Teori Operator

Batas sumber. Bagian ini mengikat funct_anal.tex baris 1009-1743 pada sumber beku.

Teori Operator

Operator Terbatas

Kita mulai dengan meninjau beberapa definisi tentang pemetaan antara ruang-ruang Banach. Dalam bagian ini, $X$ dan $Y$ adalah dua ruang Banach atas bilangan kompleks.

Definisi. Suatu operator linear atau pemetaan linear dari $X$ ke $Y$ adalah fungsi $A:X \rightarrow Y$ sedemikian sehingga $A(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2) = \lambda_1 A(x_1) + \lambda_2 A(x_2)$ untuk semua $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C}$ dan $x_1, x_2 \in X$ . Jika $Y=\mathbb{C}$ , operator linear $A$ disebut fungsional linear.

Citra dari $A$ adalah ruang linear $\displaystyle\mathcal{R}(A) = \left\{ y \in Y : y = A(x) \ \text{untuk suatu} \ x\in X\right\}$ . Kernel dari $A$ adalah ruang linear $\displaystyle\mathcal{N}(A) = \left\{ x \in X : A(x) = 0 \right\}$ .

Definisi. Suatu operator linear $A:X\rightarrow Y$ disebut terbatas jika terdapat konstanta $C\geq 0$ sedemikian sehingga $\|A(x)\| \leq C \|x\|$ untuk semua $x\in X$ . Ruang operator linear terbatas dari $X$ ke $Y$ dinotasikan dengan $\mathcal{L}(X,Y)$ . Jika $Y=X$ , ruang operator linear terbatas pada $X$ cukup dinotasikan dengan $\mathcal{L}(X)$ .

Hasil-hasil berikut merupakan hasil fundamental mengenai operator linear terbatas antara ruang-ruang Banach.

Proposisi. Misalkan

$\|A\| = \sup_{\substack{x\in X\\ \|x\|=1}} \|A(x)\| \quad , \quad A \in \mathcal{L}(X,Y) \ .$

$\|\cdot\|$ mendefinisikan suatu norma pada $\mathcal{L}(X,Y)$ yang disebut norma terinduksi dari $X$ dan $Y$ .
Dengan norma $\|\cdot\|$ , $\mathcal{L}(X,Y)$ merupakan ruang Banach.

Teorema. Jika $A\in \mathcal{L}(X,Y)$ surjektif, maka citra suatu himpunan terbuka adalah himpunan terbuka.

Teorema. Jika $A\in \mathcal{L}(X,Y)$ injektif dan surjektif, maka $\displaystyle A^{-1} \in \mathcal{L}(Y,X)$ .

Definisi. Graf suatu operator linear $A:X\rightarrow Y$ adalah subruang

$\mathcal{G}(A) = \left\{ (x,A(x)) : x \in X \right\} \subset X \times Y \ .$ Suatu operator linear $A:X\rightarrow Y$ disebut tertutup jika grafnya tertutup dalam $X\times Y$ . Dengan kata lain, suatu operator linear $A:X \rightarrow Y$ tertutup jika, untuk setiap barisan konvergen $\displaystyle\left\{ (x_n, A(x_n)) \right\}_{n=0}^\infty \subset \mathcal{G}(A)$ , kita mempunyai $\displaystyle(x,y) = \lim_{n\to\infty} (x_n, A(x_n)) \in \mathcal{G}(A)$ ; yakni, $y=A(x)$ .

Teorema. Jika $A:X\rightarrow Y$ adalah operator linear tertutup, maka $A \in \mathcal{L}(X,Y)$ .

Definisi. Himpunan resolven $\rho(A)$ dari $A \in \mathcal{L}(X)$ adalah himpunan semua $\lambda \in \mathbb{C}$ sedemikian sehingga $A-\lambda \operatorname{Id}: X \rightarrow X$ injektif dan surjektif. Spektrum dari $A \in \mathcal{L}(X)$ adalah himpunan $\sigma(A) = \mathbb{C}\setminus \rho(A)$ .

Dari Teorema Pemetaan Terbuka, kita memperoleh bahwa $\displaystyle(A-\lambda \operatorname{Id})^{-1} \in \mathcal{L}(X)$ jika $\lambda$ berada dalam himpunan resolven $A$ .

Definisi. Jika $\lambda$ berada dalam himpunan resolven $A$ , maka $\displaystyle R_\lambda(A) = (A-\lambda\operatorname{Id})^{-1}$ disebut resolven dari $A$ .

$\lambda \in \sigma(A)$ jika $A-\lambda \operatorname{Id}$ tidak injektif, atau $A-\lambda \operatorname{Id}$ tidak surjektif, atau keduanya.

Definisi. Jika $A-\lambda \operatorname{Id}$ tidak injektif, maka $\lambda$ disebut nilai eigen dari $A$ . Kita mempunyai $\mathcal{N}(A-\lambda\operatorname{Id}) \neq \{0\}$ dan unsur-unsur $\mathcal{N}(A-\lambda\operatorname{Id}) \setminus \{0\}$ disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan $\lambda$ . $\mathcal{N}(A-\lambda\operatorname{Id})$ disebut ruang eigen yang bersesuaian dengan $\lambda$ .

Jika $x$ adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan $\lambda$ , maka $Ax = \lambda x$ .

Proposisi. Jika $A \in \mathcal{L}(X)$ dan $\lambda \in \sigma(A)$ , maka $|\lambda|\leq \|A\|$ .

Definisi. Jari-jari spektral dari $A\in \mathcal{L}(X)$ didefinisikan sebagai $\displaystyle r_\sigma(A) = \sup_{\lambda\in \sigma(A)} |\lambda|$ .

Dari proposisi sebelumnya, $r_\sigma(A) \leq \|A\|$ .

