan.

Langkah-langkah menghitung volume tabung yang merinci setiap tindakan penyelesaian soal dan hasil matematisnya.
ⓐ
Langkah 2. Identifikasi apa yang Anda cari.	volume tabung
Langkah 3. Nyatakan. Pilih variabel untuk mewakilinya.	misalkan V = volume
Langkah 4. Terjemahkan. Tuliskan rumus yang sesuai. Substitusikan. (Gunakan 3.14 untuk $π$ )	$V = π r^{2} h$ $V \approx (3.14) 3^{2} \cdot 5$
Langkah 5. Selesaikan.	$V \approx 141.3$
Langkah 6. Periksa: Kami menyerahkan kepada Anda untuk memeriksa perhitungan Anda.
Langkah 7. Jawab pertanyaannya.	Volume kira-kira 141.3 inci kubik.

Menunjukkan perhitungan luas permukaan tabung langkah demi langkah, dengan merinci tahap penyelesaian soal seperti identifikasi, penerjemahan, dan penyelesaian.
ⓑ
Langkah 2. Identifikasi apa yang Anda cari.	luas permukaan tabung
Langkah 3. Nyatakan. Pilih variabel untuk mewakilinya.	misalkan S = luas permukaan
Langkah 4. Terjemahkan. Tuliskan rumus yang sesuai. Substitusikan. (Gunakan 3.14 untuk $π$ )	$S = 2 π r^{2} + 2 π r h$ $S \approx 2 (3.14) 3^{2} + 2 (3.14) (3) 5$
Langkah 5. Selesaikan.	$S \approx 150.72$
Langkah 6. Periksa: Kami menyerahkan kepada Anda untuk memeriksa perhitungan Anda.
Langkah 7. Jawab pertanyaannya.	Luas permukaan kira-kira 150.72 inci persegi.

Tentukan ⓐ volume dan ⓑ luas permukaan sebuah kaleng minuman ringan. Jari-jari alasnya adalah $4$ sentimeter dan tingginya $13$ sentimeter. Anggap kaleng tersebut berbentuk tabung sempurna.

Solusi

Langkah 1. Baca soal. Gambar bangunnya dan
beri label dengan informasi yang diberikan.

Kaleng minuman dengan tinggi 13 dan diameter 4.

Tabel ini menguraikan langkah-langkah sistematis untuk menghitung volume tabung, mulai dari mengidentifikasi hal yang tidak diketahui hingga memberikan jawaban akhir.
ⓐ
Langkah 2. Identifikasi apa yang Anda cari.	volume tabung
Langkah 3. Nyatakan. Pilih variabel untuk mewakilinya.	misalkan V = volume
Langkah 4. Terjemahkan. Tuliskan rumus yang sesuai. Substitusikan. (Gunakan 3.14 untuk $π$ )	$V = π r^{2} h$ $V \approx (3.14) 4^{2} \cdot 13$
Langkah 5. Selesaikan.	$V \approx 653.12$
Langkah 6. Periksa: Kami menyerahkan kepada Anda untuk memeriksanya.
Langkah 7. Jawab pertanyaannya.	Volume kira-kira 653.12 sentimeter kubik.

Tabel ini menguraikan langkah-langkah sistematis untuk menghitung luas permukaan tabung, mulai dari mengidentifikasi soal hingga penyelesaian akhir.
ⓑ
Langkah 2. Identifikasi apa yang Anda cari.	luas permukaan tabung
Langkah 3. Nyatakan. Pilih variabel untuk mewakilinya.	misalkan S = luas permukaan
Langkah 4. Terjemahkan. Tuliskan rumus yang sesuai. Substitusikan. (Gunakan 3.14 untuk $π$ )	$S = 2 π r^{2} + 2 π r h$ $S \approx 2 (3.14) 4^{2} + 2 (3.14) (4) 13$
Langkah 5. Selesaikan.	$S \approx 427.04$
Langkah 6. Periksa: Kami menyerahkan kepada Anda untuk memeriksa perhitungan Anda.
Langkah 7. Jawab pertanyaannya.	Luas permukaan kira-kira 427.04 sentimeter persegi.

