Mode Kosinus Neumann dengan Gaya

Contoh.

Selesaikan persamaan gelombang nonhomogen

$$\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial t^{2}} - c^2 \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{2}} = h(x,t) \equiv 2Lx-x^2 \quad , \quad 0 < x < L \text{ dan } t>0 \ ,$$(7.4.17) dengan syarat batas $\displaystyle\frac{\partial{u}}{\partial x}(0,t) = \frac{\partial{u}}{\partial x}(L,t) = 0$ untuk $t>0$, serta syarat awal $\displaystyle u(x,0) = x^2(3L-2x)$ dan $\displaystyle\frac{\partial{u}}{\partial t}(x,0) = \sin^2\left(\pi x/L\right)$ untuk $0<x<L$.

Solusi persamaan gelombang homogen dalam Contoh 7.4.5 menyarankan agar kita mencari solusi berbentuk

$$u(x,t) = T_0(t) + \sum_{n=1}^\infty T_n(t) \cos\left(\frac{n\pi\,x}{L}\right) \ .$$(7.4.18)

Andaikan deret Fourier kosinus dari $h$ terhadap variabel $x$ adalah

$$h(x,t) = h_0(t) + \sum_{n=1}^\infty h_n(t) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \ .$$(7.4.19) Jika kita menyubstitusikan (7.4.18) dan (7.4.19) ke dalam (7.4.17), dengan mengandaikan bahwa turunan dan penjumlahan takhingga boleh dipertukarkan, diperoleh

$$T_0''(t) + \sum_{n=1}^\infty \left( T_n''(t) + \left(\frac{c n\pi}{L}\right)^2 T_n(t) \right) \cos\left(\frac{n\pi\,x}{L}\right) = h_0(t) + \sum_{n=1}^\infty h_n(t) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$$ untuk $0<x<L$. Dengan demikian,

$$T_0''(t) = h_0(t) \quad \text{dan} \quad T_n''(t) + \left(\frac{c n\pi}{L}\right)^2 T_n(t) = h_n(t)$$ untuk $t>0$ dan $n>0$.

Pertama-tama, kita harus mencari deret Fourier kosinus dari $\displaystyle h(x,t) = 2Lx-x^2$ untuk $0<x<L$. Kita mempunyai

$$a_0 = \frac{1}{L}\int_0^L \left( 2Lx-x^2 \right) \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{L} \left( Lx^2 - \frac{x^3}{3} \right)\bigg|_0^L = \frac{2L^2}{3}$$ dan, dengan menggunakan integrasi parsial, diperoleh

$$\begin{aligned} a_n &= \frac{2}{L} \int_0^L \left(2Lx-x^2\right) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,\mathrm{d}{x} \\ &= \left( \frac{2}{n\pi} \left(2Lx-x^2\right) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right)\bigg|_0^L - \frac{4}{n\pi} \int_0^L \left(L-x\right) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \,\mathrm{d}{x} \\ &= \left( \frac{4L}{n^2\pi^2} \left(L-x\right) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \right)\bigg|_0^L + \frac{4L}{n^2\pi^2} \int_0^L \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \,\mathrm{d}{x} \\ &= -\frac{4L^2}{n^2\pi^2} + \frac{4L^2}{n^3\pi^3} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\bigg|_0^L = -\frac{4L^2}{n^2\pi^2} \ . \end{aligned}$$ Jadi,

$$h(x,t) = \frac{2L^2}{3} - \sum_{n=1}^\infty \frac{4L^2}{n^2\pi^2} \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \ .$$

Untuk menentukan $T_n$ bagi $n\geq 0$, kita harus menyelesaikan

$$T_0''(t) = \frac{2L^2}{3} \quad \text{dan} \quad T_n''(t) + \left(\frac{c n\pi}{L}\right)^2 T_n(t) = -\frac{4L^2}{n^2\pi^2}$$ untuk $t>0$ dan $n>0$. Kita memperoleh

$$T_0(t) = \frac{L^2}{3}\,t^2 + B_0t + A_0 \quad \text{dan} \quad T_n(t) = A_n\cos\left(\frac{c n \pi t}{L}\right) + B_n \sin\left(\frac{c n \pi t}{L}\right) - \frac{4 L^4}{c^2n^4\pi^4}$$ untuk $t>0$ dan $n>0$.