Di bawah ini kita mencantumkan beberapa sifat penting spektrum suatu operator linear terbatas.

Proposisi. Jika $A \in \mathcal{L}(X)$ , maka $\sigma(A) \subset \mathbb{C}$ kompak.

Proposisi. Jika $A \in \mathcal{L}(X)$ dan $X\neq \{0\}$ , maka $\sigma(A) \neq \emptyset$ .

Definisi berikut memperumum definisi ruang dual yang diberikan dalam Definisi 4.1.8.

Definisi. Misalkan $X$ ruang Banach. Ruang dual $\displaystyle X^\ast$ dari $X$ adalah himpunan semua fungsional linear terbatas pada $X$ .

Contoh. Jika $H$ ruang Hilbert, maka dari Teorema Representasi Riesz, Teorema 4.1.9, terdapat pemetaan $\displaystyle T:H^\ast \to H$ sedemikian sehingga $u(x) = \left\langle{x},{T(u)}\right\rangle$ untuk semua $x \in H$ . Dari ketaksamaan Schwarz diperoleh $|u(x)| \leq \|x\|\,\|T(u)\|$ untuk semua $x \in H$ . Jadi, $\|u\| \leq \|T(u)\|$ , dengan norma di ruas kiri adalah norma fungsional linear $u:H \to \mathbb{C}$ dan norma di ruas kanan adalah norma $T(u) \in H$ . Sebenarnya, $\|u\|=\|T(u)\|$ . Jika $T(u)\neq 0$ , hal ini mengikuti dari $\displaystyle u\left( \|T(u)\|^{-1} T(u)\right) = \|T(u)\|$ ; jika $T(u)=0$ , kedua norma tersebut bernilai nol. Teorema Representasi Riesz menunjukkan bahwa $T$ bijektif; karena hasil kali dalam linear pada argumen pertama, $T$ konjugat-linear. Jadi, $\displaystyle T:H^\ast \to H$ adalah bijeksi konjugat-linear yang isometrik dari $\displaystyle H^\ast$ ke $H$ .

Definisi. Adjoin dari $A\in \mathcal{L}(X,Y)$ adalah pemetaan linear $\displaystyle A^\ast : Y^\ast \rightarrow X^\ast$ yang didefinisikan oleh

$A^\ast(w)(x) = w(A(x)) \quad , \quad x \in X \ \text{dan} \ w \in Y^\ast \ .$

Teorema. Jika $A \in \mathcal{L}(X,Y)$ , maka $\displaystyle A^\ast \in \mathcal{L}(Y^\ast, X^\ast)$ dan $\displaystyle\|A\| = \|A^\ast\|$ .

Jelas bahwa, dalam teorema sebelumnya,

$\| A^\ast \| = \sup_{\substack{w\in Y^\ast\\ \|w\|=1}} \|A^\ast(w)\| \quad , \quad A^\ast \in \mathcal{L}(Y^\ast,X^\ast) \ ,$ dan

$\| w \| = \sup_{\substack{y\in Y\\ \|y\|=1}} |w(y)| \quad , \quad w \in Y^\ast \ ,$ dengan definisi serupa untuk norma pada $\displaystyle X^\ast$ .

Definisi. Suatu operator linear $A \in \mathcal{L}(X,Y)$ disebut kompak jika $\overline{A(V)}$ kompak untuk setiap himpunan terbatas $V \subset X$ . Himpunan semua operator linear kompak dari $X$ ke $Y$ dinotasikan dengan $\mathcal{K}(X,Y)$ , dan himpunan semua operator linear kompak dari $X$ ke dirinya sendiri dinotasikan dengan $\mathcal{K}(X)$ .

Sedikit tinjauan atas beberapa konsep topologis akan berguna untuk penerapan selanjutnya.

Definisi. Suatu himpunan $U \subset X$ disebut relatif kompak jika $\overline{U}$ kompak. Suatu himpunan $U \subset X$ disebut relatif kompak secara sekuensial jika setiap barisan dalam $U$ mempunyai subbarisan yang konvergen dalam $X$ .

Dalam ruang Banach, kedua konsep ini ekuivalen.

Proposisi 4.4.21. $\mathcal{K}(X,Y)$ adalah subruang tertutup dari $\mathcal{L}(X,Y)$ terhadap norma operator yang diinduksi oleh norma pada $X$ dan $Y$ .

Proposisi 4.4.22. Misalkan $X$ , $Y$ , dan $Z$ tiga ruang Banach.

Jika $A \in \mathcal{K}(X,Y)$ dan $B \in \mathcal{L}(Y,Z)$ , maka $B\circ A \in \mathcal{K}(X,Z)$ .
Jika $A \in \mathcal{L}(X,Y)$ dan $B \in \mathcal{K}(Y,Z)$ , maka $B\circ A \in \mathcal{K}(X,Z)$ .

Bukti. Kita membuktikan (2). Misalkan $U\subset X$ himpunan terbatas; maka $A(U) \subset Y$ terbatas karena $A$ terbatas¹. Jadi, $\overline{B(A(U))}$ adalah himpunan kompak karena $B$ merupakan operator kompak dan $A(U)$ merupakan himpunan terbatas. ◻

Teorema 4.4.23. Misalkan $A$ operator linear dari $X$ ke $Y$ .

Jika $A \in \mathcal{L}(X,Y)$ dan $\dim \mathcal{R}(A) < \infty$ , maka $A \in \mathcal{K}(X,Y)$ .
Jika $A \in \mathcal{K}(X,Y)$ dan $\mathcal{R}(A)$ tertutup, maka $\dim \mathcal{R}(A) < \infty$ .
$A \in \mathcal{K}(X,Y)$ jika dan hanya jika $\displaystyle A^\ast \in \mathcal{K}(Y^\ast, X^\ast)$ .

