Spektrum Syarat Batas Campuran

Contoh.

Selesaikan persamaan gelombang

$$\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial t^{2}} = \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{2}} \quad , \quad t > 0 \ \text{dan} \ 0 < x < 5 \ ,$$(7.4.11) dengan syarat batas $u(0,t) = 0$ dan $\displaystyle\frac{\partial{u}}{\partial x}(5,t) = 0$ untuk $t > 0$, dan syarat awal $\displaystyle u(x,0) = 2 \sin\left(\frac{7\pi x}{10}\right)$ dan $\displaystyle\frac{\partial{u}}{\partial t}(x,0) = 5 \sin\left(\frac{11 \pi x}{10}\right)$ untuk $0 < x < 5$.

Jika kita menyubstitusikan $u(x,t) = F(x)G(t)$ ke dalam (7.4.11), maka kita memperoleh

$$F(x)\,\frac{\mathrm{d}^{2}{G}}{\mathrm{d}{t}^{2}}(t) = \frac{\mathrm{d}^{2}{F}}{\mathrm{d}{x}^{2}}(x)\, G(t) \ .$$ Jadi, pada setiap titik tempat $F(x)G(t)\neq 0$, setelah membagi kedua ruas dengan $F(x)G(t)$, kita memperoleh

$$\frac{1}{G(t)} \, \frac{\mathrm{d}^{2}{G}}{\mathrm{d}{t}^{2}}(t) = \frac{1}{F(x)}\, \frac{\mathrm{d}^{2}{F}}{\mathrm{d}{x}^{2}}(x) \quad , \quad t>0 \ \text{dan} \ 0<x<5 \ .$$ Karena kita mencari solusi terpisah taktrivial, terdapat $x_0$ dan $t_0$ dengan $F(x_0)\neq0$ dan $G(t_0)\neq0$. Karena ruas kanan tidak bergantung pada $t$, sedangkan ruas kiri tidak bergantung pada $x$, kita memperoleh

$$\frac{1}{G(t)} \, \frac{\mathrm{d}^{2}{G}}{\mathrm{d}{t}^{2}}(t) = \frac{1}{F(x)}\, \frac{\mathrm{d}^{2}{F}}{\mathrm{d}{x}^{2}}(x) = k$$ di setiap titik tempat kedua ruas terdefinisi, dengan $k$ suatu konstanta. Dengan menetapkan $k$ dari pasangan $(x_0,t_0)$ tersebut dan mengevaluasi persamaan sebelum pembagian secara berturut-turut pada $x=x_0$ dan $t=t_0$, kita memperoleh dua persamaan diferensial biasa berikut pada seluruh domain semula.

$$\frac{\mathrm{d}^{2}{F}}{\mathrm{d}{x}^{2}}(x) -k F(x) = 0 \quad \text{dan} \quad \frac{\mathrm{d}^{2}{G}}{\mathrm{d}{t}^{2}}(t) - k\,G(t) = 0 \ .$$(7.4.12)

Persamaan diferensial biasa pertama dalam (7.4.12) memenuhi dua syarat batas. Dari $u(0,t) = 0$, kita memperoleh $F(0)G(t)=0$. Karena kita mengasumsikan bahwa $G$ tidak identik nol, kita memperoleh $F(0)=0$. Demikian pula, dari $\displaystyle\frac{\partial{u}}{\partial x}(5,t) = 0$, kita memperoleh $\displaystyle\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}{x}}(5)G(t)=0$. Sekali lagi, karena kita mengasumsikan bahwa $G$ tidak identik nol, kita memperoleh $\displaystyle\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}{x}}(5)=0$. Syarat batas untuk persamaan diferensial biasa pertama dalam (7.4.12) adalah $\displaystyle F(0)=\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}{x}}(5)=0$.

Pertama-tama, kita meninjau masalah nilai batas

$$\frac{\mathrm{d}^{2}{F}}{\mathrm{d}{x}^{2}}(x) -k F(x) = 0 \quad \text{dengan} \quad F(0)=\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}{x}}(5)=0 \ .$$(7.4.13) Bentuk solusi umum persamaan diferensial biasa di atas ditentukan oleh akar-akar persamaan karakteristik $\displaystyle\lambda^2-k=0$.

