Menjumlahkan dan Mengurangkan Pecahan Campuran

Memodelkan Penjumlahan Pecahan Campuran Berpenyebut Sama

Sejauh ini, kita telah menjumlahkan dan mengurangkan pecahan sejati dan tidak sejati, tetapi belum pecahan campuran. Mari mulai dengan memikirkan penjumlahan pecahan campuran menggunakan uang.

Jika Ron memiliki $1$ dolar dan $1$ koin 25 sen AS, jumlah uangnya adalah $1 \frac{1}{4}$ dolar.

Jika Don memiliki $2$ dolar dan $1$ koin 25 sen AS, jumlah uangnya adalah $2 \frac{1}{4}$ dolar.

Bagaimana jika Ron dan Don menggabungkan uang mereka? Mereka akan memiliki $3$ dolar dan $2$ koin 25 sen AS. Mereka menjumlahkan dolar dan menjumlahkan koin 25 sen. Hasilnya $3 \frac{2}{4}$ dolar. Karena dua koin 25 sen sama dengan setengah dolar, jumlah uang mereka adalah $3$ setengah dolar, atau $3 \frac{1}{2}$ dolar.

\begin{matrix} 1 \frac{1}{4} \\ + 2 \frac{1}{4} \\ ________ \\ 3 \frac{2}{4} = 3 \frac{1}{2} \end{matrix}

Ketika menjumlahkan dolar lalu menjumlahkan koin 25 sen, Anda sebenarnya menjumlahkan bilangan cacah lalu menjumlahkan pecahannya.

1 \frac{1}{4} + 2 \frac{1}{4}

Kita dapat menggunakan lingkaran pecahan untuk memodelkan contoh yang sama:

		$1 \frac{1}{4} + 2 \frac{1}{4}$
Mulailah dengan $1 \frac{1}{4}$ .	satu lingkaran utuh dan satu keping $\frac{1}{4}$
Tambahkan $2 \frac{1}{4}$ lagi.	dua lingkaran utuh dan satu keping $\frac{1}{4}$
Jumlahnya adalah:	tiga lingkaran utuh dan dua keping $\frac{1}{4}$

Modelkan $2 \frac{1}{3} + 1 \frac{2}{3}$ dan tentukan jumlahnya.

Solusi

Penyelesaian

Kita akan menggunakan lingkaran pecahan: lingkaran utuh untuk bilangan cacah dan keping $\frac{1}{3}$ untuk pecahannya.

dua lingkaran utuh dan satu keping $\frac{1}{3}$
ditambah satu lingkaran utuh dan dua keping $\frac{1}{3}$
jumlahnya tiga lingkaran utuh dan tiga keping $\frac{1}{3}$

Hasil ini sama dengan $4$ lingkaran utuh. Jadi, $2 \frac{1}{3} + 1 \frac{2}{3} = 4 .$

Modelkan $1 \frac{3}{5} + 2 \frac{3}{5}$ dan nyatakan jumlahnya sebagai pecahan campuran.

Solusi

Penyelesaian

Kita akan menggunakan lingkaran pecahan: lingkaran utuh untuk bilangan cacah dan keping $\frac{1}{5}$ untuk pecahannya.

satu lingkaran utuh dan tiga keping $\frac{1}{5}$
ditambah dua lingkaran utuh dan tiga keping $\frac{1}{5}$ .
jumlahnya tiga lingkaran utuh dan enam keping $\frac{1}{5}$

Dengan menjumlahkan lingkaran utuh dan keping seperlima, kita memperoleh $3 \frac{6}{5} .$ Kita dapat melihat bahwa $\frac{6}{5}$ senilai dengan $1 \frac{1}{5},$ sehingga kita menjumlahkannya dengan $3$ dan memperoleh $4 \frac{1}{5} .$

Menjumlahkan Pecahan Campuran

Pemodelan dengan lingkaran pecahan membantu menggambarkan proses penjumlahan pecahan campuran: kita menjumlahkan bagian bilangan cacah, menjumlahkan bagian pecahan, lalu menyederhanakan hasilnya jika memungkinkan.

Jumlahkan: $3 \frac{4}{9} + 2 \frac{2}{9} .$

Solusi

Penyelesaian

	$3 \frac{4}{9} + 2 \frac{2}{9}$
Jumlahkan bagian bilangan cacah.
Jumlahkan bagian pecahan.
Sederhanakan pecahannya.