Di luar dugaan, teorema berikut akan sangat berguna untuk mempelajari persamaan diferensial. Sebagai contoh, teorema ini akan digunakan untuk mendeskripsikan nilai-nilai eigen bagi masalah Sturm-Liouville dan operator Laplace.

Teorema 4.4.24. Tinjau $A \in \mathcal{K}(X)$ .

Jika $\lambda \neq 0$ , maka $\dim \mathcal{N}(A-\lambda \operatorname{Id}) < \infty$ .
Jika $\lambda \neq 0$ , maka $\mathcal{R}(A-\lambda \operatorname{Id})$ tertutup.
Jika $\lambda \neq 0$ , maka $\displaystyle\dim \mathcal{N}(A-\lambda \operatorname{Id}) = \dim \mathcal{N}(A^\ast-\lambda \operatorname{Id})$ .
Jika $r>0$ dan $E$ adalah himpunan nilai eigen $\lambda$ dari $A$ sedemikian sehingga $|\lambda|>r$ , maka $E$ berhingga dan $\mathcal{R}(A-\lambda \operatorname{Id}) \neq X$ untuk semua $\lambda \in E$ .
Jika $\lambda \in \sigma(A)$ dan $\lambda \neq 0$ , maka $\lambda$ merupakan nilai eigen.
$\sigma(A)$ kompak dan paling banyak terhitung, dengan $0$ sebagai satu-satunya titik akumulasi yang mungkin dari $\sigma(A)$ .

Operator Tak Terbatas

Seperti pada bagian sebelumnya, $X$ dan $Y$ adalah dua ruang Banach atas bilangan kompleks. Kita meninjau operator linear dari suatu subruang $Z$ dari $X$ ke $Y$ , dengan $Z$ tidak harus sama dengan $X$ . Kita memperumum banyak definisi dan hasil yang telah disajikan pada bagian sebelumnya untuk operator-operator linear ini.

Definisi. Suatu operator linear atau pemetaan linear dari $X$ ke $Y$ adalah pasangan $(\mathcal{D}(A),A)$ , dengan $\mathcal{D}(A)$ suatu subruang dari $X$ dan $A:\mathcal{D}(A) \rightarrow Y$ memenuhi $A(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2) = \lambda_1 A(x_1) + \lambda_2 A(x_2)$ untuk semua $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C}$ dan $x_1, x_2 \in \mathcal{D}(A)$ .

$\mathcal{D}(A)$ disebut domain dari $A$ . Citra dari $A$ adalah ruang linear $\displaystyle\mathcal{R}(A) = \left\{ y \in Y : y = A(x) \ \text{untuk suatu} \ x\in \mathcal{D}(A)\right\}$ . Kernel dari $A$ adalah ruang linear $\displaystyle\mathcal{N}(A) = \left\{ x \in \mathcal{D}(A) : A(x) = 0 \right\}$ .

Definisi. Suatu operator linear $(\mathcal{D}(A),A)$ disebut terbatas jika terdapat konstanta $C\geq 0$ sedemikian sehingga $\|A(x)\| \leq C \|x\|$ untuk semua $x\in \mathcal{D}(A)$ .

Hasil berikut sudah dikenal untuk operator linear di antara ruang-ruang vektor berdimensi hingga.

Proposisi. Jika $(\mathcal{D}(A),A)$ adalah operator linear dengan $\dim \mathcal{D}(A) < \infty$ , maka $(\mathcal{D}(A),A)$ terbatas.

Definisi. Suatu operator linear $(\mathcal{D}(B),B)$ dari $X$ ke $Y$ merupakan perluasan dari operator linear $(\mathcal{D}(A),A)$ dari $X$ ke $Y$ jika $\mathcal{D}(A) \subset \mathcal{D}(B)$ dan $A(x)=B(x)$ untuk semua $x \in \mathcal{D}(A)$ .

Teorema. Misalkan $(\mathcal{D}(A),A)$ operator linear dari $X$ ke $\mathbb{C}$ sedemikian sehingga $\mathcal{D}(A)$ merupakan subruang tertutup dari $X$ dan

$M = \sup_{\substack{x\in\mathcal{D}(A)\\ \|x\|=1}} |A(x)|\ < \infty \ ,$ maka terdapat operator linear terbatas $B \in \mathcal{L}(X,\mathbb{C})$ sedemikian sehingga $(X,B)$ merupakan perluasan dari $(\mathcal{D}(A),A)$ dan $\|B\| = M$ . $M$ yang didefinisikan oleh (4.4.1) adalah norma $A$ sebagai operator pada subruang $\mathcal{D}(A)$ .

Definisi. Graf suatu operator linear $(\mathcal{D}(A),A)$ adalah subruang

$\mathcal{G}(A) = \left\{ (x,A(x)) : x \in \mathcal{D}(A) \right\} \subset X \times Y \ .$

Definisi. Suatu operator linear $(\mathcal{D}(A),A)$ disebut tertutup jika grafnya tertutup dalam $X\times Y$ . Dengan kata lain, suatu operator linear $(\mathcal{D}(A),A)$ tertutup jika, untuk setiap barisan konvergen $\displaystyle\left\{ (x_n, A(x_n)) \right\}_{n=0}^\infty \subset \mathcal{G}(A)$ , kita mempunyai $\displaystyle(x,y) = \lim_{n\to \infty} (x_n, A(x_n)) \in \mathcal{G}(A)$ ; yakni, $x\in \mathcal{D}(A)$ dan $y=A(x)$ .