Menentukan Volume Kerucut

Bayangan pertama yang muncul bagi banyak orang ketika mendengar kata ‘kerucut’ adalah kerucut es krim. Ada banyak penerapan kerucut lainnya (tetapi kebanyakan tidak selezat kerucut es krim). Pada bagian ini, kita akan mempelajari cara menentukan volume kerucut.

Dalam geometri, kerucut adalah bangun ruang dengan satu alas berbentuk lingkaran dan satu titik puncak. Tinggi kerucut adalah jarak antara alas dan titik puncaknya. Kerucut yang kita bahas pada bagian ini selalu memiliki tinggi yang tegak lurus terhadap alas. Lihat .

Sebuah kerucut memiliki puncak di atas pusat alas lingkaran, tinggi h yang tegak lurus terhadap alas, dan jari-jari alas r. — Tinggi kerucut adalah jarak antara alas dan titik puncaknya.

Sebelumnya pada bagian ini, kita telah melihat bahwa volume tabung adalah $V = π r^{2} h .$ Kerucut dapat dipandang sebagai bagian dari sebuah tabung. menunjukkan kerucut di dalam tabung dengan tinggi dan alas yang sama. Jika kita membandingkan volume kerucut dan tabung, terlihat bahwa volume kerucut lebih kecil daripada volume tabung.

Kerucut yang berada tepat di dalam sebuah tabung. — Volume kerucut lebih kecil daripada volume tabung dengan alas dan tinggi yang sama.

Volume kerucut tepat sama dengan sepertiga volume tabung yang memiliki alas dan tinggi yang sama. Volume kerucut adalah

Karena alas kerucut berbentuk lingkaran, kita dapat menyubstitusikan rumus luas lingkaran, $π r^{2}$ , untuk $B$ sehingga diperoleh rumus volume kerucut.

Dalam buku ini, kita hanya akan menentukan volume kerucut, bukan luas permukaannya.

Tentukan volume kerucut dengan tinggi $6$ inci dan jari-jari alas $2$ inci.

Solusi

Penyelesaian

Langkah 1. Baca soal. Gambar bangunnya dan beri label berdasarkan informasi yang diberikan.
Langkah 2. Identifikasi apa yang dicari.	volume kerucut
Langkah 3. Nyatakan. Pilih variabel untuk mewakilinya.	misalkan V = volume
Langkah 4. Terjemahkan. Tuliskan rumus yang sesuai. Substitusikan. (Gunakan 3.14 untuk $π$ )	$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ $V \approx \frac{1}{3} 3.14 {(2)}^{2} (6)$
Langkah 5. Selesaikan.	$V \approx 25.12$
Langkah 6. Periksa: Periksa kembali perhitungan Anda.
Langkah 7. Jawab pertanyaannya.	Volumenya kira-kira 25.12 inci kubik.

Gastropub favorit Marty menyajikan kentang goreng dalam pembungkus kertas berbentuk kerucut. Berapakah volume pembungkus kerucut yang tingginya $8$ inci dan diameternya $5$ inci? Bulatkan jawaban ke perseratus terdekat.

Solusi

Penyelesaian

Langkah 1. Baca soal. Gambar bangunnya dan beri label berdasarkan informasi yang diberikan. Perhatikan bahwa alasnya adalah lingkaran di bagian atas kerucut.
Langkah 2. Identifikasi apa yang dicari.	volume kerucut
Langkah 3. Nyatakan. Pilih variabel untuk mewakilinya.	misalkan V = volume
Langkah 4. Terjemahkan. Tuliskan rumus yang sesuai. Substitusikan. (Gunakan 3.14 untuk $π$ , dan perhatikan bahwa ukuran melintang lingkaran yang diberikan adalah diameternya. Jari-jarinya 2.5 inci.)	$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ $V \approx \frac{1}{3} 3.14 {(2.5)}^{2} (8)$
Langkah 5. Selesaikan.	$V \approx 52.33$
Langkah 6. Periksa: Periksa kembali perhitungan Anda.
Langkah 7. Jawab pertanyaannya.	Volume kerucut kira-kira 52.33 inci kubik.

Ringkasan Rumus Geometri

Bagan berikut merangkum semua rumus yang dibahas dalam bab ini.