Jika $k>0$, akar-akar persamaan karakteristik adalah $\pm \sqrt{k}$. Karena akar-akarnya real, solusi persamaan diferensial biasa berbentuk $\displaystyle F(x) = A e^{\sqrt{k}\,x} + B e^{-\sqrt{k}\, x}$. Akan tetapi, $F(0)=0$ mengakibatkan $A+B=0$ dan $\displaystyle\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}{x}}(5)=0$ mengakibatkan $\displaystyle A\sqrt{k} e^{5\sqrt{k}} - B\sqrt{k} e^{-5\sqrt{k}} = 0$. Satu-satunya solusi sistem

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ \sqrt{k} e^{5\sqrt{k}} & -\sqrt{k} e^{-5\sqrt{k}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ adalah $A=B=0$ karena

$$\det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ \sqrt{k} e^{5\sqrt{k}} & -\sqrt{k} e^{-5\sqrt{k}} \end{pmatrix} = -\sqrt{k} \left(e^{-5\sqrt{k}} + e^{5\sqrt{k}}\right) \neq 0$$ untuk $k>0$. Oleh karena itu, solusi nol merupakan satu-satunya solusi masalah nilai batas (7.4.13) untuk $k>0$.

Jika $k=0$, solusi persamaan diferensial biasa adalah $F(x)=Ax+B$. Akan tetapi, $F(0)=0$ mengakibatkan $B=0$ dan $\displaystyle\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}{x}}(5)=0$ mengakibatkan $A = 0$. Jadi $A=B=0$ dan sekali lagi solusi nol merupakan satu-satunya solusi masalah nilai batas (7.4.13) untuk $k=0$.

Jika $k<0$, akar-akar persamaan karakteristik adalah $\pm i \sqrt{-k}$. Karena akar-akarnya kompleks, solusi persamaan diferensial biasa berbentuk $\displaystyle F(x) = A \cos\left(\sqrt{-k}\,x\right) + B \sin\left(\sqrt{-k}\,x\right)$. Oleh karena itu, $F(0)=0$ mengakibatkan $A=0$ dan $\displaystyle\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}{x}}(5)=0$ mengakibatkan $B \sqrt{-k} \cos(5\sqrt{-k}) = 0$. Jika kita mengambil $B=0$, maka kita memperoleh solusi nol. Karena itu, harus berlaku $\cos(5\sqrt{-k}) = 0$. Hal ini mengakibatkan bahwa $\displaystyle 5\sqrt{-k} = (2n-1)\pi/2$ untuk $n=1,2,\ldots$. Dengan demikian, $\displaystyle k = k_n \equiv -\left((2n-1)\pi/10\right)^2$ untuk $n=1,2,\ldots$. Masalah nilai batas (7.4.13) mempunyai solusi taktrivial hanya untuk nilai-nilai $k$ ini, dan solusi yang berkaitan dengan setiap $k_n$ berbentuk

$$F(x)=F_n(x) \equiv B_n \sin\left(\frac{(2n-1)\pi x}{10}\right) \ .$$

Persamaan diferensial biasa kedua dalam (7.4.12) dengan $\displaystyle k = k_n = -\left((2n-1)\pi/10\right)^2$ menjadi

$$\frac{\mathrm{d}^{2}{G}}{\mathrm{d}{t}^{2}}(t) + \left(\frac{(2n-1)\pi}{10}\right)^2\,G(t) = 0$$ untuk $n>0$. Untuk setiap $n$, solusi umum persamaan diferensial biasa orde dua ini adalah

$$G(t) = G_n(t) \equiv C_n \cos\left(\frac{(2n-1)\pi t}{10}\right) + D_n \sin\left(\frac{(2n-1)\pi t}{10}\right) \ .$$

Kita telah menemukan fungsi-fungsi sederhana

$$u_n(x,t) \equiv F_n(x)G_n(t) = \left( a_n\, \cos\left(\frac{(2n-1)\pi t}{10}\right) + b_n \sin\left(\frac{(2n-1)\pi t}{10}\right) \right) \sin\left(\frac{(2n-1)\pi x}{10}\right)$$ untuk $n>0$. Konstanta $a_n$ berasal dari hasil kali konstanta $B_n$ dan $C_n$, dan $b_n$ berasal dari hasil kali $B_n$ dan $D_n$.