Suatu operator $(\mathcal{D}(A),A)$ disebut dapat ditutup jika $\overline{\mathcal{G}(A)}$ merupakan graf suatu operator linear. Untuk operator yang dapat ditutup, penutupan dari $(\mathcal{D}(A),A)$ adalah operator yang grafnya $\overline{\mathcal{G}(A)}$ ; operator ini merupakan perluasan tertutup terkecil dari $(\mathcal{D}(A),A)$ dan dinotasikan dengan $(\mathcal{D}(\,\overline{A}\,),\overline{A})$ .

Teorema. Jika $(\mathcal{D}(A),A)$ adalah operator linear tertutup dengan $\mathcal{D}(A)=X$ , maka $(\mathcal{D}(A),A)$ terbatas.

Definisi. Himpunan resolven $\rho(A)$ dari suatu operator linear tertutup $(\mathcal{D}(A),A)$ dari $X$ ke dirinya sendiri adalah himpunan semua $\lambda \in \mathbb{C}$ sedemikian sehingga $A-\lambda \operatorname{Id}: \mathcal{D}(A) \rightarrow X$ injektif dan surjektif, serta $\displaystyle(A-\lambda\operatorname{Id})^{-1} \in \mathcal{L}(X)$ . Spektrum dari $A$ adalah himpunan $\sigma(A) = \mathbb{C}\setminus \rho(A)$ . Jika $\lambda$ berada dalam himpunan resolven dari $A$ , maka $\displaystyle R_\lambda(A) \equiv (A-\lambda\operatorname{Id})^{-1}$ disebut resolven dari $A$ .

Proposisi. Setiap $\lambda \in \sigma(A)$ termasuk tepat ke dalam salah satu dari tiga kelas berikut.

Spektrum titik adalah himpunan $\sigma_{ps}(A)$ dari semua $\lambda \in \sigma(A)$ sedemikian sehingga $A-\lambda \operatorname{Id}$ tidak injektif. Spektrum diskret adalah himpunan bagian dari spektrum titik yang terdiri atas nilai-nilai eigen terisolasi dengan multiplisitas aljabar berhingga.
Spektrum residual adalah himpunan $\sigma_{rs}(A)$ dari semua $\lambda$ sedemikian sehingga $A-\lambda \operatorname{Id}$ injektif, tetapi $\mathcal{R}(A-\lambda \operatorname{Id})$ bukan subruang rapat dalam $X$ . Spektrum kompresi adalah himpunan semua $\lambda$ sedemikian sehingga $\mathcal{R}(A-\lambda \operatorname{Id})$ tidak rapat dalam $X$ ; jadi, spektrum residual adalah bagian spektrum kompresi yang pada titik-titiknya $A-\lambda\operatorname{Id}$ juga injektif.
Spektrum kontinu adalah himpunan $\sigma(A) \setminus ( \sigma_{ps}(A) \cup \sigma_{rs}(A))$ .

Definisi. Jika $\lambda$ berada dalam spektrum titik, maka $\lambda$ disebut nilai eigen dari $A$ . Kita mempunyai $\mathcal{N}(A-\lambda\operatorname{Id}) \neq \{0\}$ , dan unsur-unsur $\mathcal{N}(A-\lambda\operatorname{Id}) \setminus \{0\}$ disebut vektor eigen yang berkaitan dengan $\lambda$ . $\mathcal{N}(A-\lambda\operatorname{Id})$ disebut ruang eigen yang berkaitan dengan $\lambda$ .

Jika $x$ adalah vektor eigen yang berkaitan dengan $\lambda$ , maka $Ax = \lambda x$ . Seperti dalam dimensi hingga, vektor-vektor eigen yang berkaitan dengan nilai-nilai eigen berbeda bebas secara linear.

Definisi. Misalkan $(\mathcal{D}(A),A)$ suatu pemetaan linear dari $X$ ke dalam $Y$ sedemikian sehingga $\mathcal{D}(A)$ rapat dalam $X$ . Misalkan $S$ adalah himpunan semua fungsional linear terbatas $\displaystyle w \in Y^\ast$ sedemikian sehingga terdapat suatu fungsional linear terbatas $\displaystyle v \in X^\ast$ yang memenuhi $w(A(x)) = v(x)$ untuk semua $x \in \mathcal{D}(A)$ . Karena $\mathcal{D}(A)$ rapat, $v$ ditentukan secara tunggal. Adjoin dari $A$ adalah pemetaan $\displaystyle(S,A^\ast)$ dari $\displaystyle Y^\ast$ ke $\displaystyle X^\ast$ yang didefinisikan oleh $\displaystyle A^\ast(w) = v$ untuk $w\in S$ . Kita mempunyai $\displaystyle\mathcal{D}(A^\ast) = S$ .

Teorema. Misalkan $(\mathcal{D}(A),A)$ suatu pemetaan linear dari $X$ ke dalam $Y$ sedemikian sehingga $\mathcal{D}(A)$ rapat dalam $X$ , dan misalkan $A$ dapat ditutup. Maka $\displaystyle(\mathcal{D}(A^\ast),A^\ast)$ merupakan operator linear tertutup. Lebih lanjut, jika $X$ dan $Y$ refleksif (yakni $\displaystyle X^{\ast\ast}=X$ dan $\displaystyle Y^{\ast\ast} = Y$ ), maka $\displaystyle\mathcal{D}(A^\ast)$ rapat dalam $\displaystyle Y^\ast$ dan $\displaystyle A^{\ast\ast} = \overline{A}$ . Secara khusus, jika $A$ tertutup, maka $\displaystyle A^{\ast\ast} = A$ .

Definisi. Misalkan $(\mathcal{D}(A),A)$ suatu operator linear terbatas dari $X$ ke $Y$ . Operator linear $(\mathcal{D}(A),A)$ disebut kompak jika $\overline{A(V)}$ kompak untuk setiap himpunan terbatas $V \subset \mathcal{D}(A)$ .

