Persamaan Eliptik

Persamaan Eliptik

Jika (2.1.1) bersifat eliptik pada suatu himpunan terbuka $\displaystyle U \subset \mathbb{R}^2$, maka

$$\det \begin{pmatrix} a_{2,0}(x,y) & a_{1,1}(x,y) \\ a_{1,1}(x,y) & a_{0,2}(x,y) \end{pmatrix} >0$$ untuk $(x,y)\in U$. Dengan kontinuitas koefisien, pada setiap komponen terhubung dari $U$, simbol utama

bersifat definit positif di semua titik

atau bersifat definit negatif di semua titik; yakni, masing-masing, $Q(x,y,\zeta_1,\zeta_2)>0$ untuk setiap $\displaystyle(\zeta_1,\zeta_2)\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$ atau $Q(x,y,\zeta_1,\zeta_2)<0$ untuk setiap $\displaystyle(\zeta_1,\zeta_2)\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$. Dengan demikian, simbol utama tidak bernilai nol pada kovektor real tak nol. Jadi tidak ada kurva karakteristik real. Secara lebih tepat, setiap kurva real reguler $\Gamma\subset U$ bersifat nonkarakteristik secara lokal untuk syarat (2.1.2). Pernyataan ini hanya menyangkut sifat karakteristik dan tidak dengan sendirinya menjamin keberadaan, ketunggalan, dan kestabilan masalah Cauchy eliptik.

Kita dapat mereduksi (2.1.1) ke bentuk yang lebih sederhana. Perhatikan polinom

$$P(x,y,\phi)=a_{2,0}(x,y)\phi^2(x,y)-2a_{1,1}(x,y)\phi(x,y) +a_{0,2}(x,y)\ .$$(2.3.1) Pemilihan polinom ini dimotivasi oleh syarat (2.2.5) yang sebelumnya digunakan untuk memperkenalkan simbol utama. Polinom ini tidak mempunyai akar real, tetapi mempunyai dua akar kompleks yang berbeda:

$$\phi_{\pm}(x,y)=\frac{a_{1,1}(x,y)\pm i \sqrt{a_{2,0}(x,y)a_{0,2}(x,y)-a_{1,1}^2(x,y)}} {a_{2,0}(x,y)}\ .$$ Secara lokal, dengan regularitas koefisien yang memadai, andaikan tersedia suatu integral pertama bernilai kompleks $\psi(x,y)$ dengan $\displaystyle\frac{\partial{\psi}}{\partial y}\neq0$ yang memenuhi $\displaystyle\frac{\partial{\psi}}{\partial x}+\phi_+(x,y)\frac{\partial{\psi}}{\partial y}=0$. Keluarga level kompleks $\displaystyle\psi(x,y)=c\in\mathbb{C}$ kemudian menyandikan hubungan karakteristik formal

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}{x}}=\phi_+(x,y) =-\frac{\partial{\psi}}{\partial x}\bigg/\frac{\partial{\psi}}{\partial y}\ .$$ Substitusi hubungan ini ke (2.3.1) memberikan

$$a_{2,0}(x,y)\left(\frac{\partial{\psi}}{\partial x}\right)^2 +2a_{1,1}(x,y)\frac{\partial{\psi}}{\partial x}\frac{\partial{\psi}}{\partial y} +a_{0,2}(x,y)\left(\frac{\partial{\psi}}{\partial y}\right)^2=0\ .$$(2.3.2)

Misalkan $\displaystyle\eta(x,y)=\operatorname{Re}\psi(x,y) =\frac{\psi(x,y)+\overline{\psi(x,y)}}{2}$ dan $\displaystyle\xi(x,y)=\operatorname{Im}\psi(x,y) =\frac{\psi(x,y)-\overline{\psi(x,y)}}{2i}$. Kita meninjau keluarga-keluarga kurva

$$\eta(x,y)=h \quad\text{dan}\quad \xi(x,y)=k\ ,$$ dengan $h$ dan $k$ konstanta real. Pada lingkungan lokal tempat $\displaystyle\frac{\partial{\psi}}{\partial y}\neq0$, berlaku

$$\frac{\partial{\psi}}{\partial x}\bigg/\frac{\partial{\psi}}{\partial y} =-\phi_+(x,y)\neq-\phi_-(x,y) =\overline{\left(\frac{\partial{\psi}}{\partial x}\bigg/\frac{\partial{\psi}}{\partial y}\right)} =\frac{\partial{\overline{\psi}}}{\partial x}\bigg/ \frac{\partial{\overline{\psi}}}{\partial y}$$ karena $\operatorname{Im}\phi_{\pm}\neq0$. Oleh sebab itu,

$$\begin{aligned} \frac{\partial(\eta,\xi)}{\partial(x,y)} &=\frac{\partial{\eta}}{\partial x}\frac{\partial{\xi}}{\partial y} -\frac{\partial{\eta}}{\partial y}\frac{\partial{\xi}}{\partial x} \\ &=\frac{1}{4i} \left(\frac{\partial{\psi}}{\partial x}+\overline{\frac{\partial{\psi}}{\partial x}}\right) \left(\frac{\partial{\psi}}{\partial y}-\overline{\frac{\partial{\psi}}{\partial y}}\right) \\ &\qquad-\frac{1}{4i} \left(\frac{\partial{\psi}}{\partial y}+\overline{\frac{\partial{\psi}}{\partial y}}\right) \left(\frac{\partial{\psi}}{\partial x}-\overline{\frac{\partial{\psi}}{\partial x}}\right) \\ &=-\frac{1}{2i}\left( \frac{\partial{\psi}}{\partial x}\overline{\frac{\partial{\psi}}{\partial y}} -\frac{\partial{\psi}}{\partial y}\overline{\frac{\partial{\psi}}{\partial x}} \right)\neq0 . \end{aligned}$$ Jadi, (2.1.3) dipenuhi secara lokal.