Kita mencari solusi berbentuk

$$\begin{aligned} u(x,t) &= \sum_{n=1}^\infty u_n(x,t) \\ &= \sum_{n=1}^\infty \left( a_n\, \cos\left(\frac{(2n-1)\pi t}{10}\right) + b_n \sin\left(\frac{(2n-1)\pi t}{10}\right) \right) \sin\left(\frac{(2n-1)\pi x}{10}\right) \ . \end{aligned}$$

Dari $\displaystyle u(x,0) = 2 \sin\left(\frac{7 \pi x}{10}\right)$, kita memperoleh

$$2 \sin\left(\frac{7 \pi x}{10}\right) = \sum_{n=1}^\infty a_n\,\sin\left(\frac{(2n-1)\pi x}{10}\right)$$ untuk $0<x<5$. Dengan demikian,

$$a_n = \begin{cases} 2 & \quad \text{jika} \ n=4 \\ 0 & \quad \text{selainnya} \end{cases} \ .$$ Dari $\displaystyle\frac{\partial{u}}{\partial t}(x,0) = 5 \sin\left(\frac{11\pi x}{10}\right)$, kita memperoleh

$$\begin{aligned} 5 \sin\left(\frac{11\pi x}{10}\right) & = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{(2n-1)\pi}{10}\right) b_n\, \sin\left(\frac{(2n-1)\pi x}{10}\right) \end{aligned}$$ untuk $0<x<5$. Dengan demikian,

$$b_n = \begin{cases} \displaystyle\frac{50}{11\pi} & \quad \text{jika} \ n=6 \\ 0 & \quad \text{selainnya} \end{cases} \ .$$

Solusinya adalah

$$u(x,t) = 2\, \cos\left(\frac{7\pi t}{10}\right) \sin\left(\frac{7\pi x}{10}\right) +\frac{50}{11\pi} \, \sin \left(\frac{11\pi t}{10}\right) \sin\left(\frac{11\pi x}{10}\right) \ .$$

Contoh.

Selesaikan persamaan gelombang

$$\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial t^{2}} = 9 \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{2}} \quad , \quad t > 0 \ \text{dan} \ 0 < x < \pi/2 \ ,$$(7.4.14) dengan syarat batas $u(0,t) = 0$ dan $\displaystyle\frac{\partial{u}}{\partial x}\left(\frac{\pi}{2},t\right) = 0$ untuk $t > 0$, serta syarat awal $\displaystyle u(x,0) = 3 \sin\left(7 x\right) + 5 \sin\left(13 x\right)$ dan $\displaystyle\frac{\partial{u}}{\partial t}(x,0) = 3 \sin\left(7 x\right)$ untuk $0 < x < \pi/2$.

Jika $u(x,t) = F(x)G(t)$ disubstitusikan ke dalam (7.4.14), maka diperoleh

$$F(x)\,\frac{\mathrm{d}^{2}{G}}{\mathrm{d}{t}^{2}}(t) = 9\, \frac{\mathrm{d}^{2}{F}}{\mathrm{d}{x}^{2}}(x)\, G(t) \ .$$ Pada setiap titik tempat $F(x)G(t)\neq0$, setelah kedua ruas dibagi dengan $9\,F(x)G(t)$, diperoleh

$$\frac{1}{9\,G(t)} \, \frac{\mathrm{d}^{2}{G}}{\mathrm{d}{t}^{2}}(t) = \frac{1}{F(x)}\, \frac{\mathrm{d}^{2}{F}}{\mathrm{d}{x}^{2}}(x)$$ untuk $t>0$ dan $0<x<\pi/2$ pada himpunan tersebut. Karena kita mencari solusi terpisah taktrivial, terdapat $x_0$ dan $t_0$ dengan $F(x_0)\neq0$ dan $G(t_0)\neq0$. Karena ruas kanan tidak bergantung pada $t$, sedangkan ruas kiri tidak bergantung pada $x$, diperoleh