Ringkasan delapan konsep geometri. Sudut suplemen berjumlah 180 derajat dan sudut komplemen berjumlah 90 derajat. Pada segitiga, jumlah ketiga sudutnya 180 derajat, kelilingnya P sama dengan a ditambah b ditambah c, dan luasnya A sama dengan setengah bh. Segitiga sebangun mempunyai sudut bersesuaian sama besar dan sisi bersesuaian sebanding. Luas trapesium A sama dengan setengah h dikali jumlah b kecil dan B besar. Bola mempunyai volume empat per tiga pi r pangkat tiga dan luas permukaan 4 pi r kuadrat. Tabung mempunyai volume pi r kuadrat h, yang juga sama dengan Bh, dan luas permukaan 2 pi r kuadrat ditambah 2 pi rh. Lingkaran mempunyai keliling 2 pi r atau pi d dan luas pi r kuadrat. Kerucut mempunyai volume sepertiga pi r kuadrat h.

Ringkasan tiga bangun. Balok mempunyai volume V sama dengan LWH dan luas permukaan S sama dengan 2LW ditambah 2LH ditambah 2WH. Persegi panjang mempunyai keliling P sama dengan 2L ditambah 2W dan luas A sama dengan LW. Kubus mempunyai volume V sama dengan s pangkat tiga dan luas permukaan S sama dengan 6s kuadrat.

Konsep Utama

Volume dan Luas Permukaan Balok
- $V = L W H$
- $S = 2 L H + 2 L W + 2 W H$
Volume dan Luas Permukaan Kubus
- $V = s^{3}$
- $S = 6 s^{2}$
Volume dan Luas Permukaan Bola
- $V = \frac{4}{3} π r^{3}$
- $S = 4 π r^{2}$
Volume dan Luas Permukaan Tabung
- $V = π r^{2} h$
- $S = 2 π r^{2} + 2 π r h$
Volume Kerucut
- Untuk kerucut dengan jari-jari $r$ dan tinggi $h$ :
  Volume: $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$

Latihan Membentuk Kemahiran

Menentukan Volume dan Luas Permukaan Balok

Dalam latihan berikut, tentukan ⓐ volume dan ⓑ luas permukaan balok dengan ukuran yang diberikan.

panjang $2$ meter, lebar $1.5$ meter, tinggi $3$ meter

Solusi

ⓐ 9 m kubik
ⓑ 27 m persegi

panjang $5$ kaki, lebar $8$ kaki, tinggi $2.5$ kaki

panjang $3.5$ yard, lebar $2.1$ yard, tinggi $2.4$ yard

Solusi

ⓐ 17.64 yard kubik
ⓑ 41.58 yard persegi

panjang $8.8$ sentimeter, lebar $6.5$ sentimeter, tinggi $4.2$ sentimeter

Dalam latihan berikut, selesaikan.

Truk pindahan Sebuah truk pindahan berbentuk balok memiliki panjang $16$ kaki, lebar $8$ kaki, dan tinggi $8$ kaki. Tentukan ⓐ volume dan ⓑ luas permukaannya.

Solusi

ⓐ 1,024 kaki kubik
ⓑ 640 kaki persegi

Kotak hadiah Sebuah kotak hadiah berbentuk balok memiliki panjang $26$ inci, lebar $16$ inci, dan tinggi $4$ inci. Tentukan ⓐ volume dan ⓑ luas permukaannya.

Karton Sebuah karton berbentuk balok memiliki panjang $21.3$ cm, lebar $24.2$ cm, dan tinggi $6.5$ cm. Tentukan ⓐ volume dan ⓑ luas permukaannya.

Solusi

ⓐ 3,350.49 cm kubik
ⓑ 1,622.42 cm persegi

Peti kemas Sebuah peti kemas berbentuk balok memiliki panjang $22.8$ kaki, lebar $8.5$ kaki, dan tinggi $8.2$ kaki. Tentukan ⓐ volume dan ⓑ luas permukaannya.

Dalam latihan berikut, tentukan ⓐ volume dan ⓑ luas permukaan kubus dengan panjang rusuk yang diberikan.