Dari (2.3.2) diperoleh

$$\begin{aligned} 0&=a_{2,0}(x,y) \left(\frac{\partial{\eta}}{\partial x}+i\frac{\partial{\xi}}{\partial x}\right)^2 +2a_{1,1}(x,y) \left(\frac{\partial{\eta}}{\partial x}+i\frac{\partial{\xi}}{\partial x}\right) \left(\frac{\partial{\eta}}{\partial y}+i\frac{\partial{\xi}}{\partial y}\right) \\ &\qquad+a_{0,2}(x,y) \left(\frac{\partial{\eta}}{\partial y}+i\frac{\partial{\xi}}{\partial y}\right)^2 \\ &=\left(a_{2,0}(x,y)\left(\frac{\partial{\eta}}{\partial x}\right)^2 +2a_{1,1}(x,y)\frac{\partial{\eta}}{\partial x}\frac{\partial{\eta}}{\partial y} +a_{0,2}(x,y)\left(\frac{\partial{\eta}}{\partial y}\right)^2\right) \\ &\qquad-\left(a_{2,0}(x,y)\left(\frac{\partial{\xi}}{\partial x}\right)^2 +2a_{1,1}(x,y)\frac{\partial{\xi}}{\partial x}\frac{\partial{\xi}}{\partial y} +a_{0,2}(x,y)\left(\frac{\partial{\xi}}{\partial y}\right)^2\right) \\ &\qquad+2i\left(a_{2,0}(x,y)\frac{\partial{\eta}}{\partial x}\frac{\partial{\xi}}{\partial x} +a_{1,1}(x,y)\left( \frac{\partial{\eta}}{\partial y}\frac{\partial{\xi}}{\partial x} +\frac{\partial{\eta}}{\partial x}\frac{\partial{\xi}}{\partial y}\right) +a_{0,2}(x,y)\frac{\partial{\eta}}{\partial y}\frac{\partial{\xi}}{\partial y}\right)\ . \end{aligned}$$ Bagian real dan imajiner dari pernyataan ini masing-masing memberikan

$$\begin{aligned} &a_{2,0}(x,y)\left(\frac{\partial{\eta}}{\partial x}\right)^2 +2a_{1,1}(x,y)\frac{\partial{\eta}}{\partial x}\frac{\partial{\eta}}{\partial y} +a_{0,2}(x,y)\left(\frac{\partial{\eta}}{\partial y}\right)^2 \\ &\qquad=a_{2,0}(x,y)\left(\frac{\partial{\xi}}{\partial x}\right)^2 +2a_{1,1}(x,y)\frac{\partial{\xi}}{\partial x}\frac{\partial{\xi}}{\partial y} +a_{0,2}(x,y)\left(\frac{\partial{\xi}}{\partial y}\right)^2 \end{aligned}$$ dan

$$a_{2,0}(x,y)\frac{\partial{\eta}}{\partial x}\frac{\partial{\xi}}{\partial x} +a_{1,1}(x,y)\left( \frac{\partial{\eta}}{\partial y}\frac{\partial{\xi}}{\partial x} +\frac{\partial{\eta}}{\partial x}\frac{\partial{\xi}}{\partial y}\right) +a_{0,2}(x,y)\frac{\partial{\eta}}{\partial y}\frac{\partial{\xi}}{\partial y}=0\ .$$ Dengan perubahan koordinat ini, (2.1.1) menjadi (2.1.4) dengan $A_{2,0}=A_{0,2}\neq0$ (karena $Q$ definit pada komponen terhubung yang sedang ditinjau) dan $A_{1,1}=0$. Setelah membagi dengan $A_{2,0}$, kita memperoleh persamaan berbentuk

$$\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{2}}+\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \xi^{2}} +\alpha_{1,0}(\eta,\xi)\frac{\partial{u}}{\partial \eta} +\alpha_{0,1}(\eta,\xi)\frac{\partial{u}}{\partial \xi} +\alpha_{0,0}(\eta,\xi)u+\beta(\eta,\xi)=0\ ,$$(2.3.3) dengan $\displaystyle\alpha_{1,0}=A_{1,0}/A_{2,0}$, $\alpha_{0,1}=A_{0,1}/A_{2,0}$, $\alpha_{0,0}=A_{0,0}/A_{2,0}$, dan $\beta=B/A_{2,0}$. Persamaan (2.3.3) merupakan

bentuk baku dari suatu persamaan eliptik.