Dalam , hasil penjumlahan bagian pecahannya berupa pecahan sejati. Sekarang kita akan membahas contoh yang hasil penjumlahan bagian pecahannya berupa pecahan tidak sejati.

Tentukan jumlahnya: $9 \frac{5}{9} + 5 \frac{7}{9} .$

Solusi

Penyelesaian

Contoh langkah demi langkah penjumlahan pecahan campuran, termasuk penyederhanaan hasilnya.
	$9 \frac{5}{9} + 5 \frac{7}{9}$
Jumlahkan bagian bilangan cacah, lalu jumlahkan bagian pecahannya.	$\begin{matrix} 9 \frac{5}{9} \\ \underset{_____}{+ 5 \frac{7}{9}} \\ 14 \frac{12}{9} \end{matrix}$
Tulis ulang $\frac{12}{9}$ sebagai pecahan campuran.	$14 + 1 \frac{3}{9}$
Jumlahkan.	$15 \frac{3}{9}$
Sederhanakan.	$15 \frac{1}{3}$

Metode lain untuk menjumlahkan pecahan campuran adalah mengubahnya menjadi pecahan tidak sejati, lalu menjumlahkan pecahan-pecahan tersebut. Metode ini biasanya ditulis secara mendatar.

Jumlahkan dengan mengubah pecahan campuran menjadi pecahan tidak sejati: $3 \frac{7}{8} + 4 \frac{3}{8} .$

Solusi

Penyelesaian

Tabel ini menunjukkan langkah-langkah menjumlahkan dua pecahan campuran, termasuk mengubahnya menjadi pecahan tidak sejati dan menyederhanakan hasilnya.
	$3 \frac{7}{8} + 4 \frac{3}{8}$
Ubah menjadi pecahan tidak sejati.	$\frac{31}{8} + \frac{35}{8}$
Jumlahkan pecahannya.	$\frac{31 + 35}{8}$
Sederhanakan pembilangnya.	$\frac{66}{8}$
Tulis ulang sebagai pecahan campuran.	$8 \frac{2}{8}$
Sederhanakan pecahannya.	$8 \frac{1}{4}$

Karena soal diberikan dalam bentuk pecahan campuran, kita akan menulis jumlahnya sebagai pecahan campuran.

membandingkan kedua metode penjumlahan dengan menggunakan bentuk $3 \frac{2}{5} + 6 \frac{4}{5}$ sebagai contoh. Metode mana yang Anda pilih?

Pecahan Campuran	Pecahan Tidak Sejati
$\begin{matrix} 3 \frac{2}{5} \\ \frac{+ 6 \frac{4}{5}}{9 \frac{6}{5}} \\ 9 + \frac{6}{5} \\ 9 + 1 \frac{1}{5} \\ 10 \frac{1}{5} \end{matrix}$	$\begin{matrix} 3 \frac{2}{5} + 6 \frac{4}{5} \\ \frac{17}{5} + \frac{34}{5} \\ \frac{51}{5} \\ 10 \frac{1}{5} \end{matrix}$

Memodelkan Pengurangan Pecahan Campuran

Mari kita kembali memikirkan pizza untuk memodelkan pengurangan pecahan campuran dengan penyebut sama. Misalkan Anda baru saja memanggang satu pizza utuh dan ingin memberikan setengahnya kepada saudara laki-laki Anda. Apa yang harus Anda lakukan agar dapat memberikan setengah pizza kepadanya? Anda harus memotong pizza itu menjadi setidaknya dua bagian. Setelah itu, Anda dapat memberikan setengah pizza kepadanya.

Kita akan menggunakan lingkaran pecahan (sebagai pizza!) untuk membantu memvisualisasikan prosesnya.

Mulailah dengan satu satuan utuh.

Secara aljabar, kita menuliskannya sebagai berikut:

Diagram menunjukkan 1 dikurangi 1/2, kemudian 2/2 dikurangi 1/2, dan akhirnya 2/2 dikurangi 1/2 sama dengan 1/2.

Gunakan model untuk mengurangkan: $1 - \frac{1}{3} .$

Solusi

Penyelesaian

Bagaimana jika kita mulai dengan lebih dari satu satuan utuh? Mari kita cari tahu.