$$\frac{1}{9\,G(t)} \, \frac{\mathrm{d}^{2}{G}}{\mathrm{d}{t}^{2}}(t) = \frac{1}{F(x)}\, \frac{\mathrm{d}^{2}{F}}{\mathrm{d}{x}^{2}}(x) = k$$ di setiap titik tempat kedua ruas terdefinisi, dengan $k$ suatu konstanta. Dengan menetapkan $k$ dari pasangan $(x_0,t_0)$ tersebut dan mengevaluasi persamaan sebelum pembagian secara berturut-turut pada $x=x_0$ dan $t=t_0$, kita memperoleh dua persamaan diferensial biasa berikut pada seluruh domain semula.

$$\frac{\mathrm{d}^{2}{F}}{\mathrm{d}{x}^{2}}(x) -k F(x) = 0 \quad \text{dan} \quad \frac{\mathrm{d}^{2}{G}}{\mathrm{d}{t}^{2}}(t) - 9\,k\,G(t) = 0 \ .$$(7.4.15)

Persamaan diferensial biasa pertama dalam (7.4.15) memenuhi dua syarat batas. Dari $u(0,t) = 0$, diperoleh $F(0)G(t)=0$. Karena kita mengasumsikan bahwa $G$ tidak identik nol, diperoleh $F(0)=0$. Demikian pula, dari $\displaystyle\frac{\partial{u}}{\partial x}\left(\frac{\pi}{2},t\right) = 0$, diperoleh $\displaystyle\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}{x}}\left(\frac{\pi}{2}\right)G(t)=0$. Sekali lagi, karena kita mengasumsikan bahwa $G$ tidak identik nol, diperoleh $\displaystyle\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}{x}}\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$. Syarat batas untuk persamaan diferensial biasa pertama dalam (7.4.15) adalah $\displaystyle F(0)=\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}{x}}\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$.

Pertama-tama kita tinjau masalah nilai batas

$$\frac{\mathrm{d}^{2}{F}}{\mathrm{d}{x}^{2}}(x) -k F(x) = 0 \quad \text{dengan} \quad F(0)=\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}{x}}\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 \ .$$(7.4.16) Bentuk solusi umum persamaan diferensial biasa di atas ditentukan oleh akar-akar persamaan karakteristik $\displaystyle\lambda^2-k=0$.

Jika $k>0$, akar-akar persamaan karakteristik adalah $\pm \sqrt{k}$. Karena akar-akar tersebut real, solusi persamaan diferensial biasa berbentuk $\displaystyle F(x) = A e^{\sqrt{k}\,x} + B e^{-\sqrt{k}\, x}$. Namun, $F(0)=0$ menyiratkan bahwa $A+B=0$ dan $\displaystyle\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}{x}}\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ menyiratkan $\displaystyle A\sqrt{k} e^{\pi\sqrt{k}/2} - B\sqrt{k} e^{-\pi\sqrt{k}/2} = 0$. Satu-satunya solusi sistem

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ \sqrt{k} e^{\pi\sqrt{k}/2} & -\sqrt{k} e^{-\pi\sqrt{k}/2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ adalah $A=B=0$ karena

$$\det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ \sqrt{k} e^{\pi\sqrt{k}/2} & -\sqrt{k} e^{-\pi\sqrt{k}/2} \end{pmatrix} = -\sqrt{k} \left(e^{-\pi\sqrt{k}/2} + e^{\pi\sqrt{k}/2}\right) \neq 0$$ untuk $k>0$. Oleh karena itu, solusi nol adalah satu-satunya solusi masalah nilai batas (7.4.16) untuk $k>0$.

Jika $k=0$, solusi persamaan diferensial biasa adalah $F(x)=Ax+B$. Namun, $F(0)=0$ menyiratkan bahwa $B=0$ dan $\displaystyle\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}{x}}\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ menyiratkan bahwa $A = 0$. Dengan demikian, $A=B=0$ dan sekali lagi solusi nol adalah satu-satunya solusi masalah nilai batas (7.4.16) untuk $k=0$.

