Teorema Lax–Milgram dan Latihan

Batas sumber. Bagian ini mengikat funct_anal.tex baris 1744-2180 pada sumber beku.

Teorema Lax–Milgram

Definisi. Misalkan $H$ suatu ruang Hilbert atas $\mathbb{C}$ . Suatu bentuk sesquilinear terbatas (atau kontinu) pada $H$ adalah pemetaan $B:H\times H \rightarrow \mathbb{C}$ sedemikian sehingga

Untuk setiap $u\in H$ , pemetaan $v \mapsto B(u,v)$ bersifat konjugat-linear.
Untuk setiap $v\in H$ , pemetaan $u \mapsto B(u,v)$ bersifat linear.
Terdapat konstanta $C$ sedemikian sehingga $\displaystyle\left| B(u,v) \right| \leq C \|u\|\,\|v\|$ untuk setiap $\displaystyle(u,v) \in H \times H$ , dengan $\|\cdot\|$ menyatakan norma yang diinduksi oleh hasil kali skalar $\left\langle{\cdot},{\cdot}\right\rangle$ pada $H$ .

Bentuk sesquilinear terbatas $B$ disebut simetris jika $\displaystyle B(u,v) = \overline{B(v,u)}$ untuk setiap $u,v \in H$ .

Bentuk sesquilinear terbatas $B$ disebut koersif jika terdapat konstanta positif $c$ sedemikian sehingga $\displaystyle\operatorname{Re}B(u,u) \geq c \|u\|^2$ untuk setiap $u \in H$ . Pada kasus real, yakni ketika $H$ suatu ruang Hilbert atas $\mathbb{R}$ dan $B:H\times H\rightarrow\mathbb{R}$ suatu bentuk bilinear terbatas, syarat ini cukup ditulis sebagai $\displaystyle B(u,u) \geq c \|u\|^2$ .

Proposisi 4.5.2. Misalkan $H$ suatu ruang Hilbert dan $K$ suatu himpunan bagian tak kosong, konveks, dan tertutup dari $H$ . Untuk setiap $w\in H$ , terdapat unsur tunggal $u \in K$ sedemikian sehingga

$\|w-u\| = \min_{v\in K} \|w-v\| \ .$ Selain itu, $u$ merupakan unsur tunggal di $K$ yang memenuhi

$\operatorname{Re}\left\langle{w-u},{v-u}\right\rangle \leq 0$ untuk setiap $v \in K$ .

Bukti. (i) Karena $w-K$ merupakan himpunan bagian tak kosong, konveks, dan tertutup dari $H$ , menurut Teorema 4.1.7 himpunan ini mempunyai unsur tunggal dengan norma terkecil. Jika $\breve{u} \in w-K$ adalah unsur tersebut, maka $u=w-\breve{u}$ .

(ii) Andaikan $u$ memenuhi (4.5.1) dan ambil $v \in K$ . Misalkan $\displaystyle v_t=(1-t)u+tv$ untuk $0\leq t\leq1$ . Karena $K$ konveks, kita mempunyai $v_t\in K$ untuk setiap $t\in[0,1]$ . Jadi,

$\begin{aligned} \|w-u\|^2 &\leq \|w-v_t\|^2 = \|(w-u)-t(v-u)\|^2 \\ &= \|w-u\|^2 - 2t \operatorname{Re}\left\langle{w-u},{v-u}\right\rangle + t^2 \|u-v\|^2 \ . \end{aligned}$ Akibatnya,

$2\operatorname{Re}\left\langle{w-u},{v-u}\right\rangle \leq t \|u-v\|^2$ untuk $0<t\leq1$ . Dengan mengambil limit $t\rightarrow0$ , kita memperoleh (4.5.2).

