Pengantar Bilangan Bulat

Menempatkan Bilangan Positif dan Negatif pada Garis Bilangan

Apakah Anda tinggal di tempat yang musim dinginnya sangat dingin? Pernahkah Anda mengalami suhu di bawah nol? Jika pernah, Anda sudah mengenal bilangan negatif. Bilangan negatif adalah bilangan yang kurang dari $0.$ Suhu yang sangat dingin diukur dalam derajat di bawah nol dan dapat dinyatakan dengan bilangan negatif. Misalnya, $\mathrm{-1}\text{°F}$ (dibaca “negatif satu derajat Fahrenheit”) adalah $1\text{derajat}$ di bawah $0.$ Tanda minus ditulis di depan bilangan untuk menunjukkan bahwa bilangan itu negatif. menunjukkan $\mathrm{-20}\text{°F},$ yaitu $20\text{derajat}$ di bawah $0.$

Suhu bukan satu-satunya contoh bilangan negatif. Cerukan bank adalah contoh lain bilangan negatif. Jika seseorang menulis cek dengan nilai yang melebihi saldo rekeningnya, saldonya akan menjadi negatif.

Elevasi juga dapat dinyatakan dengan bilangan negatif. Elevasi pada permukaan laut adalah $\text{0 kaki}.$ Elevasi di atas permukaan laut bernilai positif, sedangkan elevasi di bawah permukaan laut bernilai negatif. Elevasi Laut Mati, yang berbatasan dengan Israel dan Yordania, sekitar $\mathrm{1,302}\text{kaki}$ di bawah permukaan laut, sehingga elevasi Laut Mati dapat dinyatakan sebagai $\mathrm{-1,302}\text{kaki}.$ Lihat .

Kedalaman di bawah permukaan laut juga dinyatakan dengan bilangan negatif. Sebagai contoh, sebuah kapal selam dapat menyelam hingga kedalaman $500\text{kaki}.$ Posisinya kemudian adalah $\mathrm{-500}\text{kaki}$ sebagaimana ditunjukkan dalam .

Bilangan positif maupun bilangan negatif dapat digambarkan pada garis bilangan. Ingatlah bahwa garis bilangan yang dibuat dalam Menjumlahkan Bilangan Cacah dimulai dari $0$ dan menunjukkan bilangan asli yang nilainya semakin besar ke kanan, seperti ditunjukkan dalam . Semua bilangan asli $\text{(1, 2, 3, …)}$ pada garis bilangan bernilai positif. Kita dapat menuliskan tanda plus, $+,$ di depan bilangan positif, misalnya $+2$ atau $+3,$ tetapi biasanya tanda plus pada penulisan bilangan positif dihilangkan dan hanya bilangannya yang ditulis.

Sekarang kita perlu memperpanjang garis bilangan agar mencakup bilangan negatif. Kita memberi beberapa tanda satuan di sebelah kiri nol dengan mempertahankan lebar interval yang sama seperti di sisi positif. Kita memberi label bilangan negatif pada tanda-tanda itu, dimulai dengan $\mathrm{-1}$ pada tanda pertama di sebelah kiri $0,\mathrm{-2}$ pada tanda berikutnya, dan seterusnya. Lihat .

Anak panah pada kedua ujung garis menunjukkan bahwa garis bilangan memanjang tanpa batas ke kedua arah. Tidak ada bilangan positif terbesar dan tidak ada bilangan negatif terkecil.

Mengurutkan Bilangan Positif dan Negatif

Kita dapat menggunakan garis bilangan untuk membandingkan dan mengurutkan bilangan positif dan negatif. Dari kiri ke kanan, nilai bilangan semakin besar. Dari kanan ke kiri, nilai bilangan semakin kecil. Lihat .