Jika $k<0$, akar-akar persamaan karakteristik adalah $\pm i \sqrt{-k}$. Karena akar-akar tersebut kompleks, solusi persamaan diferensial biasa berbentuk $\displaystyle F(x) = A \cos\left(\sqrt{-k}\,x\right) + B \sin\left(\sqrt{-k}\,x\right)$.

Selain itu, $F(0)=0$ menyiratkan $A=0$. Sementara itu, $\displaystyle\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}{x}}\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ menyiratkan $B \sqrt{-k} \cos\left(\pi\sqrt{-k}/2\right) = 0$. Jika dipilih $B=0$, diperoleh solusi nol. Oleh karena itu, haruslah $\cos\left(\pi\sqrt{-k}/2\right) = 0$. Ini menyiratkan bahwa $\displaystyle\pi \sqrt{-k}/2 = (2n-1)\pi/2$ untuk $n\in \mathbb{N}$. Dengan demikian, $\displaystyle k = k_n \equiv -(2n-1)^2$ untuk $n>0$. Masalah nilai batas (7.4.16) memiliki solusi taktrivial hanya untuk nilai-nilai $k$ ini, dan solusi yang terkait dengan setiap $k_n$ berbentuk

$$F(x)=F_n(x) \equiv B_n \sin\left((2n-1)x\right) \ .$$

Persamaan diferensial biasa kedua dalam (7.4.15) dengan $\displaystyle k = k_n = -(2n-1)^2$ menjadi

$$\frac{\mathrm{d}^{2}{G}}{\mathrm{d}{t}^{2}}(t) + (3(2n-1))^2\,G(t) = 0$$ untuk $n>0$. Untuk setiap $n$, solusi umum persamaan diferensial biasa orde dua ini adalah

$$G(t) = G_n(t) \equiv C_n \cos\left(3(2n-1)t\right) + D_n \sin\left(3(2n-1)t\right) \ .$$

Kita telah memperoleh fungsi-fungsi sederhana

$$u_n(x,t) \equiv F_n(x)G_n(t) = \left( a_n\, \cos\left(3(2n-1)t\right) + b_n \sin\left(3(2n-1)t\right) \right) \sin\left((2n-1)x\right)$$ untuk $n>0$. Konstanta $a_n$ berasal dari hasil kali konstanta $B_n$ dan $C_n$, sedangkan $b_n$ berasal dari hasil kali $B_n$ dan $D_n$.

Kita mencari solusi berbentuk

$$u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty u_n(x,t) = \sum_{n=1}^\infty \left( a_n\, \cos\left(3(2n-1)t\right) + b_n \sin\left(3(2n-1)t\right) \right) \sin\left((2n-1)x\right) \ .$$

Dari $u(x,0) = 3 \sin\left(7 x\right) + 5 \sin\left(13 x\right)$, diperoleh

$$3 \sin\left(7 x\right) + 5 \sin\left(13 x\right) = \sum_{n=1}^\infty a_n\,\sin((2n-1)\,x)$$ untuk $0<x<\pi/2$. Dengan demikian,

$$a_n = \begin{cases} 3 & \quad \text{jika} \ n=4 \\ 5 & \quad \text{jika} \ n=7 \\ 0 & \quad \text{selainnya} \end{cases} \ .$$ Dari $\displaystyle\frac{\partial{u}}{\partial t}(x,0) = 3 \sin\left(7 x\right)$, diperoleh

$$3 \sin\left(7 x\right) = \sum_{n=1}^\infty 3(2n-1)b_n\,\sin((2n-1)\,x)$$ untuk $0<x<\pi/2$. Dengan demikian,

$$b_n = \begin{cases} 1/7 & \quad \text{jika} \ n=4 \\ 0 & \quad \text{selainnya} \end{cases} \ .$$

Solusinya adalah

$$u(x,t) = \left( 3\, \cos\left(21\,t\right) + \frac{1}{7} \sin\left(21\,t\right) \right) \sin\left(7\,x\right) +5\, \cos\left(39\,t\right) \sin\left(13\,x\right) \ .$$