Sebaliknya, jika $u\in K$ memenuhi (4.5.2), maka

$\begin{aligned} &\|w-u\|^2 - \|w-v\|^2 = \|w-u\|^2 - \|(w-u)+(u-v)\|^2 \\ &\qquad = -2 \operatorname{Re}\left\langle{w-u},{u-v}\right\rangle - \|u-v\|^2 = 2 \operatorname{Re}\left\langle{w-u},{v-u}\right\rangle - \|u-v\|^2\leq0 \end{aligned}$ untuk $v\in K$ . Jadi, (4.5.1) dipenuhi.

Ketunggalan $u$ yang memenuhi (4.5.2) mengikuti dari ketunggalan $u$ yang memenuhi (4.5.1). Jika terdapat dua unsur berbeda $u_1$ dan $u_2$ di $K$ yang memenuhi (4.5.2), keduanya juga harus memenuhi (4.5.1) karena (4.5.1) dan (4.5.2) ekuivalen. Hal ini bertentangan dengan ketunggalan unsur bernorma terkecil dalam $w-K$ . ◻

Catatan. Ketunggalan unsur $u$ yang memenuhi (4.5.2) juga dapat dibuktikan secara langsung. Andaikan terdapat $u_1,u_2\in K$ sedemikian sehingga $\displaystyle\operatorname{Re}\left\langle{w-u_1},{v-u_1}\right\rangle\leq0$ dan $\displaystyle\operatorname{Re}\left\langle{w-u_2},{v-u_2}\right\rangle\leq0$ untuk setiap $v\in K$ . Substitusikan $v=u_2$ ke dalam ketaksamaan pertama dan $v=u_1$ ke dalam ketaksamaan kedua, lalu jumlahkan kedua ketaksamaan yang dihasilkan. Kita memperoleh $\displaystyle\left\langle{u_1-u_2},{u_1-u_2}\right\rangle\leq0$ . Jadi, $u_1=u_2$ .

Teorema 4.5.4. Misalkan $B:H\times H\rightarrow\mathbb{C}$ suatu bentuk sesquilinear terbatas dan koersif pada ruang Hilbert $H$ . Selain itu, misalkan $K$ suatu himpunan bagian tak kosong, konveks, dan tertutup dari $H$ . Maka, untuk setiap $\displaystyle\tilde{u}\in H^\ast$ , terdapat $u\in K$ tunggal sedemikian sehingga

$\operatorname{Re}B(v-u,u) \geq \operatorname{Re}\tilde{u}(v-u)$ untuk setiap $v\in K$ . Selain itu, jika bentuk sesquilinear $B$ juga simetris, maka $u$ merupakan unsur tunggal di $K$ sedemikian sehingga

$\frac{1}{2}B(u,u) - \operatorname{Re}\tilde{u}(u) = \min_{v\in K} \left\{ \frac{1}{2}B(v,v) - \operatorname{Re}\tilde{u}(v) \right\} \ .$

Bukti. (i) Karena $v\mapsto B(v,u)$ merupakan fungsional linear terbatas pada $H$ untuk setiap $u\in H$ , kita dapat menggunakan Teorema Representasi Riesz untuk mendefinisikan pemetaan tunggal $A:H\rightarrow H$ sedemikian sehingga $\displaystyle B(v,u)=\left\langle{v},{Au}\right\rangle$ untuk setiap $v\in H$ . Dengan kata lain, $Au$ adalah unsur tunggal di $H$ yang memenuhi hubungan tersebut.

Sekarang kita membuktikan bahwa $A$ merupakan pemetaan linear terbatas dan injektif.

Menurut definisi $A$ , untuk $a_1,a_2\in\mathbb{C}$ dan $u_1,u_2\in H$ kita mempunyai

$\begin{aligned} \left\langle{v},{A\left(a_1u_1+a_2u_2\right)}\right\rangle &=B(v,a_1u_1+a_2u_2)=\overline{a_1}B(v,u_1)+\overline{a_2}B(v,u_2) \\ &=\overline{a_1}\left\langle{v},{Au_1}\right\rangle+\overline{a_2}\left\langle{v},{Au_2}\right\rangle =\left\langle{v},{a_1Au_1+a_2Au_2}\right\rangle \end{aligned}$ untuk setiap $v\in H$ . Oleh karena representasi unsur $H^\ast$ oleh unsur $H$ dalam Teorema Representasi Riesz bersifat tunggal, $A(a_1u_1+a_2u_2)=a_1Au_1+a_2Au_2$ . Jadi, $A$ merupakan pemetaan linear.
Karena