Gunakan model untuk mengurangkan: $2 - \frac{3}{4} .$

Solusi

Penyelesaian

Dalam contoh berikutnya, kita akan mengurangkan lebih dari satu satuan utuh.

Gunakan model untuk mengurangkan: $2 - 1 \frac{2}{5} .$

Solusi

Penyelesaian

Bagaimana jika Anda memulai dengan sebuah pecahan campuran dan perlu mengurangkan sebuah pecahan? Pikirkan situasi berikut: Anda perlu memasukkan tiga koin 25 sen AS ke meteran parkir, tetapi hanya memiliki selembar uang $$ 1$ dan satu koin 25 sen. Apa yang dapat Anda lakukan? Anda dapat menukar uang satu dolar itu dengan $4$ koin 25 sen. Nilai $4$ koin 25 sen sama dengan selembar uang satu dolar, tetapi $4$ koin 25 sen tersebut lebih berguna untuk meteran parkir. Sekarang, alih-alih memiliki selembar uang $$ 1$ dan satu koin 25 sen, Anda memiliki $5$ koin 25 sen dan dapat memasukkan $3$ di antaranya ke meteran.

Ini memodelkan apa yang terjadi ketika kita mengurangkan sebuah pecahan dari pecahan campuran. Kita mengurangkan tiga koin 25 sen dari satu dolar dan satu koin 25 sen.

Kita juga dapat memodelkannya dengan lingkaran pecahan, seperti yang kita lakukan pada penjumlahan pecahan campuran.

Gunakan model untuk mengurangkan: $1 \frac{1}{4} - \frac{3}{4}$

Solusi

Penyelesaian

Tulis ulang secara vertikal. Mulailah dengan satu satuan utuh dan satu keping seperempat.
Karena pecahannya berpenyebut 4, bagi satu satuan utuh menjadi 4 bagian. Sekarang terdapat $\frac{4}{4}$ dan $\frac{1}{4}$ , yaitu $\frac{5}{4}$ .
Kurangkan $\frac{3}{4}$ . Tersisa $\frac{1}{2}$ .

Mengurangkan Pecahan Campuran Berpenyebut Sama

Sekarang kita akan mengurangkan pecahan campuran tanpa menggunakan model. Namun, membayangkan modelnya ketika membaca langkah-langkah berikut dapat membantu.

Tentukan selisihnya: $5 \frac{3}{5} - 2 \frac{4}{5} .$

Solusi

Penyelesaian


Tulis ulang soal dalam bentuk bersusun.
Karena $\frac{3}{5}$ lebih kecil daripada $\frac{4}{5}$ , ambil 1 dari 5 dan tambahkan ke $\frac{3}{5} : (\frac{5}{5} + \frac{3}{5} = \frac{8}{5})$
Kurangkan pecahannya.
Kurangkan bagian bilangan cacahnya. Hasilnya sudah dalam bentuk paling sederhana.

Karena soal diberikan dalam bentuk pecahan campuran, kita membiarkan hasilnya dalam bentuk pecahan campuran.

Seperti pada penjumlahan, kita dapat mengurangkan pecahan campuran dengan terlebih dahulu mengubahnya menjadi pecahan tidak sejati. Jawaban sebaiknya ditulis dalam bentuk yang sama dengan bentuk soal. Jadi, jika soal pengurangan diberikan dalam bentuk pecahan campuran, kita akan menulis jawabannya sebagai pecahan campuran.

Tentukan selisihnya dengan mengubah bentuk-bentuk berikut menjadi pecahan tidak sejati:

$9 \frac{6}{11} - 7 \frac{10}{11} .$

Solusi

Penyelesaian

Contoh langkah demi langkah pengurangan pecahan campuran, termasuk mengubahnya menjadi pecahan tidak sejati dan menulis ulang jawaban akhir.
	$9 \frac{6}{11} - 7 \frac{10}{11}$
Tulis ulang sebagai pecahan tidak sejati.	$\frac{105}{11} - \frac{87}{11}$
Kurangkan pembilangnya.	$\frac{18}{11}$
Tulis ulang sebagai pecahan campuran.	$1 \frac{7}{11}$

Menjumlahkan dan Mengurangkan Pecahan Campuran Berpenyebut Berbeda

Untuk menjumlahkan atau mengurangkan pecahan campuran berpenyebut berbeda, pertama-tama kita ubah bagian pecahannya menjadi pecahan senilai dengan PPK sebagai penyebutnya. Setelah itu, kita dapat mengikuti semua langkah yang digunakan sebelumnya untuk menjumlahkan atau mengurangkan pecahan berpenyebut sama.