Teorema berikut tidak mengherankan jika kita memikirkan pemetaan linear di antara ruang-ruang vektor berdimensi hingga.

Teorema. Misalkan $(\mathcal{D}(A),A)$ suatu operator linear dari $X$ ke $Y$ . Maka

$(\mathcal{D}(A),A)$ merupakan operator linear kompak jika $(\mathcal{D}(A),A)$ terbatas dan $\mathcal{R}(A)$ berdimensi hingga.
$(\mathcal{D}(A),A)$ merupakan operator linear kompak jika $\mathcal{D}(A)$ berdimensi hingga.

Operator pada Ruang Hilbert

Pada bagian ini, $H$ , $H_1$ , $H_2$ , … adalah ruang-ruang Hilbert di atas bilangan kompleks.

Jelas bahwa definisi dan hasil pada bagian-bagian sebelumnya mengenai operator di antara ruang-ruang Banach juga berlaku bagi operator di antara ruang-ruang Hilbert. Namun, karena Teorema Representasi Riesz memberikan suatu isomorfisme konjugat-linear antara $\displaystyle H^\ast$ dan $H$ , secara tradisional adjoin operator linear di antara dua ruang Hilbert didefinisikan ulang. Ingat bahwa suatu pemetaan $L$ di antara dua ruang vektor disebut konjugat-linear jika $L(\lambda_1v_1 + \lambda_2 v_2) = \overline{\lambda_1}\, L(v_1) + \overline{\lambda_2}\, L(v_2)$ untuk setiap $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C}$ dan semua vektor $v_1,v_2$ .

Definisi 4.4.40. Misalkan $(\mathcal{D}(A),A)$ suatu pemetaan linear dari $H_1$ ke $H_2$ sedemikian sehingga $\mathcal{D}(A)$ rapat dalam $H_1$ . Misalkan $S \subset H_2$ adalah himpunan semua unsur $w$ dalam $H_2$ yang memiliki suatu unsur $v \in H_1$ sedemikian sehingga $\displaystyle\left\langle{A(x)},{w}\right\rangle_{H_2} = \left\langle{x},{v}\right\rangle_{H_1}$ untuk setiap $x \in \mathcal{D}(A)$ . Karena $\mathcal{D}(A)$ rapat, $v$ ditentukan secara tunggal. adjoin (ruang Hilbert) dari $A$ adalah pemetaan $\displaystyle(S,A^\bullet)$ dari $H_2$ ke $H_1$ yang didefinisikan oleh $\displaystyle A^\bullet(w) = v$ untuk $w\in S$ . Kita mempunyai $\displaystyle\mathcal{D}(A^\bullet) = S$ .

Tinjau pemetaan konjugat-linear

$\begin{aligned} \Lambda_H : H &\rightarrow H^\ast \\ v & \mapsto \left\langle{\cdot},{v}\right\rangle \end{aligned}$ Sebagai konsekuensi dari Teorema Representasi Riesz, pemetaan ini bijektif.

Tinjau suatu operator linear $(\mathcal{D}(A),A)$ dari $H_1$ ke $H_2$ sedemikian sehingga $\mathcal{D}(A)$ rapat dalam $H_1$ . Misalkan $\displaystyle(\mathcal{D}(A^\ast),A^\ast)$ adalah adjoin dari $(\mathcal{D}(A),A)$ dalam pengertian operator di antara ruang-ruang Banach dan $\displaystyle(\mathcal{D}(A^\bullet),A^\bullet)$ adalah adjoin dari $(\mathcal{D}(A),A)$ dalam pengertian operator di antara ruang-ruang Hilbert. Kita mempunyai

$A^\ast = \Lambda_{H_1} \circ A^\bullet \circ \Lambda_{H_2}^{-1}$ pada $\displaystyle\mathcal{D}(A^\ast)$ . Untuk membuktikannya, kita perhatikan bahwa

$w(A(x)) = A^\ast(w)(x) \Leftrightarrow \left\langle{A(x)},{\Lambda_{H_2}^{-1}(w)}\right\rangle_{H_2} = \left\langle{x},{\Lambda_{H_1}^{-1}(A^\ast(w))}\right\rangle_{H_1}$ untuk setiap $x \in \mathcal{D}(A)$ dan $\displaystyle w\in \mathcal{D}(A^\ast)$ . Jadi, $\displaystyle\Lambda_{H_2}^{-1}(w) \in \mathcal{D}(A^\bullet)$ untuk $\displaystyle w \in \mathcal{D}(A^\ast)$ dan

$A^\bullet(\Lambda_{H_2}^{-1}(w)) = \Lambda_{H_1}^{-1}(A^\ast(w))$ untuk $\displaystyle w\in \mathcal{D}(A^\ast)$ menurut definisi $\displaystyle(\mathcal{D}(A^\bullet),A^\bullet)$ . Ini membuktikan (4.4.2).

Dari Definisi 4.4.40, operasi adjoin memenuhi hubungan skalar

$\begin{aligned} A^\bullet(w) = v & \Leftrightarrow \left\langle{A(x)},{w}\right\rangle_{H_2} = \left\langle{x},{v}\right\rangle_{H_1} \Leftrightarrow \left\langle{\lambda A(x)},{w}\right\rangle_{H_2} = \left\langle{\lambda x},{v}\right\rangle_{H_1} = \left\langle{x},{\overline{\lambda} v}\right\rangle_{H_1} \\ & \Leftrightarrow (\lambda A)^\bullet(w) = \overline{\lambda} v \end{aligned}$ untuk setiap $\lambda \in \mathbb{C}\setminus\{0\}$ . Dengan kata lain, $\displaystyle(\lambda A)^\bullet=\overline{\lambda}A^\bullet$ dengan domain adjoin yang sama. Sebaliknya, adjoin dalam pengertian ruang Banach memenuhi $\displaystyle(\lambda A)^\ast=\lambda A^\ast$ untuk $\lambda\neq0$ . Pada $\lambda=0$ , domain adjoin operator nol dapat lebih besar daripada domain adjoin $A$ . Untuk operator tak terbatas umum, pernyataan aditivitas juga harus memperhitungkan domain operator; perhitungan di atas hanya menetapkan kedua hubungan skalar tak nol tersebut.

