Persamaan Hiperbolik

Batas sumber. Bagian ini mengikat classification.tex baris 533-872 pada sumber beku.

Persamaan Hiperbolik

Misalkan (2.1.1) bersifat hiperbolik pada suatu himpunan terbuka di $\displaystyle\mathbb{R}^2$ . Maka

$\det \begin{pmatrix} a_{2,0}(x,y) & a_{1,1}(x,y) \\ a_{1,1}(x,y) & a_{0,2}(x,y) \end{pmatrix} <0$ untuk $(x,y)$ di himpunan tersebut. Jadi, pada setiap titik dasar $(x,y)$ , simbol utama merupakan bentuk kuadratik tak definit pada $(\zeta_1,\zeta_2)$ . Di ruang kovektor terdapat tepat dua garis real berbeda tempat simbol utama bernilai nol. Karena itu terdapat dua arah karakteristik. Kurva real reguler yang konormalnya terletak pada salah satu arah tersebut bersifat karakteristik; kurva reguler lainnya bersifat nonkarakteristik secara lokal untuk syarat (2.1.2). Pernyataan ini tidak dengan sendirinya menjamin keberadaan, ketunggalan, dan kestabilan masalah Cauchy.

Kita dapat mereduksi (2.1.1) ke bentuk yang lebih sederhana. Tinjau kembali polinom

$P(x,y,\phi)=a_{2,0}(x,y)\phi^2(x,y)-2a_{1,1}(x,y)\phi(x,y) +a_{0,2}(x,y)\ .$ Pada lingkungan tempat $a_{2,0}\neq0$ , dua akar real polinom ini ialah

$\phi_{\pm}(x,y)=\frac{a_{1,1}(x,y)\pm \sqrt{a_{1,1}^2(x,y)-a_{2,0}(x,y)a_{0,2}(x,y)}} {a_{2,0}(x,y)}\ .$ Jika $a_{2,0}=0$ di titik yang sedang ditinjau, hiperbolisitas menjamin bahwa bagian utama tidak lenyap; kita memilih bagan lokal yang sesuai, termasuk dengan menukar peran $x$ dan $y$ ketika $a_{0,2}\neq0$ , alih-alih membagi dengan nol.

Pada suatu bagan lokal yang reguler, tinjau dua keluarga kurva $\eta(x,y)=h$ dan $\xi(x,y)=k$ . Keluarga pertama diperoleh sebagai solusi implisit lokal dari $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}{x}}=\phi_+(x,y)$ dan keluarga kedua sebagai solusi implisit lokal dari $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}{x}}=\phi_-(x,y)$ . Kita memilih integral pertama dengan penyebut yang tidak nol pada bagan tersebut, sehingga

$\frac{\partial{\eta}}{\partial x}\bigg/\frac{\partial{\eta}}{\partial y} =-\phi_+(x,y)\neq-\phi_-(x,y) =\frac{\partial{\xi}}{\partial x}\bigg/\frac{\partial{\xi}}{\partial y}\ .$ Dengan demikian, hubungan dalam (2.1.3) dipenuhi secara lokal.

Jika $\phi_\pm$ disubstitusikan ke (2.3.4), diperoleh

$\begin{aligned} a_{2,0}(x,y)\left(\frac{\partial{\eta}}{\partial x}\right)^2 +2a_{1,1}(x,y)\frac{\partial{\eta}}{\partial x}\frac{\partial{\eta}}{\partial y} +a_{0,2}(x,y)\left(\frac{\partial{\eta}}{\partial y}\right)^2&=0 \\ &\text{dan}\\ a_{2,0}(x,y)\left(\frac{\partial{\xi}}{\partial x}\right)^2 +2a_{1,1}(x,y)\frac{\partial{\xi}}{\partial x}\frac{\partial{\xi}}{\partial y} +a_{0,2}(x,y)\left(\frac{\partial{\xi}}{\partial y}\right)^2&=0\ . \end{aligned}$ Kedua persamaan ini masing-masing adalah

$Q\left(x,y,\frac{\partial{\eta}}{\partial x}(x,y),\frac{\partial{\eta}}{\partial y}(x,y)\right)=0 \quad\text{dan}\quad Q\left(x,y,\frac{\partial{\xi}}{\partial x}(x,y),\frac{\partial{\xi}}{\partial y}(x,y)\right)=0 .$ Oleh sebab itu, kurva-kurva dari kedua keluarga tersebut merupakan kurva karakteristik.