$\|Au\|^2=\left\langle{Au},{Au}\right\rangle=B(Au,u)=|B(Au,u)| \leq C\|u\|\,\|Au\|$ untuk setiap $u\in H$ , dengan $C$ konstanta dalam definisi bentuk sesquilinear terbatas, kita memperoleh

$\|Au\|\leq C\|u\|$ untuk setiap $u\in H$ . Dengan demikian, norma operator terinduksi dari $A$ memenuhi $\|A\|\leq C$ , sehingga $A$ merupakan pemetaan linear terbatas.
Sifat koersif $B$ menunjukkan bahwa $A$ injektif. Memang, untuk setiap $u_1,u_2\in H$ kita mempunyai

$\operatorname{Re}\left\langle{u_1-u_2},{A(u_1-u_2)}\right\rangle = \operatorname{Re}B(u_1-u_2,u_1-u_2) \geq c\|u_1-u_2\|^2,$ dengan $c$ konstanta dalam definisi bentuk sesquilinear terbatas yang koersif. Jika $Au_1=Au_2$ , maka

$0=\operatorname{Re}\left\langle{u_1-u_2},{A(u_1-u_2)}\right\rangle\geq c\|u_1-u_2\|^2 \ .$ Jadi, $u_1=u_2$ .

(ii) Menurut Teorema Representasi Riesz, Teorema 4.1.9, terdapat $\breve{u}\in H$ tunggal sedemikian sehingga $\displaystyle\tilde{u}(v)=\left\langle{v},{\breve{u}}\right\rangle$ untuk setiap $v\in H$ .

Membuktikan keberadaan $u\in K$ tunggal yang memenuhi (4.5.3) ekuivalen dengan membuktikan keberadaan $u\in K$ tunggal yang memenuhi

$\operatorname{Re}\left\langle{v-u},{Au}\right\rangle\geq\operatorname{Re}\left\langle{v-u},{\breve{u}}\right\rangle$ untuk setiap $v\in K$ . Misalkan $p$ suatu bilangan positif. Keberadaan dan ketunggalan $u\in K$ yang memenuhi (4.5.7) ekuivalen dengan keberadaan dan ketunggalan $u\in K$ yang memenuhi

$\operatorname{Re}\left\langle{v-u},{\left(p\breve{u}-pAu+u\right)-u}\right\rangle\leq0$ untuk setiap $v\in K$ .

Misalkan $P:H\rightarrow K$ adalah fungsi yang didefinisikan oleh $\displaystyle P(w)=u$ , dengan $u$ memenuhi (4.5.2). Karena $u$ tunggal, fungsi $P$ terdefinisi dengan baik. Dengan demikian, keberadaan dan ketunggalan $u\in K$ yang memenuhi (4.5.8) ekuivalen dengan keberadaan dan ketunggalan titik tetap $u$ dari

$\begin{aligned} F:K&\rightarrow K \\ v&\mapsto P(p\breve{u}-pAv+v). \end{aligned}$ Untuk membuktikan pernyataan terakhir ini, cukup dibuktikan bahwa $F$ merupakan kontraksi ketat pada himpunan tertutup $K$ . Kita sekarang membuktikannya dengan memilih konstanta $p$ yang sesuai.