Mulai sekarang, kita akan mengikuti tradisi dalam analisis fungsional dan juga menggunakan $\displaystyle(\mathcal{D}(A^\ast),A^\ast)$ untuk menyatakan $\displaystyle(\mathcal{D}(A^\bullet),A^\bullet)$ . Konteks akan menentukan apakah yang dimaksud adalah adjoin dalam pengertian operator di antara ruang-ruang Banach atau di antara ruang-ruang Hilbert.

Teorema 4.4.41. Misalkan $(\mathcal{D}(A),A)$ suatu operator linear tertutup dari $H$ ke dirinya sendiri sedemikian sehingga $\mathcal{D}(A)$ rapat dalam $H$ . Kita mempunyai $\displaystyle\mathcal{R}(A)^\perp = \mathcal{N}(A^\ast)$ dan $\displaystyle\mathcal{R}(A^\ast)^\perp = \mathcal{N}(A)$ . Selain itu, $\displaystyle\mathcal{N}(A^\ast)^\perp = \overline{\mathcal{R}(A)}$ dan $\displaystyle\mathcal{N}(A)^\perp = \overline{\mathcal{R}(A^\ast)}$ .

Definisi. Misalkan $(\mathcal{D}(A),A)$ suatu operator linear dari $H$ ke dirinya sendiri sedemikian sehingga $\mathcal{D}(A)$ rapat dalam $H$ . Kita mengatakan bahwa $(\mathcal{D}(A),A)$ bersifat simetris jika $\displaystyle(\mathcal{D}(A^\ast),A^\ast)$ merupakan perluasan dari $(\mathcal{D}(A),A)$ . Jadi, $\displaystyle\left\langle{A(x)},{y}\right\rangle = \left\langle{x},{A(y)}\right\rangle$ untuk $x,y \in \mathcal{D}(A)$ .

Kita mengatakan bahwa $(\mathcal{D}(A),A)$ bersifat self-adjoint jika $\displaystyle(\mathcal{D}(A^\ast),A^\ast) = (\mathcal{D}(A),A)$ ; yakni, jika $\displaystyle\mathcal{D}(A)=\mathcal{D}(A^\ast)$ dan $\displaystyle A(x)=A^\ast(x)$ untuk setiap $x \in \mathcal{D}(A)$ .

Teorema. Misalkan $(\mathcal{D}(A),A)$ suatu operator linear simetris dan tertutup dari $H$ ke dirinya sendiri sedemikian sehingga $\mathcal{D}(A)$ rapat dalam $H$ . Kita mempunyai

$\left\langle{A(x)},{x}\right\rangle \in \mathbb{R}$ untuk setiap $x \in \mathcal{D}(A)$ .
Nilai-nilai eigen dari $A$ adalah real.
Vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen berbeda saling ortogonal.
Spektrum kontinu dari $A$ merupakan himpunan bagian dari $\mathbb{R}$ .

Jika $(\mathcal{D}(A),A)$ juga self-adjoint, maka kita mempunyai

Spektrum dari $A$ merupakan himpunan bagian dari $\mathbb{R}$ .
Spektrum residual dari $A$ kosong.

Tinjau suatu operator linear self-adjoint $A \in \mathcal{K}(H)$ . Menurut Teorema 4.4.24, setiap $\lambda \in \sigma(A)$ dengan $\lambda \neq 0$ merupakan nilai eigen dengan $\dim \mathcal{N}(A-\lambda\operatorname{Id}) < \infty$ . Nilai-nilai eigen tak nol yang berbeda, jika ada, dapat diindeks oleh $I$ , dengan $I=\{1,\ldots,N\}$ atau $I=\{1,2,\ldots\}$ , dan disusun sedemikian sehingga $\displaystyle|\lambda_1| \geq |\lambda_2| \geq |\lambda_3| \geq \ldots$ (dengan rantai yang berakhir pada $\lambda_N$ jika $I$ hingga). Selain itu, jika $I$ tak hingga, maka $\lambda_n \rightarrow 0$ saat $n\rightarrow \infty$ .

Untuk setiap ruang eigen $\mathcal{N}(A-\lambda\operatorname{Id})$ , dengan $\lambda \in \sigma(A)$ dan $\lambda \neq 0$ , pilih suatu basis ortonormal, lalu ambil gabungan semua basis tersebut. Dengan demikian, kita memperoleh suatu himpunan ortonormal $\displaystyle S=\{\phi_j\}_{j\in J}$ , dengan $J$ hingga (mungkin kosong) atau $J=\{1,2,\ldots\}$ . Untuk setiap vektor eigen $\phi_j$ , nilai eigen yang bersesuaian dengannya dinotasikan dengan $\tilde{\lambda}_j$ . Sebagai contoh, untuk setiap $\phi_j \in \mathcal{N}(A- \lambda_n \operatorname{Id})$ , kita mempunyai $\tilde{\lambda}_j = \lambda_n$ .

Teorema 4.4.44. Tinjau suatu operator linear self-adjoint $A \in \mathcal{K}(H)$ . Misalkan $\displaystyle S = \{\phi_j\}_{j\in J}$ adalah himpunan ortonormal vektor eigen yang didefinisikan dalam paragraf sebelumnya.