Jumlahkan: $2 \frac{1}{2} + 5 \frac{2}{3} .$

Solusi

Penyelesaian

Karena penyebutnya berbeda, kita tulis ulang bagian pecahannya sebagai pecahan senilai dengan PPK $6 .$ Setelah itu, kita jumlahkan dan sederhanakan.

Kita menulis jawaban sebagai pecahan campuran karena soal diberikan dalam bentuk pecahan campuran.

Kurangkan: $4 \frac{3}{4} - 2 \frac{7}{8} .$

Solusi

Penyelesaian

Karena penyebut pecahannya berbeda, kita akan menulis ulang pecahan tersebut sebagai pecahan senilai dengan PPK $8 .$ Setelah berada dalam bentuk itu, kita akan mengurangkannya. Namun, pertama-tama kita perlu mengambil $1$ satuan utuh.

Soal diberikan dalam bentuk pecahan campuran, jadi kita membiarkan jawabannya dalam bentuk pecahan campuran.

Kurangkan: $3 \frac{5}{11} - 4 \frac{3}{4} .$

Solusi

Penyelesaian

Kita dapat melihat bahwa jawabannya akan negatif karena kita mengurangkan $4$ dari $3 .$ Secara umum, jika kita tahu bahwa jawabannya akan negatif, pengurangan lebih mudah dilakukan menggunakan pecahan tidak sejati daripada pecahan campuran.

Tabel ini menunjukkan langkah demi langkah pengurangan dua pecahan campuran, termasuk mengubahnya menjadi pecahan tidak sejati.
	$3 \frac{5}{11} - 4 \frac{3}{4}$
Ubah menjadi pecahan senilai dengan PPK sebagai penyebutnya.	$3 \frac{5 \cdot 4}{11 \cdot 4} - 4 \frac{3 \cdot 11}{4 \cdot 11}$ $3 \frac{20}{44} - 4 \frac{33}{44}$
Tulis ulang sebagai pecahan tidak sejati.	$\frac{152}{44} - \frac{209}{44}$
Kurangkan.	$- \frac{57}{44}$
Tulis ulang sebagai pecahan campuran.	$−1 \frac{13}{44}$

Konsep Utama

Menjumlahkan pecahan campuran berpenyebut sama.
1. Jumlahkan bilangan cacahnya.
2. Jumlahkan pecahannya.
3. Sederhanakan jika memungkinkan.
Mengurangkan pecahan campuran berpenyebut sama.
1. Tulis ulang soal dalam bentuk bersusun.
2. Bandingkan kedua pecahan.
  Jika pecahan bagian atas lebih besar daripada pecahan bagian bawah, lanjutkan ke Langkah 3.
  Jika tidak, ambil satu satuan utuh dari pecahan campuran bagian atas dan tambahkan ke bagian pecahannya, sehingga terbentuk pecahan campuran yang bagian pecahannya tidak sejati.
3. Kurangkan pecahannya.
4. Kurangkan bilangan cacahnya.
5. Sederhanakan jika memungkinkan.
Mengurangkan pecahan campuran berpenyebut sama sebagai pecahan tidak sejati.
1. Tulis ulang pecahan campuran sebagai pecahan tidak sejati.
2. Kurangkan pembilangnya.
3. Tulis jawaban sebagai pecahan campuran dan sederhanakan bagian pecahannya jika memungkinkan.

Latihan Membentuk Kemahiran

Memodelkan Penjumlahan Pecahan Campuran

Dalam latihan berikut, gunakan model untuk menentukan jumlah. Buat gambar untuk menggambarkan model Anda.