Pertama, kita buktikan bahwa $\|P(w_1)-P(w_2)\|\leq\|w_1-w_2\|$ untuk setiap $w_1,w_2\in H$ . Unsur $P(w_1)$ dan $P(w_2)$ masing-masing didefinisikan oleh $\displaystyle\operatorname{Re}\left\langle{w_1-P(w_1)},{v-P(w_1)}\right\rangle\leq0$ dan $\displaystyle\operatorname{Re}\left\langle{w_2-P(w_2)},{v-P(w_2)}\right\rangle\leq0$ untuk setiap $v\in K$ . Substitusikan $v=P(w_2)$ ke dalam ketaksamaan pertama dan $v=P(w_1)$ ke dalam ketaksamaan kedua, lalu jumlahkan. Kita memperoleh

$\begin{aligned} &\operatorname{Re}\left\langle{w_1-P(w_1)},{P(w_2)-P(w_1)}\right\rangle +\operatorname{Re}\left\langle{w_2-P(w_2)},{P(w_1)-P(w_2)}\right\rangle \\ &\qquad\qquad =\operatorname{Re}\left\langle{-w_1+w_2+P(w_1)-P(w_2)},{P(w_1)-P(w_2)}\right\rangle\leq0 \\ &\qquad\Leftrightarrow \left\langle{P(w_1)-P(w_2)},{P(w_1)-P(w_2)}\right\rangle =\operatorname{Re}\left\langle{P(w_1)-P(w_2)},{P(w_1)-P(w_2)}\right\rangle \\ &\qquad\qquad \leq\operatorname{Re}\left\langle{w_1-w_2},{P(w_1)-P(w_2)}\right\rangle. \end{aligned}$ Jadi,

$\begin{aligned} \|P(w_1)-P(w_2)\|^2 &=\left\langle{P(w_1)-P(w_2)},{P(w_1)-P(w_2)}\right\rangle \\ &\leq\operatorname{Re}\left\langle{w_1-w_2},{P(w_1)-P(w_2)}\right\rangle \leq\|w_1-w_2\|\,\|P(w_1)-P(w_2)\|, \end{aligned}$ dengan ketaksamaan terakhir berasal dari ketaksamaan Schwarz. Oleh karena itu, $\displaystyle\|P(w_1)-P(w_2)\|\leq\|w_1-w_2\|$ .

Akibatnya,

$\begin{aligned} \|F(v_1)-F(v_2)\|^2 &=\|P(p\breve{u}-pAv_1+v_1)-P(p\breve{u}-pAv_2+v_2)\|^2 \\ &\leq\|p(Av_2-Av_1)-(v_2-v_1)\|^2 \\ &=p^2\|Av_2-Av_1\|^2-2p\operatorname{Re}\left\langle{Av_2-Av_1},{v_2-v_1}\right\rangle +\|v_2-v_1\|^2 \\ &\leq p^2C^2\|v_2-v_1\|^2-2pc\|v_2-v_1\|^2 +\|v_2-v_1\|^2 \\ &=(p^2C^2-2pc+1)\|v_2-v_1\|^2 \end{aligned}$ untuk setiap $v_1,v_2\in K$ , dengan (4.5.5) dan (4.5.6) digunakan pada ketaksamaan terakhir. Pilih $\displaystyle 0<p<2c/C^2$ . Karena $0<c\leq C$ , kita mempunyai

$0\leq p^2C^2-2pc+1<1.$ Memang, $p(pC^2-2c)<0$ , sedangkan nilai minimum ekspresi kuadrat tersebut ialah $1-c^2/C^2\geq0$ . Jadi, $F$ merupakan kontraksi ketat pada $K$ dengan faktor kontraksi $\sqrt{p^2C^2-2pc+1}<1$ .

(iii) Jika $B$ juga merupakan bentuk sesquilinear terbatas yang simetris, keberadaan dan ketunggalan $u\in K$ yang memenuhi (4.5.3) ekuivalen dengan keberadaan dan ketunggalan $u\in K$ yang memenuhi (4.5.4).

