Ruang Hilbert

Batas sumber. Bagian ini mengikat funct_anal.tex baris 1-245 pada sumber beku.

Tinjauan Analisis Fungsional

Materi berikut biasanya disajikan dalam mata kuliah analisis fungsional. Kami mengasumsikan bahwa pembaca telah mengikuti mata kuliah pengantar topologi dan mata kuliah teori ukuran. Rujukan yang baik untuk materi bagian ini adalah Br; ReeSim; Ru; RuFA. Kami secara khusus menyarankan Br. Rujukan tersebut memuat banyak latihan, dan banyak di antaranya disertai penyelesaian terperinci.

Kami mengasumsikan bahwa pembaca telah mempelajari konsep dasar ruang topologis, metrik, linear, dan bernorma. Secara khusus, kami mengasumsikan bahwa pembaca memahami apa yang dimaksud dengan ruang Banach, yaitu ruang bernorma lengkap. Inilah titik awal bab ini.

Ruang Hilbert

Definisi. Suatu ruang hasil kali dalam $H$ atas bilangan kompleks adalah ruang vektor atas $\mathbb{C}$ yang dilengkapi dengan suatu pemetaan $\left\langle{\cdot},{\cdot}\right\rangle:H\times H \rightarrow \mathbb{C}$ sedemikian sehingga

$\left\langle{x},{x}\right\rangle \geq 0$ untuk setiap $x \in H$ .
$\left\langle{x},{x}\right\rangle = 0$ jika dan hanya jika $x=0 \in H$ .
$\left\langle{x},{y}\right\rangle = \overline{\left\langle{y},{x}\right\rangle}$ untuk setiap $x,y \in H$ .
$\left\langle{x+y},{z}\right\rangle = \left\langle{x},{z}\right\rangle + \left\langle{y},{z}\right\rangle$ untuk setiap $x,y,z \in H$ .
$\left\langle{\alpha x},{y}\right\rangle = \alpha \left\langle{x},{y}\right\rangle$ untuk setiap $x,y \in H$ dan $\alpha \in \mathbb{C}$ .

Pemetaan $\left\langle{\cdot},{\cdot}\right\rangle:H\times H \rightarrow \mathbb{C}$ disebut hasil kali skalar atau hasil kali dalam pada $H$ .

Ruang Hilbert merupakan ruang metrik. Kita dapat mendefinisikan norma dan jarak secara alami.

Teorema. Jika $H$ adalah ruang hasil kali dalam atas bilangan kompleks, maka $\displaystyle\| x \| = \sqrt{\left\langle{x},{x}\right\rangle}$ untuk $x \in H$ mendefinisikan suatu norma pada $H$ . Norma ini disebut norma yang diinduksi oleh hasil kali skalar.

Sebagaimana diharapkan dari suatu norma, norma yang diinduksi oleh hasil kali skalar mempunyai sifat-sifat berikut.

Teorema. Jika $H$ adalah ruang hasil kali dalam atas bilangan kompleks, maka

$|\left\langle{x},{y}\right\rangle| \leq \|x\|\,\|y\|$ untuk setiap $x,y\in H$ . Ini disebut ketaksamaan Schwarz.
$\|x+y\| \leq \|x\| + \|y\|$ untuk setiap $x,y\in H$ . Ini disebut ketaksamaan segitiga.

Karena ruang hasil kali dalam $H$ adalah ruang metrik dengan metrik $d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) = \|\boldsymbol{x} - \boldsymbol{y}\|$ untuk setiap $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y} \in H$ , kita dapat mendefinisikan kekonvergenan barisan $\displaystyle\{ \boldsymbol{x}_j \}_{j=0}^\infty$ di $H$ tepat seperti yang dilakukan pada sebarang ruang metrik. Metrik $d$ mendefinisikan suatu topologi pada $H$ .

Definisi. Misalkan $H$ adalah ruang hasil kali dalam atas bilangan kompleks dengan hasil kali skalar $\left\langle{\cdot},{\cdot}\right\rangle:H\times H \rightarrow \mathbb{C}$ . Jika $H$ lengkap terhadap norma yang diinduksi oleh hasil kali skalar ini (yakni, setiap barisan Cauchy di $H$ konvergen ke suatu unsur $H$ ), maka $H$ disebut ruang Hilbert atas bilangan kompleks.

Karena hasil kali dalam mendefinisikan suatu metrik pada ruang hasil kali dalam, kita dapat mendefinisikan kekontinuan fungsi $f:H_1 \to H_2$ dari ruang hasil kali dalam $H_1$ ke ruang hasil kali dalam $H_2$ sebagaimana lazimnya dilakukan untuk fungsi di antara dua ruang metrik.