$5$ sentimeter

Solusi

ⓐ 125 cm kubik
ⓑ 150 cm persegi

$6$ inci

$10.4$ kaki

Solusi

ⓐ 1124.864 kaki kubik
ⓑ 648.96 kaki persegi

$12.5$ meter

Dalam latihan berikut, selesaikan.

Pusat sains Setiap rusuk kubus di Discovery Science Center, Santa Ana, memiliki panjang $64$ kaki. Tentukan ⓐ volume dan ⓑ luas permukaannya.

Solusi

ⓐ 262,144 kaki kubik
ⓑ 24,576 kaki persegi

Museum Sebuah museum berbentuk kubus memiliki panjang rusuk $45$ meter. Tentukan ⓐ volume dan ⓑ luas permukaannya.

Alas patung Alas sebuah patung berbentuk kubus dengan panjang rusuk $2.8$ meter. Tentukan ⓐ volume dan ⓑ luas permukaannya.

Solusi

ⓐ 21.952 m kubik
ⓑ 47.04 m persegi

Kotak tisu Sebuah kotak tisu berbentuk kubus dengan panjang rusuk 4.5 inci. Tentukan ⓐ volume dan ⓑ luas permukaannya.

Menentukan Volume dan Luas Permukaan Bola

Dalam latihan berikut, tentukan ⓐ volume dan ⓑ luas permukaan bola dengan jari-jari yang diberikan. Bulatkan jawaban ke perseratus terdekat.

$3$ sentimeter

Solusi

ⓐ 113.04 cm kubik
ⓑ 113.04 cm persegi

$9$ inci

$7.5$ kaki

Solusi

ⓐ 1,766.25 kaki kubik
ⓑ 706.5 kaki persegi

$2.1$ yard

Dalam latihan berikut, selesaikan. Bulatkan jawaban ke perseratus terdekat.

Bola olahraga Sebuah bola olahraga memiliki jari-jari $15$ inci. Tentukan ⓐ volume dan ⓑ luas permukaannya.

Solusi

ⓐ 14,130 inci kubik
ⓑ 2,826 inci persegi

Wisata balon Great Park Balloon adalah sebuah bola jingga besar dengan jari-jari $36$ kaki. Tentukan ⓐ volume dan ⓑ luas permukaannya.

Bola golf Sebuah bola golf memiliki jari-jari $4.5$ sentimeter. Tentukan ⓐ volume dan ⓑ luas permukaannya.

Solusi

ⓐ 381.51 cm kubik
ⓑ 254.34 cm persegi

Bola bisbol Sebuah bola bisbol memiliki jari-jari $2.9$ inci. Tentukan ⓐ volume dan ⓑ luas permukaannya.

Menentukan Volume dan Luas Permukaan Tabung

Dalam latihan berikut, tentukan ⓐ volume dan ⓑ luas permukaan tabung dengan jari-jari dan tinggi yang diberikan. Bulatkan jawaban ke perseratus terdekat.

jari-jari $3$ kaki, tinggi $9$ kaki

Solusi

ⓐ 254.34 kaki kubik
ⓑ 226.08 kaki persegi

jari-jari $5$ sentimeter, tinggi $15$ sentimeter

jari-jari $1.5$ meter, tinggi $4.2$ meter

Solusi

ⓐ 29.67 m kubik
ⓑ 53.69 m persegi

jari-jari $1.3$ yard, tinggi $2.8$ yard

Dalam latihan berikut, selesaikan. Bulatkan jawaban ke perseratus terdekat.

Kaleng kopi Sebuah kaleng kopi memiliki jari-jari $5$ cm dan tinggi $13$ cm. Tentukan ⓐ volume dan ⓑ luas permukaannya.

Solusi

ⓐ 1,020.5 cm kubik
ⓑ 565.2 cm persegi

Kemasan kudapan Sebuah kemasan biskuit berbentuk tabung dengan jari-jari $4$ cm dan tinggi $3$ cm. Tentukan ⓐ volume dan ⓑ luas permukaannya.

Tiang penanda pangkas rambut Sebuah tiang penanda tempat pangkas rambut berbentuk tabung memiliki diameter $6$ inci dan tinggi $24$ inci. Tentukan ⓐ volume dan ⓑ luas permukaannya.