Misalkan

$\left\langle{v},{u}\right\rangle_B=B(v,u)$ untuk setiap $u,v\in H$ . Karena $B$ merupakan bentuk sesquilinear terbatas yang koersif dan simetris pada $H$ , $\left\langle{\cdot},{\cdot}\right\rangle_B$ merupakan hasil kali skalar pada $H$ yang ekuivalen dengan hasil kali skalar baku pada $H$ ; yakni, $\left\langle{\cdot},{\cdot}\right\rangle_B$ dan $\left\langle{\cdot},{\cdot}\right\rangle$ mendefinisikan topologi yang sama pada $H$ . Karena itu, Teorema Representasi Riesz memberikan $\check{u}\in H$ tunggal sedemikian sehingga $\displaystyle\tilde{u}(v)=\left\langle{v},{\check{u}}\right\rangle_B$ untuk setiap $v\in H$ . Dengan demikian, (4.5.3) menjadi

$\operatorname{Re}\left\langle{v-u},{\check{u}-u}\right\rangle_B\leq0$ untuk setiap $v\in K$ .

Menurut Proposisi 4.5.2, keberadaan dan ketunggalan $u\in K$ yang memenuhi (4.5.9) ekuivalen dengan keberadaan dan ketunggalan $u\in K$ yang memenuhi

$\|\check{u}-u\|_B=\min_{v\in K}\|\check{u}-v\|_B,$ dengan $\|v\|_B=\sqrt{B(v,v)}$ untuk $v\in H$ . Hal ini ekuivalen dengan keberadaan $v\in K$ tunggal sedemikian sehingga pemetaan

$v\mapsto B(\check{u}-v,\check{u}-v)=B(\check{u},\check{u}) -2\operatorname{Re}B(v,\check{u})+B(v,v)$ mencapai minimumnya, yang pada gilirannya ekuivalen dengan keberadaan $v\in K$ tunggal sedemikian sehingga pemetaan

$v\mapsto-2\operatorname{Re}B(v,\check{u})+B(v,v) =B(v,v)-2\operatorname{Re}\tilde{u}(v)$ mencapai minimumnya. Inilah (4.5.4). ◻

Korolari 4.5.5. Misalkan $B:H\times H\rightarrow\mathbb{C}$ suatu bentuk sesquilinear terbatas dan koersif pada ruang Hilbert $H$ . Maka, untuk setiap $\displaystyle\tilde{u}\in H^\ast$ , terdapat $u\in H$ tunggal sedemikian sehingga

$B(v,u)=\tilde{u}(v)$ untuk setiap $v\in H$ . Selain itu, jika bentuk sesquilinear $B$ juga simetris, maka $u$ merupakan unsur tunggal di $H$ sedemikian sehingga

$\frac{1}{2}B(u,u)-\operatorname{Re}\tilde{u}(u)=\min_{v\in H}\left\{ \frac{1}{2}B(v,v)-\operatorname{Re}\tilde{u}(v)\right\} \ .$

Bukti. Ini adalah Teorema Stampacchia dengan $K=H$ . Untuk membuktikan (4.5.10), perhatikan bahwa (4.5.3) sekarang menyatakan bahwa terdapat $u\in H$ tunggal sedemikian sehingga $\displaystyle\operatorname{Re}B(v-u,u)\geq\operatorname{Re}\tilde{u}(v-u)$ untuk setiap $v\in H$ . Karena $H-u=H$ , pernyataan tersebut ekuivalen dengan keberadaan $u\in H$ tunggal sedemikian sehingga

$\operatorname{Re}B(v,u)\geq\operatorname{Re}\tilde{u}(v)$ untuk setiap $v\in H$ .

Jika $v=w$ dalam (4.5.12), kita memperoleh

$\operatorname{Re}B(w,u)\geq\operatorname{Re}\tilde{u}(w) \ .$ Jika $v=-w$ dalam (4.5.12), kita memperoleh $\operatorname{Re}B(-w,u)\geq\operatorname{Re}\tilde{u}(-w)$ . Oleh karena itu,

$\operatorname{Re}B(w,u)=-\operatorname{Re}B(-w,u)\leq-\operatorname{Re}\tilde{u}(-w)=\operatorname{Re}\tilde{u}(w) \ .$ (4.5.13) dan (4.5.14) mengakibatkan $\displaystyle\operatorname{Re}B(w,u)=\operatorname{Re}\tilde{u}(w)$ untuk setiap $w\in H$ . Jadi, $w\mapsto B(w,u)$ dan $\tilde{u}$ menyatakan fungsional linear yang sama ¹. Dengan demikian, (4.5.10) berlaku.