Proposisi. Misalkan $H$ adalah ruang Hilbert atas bilangan kompleks dan misalkan $y\in H$ . Maka

$\displaystyle x \mapsto \left\langle{x},{y}\right\rangle$ adalah pemetaan linear kontinu.
$\displaystyle x \mapsto \left\langle{y},{x}\right\rangle$ adalah pemetaan konjugat-linear kontinu.
$\displaystyle x \mapsto \|x\|$ adalah pemetaan kontinu.

Selain himpunan bagian terbuka atau tertutup dari ruang Hilbert, terdapat jenis lain himpunan bagian ruang Hilbert yang akan berperan penting kelak ketika menyelesaikan persamaan diferensial parsial.

Definisi. Suatu himpunan bagian $V$ dari ruang vektor $H$ disebut konveks jika $\lambda x + (1-\lambda) y \in V$ untuk setiap $\lambda \in [0,1]$ dan setiap $x,y \in V$ .

Teorema 4.1.7. Jika $V$ adalah himpunan bagian tertutup, konveks, dan tak kosong dari ruang Hilbert $H$ , maka terdapat tepat satu $y \in V$ sedemikian sehingga $\displaystyle\|y\| = \inf_{x\in V} \|x\|$ .

Dalam teorema sebelumnya, $V$ belum tentu kompak.

Definisi 4.1.8. Suatu fungsi linear kontinu dari ruang Hilbert $H$ ke $\mathbb{C}$ disebut fungsional linear kontinu pada $H$ . Ruang semua fungsional linear kontinu pada $H$ dinotasikan dengan $\displaystyle H^\ast$ . Ruang ini disebut ruang dual dari $H$ .

Teorema 4.1.9. Misalkan $H$ adalah ruang Hilbert dan $g:H\rightarrow \mathbb{C}$ adalah fungsional linear kontinu. Maka terdapat tepat satu $y\in H$ sedemikian sehingga $g(x) = \left\langle{x},{y}\right\rangle$ untuk setiap $x\in H$ .

Karena suatu hasil kali dalam didefinisikan pada ruang Hilbert, kita dapat mendefinisikan sudut di antara unsur-unsur ruang Hilbert; secara khusus, kita dapat mendefinisikan kapan dua unsur saling ortogonal.

Definisi. Misalkan $H$ adalah ruang Hilbert. Dua unsur $x_1, x_2 \in H$ disebut ortogonal atau tegak lurus jika $\left\langle{x_1},{x_2}\right\rangle = 0$ . Suatu himpunan $\displaystyle S = \{ x_\alpha \}_{\alpha \in A} \subset H$ , dengan $A$ suatu himpunan indeks, disebut ortogonal jika $\left\langle{x_\alpha},{x_\beta}\right\rangle = 0$ untuk $\alpha\neq\beta$ dan $\left\langle{x_\alpha},{x_\beta}\right\rangle \neq 0$ untuk $\alpha=\beta$ . Himpunan $S$ disebut ortonormal jika

$\left\langle{x_\alpha},{x_\beta}\right\rangle = \begin{cases} 0 & \quad \text{jika} \ \alpha \neq \beta \\ 1 & \quad \text{jika} \ \alpha = \beta \\ \end{cases}$

Teorema. Misalkan $H$ adalah ruang Hilbert dan $\displaystyle\{x_j\}_{j=1}^J$ adalah himpunan bagian ortonormal berhingga dari $H$ . Untuk $x\in H$ , berlaku

$\left\| x - \sum_{j=1}^J \left\langle{x},{x_j}\right\rangle x_j \right\| \leq \left\| x - \sum_{j=1}^J \lambda_j x_j \right\|$ untuk setiap $\lambda_j \in \mathbb{C}$ , dan

$\left\| x - \sum_{j=1}^J \left\langle{x},{x_j}\right\rangle x_j \right\| = \left\| x - \sum_{j=1}^J \lambda_j x_j \right\|$ mengakibatkan bahwa $\lambda_j = \left\langle{x},{x_j}\right\rangle$ untuk setiap $j$ .

Korolari. Misalkan $H$ adalah ruang Hilbert dan $\displaystyle S = \{ x_\alpha \}_{\alpha \in A}$ , dengan $A$ suatu himpunan indeks, adalah himpunan bagian ortonormal dari $H$ . Maka

$\sum_{\alpha \in A} |\left\langle{x},{x_\alpha}\right\rangle|^2 \leq \|x\|^2$ untuk setiap $x \in H$ .