Dengan perubahan koordinat $(x,y)=(x(\eta,\xi),y(\eta,\xi))$ , persamaan (2.1.1) direduksi menjadi (2.1.4) dengan $A_{2,0}=A_{0,2}=0$ dan $A_{1,1}\neq0$ . Karena suku campuran dalam (2.1.4) adalah $2A_{1,1}u_{\eta\xi}$ , kita membagi persamaan dengan $2A_{1,1}$ dan memperoleh bentuk

$\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{} \partial \xi^{}} +\alpha_{1,0}(\eta,\xi)\frac{\partial{u}}{\partial \eta} +\alpha_{0,1}(\eta,\xi)\frac{\partial{u}}{\partial \xi} +\alpha_{0,0}(\eta,\xi)u+\beta(\eta,\xi)=0\ ,$ dengan $\displaystyle\alpha_{1,0}=A_{1,0}/(2A_{1,1})$ , $\alpha_{0,1}=A_{0,1}/(2A_{1,1})$ , $\alpha_{0,0}=A_{0,0}/(2A_{1,1})$ , dan $\beta=B/(2A_{1,1})$ . Persamaan (2.3.5) merupakan bentuk baku

dari suatu persamaan hiperbolik.

Contoh 2.3.3. Persamaan gelombang

$\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial t^{2}}=c^2\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{2}}$ merupakan contoh persamaan hiperbolik di seluruh $\displaystyle\mathbb{R}^2$ apabila $c\neq0$ . Kita akan mempelajarinya secara mendalam nanti.

Contoh 2.3.4. Tinjau persamaan diferensial parsial

$\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{} \partial y^{}}+2\frac{\partial{u}}{\partial x}=0\ .$ Persamaan ini bersifat hiperbolik dan sudah berada dalam bentuk bakunya. Dengan $\displaystyle p=\frac{\partial{u}}{\partial x}$ , persamaan (2.3.6) menjadi

$\frac{\partial{p}}{\partial y}+2p=0\ .$ Untuk $x$ tetap, ini adalah persamaan diferensial biasa separabel dengan solusi $\displaystyle p=A(x)e^{-2y}$ , dengan $A$ suatu fungsi sebarang. Sekarang kita meninjau

$\frac{\partial{u}}{\partial x}=A(x)e^{-2y}\ .$ Kita dapat mengintegralkan kedua ruas terhadap $x$ untuk memperoleh

$u=\underbrace{\left(\int A(x)\,\mathrm{d}{x}\right)}_{\equiv B(x)}e^{-2y}+C(y) =B(x)e^{-2y}+C(y)\ ,$ dengan $C$ suatu fungsi sebarang.

Contoh 2.3.5. Persamaan diferensial parsial

$\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{} \partial y^{}}-\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial y^{2}}=0$ berbentuk (2.1.1) dengan $a_{2,0}(x,y)=0$ , $a_{1,1}(x,y)=1/2$ , dan $a_{0,2}(x,y)=-1$ . Jadi,

$\det \begin{pmatrix} a_{2,0}(x,y) & a_{1,1}(x,y) \\ a_{1,1}(x,y) & a_{0,2}(x,y) \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 0 & 1/2 \\ 1/2 & -1 \end{pmatrix} =-1/4<0,$ sehingga (2.3.7) bersifat hiperbolik. Untuk memperoleh keluarga kurva yang mereduksi persamaan diferensial parsial hiperbolik ini ke bentuk bakunya, kita perlu menukar peran $x$ dan $y$ dalam pembahasan sebelumnya. Kita menggunakan

$\phi_{\pm}(x,y)=\frac{a_{1,1}(x,y)\pm \sqrt{a_{1,1}^2(x,y)-a_{2,0}(x,y)a_{0,2}(x,y)}} {a_{0,2}(x,y)} =-1/2\mp1/2\ .$ Kita memperoleh keluarga kurva $\eta(x,y)=h$ dari solusi implisit $\displaystyle\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}{y}}=-1$ dan keluarga lain $\xi(x,y)=k$ dari solusi implisit $\displaystyle\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}{y}}=0$ . Secara berturut-turut diperoleh $x=-y+\eta$ dan $x=\xi$ . Jadi, $\eta(x,y)=x+y$ dan $\xi(x,y)=x$ .