Jika $u'\neq u$ memenuhi $B(v,u')=\tilde{u}(v)$ untuk setiap $v\in H$ , maka (4.5.12) juga dipenuhi dengan $u'$ menggantikan $u$ . Hal ini bertentangan dengan ketunggalan $u$ yang memenuhi (4.5.12).

Jelas bahwa (4.5.11) adalah (4.5.4) dengan $K=H$ . ◻

Catatan 4.5.6. Jika kita hanya memerlukan keberadaan dan ketunggalan $u\in H$ yang memenuhi (4.5.10), terdapat pembuktian singkat yang hampir sama dengan bagian pertama pembuktian Teorema 4.5.4.

Menurut Teorema Representasi Riesz, terdapat $\breve{u}\in H$ tunggal sedemikian sehingga $\displaystyle\tilde{u}(v)=\left\langle{v},{\breve{u}}\right\rangle$ untuk setiap $v\in H$ .

Serupa dengan itu, karena $v\mapsto B(v,u)$ merupakan fungsional linear terbatas pada $H$ untuk setiap $u\in H$ , Teorema Representasi Riesz mendefinisikan pemetaan tunggal $A:H\rightarrow H$ sedemikian sehingga $\displaystyle B(v,u)=\left\langle{v},{Au}\right\rangle$ untuk setiap $v\in H$ . Dengan kata lain, $Au$ adalah unsur tunggal di $H$ yang memenuhi hubungan tersebut.

Untuk membuktikan keberadaan dan ketunggalan $u\in H$ yang memenuhi (4.5.10), cukup dibuktikan bahwa $A$ merupakan bijeksi linear dari $H$ ke dirinya sendiri. Unsur $u$ yang diminta dalam (4.5.10) ialah $\displaystyle A^{-1}(\breve{u})$ . Bagian pertama pembuktian Teorema 4.5.4 telah menunjukkan bahwa $A$ merupakan pemetaan linear terbatas dan injektif. Sifat koersif $B$ mengakibatkan $A(H)$ tertutup, seperti yang sekarang kita jelaskan. Jika $\displaystyle\{Au_j\}_{j=1}^\infty$ konvergen ke $w\in H$ , maka

$\|Au_j\|\,\|u_j\|\geq|\left\langle{u_j},{Au_j}\right\rangle|=|B(u_j,u_j)| \geq c\|u_j\|^2$ untuk $j\geq1$ . Jadi, $\displaystyle\|Au_j\|\geq c\|u_j\|$ untuk setiap $j$ . Dengan menerapkan ketaksamaan yang sama pada $u_j-u_k$ , kita memperoleh $\|A(u_j-u_k)\|\geq c\|u_j-u_k\|$ . Karena $\displaystyle\{Au_j\}_{j=1}^\infty$ konvergen, barisan ini merupakan barisan Cauchy; akibatnya, $\displaystyle\{u_j\}_{j=1}^\infty$ juga merupakan barisan Cauchy dalam ruang Hilbert $H$ . Jadi, barisan $\displaystyle\{u_j\}_{j=1}^\infty$ konvergen. Misalkan $u$ limit barisan tersebut. Karena $A$ kontinu, kita mempunyai

$w=\lim_{j\rightarrow\infty}Au_j =A\left(\lim_{j\rightarrow\infty}u_j\right)=A(u) \ .$ Jadi, $w\in A(H)$ .