Jumlah dalam (4.1.1) sebenarnya merupakan kuadrat norma fungsi

$\begin{aligned} F_x:A & \rightarrow \mathbb{C}\\ \alpha &\mapsto \left\langle{x},{x_\alpha}\right\rangle \end{aligned}$ di ruang $\displaystyle\ell^2(A)$ yang terdiri atas fungsi-fungsi yang kuadratnya terintegralkan terhadap ukuran pencacahan pada $A$ . Dengan kata lain, (4.1.1) adalah

$\int_A \left| F_x(\alpha)\right|^2\,\mathrm{d}{\nu(\alpha)} \leq \|x\|^2 \ ,$ dengan $\nu$ ukuran pencacahan pada $A$ . Korolari sebelumnya menyatakan bahwa $\displaystyle F_x \in \ell^2(A)$ untuk setiap $x\in H$ .

Karena $\displaystyle F_x \in \ell^2(A)$ , himpunan semua $\alpha$ yang memenuhi $F_x(\alpha) \neq 0$ paling banyak terhitung. Secara lebih tepat, untuk setiap bilangan bulat positif $n$ , himpunan semua $\alpha$ yang memenuhi $|F_x(\alpha)| > 1/n$ berhingga atau kosong.

Teorema 4.1.13. Misalkan $H$ adalah ruang Hilbert dan $\displaystyle S = \{ x_\alpha \}_{\alpha \in A}$ , dengan $A$ suatu himpunan indeks, adalah himpunan bagian ortonormal dari $H$ . Pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

$S$ adalah himpunan bagian ortonormal maksimal dari $H$ .
Himpunan semua kombinasi linear berhingga dari unsur-unsur $S$ rapat di $H$ .
Untuk setiap $x\in H$ , berlaku $\displaystyle\|x\|^2 = \sum_{\alpha \in A} |\left\langle{x},{x_\alpha}\right\rangle|^2$ .
Untuk setiap $x, y \in H$ , berlaku $\displaystyle \left\langle{x},{y}\right\rangle = \sum_{\alpha \in A} \left\langle{x},{x_\alpha}\right\rangle\, \overline{\left\langle{y},{x_\alpha}\right\rangle}$ .

Definisi. Misalkan $H$ adalah ruang Hilbert. Suatu himpunan ortonormal lengkap atau basis ortonormal untuk $H$ adalah himpunan ortonormal $\displaystyle S = \{ x_\alpha \}_{\alpha \in A} \subset H$ , dengan $A$ suatu himpunan indeks, sedemikian sehingga $S$ memenuhi salah satu pernyataan ekuivalen dalam Teorema 4.1.13.

Suatu himpunan ortogonal lengkap atau basis ortogonal untuk $H$ adalah himpunan ortogonal $S = \{ x_\alpha \}_{\alpha \in A}$ , dengan $A$ suatu himpunan indeks, sedemikian sehingga $\displaystyle\{ \|x_\alpha\|^{-1} x_\alpha \}_{\alpha \in A}$ merupakan basis ortonormal.

Definisi sebelumnya mengakibatkan bahwa suatu himpunan ortogonal lengkap $S$ adalah himpunan ortogonal sedemikian sehingga semua kombinasi linear berhingga dari unsur-unsur $S$ rapat di $H$ .

Jika $\displaystyle S = \{ x_\alpha \}_{\alpha \in A}$ , dengan $A$ suatu himpunan indeks, adalah basis ortonormal dari ruang Hilbert $H$ , maka dari Teorema 4.1.13 diperoleh bahwa

$\begin{aligned} T: H & \rightarrow \ell^2(A) \\ x &\mapsto F_x \end{aligned}$ merupakan isometri bijektif, dan lebih lanjut $\displaystyle\left\langle{x},{y}\right\rangle = \int_A F_x(\alpha)\overline{F_y(\alpha)} \,\mathrm{d}{\nu(\alpha)}$ , dengan $\nu$ ukuran pencacahan pada $A$ . Salah satu akibat isomorfisme ini adalah bahwa basis-basis ortonormal di $H$ saling isomorfik (yakni, memiliki kardinalitas yang sama).

Atribusi dan hak. Karya sumber oleh Benoit Dionne dilisensikan berdasarkan Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International. Terjemahan dan perubahan yang dicatat menggunakan lisensi komponen yang sama. Produksi terjemahan dan edisi dibantu OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; semua kredit penulis dan kontributor manusia tetap dipertahankan. Ini bukan terbitan atau dukungan resmi Benoit Dionne maupun University of Ottawa.