Karena $\displaystyle\frac{\partial{\eta}}{\partial x}=1$ , $\displaystyle\frac{\partial{\eta}}{\partial y}=1$ , $\displaystyle\frac{\partial{\xi}}{\partial x}=1$ , dan $\displaystyle\frac{\partial{\xi}}{\partial y}=0$ , diperoleh

$\begin{aligned} \frac{\partial{u}}{\partial y} &=\frac{\partial{u}}{\partial \eta}\frac{\partial{\eta}}{\partial y} +\frac{\partial{u}}{\partial \xi}\frac{\partial{\xi}}{\partial y} =\frac{\partial{u}}{\partial \eta}\ , \\ \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial y^{2}} &=\frac{\partial}{\partial y}{\left(\frac{\partial{u}}{\partial y}\right)} =\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{2}}\frac{\partial{\eta}}{\partial y} +\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \xi^{} \partial \eta^{}}\frac{\partial{\xi}}{\partial y} =\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{2}} \\ &\text{dan}\\ \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{} \partial y^{}} &=\frac{\partial}{\partial x}{\left(\frac{\partial{u}}{\partial y}\right)} =\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{2}}\frac{\partial{\eta}}{\partial x} +\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \xi^{} \partial \eta^{}}\frac{\partial{\xi}}{\partial x} =\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{2}}+\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \xi^{} \partial \eta^{}}\ . \end{aligned}$ Jika ungkapan-ungkapan turunan ini disubstitusikan ke (2.3.7), diperoleh $\displaystyle\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \xi^{} \partial \eta^{}}=0$ . Integrasi terhadap $\xi$ memberikan $\displaystyle\frac{\partial{u}}{\partial \eta}=H(\eta)$ untuk suatu fungsi $H$ , lalu integrasi terhadap $\eta$ memberikan

$u=\underbrace{\int H(\eta)\,\mathrm{d}{\eta}}_{\equiv F(\eta)}+G(\xi) =F(\eta)+G(\xi)$ untuk suatu fungsi $G$ . Solusi akhirnya adalah

$u(x,y)=u(\eta,\xi)=F(\eta)+G(\xi)=F(x+y)+G(x)\ .$

Contoh 2.3.6. Persamaan diferensial parsial

$x\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{2}}-y\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{} \partial y^{}}+\frac{\partial{u}}{\partial x}=0$ berbentuk (2.1.1) dengan $a_{2,0}(x,y)=x$ , $a_{1,1}(x,y)=-y/2$ , dan $a_{0,2}(x,y)=0$ . Jadi,

$\det \begin{pmatrix} a_{2,0}(x,y) & a_{1,1}(x,y) \\ a_{1,1}(x,y) & a_{0,2}(x,y) \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} x & -y/2 \\ -y/2 & 0 \end{pmatrix} =-y^2/4\ .$ Persamaan diferensial parsial dalam (2.3.8) bersifat hiperbolik untuk $y\neq0$ , parabolik untuk $y=0$ dan $x\neq0$ , serta degenerat di $(0,0)$ karena seluruh bagian utamanya lenyap. Kita hanya meninjau daerah $y>0$ .

Pada bagian daerah dengan $x\neq0$ , rumus hasil bagi memberikan

$\phi_{\pm}(x,y)=\frac{a_{1,1}(x,y)\pm \sqrt{a_{1,1}^2(x,y)-a_{2,0}(x,y)a_{0,2}(x,y)}} {a_{2,0}(x,y)} =(-1/2\pm1/2)\frac{y}{x}\ .$ Kita memperoleh keluarga kurva $\eta(x,y)=h$ dari solusi implisit $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}{x}}=-\frac{y}{x}$ dan keluarga lain $\xi(x,y)=k$ dari solusi implisit $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}{x}}=0$ . Persamaan pertama memberikan $\eta=xy$ , sedangkan persamaan kedua memberikan $\xi=y$ . Walaupun penurunan melalui hasil bagi dilakukan untuk $x\neq0$ , koordinat $\eta(x,y)=xy$ dan $\xi(x,y)=y$ sendiri meluas mulus ke seluruh daerah $y>0$ dan mempunyai Jacobian $y\neq0$ di sana.