Terakhir, citra $A$ rapat dalam $H$ . Andaikan $\displaystyle w\in A(H)^\perp$ . Maka

$c\|w\|^2\leq|B(w,w)|=|\left\langle{w},{Aw}\right\rangle|=0 \ .$ Karena $\mathcal{R}(A)$ tertutup dan rapat dalam $H$ , kita memperoleh $A(H)=H$ .

Catatan 4.5.7. Pemetaan solusi

$\begin{aligned} T:H^\ast&\rightarrow H \\ \tilde{u}&\mapsto u \end{aligned}$ yang didefinisikan oleh (4.5.10) dalam Akibat 4.5.5 merupakan pemetaan konjugat-linear terbatas (dan merupakan pemetaan linear pada kasus real). Kita menunjukkannya sebagai komposisi suatu pemetaan linear terbatas dengan suatu pemetaan konjugat-linear terbatas.

Misalkan $\displaystyle R:H^\ast\rightarrow H$ adalah pemetaan konjugat-linear terbatas yang memetakan $\tilde{u}$ ke unsur tunggal $R(\tilde{u})$ dari Teorema Representasi Riesz, sehingga $\tilde{u}(v)=\left\langle{v},{R(\tilde{u})}\right\rangle$ untuk setiap $v\in H$ . Kita mempunyai $\|R\|=1$ karena $\|\tilde{u}\|=\|R(\tilde{u})\|$ untuk setiap $\displaystyle\tilde{u}\in H^\ast$ . Misalkan $A:H\rightarrow H$ adalah pemetaan linear terbatas yang didefinisikan dalam Catatan 4.5.6. Karena $A$ merupakan bijeksi linear dari $H$ ke $H$ , Teorema Pemetaan Terbuka menyatakan bahwa $\displaystyle A^{-1}$ kontinu. Akhirnya, $\displaystyle T=A^{-1}\circ R$ , sehingga $T$ konjugat-linear dan terbatas.

Latihan

Masalah yang kami sarankan hanya mencakup ruang $\displaystyle L^2$ , khususnya deret Fourier klasik. Untuk latihan mengenai teori umum analisis fungsional, pembaca sebaiknya merujuk buku-buku seperti Br; ReeSim; Ru; RuFA. Beberapa buku tentang persamaan diferensial parsial dalam bibliografi memuat bagian mengenai analisis fungsional beserta sejumlah latihan dasar. Secara umum, bagian-bagian tersebut bukan pengganti buku analisis fungsional yang baik. Ada satu pengecualian: Br menyajikan pengantar yang baik terhadap hasil-hasil penting analisis fungsional dan juga memuat banyak latihan, dengan solusi terperinci bagi banyak di antaranya. Kami sangat menyarankan buku ini.

Latihan yang disarankan:

Dalam Str: nomor 1 sampai 7 pada Bagian 5.1; nomor 1, 2, dan 9 sampai 15 pada Bagian 5.2; nomor 2 pada Bagian 5.3; serta nomor 1 sampai 16 pada Bagian 5.4.

Atribusi dan hak. Karya sumber oleh Benoit Dionne dilisensikan berdasarkan Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International. Terjemahan dan perubahan yang dicatat menggunakan lisensi komponen yang sama. Produksi terjemahan dan edisi dibantu OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; semua kredit penulis dan kontributor manusia tetap dipertahankan. Ini bukan terbitan atau dukungan resmi Benoit Dionne maupun University of Ottawa.

$\displaystyle\operatorname{Re}B(w,u)=\operatorname{Re}\tilde{u}(w)$ untuk setiap $w\in H$ jika dan hanya jika $\displaystyle\operatorname{Re}B(iw,u)=\operatorname{Re}\tilde{u}(iw)$ untuk setiap $w\in H$ , jika dan hanya jika $\displaystyle\operatorname{Re}(iB(w,u))=\operatorname{Re}(i\tilde{u}(w))$ untuk setiap $w\in H$ , jika dan hanya jika $\displaystyle\operatorname{Im}B(w,u)=\operatorname{Im}\tilde{u}(w)$ untuk setiap $w\in H$ .↩︎