Solusinya adalah

$$\begin{aligned} u(x,t) &= \left(\frac{L^2}{3}\,t^2 + B_0t + A_0\right) \\ &+ \sum_{n=1}^\infty \left( A_n\cos\left(\frac{c n \pi t}{L}\right) + B_n \sin\left(\frac{c n \pi t}{L}\right) - \frac{4 L^4}{c^2n^4\pi^4} \right)\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \end{aligned}$$ untuk $0<x<L$ dan $t>0$.

Dari $\displaystyle u(x,0) = x^2(3L-2x)$, diperoleh

$$u(x,0) = A_0 + \sum_{n=1}^\infty \left( A_n - \frac{4 L^4}{c^2n^4\pi^4} \right)\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) = x^2(3L-2x) \ .$$ Ini adalah deret Fourier kosinus dari $\displaystyle x^2(3L-2x)$. Dengan demikian,

$$A_0 = \frac{1}{L}\int_0^L x^2(3L-2x) \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{L}\left( Lx^3 - \frac{1}{2} x^4\right)\bigg|_0^L = \frac{L^3}{2}$$ dan, dengan menggunakan integrasi parsial,

$$\begin{aligned} A_n - \frac{4 L^4}{c^2n^4\pi^4} &= \frac{2}{L}\int_0^L x^2(3L-2x) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \,\mathrm{d}{x} \\ &= \left(\frac{2}{n\pi} x^2(3L-2x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right)\bigg|_0^L - \frac{12}{n\pi} \int_0^L \left(Lx-x^2\right) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,\mathrm{d}{x} \\ &= \left( \frac{12L}{n^2\pi^2} \left(Lx-x^2\right) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right)\bigg|_0^L - \frac{12L}{n^2\pi^2} \int_0^L \left(L-2x\right) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \,\mathrm{d}{x} \\ &= - \left( \frac{12L^2}{n^3\pi^3} \left(L-2x\right) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \right)\bigg|_0^L - \frac{24L^2}{n^3\pi^3} \int_0^L \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \,\mathrm{d}{x} \\ &= \frac{24L^3}{n^4\pi^4} \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\bigg|_0^L = \frac{24L^3}{n^4\pi^4} \left( (-1)^n -1 \right) \ . \end{aligned}$$ Oleh karena itu,

$$A_n = \frac{24L^3}{n^4\pi^4}\left((-1)^n-1\right) + \frac{4L^4}{c^2n^4\pi^4}, \qquad n>0.$$

Dari

$$\frac{\partial{u}}{\partial t}(x,0) = \sin^2\left(\frac{\pi x}{L}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos\left(\frac{2 \pi x}{L}\right) \ ,$$ diperoleh

$$B_0 + \sum_{n=1}^\infty B_n\frac{cn\pi}{L}\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos\left(\frac{2 \pi x}{L}\right) \ .$$ Ini adalah deret Fourier kosinus dari $\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos\left(\frac{2 \pi x}{L}\right)$. Berdasarkan ketunggalan representasi deret Fourier, kita mempunyai

$$B_0=\frac{1}{2}, \qquad B_n = \begin{cases} \displaystyle-\frac{L}{4c\pi} & \quad \text{jika} \ n=2 \ ,\\[0.7em] 0 & \quad \text{selainnya} \ . \end{cases}$$

Solusi persamaan gelombang nonhomogen tersebut adalah

$$\begin{aligned} u(x,t) &= \frac{L^2}{3}\,t^2 + \frac{t}{2} + \frac{L^3}{2} \\ &\quad + \sum_{n=1}^\infty \left[ \left(\frac{24L^3}{n^4\pi^4}\left((-1)^n-1\right) +\frac{4L^4}{c^2n^4\pi^4}\right) \cos\left(\frac{cn\pi t}{L}\right) -\frac{4L^4}{c^2n^4\pi^4} \right]\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \\ &\quad -\frac{L}{4c\pi}\sin\left(\frac{2c\pi t}{L}\right) \cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right) \ . \end{aligned}$$

Dapat ditunjukkan bahwa deret yang merepresentasikan $u$ dan semua turunan parsialnya yang berorde total paling tinggi $2$ konvergen mutlak dan seragam secara lokal untuk $0<x<L$ dan $t>0$.