Karena $\displaystyle\frac{\partial{\eta}}{\partial x}=y=\xi$ , $\displaystyle\frac{\partial{\eta}}{\partial y}=x=\frac{\eta}{\xi}$ , $\displaystyle\frac{\partial{\xi}}{\partial x}=0$ , dan $\displaystyle\frac{\partial{\xi}}{\partial y}=1$ , diperoleh

$0=\frac{\eta}{\xi}\left(\xi^2\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{2}}\right) -\xi\left(\eta\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{2}} +\frac{\partial{u}}{\partial \eta} +\xi\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \xi^{} \partial \eta^{}}\right) +\xi\frac{\partial{u}}{\partial \eta} =-\xi^2\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \xi^{} \partial \eta^{}}\ .$ Karena $\xi=y\neq0$ , diperoleh $\displaystyle\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \xi^{} \partial \eta^{}}=0$ . Seperti yang telah dilihat sebelumnya, solusinya ialah $u(\eta,\xi)=F(\eta)+G(\xi)$ untuk fungsi-fungsi sebarang $F$ dan $G$ . Dengan demikian, solusi akhirnya adalah

$u(x,y)=u(\eta,\xi)=F(\eta)+G(\xi)=F(xy)+G(y)\ .$

Contoh 2.3.7. Tinjau persamaan diferensial parsial

$x\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{2}}+2x^2\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{} \partial y^{}} -\frac{\partial{u}}{\partial x}-1=0 .$ Persamaan ini berbentuk (2.1.1) dengan $a_{2,0}(x,y)=x$ , $\displaystyle a_{1,1}(x,y)=x^2$ , dan $a_{0,2}(x,y)=0$ . Jadi,

$\det \begin{pmatrix} a_{2,0}(x,y) & a_{1,1}(x,y) \\ a_{1,1}(x,y) & a_{0,2}(x,y) \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} x & x^2 \\ x^2 & 0 \end{pmatrix} =-x^4 .$ Persamaan (2.3.9) bersifat hiperbolik untuk $x\neq0$ . Pada sumbu $y$ , seluruh koefisien bagian utama lenyap, sehingga titik-titik tersebut degenerat dan bukan parabolik menurut Definisi 2.3.1. Persamaan penuh pada $x=0$ mereduksi menjadi $-\frac{\partial{u}}{\partial x}(0,y)-1=0$ , yaitu $\frac{\partial{u}}{\partial x}(0,y)=-1$ ; keluarga solusi yang diperoleh di bawah memang memenuhi syarat orde pertama ini. Keluarga kurva yang digunakan untuk mereduksi persamaan hiperbolik ini ke bentuk bakunya berlaku secara terpisah pada setengah-bidang $x<0$ dan $x>0$ . Karena

$\phi_{\pm}(x,y)=\frac{a_{1,1}(x,y)\pm \sqrt{a_{1,1}^2(x,y)-a_{2,0}(x,y)a_{0,2}(x,y)}} {a_{2,0}(x,y)} =\frac{x^2\pm x^2}{x}=x\pm x\ ,$ kita memperoleh keluarga kurva $\eta(x,y)=h$ dari solusi implisit $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}{x}}=2x$ dan keluarga lain $\xi(x,y)=k$ dari solusi implisit $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}{x}}=0$ . Solusi persamaan pertama ialah $\displaystyle y=x^2+\eta$ , sedangkan solusi persamaan kedua ialah $y=\xi$ . Jadi, $\displaystyle\eta(x,y)=y-x^2$ dan $\xi(x,y)=y$ .

Untuk perhitungan berikut, mula-mula andaikan $x>0$ , sehingga $x=\sqrt{\xi-\eta}$ . Pada $x<0$ berlaku $x=-\sqrt{\xi-\eta}$ ; tanda ruas kanan persamaan campuran yang tereduksi berubah, tetapi suku partikular pada akhirnya tetap sama dengan $-x$ .