$1 \frac{1}{5} + 3 \frac{1}{5}$

$2 \frac{1}{3} + 1 \frac{1}{3}$

Solusi

Empat lingkaran ditampilkan. Tiga lingkaran pertama diarsir. Lingkaran terakhir dibagi menjadi 3 bagian sama besar; 2 bagiannya diarsir.
$3 \frac{2}{3}$

$1 \frac{3}{8} + 1 \frac{7}{8}$

$1 \frac{5}{6} + 1 \frac{5}{6}$

Solusi

Empat lingkaran ditampilkan. Tiga lingkaran pertama diarsir. Lingkaran terakhir dibagi menjadi 3 bagian sama besar; 2 bagiannya diarsir.
$3 \frac{2}{3}$

Menjumlahkan Pecahan Campuran Berpenyebut Sama

Dalam latihan berikut, lakukan penjumlahan.

$5 \frac{1}{3} + 6 \frac{1}{3}$

$2 \frac{4}{9} + 5 \frac{1}{9}$

Solusi

$7 \frac{5}{9}$

$4 \frac{5}{8} + 9 \frac{3}{8}$

$7 \frac{9}{10} + 3 \frac{1}{10}$

Solusi

$3 \frac{4}{5} + 6 \frac{4}{5}$

$9 \frac{2}{3} + 1 \frac{2}{3}$

Solusi

$11 \frac{1}{3}$

$6 \frac{9}{10} + 8 \frac{3}{10}$

$8 \frac{4}{9} + 2 \frac{8}{9}$

Solusi

$11 \frac{1}{3}$

Memodelkan Pengurangan Pecahan Campuran

Dalam latihan berikut, gunakan model untuk menentukan selisih. Buat gambar untuk menggambarkan model Anda.

$1 \frac{1}{6} - \frac{5}{6}$

$1 \frac{1}{8} - \frac{5}{8}$

Solusi

Sebuah lingkaran dibagi menjadi 8 bagian sama besar. Empat bagiannya diarsir.
$\frac{1}{2}$

Mengurangkan Pecahan Campuran Berpenyebut Sama

Dalam latihan berikut, tentukan setiap selisih.

$2 \frac{7}{8} - 1 \frac{3}{8}$

$2 \frac{7}{12} - 1 \frac{5}{12}$

Solusi

$1 \frac{1}{6}$

$8 \frac{17}{20} - 4 \frac{9}{20}$

$19 \frac{13}{15} - 13 \frac{7}{15}$

Solusi

$6 \frac{2}{5}$

$8 \frac{3}{7} - 4 \frac{4}{7}$

$5 \frac{2}{9} - 3 \frac{4}{9}$

Solusi

$1 \frac{7}{9}$

$2 \frac{5}{8} - 1 \frac{7}{8}$

$2 \frac{5}{12} - 1 \frac{7}{12}$

Solusi

$\frac{5}{6}$

Menjumlahkan dan Mengurangkan Pecahan Campuran Berpenyebut Berbeda

Dalam latihan berikut, nyatakan jumlah atau selisih sebagai pecahan campuran dalam bentuk paling sederhana.

$3 \frac{1}{4} + 6 \frac{1}{3}$

$2 \frac{1}{6} + 5 \frac{3}{4}$

Solusi

$7 \frac{11}{12}$

$1 \frac{5}{8} + 4 \frac{1}{2}$

$7 \frac{2}{3} + 8 \frac{1}{2}$

Solusi

$16 \frac{1}{6}$

$9 \frac{7}{10} - 2 \frac{1}{3}$

$6 \frac{4}{5} - 1 \frac{1}{4}$

Solusi

$5 \frac{11}{20}$

$2 \frac{2}{3} - 3 \frac{1}{2}$

$2 \frac{7}{8} - 4 \frac{1}{3}$

Solusi

$−1 \frac{11}{24}$

Latihan Campuran

Dalam latihan berikut, lakukan operasi yang ditunjukkan dan tulis hasilnya sebagai pecahan campuran dalam bentuk paling sederhana.