Seperti pada bilangan positif, kita dapat menggunakan simbol pertidaksamaan untuk menunjukkan urutan bilangan positif dan bilangan negatif. Ingat bahwa kita menggunakan notasi $a<b$ (dibaca $a$ kurang dari $b$) jika $a$ berada di sebelah kiri $b$ pada garis bilangan. Kita menulis $a>b$ (dibaca $a$ lebih dari $b$) jika $a$ berada di sebelah kanan $b$ pada garis bilangan. Hal ini ditunjukkan untuk bilangan $3$ dan $5$ dalam .

Garis-garis bilangan berikut menunjukkan beberapa contoh tambahan.

ⓐ

$4$ berada di sebelah kanan $1$ pada garis bilangan, sehingga $4>1.$

$1$ berada di sebelah kiri $4$ pada garis bilangan, sehingga $1<4.$

ⓑ

$\mathrm{-2}$ berada di sebelah kiri $1$ pada garis bilangan, sehingga $\mathrm{-2}<1.$

$1$ berada di sebelah kanan $\mathrm{-2}$ pada garis bilangan, sehingga $1>\mathrm{-2}.$

ⓒ

$\mathrm{-1}$ berada di sebelah kanan $\mathrm{-3}$ pada garis bilangan, sehingga $\mathrm{-1}>\mathrm{-3}.$

$\mathrm{-3}$ berada di sebelah kiri $\mathrm{-1}$ pada garis bilangan, sehingga $\mathrm{-3}<-1.$

Bandingkan setiap pasangan bilangan berikut dengan menggunakan $<$ atau $\text{>:}$

1. ⓐ $14\_\_\_6$
2. ⓑ $\mathrm{-1}\_\_\_9$
3. ⓒ $\mathrm{-1}\_\_\_\mathrm{-4}$
4. ⓓ $2\_\_\_\mathrm{-20}$

Solusi

Penyelesaian

Mulailah dengan menggambarkan bilangan-bilangan tersebut pada garis bilangan seperti ditunjukkan dalam .

Membandingkan 14 dan 6 serta menunjukkan pertidaksamaan yang dihasilkan berdasarkan kedudukannya pada garis bilangan.

ⓐ Bandingkan 14 dan 6.	$14\_\_\_6$
14 berada di sebelah kanan 6 pada garis bilangan.	$14>6$

Membandingkan -1 dan 9 berdasarkan kedudukannya pada garis bilangan dan menuliskan pertidaksamaannya.

ⓑ Bandingkan −1 dan 9.	$\mathrm{-1}\_\_\_9$
−1 berada di sebelah kiri 9 pada garis bilangan.	$\mathrm{-1}<9$

Membandingkan bilangan bulat negatif dan menunjukkan bagaimana kedudukannya pada garis bilangan menentukan pertidaksamaannya.

ⓒ Bandingkan −1 dan −4.	$\mathrm{-1}\_\_\_\mathrm{-4}$
−1 berada di sebelah kanan −4 pada garis bilangan.	$\mathrm{-1}>\mathrm{-4}$

Membandingkan 2 dan -20, menjelaskan kedudukannya, dan menuliskan pertidaksamaan yang bersesuaian.

ⓓ Bandingkan 2 dan −20.	$2\_\_\_\mathrm{-20}$
2 berada di sebelah kanan −20 pada garis bilangan.	$2>\mathrm{-20}$

Menentukan Lawan Suatu Bilangan

Pada garis bilangan, bilangan negatif merupakan cerminan bilangan positif dengan nol di tengah. Karena bilangan $2$ dan $\mathrm{-2}$ berjarak sama dari nol, keduanya disebut saling berlawanan. Lawan dari $2$ adalah $\mathrm{-2},$ dan lawan dari $\mathrm{-2}$ adalah $2$, seperti ditunjukkan dalam (a). Demikian pula, $3$ dan $\mathrm{-3}$ saling berlawanan, seperti ditunjukkan dalam (b).

Bilangan Bulat

Himpunan bilangan asli, lawan-lawannya, dan $0$ adalah himpunan bilangan bulat.