Solusi

ⓐ 678.24 inci kubik
ⓑ 508.68 inci persegi

Arsitektur Sebuah kolom berbentuk tabung memiliki diameter $8$ kaki dan tinggi $28$ kaki. Tentukan ⓐ volume dan ⓑ luas permukaannya.

Menentukan Volume Kerucut

Dalam latihan berikut, tentukan volume kerucut dengan ukuran yang diberikan. Bulatkan jawaban ke perseratus terdekat.

tinggi $9$ kaki dan jari-jari $2$ kaki

Solusi

37.68 kaki kubik

tinggi $8$ inci dan jari-jari $6$ inci

tinggi $12.4$ sentimeter dan jari-jari $5$ cm

Solusi

324.47 cm kubik

tinggi $15.2$ meter dan jari-jari $4$ meter

Dalam latihan berikut, selesaikan. Bulatkan jawaban ke perseratus terdekat.

Tenda tipi Berapakah volume tenda tipi berbentuk kerucut yang tingginya $10$ kaki dan diameter alasnya $10$ kaki?

Solusi

261.67 kaki kubik

Wadah berondong jagung Berapakah volume wadah berondong jagung berbentuk kerucut yang tingginya $8$ inci dan diameter alasnya $6$ inci?

Silo Berapakah volume silo berbentuk kerucut yang tingginya $50$ kaki dan diameter alasnya $70$ kaki?

Solusi

64,108.33 kaki kubik

Tumpukan pasir Berapakah volume tumpukan pasir berbentuk kerucut yang tingginya $12$ meter dan diameter alasnya $30$ meter?

Matematika Sehari-hari

Tiang lampu jalan Tiang sebuah lampu jalan berbentuk kerucut terpancung, seperti pada gambar di bawah. Bentuk ini merupakan kerucut besar dikurangi kerucut kecil di bagian atas. Kerucut besar memiliki tinggi $30$ kaki dan jari-jari alas $1$ kaki. Kerucut kecil memiliki tinggi $10$ kaki dan jari-jari alas $0.5$ kaki. Bulatkan ke persepuluh terdekat,

ⓐ tentukan volume kerucut besar.
ⓑ tentukan volume kerucut kecil.

Solusi

ⓐ 31.4 kaki kubik
ⓑ 2.6 kaki kubik

Kerucut es krim Kerucut es krim biasa memiliki tinggi 4 inci dan diameter $2.5$ inci. Kerucut wafel memiliki tinggi $7$ inci dan diameter $3.25$ inci. Bulatkan ke perseratus terdekat,

ⓐ tentukan volume kerucut es krim biasa.
ⓑ tentukan volume kerucut wafel.

Latihan Menulis

Rumus volume tabung dan kerucut serupa. Jelaskan cara mengingat rumus yang sesuai untuk setiap bangun.

Solusi

Jawaban akan bervariasi.

Manakah yang memiliki volume lebih besar, kubus dengan panjang rusuk $8$ kaki atau bola dengan diameter $8$ kaki? Jelaskan penalaran Anda.

Pemeriksaan Diri

ⓐ Setelah menyelesaikan latihan, gunakan daftar periksa ini untuk menilai penguasaan Anda terhadap tujuan bagian ini.

Tabel penilaian diri memuat empat keterampilan: menentukan volume dan luas permukaan balok; menentukan volume dan luas permukaan bola; menentukan volume dan luas permukaan tabung; dan menentukan volume kerucut. Untuk setiap keterampilan, pembaca memilih Dengan percaya diri, Dengan sedikit bantuan, atau Tidak—saya belum paham!

ⓑ Setelah meninjau daftar periksa ini, apa yang akan Anda lakukan agar percaya diri pada semua tujuan?

kerucut

Kerucut adalah bangun ruang dengan satu alas berbentuk lingkaran dan satu titik puncak.

kubus

Kubus adalah balok yang panjang, lebar, dan tingginya sama.

tabung

Tabung adalah bangun ruang dengan dua lingkaran sejajar berukuran sama di bagian atas dan bawah.