$S$ merupakan basis ortonormal bagi $\mathcal{N}(A)^\perp$ .
$\displaystyle Au = \sum_{j\in J} \tilde{\lambda}_j \left\langle{u},{\phi_j}\right\rangle\phi_j$ untuk $u \in H$ .
Untuk $f\in H$ , misalkan $\displaystyle f_0 = f - \sum_{j\in J} \left\langle{f},{\phi_j}\right\rangle\phi_j$ . Kita mempunyai $f_0 \in \mathcal{N}(A)$ .

Jika $\lambda\neq0$ bukan nilai eigen, terdapat solusi tunggal bagi $\displaystyle Au - \lambda u = f$ , yang diberikan oleh

$u = \sum_{j\in J} \frac{1}{\tilde{\lambda}_j-\lambda} \left\langle{f},{\phi_j}\right\rangle \phi_j - \frac{1}{\lambda} f_0 \ .$ Jika $\lambda\neq0$ merupakan nilai eigen, terdapat solusi bagi $\displaystyle Au - \lambda u = f$ jika dan hanya jika $\displaystyle\left\langle{f},{\phi_j}\right\rangle = 0$ untuk setiap $j\in J$ dengan $\tilde{\lambda}_j = \lambda$ . Jika syarat ini dipenuhi, terdapat tak hingga banyak solusi yang diberikan oleh

$u = \sum_{\substack{j\in J\\ \tilde{\lambda}_j\neq \lambda}} \frac{1}{\tilde{\lambda}_j-\lambda} \left\langle{f},{\phi_j}\right\rangle \phi_j - \frac{1}{\lambda} f_0 + \sum_{\substack{j\in J\\ \tilde{\lambda}_j = \lambda}} c_j \phi_j \ ,$ di mana $c_j\in\mathbb{C}$ dapat dipilih sebarang. Kedua pernyataan penyelesaian di atas tidak mencakup kasus $\lambda=0$ .

Teorema. Jika $A \in \mathcal{K}(H)$ , terdapat suatu barisan $\displaystyle\{A_n\}_{n=1}^\infty$ operator $A_n \in \mathcal{L}(H)$ , yang masing-masing berperingkat hingga, dan konvergen ke $A$ dalam norma operator terinduksi; yakni, $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} \|A_n-A\| = 0$ .

Kita mengakhiri bagian ini dengan suatu kelas penting operator kompak.

Teorema 4.4.46. Misalkan $(\Omega,\Sigma,\mu)$ suatu ruang ukuran $\sigma$ -hingga sedemikian sehingga $L^2(\Omega,\mu)$ separabel, dan lengkapi $\Omega\times\Omega$ dengan ukuran produk $\mu\otimes\mu$ . Misalkan $\displaystyle K \in L^2(\Omega\times \Omega,\mu\otimes\mu)$ bernilai kompleks. Maka $\displaystyle T_K:L^2(\Omega,\mu)\rightarrow L^2(\Omega,\mu)$ yang didefinisikan oleh

$(T_K f)(x) = \int_{\Omega} K(x,y) f(y) \,\mathrm{d}{y} \quad , \quad \text{untuk hampir setiap}\ x \in \Omega \ \text{dan} \ f \in L^2(\Omega,\mu) \ ,$ merupakan operator kompak dan $\|T_K\| \leq \|K\|_2$ . Di sini, $\,\mathrm{d}{x}$ dan $\,\mathrm{d}{y}$ masing-masing menyatakan integrasi terhadap $\mu$ dalam variabel yang bersangkutan.

Fungsi $\displaystyle K \in L^2(\Omega\times \Omega,\mu\otimes\mu)$ dalam teorema sebelumnya disebut kernel Hilbert–Schmidt.

Bukti. Semua identitas di antara wakil-wakil fungsi dalam pembuktian ini dipahami berlaku hampir di mana-mana.

(i) Pertama-tama, kita membuktikan bahwa $T_K$ benar-benar merupakan operator terbatas dari $\displaystyle L^2(\Omega,\mu)$ ke dirinya sendiri.

Pilih wakil terukur $K:\Omega \times \Omega \to \mathbb{C}$ . Maka $\boldsymbol{y} \mapsto K(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$ juga terukur untuk hampir setiap $\boldsymbol{x}$ . Untuk setiap $\displaystyle f\in L^2(\Omega,\mu)$ , setelah memilih wakil terukur bagi $f$ , pemetaan $\boldsymbol{y} \mapsto K(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})f(\boldsymbol{y})$ terukur untuk hampir setiap $\boldsymbol{x}$ .

Dari Teorema Fubini, kita memperoleh bahwa $\displaystyle\int_{\Omega} |K(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})|^2\,\mathrm{d}{\boldsymbol{y}}$ berhingga untuk hampir setiap $\boldsymbol{x}$ karena $\displaystyle K \in L^2(\Omega\times \Omega,\mu\otimes\mu)$ . Oleh karena itu, untuk setiap $\displaystyle f \in L^2(\Omega,\mu)$ , dari ketaksamaan Schwarz dalam $\displaystyle L^2(\Omega,\mu)$ kita memperoleh

$\int_{\Omega} |K(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})|\,|f(\boldsymbol{y})| \,\mathrm{d}{\boldsymbol{y}} \leq \left(\int_{\Omega} |K(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})|^2\,\mathrm{d}{\boldsymbol{y}}\right)^{1/2} \left(\int_{\Omega} |f(\boldsymbol{y})|^2\,\mathrm{d}{\boldsymbol{y}}\right)^{1/2} < \infty$ hampir di mana-mana dalam $\boldsymbol{x}$ . Jadi, $\boldsymbol{y} \mapsto K(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})f(\boldsymbol{y})$ termasuk dalam $\displaystyle L^1(\Omega,\mu)$ untuk hampir setiap $\boldsymbol{x}$ . Dengan demikian, $T_K f:\Omega \to \mathbb{C}$ terdefinisi hampir di mana-mana. Selain itu, menurut Teorema Fubini, $T_K f:\Omega \to \mathbb{C}$ terukur.