Kita harus sangat berhati-hati terhadap tanda ketika menghitung nilai lawan suatu variabel.

Hitung nilai $-x:$

1. ⓐ ketika $x=8$
2. ⓑ ketika $x=\mathrm{-8}.$

Solusi

ⓐ Untuk menghitung nilai $-x$ ketika $x=8$, substitusikan $8$ untuk $x$.
	$-x$
Sederhanakan.	$\mathrm{-8}$

ⓑ Untuk menghitung nilai $-x$ ketika $x=\mathrm{-8}$, substitusikan $\mathrm{-8}$ untuk $x$.
	$-x$
Sederhanakan.	$8$

Menyederhanakan Bentuk yang Memuat Nilai Mutlak

Kita telah melihat bahwa bilangan seperti $5$ dan $\mathrm{-5}$ saling berlawanan karena berjarak sama dari $0$ pada garis bilangan. Keduanya berjarak lima satuan dari $0.$ Jarak antara $0$ dan sembarang bilangan pada garis bilangan disebut nilai mutlak bilangan tersebut. Karena jarak tidak pernah negatif, nilai mutlak sembarang bilangan tidak pernah negatif.

Simbol nilai mutlak berupa dua garis vertikal di kedua sisi bilangan. Jadi, nilai mutlak $5$ ditulis sebagai $\left|5\right|,$ dan nilai mutlak $\mathrm{-5}$ ditulis sebagai $\left|\mathrm{-5}\right|$, seperti ditunjukkan dalam .

Dalam urutan operasi, kita memperlakukan tanda nilai mutlak seperti tanda kurung. Kita menyederhanakan bentuk di dalamnya terlebih dahulu.

Hitung nilai:

1. ⓐ $\left|x\right|\text{ketika}x=\mathrm{-35}$
2. ⓑ $\left|-y\right|\text{ketika}y=\mathrm{-20}$
3. ⓒ $-\left|u\right|\text{ketika}u=12$
4. ⓓ $-\left|p\right|\text{ketika}p=\mathrm{-14}$

Solusi

Penyelesaian

ⓐ Untuk menentukan $\left|x\right|$ ketika $x=\mathrm{-35}:$
	$\left|x\right|$
Hitung nilai mutlaknya.	$35$

ⓑ Untuk menentukan $|-y|$ ketika $y=\mathrm{-20}:$
	$|-y|$
Sederhanakan.	$\left|20\right|$
Hitung nilai mutlaknya.	$20$

ⓒ Untuk menentukan $-\left|u\right|$ ketika $u=12:$
	$-\left|u\right|$
Hitung nilai mutlaknya.	$\mathrm{-12}$

ⓓ Untuk menentukan $-\left|p\right|$ ketika $p=\mathrm{-14}:$
	$-\left|p\right|$
Hitung nilai mutlaknya.	$\mathrm{-14}$

Perhatikan bahwa hasilnya negatif hanya jika terdapat tanda negatif di luar tanda nilai mutlak.

Tanda nilai mutlak berlaku seperti simbol pengelompokan. Pertama, sederhanakan bentuk di dalam tanda nilai mutlak sejauh mungkin. Kemudian hitung nilai mutlak bilangan yang dihasilkan dan lanjutkan dengan operasi apa pun di luar tanda nilai mutlak.

Mengubah Frasa Verbal menjadi Bentuk yang Memuat Bilangan Bulat

Sekarang kita dapat mengubah frasa verbal menjadi bentuk yang memuat bilangan bulat. Carilah kata yang menunjukkan tanda negatif. Misalnya, kata negatif dalam “negatif dua puluh” menunjukkan $\mathrm{-20}.$ Demikian pula kata lawan dalam “lawan dari $20\text{.”}$

Seperti yang kita lihat pada awal bagian ini, bilangan negatif diperlukan untuk menggambarkan banyak keadaan dalam kehidupan sehari-hari. Kita akan melihat beberapa penerapan bilangan negatif lainnya dalam contoh berikut.