Karena $\displaystyle\frac{\partial{\eta}}{\partial x}=-2x=-2\sqrt{\xi-\eta}$ , $\displaystyle\frac{\partial{\eta}}{\partial y}=1$ , $\displaystyle\frac{\partial{\xi}}{\partial x}=0$ , dan $\displaystyle\frac{\partial{\xi}}{\partial y}=1$ , diperoleh

$\begin{aligned} \frac{\partial{u}}{\partial x} &=\frac{\partial{u}}{\partial \eta}\frac{\partial{\eta}}{\partial x} +\frac{\partial{u}}{\partial \xi}\frac{\partial{\xi}}{\partial x} =-2\sqrt{\xi-\eta}\,\frac{\partial{u}}{\partial \eta}\ , \\ \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{2}} &=\frac{\partial}{\partial x}{\left(\frac{\partial{u}}{\partial x}\right)} =\frac{\partial}{\partial \eta}{\left(-2\sqrt{\xi-\eta}\,\frac{\partial{u}}{\partial \eta}\right)} \frac{\partial{\eta}}{\partial x} +\frac{\partial}{\partial \xi}{\left(-2\sqrt{\xi-\eta}\,\frac{\partial{u}}{\partial \eta}\right)} \frac{\partial{\xi}}{\partial x} \\ &=\left(\frac{1}{\sqrt{\xi-\eta}}\frac{\partial{u}}{\partial \eta} -2\sqrt{\xi-\eta}\,\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{2}}\right) \left(-2\sqrt{\xi-\eta}\right) \\ &=-2\frac{\partial{u}}{\partial \eta} +4(\xi-\eta)\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{2}} \\ &\text{dan}\\ \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{} \partial y^{}} &=\frac{\partial}{\partial y}{\left(\frac{\partial{u}}{\partial x}\right)} =\frac{\partial}{\partial \eta}{\left(-2\sqrt{\xi-\eta}\,\frac{\partial{u}}{\partial \eta}\right)} \frac{\partial{\eta}}{\partial y} +\frac{\partial}{\partial \xi}{\left(-2\sqrt{\xi-\eta}\,\frac{\partial{u}}{\partial \eta}\right)} \frac{\partial{\xi}}{\partial y} \\ &=\left(\frac{1}{\sqrt{\xi-\eta}}\frac{\partial{u}}{\partial \eta} -2\sqrt{\xi-\eta}\,\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{2}}\right) +\left(-\frac{1}{\sqrt{\xi-\eta}}\frac{\partial{u}}{\partial \eta} -2\sqrt{\xi-\eta}\,\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{} \partial \xi^{}}\right) \\ &=-2\sqrt{\xi-\eta}\left( \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{2}} +\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{} \partial \xi^{}}\right)\ . \end{aligned}$ Jika ungkapan-ungkapan turunan ini disubstitusikan ke (2.3.9), diperoleh

$\begin{aligned} 0&=\sqrt{\xi-\eta}\left( -2\frac{\partial{u}}{\partial \eta} +4(\xi-\eta)\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{2}}\right) \\ &\qquad+2(\xi-\eta)\left[ -2\sqrt{\xi-\eta}\left( \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{2}} +\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{} \partial \xi^{}}\right)\right] +2\sqrt{\xi-\eta}\frac{\partial{u}}{\partial \eta}-1 \\ &=-4(\xi-\eta)^{3/2} \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{} \partial \xi^{}}-1\ . \end{aligned}$ Dengan demikian,

$\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \xi^{} \partial \eta^{}} =-\frac{1}{4}(\xi-\eta)^{-3/2}\ .$ Integrasi terhadap $\xi$ , kemudian terhadap $\eta$ , memberikan

$u(\eta,\xi)=-\sqrt{\xi-\eta}+P(\xi)+Q(\eta)$ untuk fungsi-fungsi sebarang $P$ dan $Q$ . Akhirnya,

$u(x,y)=-x+P(y)+Q(y-x^2)\ .$

Atribusi dan hak. Karya sumber oleh Benoit Dionne dilisensikan berdasarkan Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International. Terjemahan dan perubahan yang dicatat menggunakan lisensi komponen yang sama. Produksi terjemahan dan edisi dibantu OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; semua kredit penulis dan kontributor manusia tetap dipertahankan. Ini bukan terbitan atau dukungan resmi Benoit Dionne maupun University of Ottawa.