Dari

$\left| (T_K f)(\boldsymbol{x}) \right| \leq \int_{\Omega} |K(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})|\,|f(\boldsymbol{y})| \,\mathrm{d}{\boldsymbol{y}} \leq \left(\int_{\Omega} |K(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})|^2\,\mathrm{d}{\boldsymbol{y}}\right)^{1/2} \left(\int_{\Omega} |f(\boldsymbol{y})|^2\,\mathrm{d}{\boldsymbol{y}}\right)^{1/2}$ untuk hampir setiap $x$ , kita memperoleh

$\| T_K f \|_2^2 = \int_{\Omega} \left| (T_K f)(\boldsymbol{x}) \right|^2 \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} \leq \int_{\Omega}\int_{\Omega} |K(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})|^2\,\mathrm{d}{\boldsymbol{y}}\,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} \ \int_{\Omega} |f(\boldsymbol{y})|^2\,\mathrm{d}{\boldsymbol{y}} = \| K \|_2^2 \|f\|_2^2 < \infty$ untuk setiap $\displaystyle f\in L^2(\Omega,\mu)$ . Jadi, $\displaystyle T_K f \in L^2(\Omega,\mu)$ untuk setiap $\displaystyle f\in L^2(\Omega,\mu)$ dan

$\|T_K \| \leq \|K\|_2 = \left( \int_{\Omega}\int_{\Omega} |K(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})|^2\,\mathrm{d}{\boldsymbol{y}}\,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} \right)^{1/2} \ .$

(ii) Sekarang kita membuktikan bahwa $T_K$ kompak.

Jika $L^2(\Omega,\mu)$ berdimensi hingga, operator terbatas $T_K$ berperingkat hingga sehingga kompak. Karena itu, untuk bagian pembuktian yang tersisa, anggap $L^2(\Omega,\mu)$ berdimensi tak hingga. Misalkan $\displaystyle\{\phi_j\}_{j=0}^\infty$ suatu basis ortonormal bagi $\displaystyle L^2(\Omega,\mu)$ . Tinjau fungsi-fungsi $\psi_{j,k}:\Omega \times \Omega \to \mathbb{C}$ yang didefinisikan oleh $\displaystyle\psi_{j,k}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) = \phi_j(\boldsymbol{x})\phi_k(\boldsymbol{y})$ untuk $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) \in \Omega\times \Omega$ . Fungsi-fungsi $\psi_{j,k}$ terukur. Dengan menggunakan Teorema Fubini dan Teorema 4.1.13, dapat ditunjukkan bahwa $\displaystyle\{\psi_{j,k}\}_{(j,k)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}}$ merupakan suatu basis ortonormal bagi $\displaystyle L^2(\Omega \times \Omega,\mu\otimes\mu)$ .

Kita dapat menuliskan $K$ sebagai $\displaystyle K = \sum_{(j,k)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}} a_{j,k} \psi_{j,k}$ dengan koefisien $a_{j,k} \in \mathbb{C}$ . Deret tersebut konvergen dalam $\displaystyle L^2(\Omega\times \Omega,\mu\otimes\mu)$ . Khususnya, $\displaystyle\|K\|_2^2 = \sum_{(j,k)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}} |a_{j,k}|^2$ karena $\displaystyle\{\psi_{j,k}\}_{(j,k)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}}$ merupakan suatu basis ortonormal. Deret ini konvergen tanpa bergantung pada urutan penjumlahannya. Khususnya, untuk setiap $\epsilon >0$ , terdapat $M\in\mathbb{N}$ sedemikian sehingga $\displaystyle\sum_{j+k > m} |a_{j,k}|^2 < \epsilon$ untuk $m\geq M$ . Jadi, $\displaystyle\sum_{j+k > N} |a_{j,k}|^2 \to 0$ saat $N \to \infty$ .

Misalkan $\displaystyle K_N(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = \sum_{j+k\leq N} a_{j,k} \psi_{j,k}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$ untuk $N \geq 0$ . Karena citra $T_{K_N}$ termuat dalam ruang yang direntang oleh $\displaystyle\{\phi_j\}_{j=0}^N$ , kita mempunyai $\dim \mathcal{R}(T_{K_N}) \leq N +1 < \infty$ . Jadi, $\displaystyle T_{K_N}$ merupakan operator kompak menurut Teorema 4.4.23. Sebagaimana dalam pembuktian (4.4.3), dapat kita buktikan bahwa

$\|T_K - T_{K_N} \| \leq \| K - K_N\|_2 = \left(\sum_{j+k>N} |a_{j,k}|^2\right)^{1/2} \ .$ Jadi, $T_{K_N}$ konvergen ke $T_K$ saat $N\to \infty$ . Karena ruang operator kompak tertutup terhadap norma operator terinduksi menurut Teorema 4.4.21, kita memperoleh bahwa $T_K$ kompak. ◻

Atribusi dan hak. Karya sumber oleh Benoit Dionne dilisensikan berdasarkan Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International. Terjemahan dan perubahan yang dicatat menggunakan lisensi komponen yang sama. Produksi terjemahan dan edisi dibantu OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; semua kredit penulis dan kontributor manusia tetap dipertahankan. Ini bukan terbitan atau dukungan resmi Benoit Dionne maupun University of Ottawa.

Jika $B_r(\boldsymbol{0}) \supset U$ , maka $B_{\|A\|r}(\boldsymbol{0}) \supset A(U)$ .↩︎