$2 \frac{5}{8} \cdot 1 \frac{3}{4}$

$1 \frac{2}{3} \cdot 4 \frac{1}{6}$

Solusi

$6 \frac{17}{18}$

$\frac{2}{7} + \frac{4}{7}$

$\frac{2}{9} + \frac{5}{9}$

Solusi

$\frac{7}{9}$

$1 \frac{5}{12} \div \frac{1}{12}$

$2 \frac{3}{10} \div \frac{1}{10}$

Solusi

$13 \frac{5}{12} - 9 \frac{7}{12}$

$15 \frac{5}{8} - 6 \frac{7}{8}$

Solusi

$8 \frac{3}{4}$

$\frac{5}{9} - \frac{4}{9}$

$\frac{11}{15} - \frac{7}{15}$

Solusi

$\frac{4}{15}$

$4 - \frac{3}{4}$

$6 - \frac{2}{5}$

Solusi

$5 \frac{3}{5}$

$\frac{9}{20} \div \frac{3}{4}$

$\frac{7}{24} \div \frac{14}{3}$

Solusi

$\frac{1}{16}$

$9 \frac{6}{11} + 7 \frac{10}{11}$

$8 \frac{5}{13} + 4 \frac{9}{13}$

Solusi

$13 \frac{1}{13}$

$3 \frac{2}{5} + 5 \frac{3}{4}$

$2 \frac{5}{6} + 4 \frac{1}{5}$

Solusi

$7 \frac{1}{30}$

$\frac{8}{15} \cdot \frac{10}{19}$

$\frac{5}{12} \cdot \frac{8}{9}$

Solusi

$\frac{10}{27}$

$6 \frac{7}{8} - 2 \frac{1}{3}$

$6 \frac{5}{9} - 4 \frac{2}{5}$

Solusi

$2 \frac{7}{45}$

$5 \frac{2}{9} - 4 \frac{4}{5}$

$4 \frac{3}{8} - 3 \frac{2}{3}$

Solusi

$\frac{17}{24}$

Matematika Sehari-hari

Menjahit Renata menjahit kemeja yang serasi untuk suami dan putranya. Berdasarkan pola yang akan digunakannya, ia memerlukan $2 \frac{3}{8}$ yard kain untuk kemeja suaminya dan $1 \frac{1}{8}$ yard kain untuk kemeja putranya. Berapa yard kain yang diperlukannya untuk membuat kedua kemeja tersebut?

Menjahit Pauline memiliki $3 \frac{1}{4}$ yard kain untuk membuat jaket. Jaket tersebut memerlukan $2 \frac{2}{3}$ yard kain. Berapa yard kain yang tersisa setelah ia membuat jaket tersebut?

Solusi

$\frac{7}{12}$ yard

Mencetak Nishant mencetak undangan dengan komputernya. Lebar kertasnya $8 \frac{1}{2}$ inci, dan ia mengatur area cetak agar memiliki margin $1 \frac{1}{2}$ inci di setiap sisi. Berapa lebar area cetak pada lembar kertas tersebut?

Membingkai Foto Tessa membeli bingkai untuk foto kelulusan putranya. Lebar foto tersebut $8$ inci. Lebar bingkainya $2 \frac{5}{8}$ inci pada setiap sisi. Berapa lebar foto setelah dibingkai?

Solusi

$13 \frac{1}{4}$ inci

Latihan Menulis

Gambarlah diagram dan gunakan diagram tersebut untuk menjelaskan cara menjumlahkan $1 \frac{5}{8} + 2 \frac{7}{8} .$

Edgar harus membayar tol sebesar $$ 3.75$ untuk berkendara ke kota.

ⓐ Jelaskan cara ia dapat menukarkan uang kertas $$ 10$ sebelum berangkat agar ia memiliki jumlah uang yang tepat.

ⓑ Bagaimana situasi Edgar serupa dengan cara Anda menghitung $10 - 3 \frac{3}{4} ?$

Solusi

Jawaban dapat bervariasi.

Hitunglah $4 \frac{5}{12} + 3 \frac{7}{8}$ dengan dua cara: pertama, pertahankan kedua bilangan tersebut sebagai pecahan campuran; kemudian, tulis ulang keduanya sebagai pecahan tidak sejati. Metode mana yang Anda sukai, dan mengapa?

Hitunglah $3 \frac{7}{8} - 4 \frac{5}{12}$ dengan dua cara: pertama, pertahankan kedua bilangan tersebut sebagai pecahan campuran; kemudian, tulis ulang keduanya sebagai pecahan tidak sejati. Metode mana yang Anda sukai, dan mengapa?

Solusi

Jawaban dapat bervariasi.

Evaluasi Diri

ⓐ Setelah menyelesaikan latihan, gunakan daftar periksa ini untuk menilai penguasaan Anda atas tujuan bagian ini.

ⓑ Setelah meninjau daftar periksa ini, apa yang akan Anda lakukan agar yakin menguasai semua tujuan?