Persamaan Parabolik

Persamaan Parabolik

Misalkan (2.1.1) bersifat parabolik pada suatu himpunan terbuka di $\displaystyle\mathbb{R}^2$. Maka, di setiap titik himpunan itu bagian utamanya tidak nol dan

$$\det \begin{pmatrix} a_{2,0}(x,y) & a_{1,1}(x,y) \\ a_{1,1}(x,y) & a_{0,2}(x,y) \end{pmatrix} =0 .$$(2.3.10) Jadi, simbol utama merupakan bentuk kuadratik degenerat berperingkat satu. Terdapat tepat satu arah konormal karakteristik real. Kurva real reguler yang konormalnya terletak pada arah tersebut bersifat karakteristik; kurva reguler lainnya bersifat nonkarakteristik secara lokal untuk syarat (2.1.2). Seperti sebelumnya, pernyataan ini tidak dengan sendirinya menjamin keberadaan, ketunggalan, dan kestabilan masalah Cauchy.

Tetapkan suatu titik $\boldsymbol{p}$ dalam himpunan terbuka tersebut. Karena matriks bagian utama berperingkat satu, sedikitnya satu di antara $a_{2,0}(\boldsymbol{p})$ dan $a_{0,2}(\boldsymbol{p})$ tidak nol. Dengan menukar $x$ dan $y$ jika perlu, kita dapat mengambil $a_{2,0}(\boldsymbol{p})\neq0$. Kontinuitas kemudian memberikan suatu lingkungan yang lebih kecil tempat $a_{2,0}(x,y)\neq0$. Inilah satu-satunya asumsi pembagian yang diperlukan; kita tidak perlu mengasumsikan bahwa kedua koefisien diagonal tidak nol.

Kita mereduksi (2.1.1) ke bentuk yang lebih sederhana pada lingkungan tersebut. Tinjau kembali polinom

$$P(x,y,\phi)=a_{2,0}(x,y)\phi^2(x,y) -2a_{1,1}(x,y)\phi(x,y)+a_{0,2}(x,y)\ .$$(2.3.11) Polinom ini mempunyai satu akar real berulang, yang mungkin bernilai nol, yaitu

$$\phi(x,y)=\frac{a_{1,1}(x,y)}{a_{2,0}(x,y)}\ .$$

Dengan regularitas koefisien yang memadai, pada suatu bagan lokal yang reguler tinjau keluarga kurva $\eta(x,y)=h$ yang diberikan oleh solusi implisit lokal dari $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}{x}}=\phi(x,y)$. Pilih keluarga kurva lain $\xi(x,y)=k$ yang transversal terhadap keluarga pertama, sehingga (2.1.3) dipenuhi. Secara lokal, keluarga seperti itu dapat dipilih di dekat titik reguler yang sedang ditinjau. Pada bagan tempat $\displaystyle\frac{\partial{\eta}}{\partial y}\neq0$,

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}{x}}=\phi(x,y) =-\frac{\partial{\eta}}{\partial x}\bigg/\frac{\partial{\eta}}{\partial y}\ .$$ Substitusi $\phi$ ke (2.3.11) memberikan

$$a_{2,0}(x,y)\left(\frac{\partial{\eta}}{\partial x}\right)^2 +2a_{1,1}(x,y)\frac{\partial{\eta}}{\partial x}\frac{\partial{\eta}}{\partial y} +a_{0,2}(x,y)\left(\frac{\partial{\eta}}{\partial y}\right)^2=0\ .$$(2.3.12) Persamaan ini dapat ditulis sebagai $\displaystyle Q\left(x,y,\frac{\partial{\eta}}{\partial x}(x,y), \frac{\partial{\eta}}{\partial y}(x,y)\right)=0$. Jadi, kurva-kurva keluarga ini merupakan kurva karakteristik.

Dari (2.3.12) diperoleh $A_{2,0}=0$ dalam (2.1.7). Karena ruas kanan (2.1.7) bernilai nol menurut hipotesis, diperoleh pula $A_{1,1}=0$. Dengan perubahan koordinat $(x,y)=(x(\eta,\xi),y(\eta,\xi))$, persamaan (2.1.1) direduksi menjadi (2.1.4) dengan $A_{2,0}=A_{1,1}=0$ dan $A_{0,2}\neq0$. Ketaksamaan terakhir mengikuti dari perubahan koordinat yang tak singular dan bagian utama asal yang berperingkat satu. Setelah membagi dengan $A_{0,2}$, kita memperoleh persamaan berbentuk

$$\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \xi^{2}} +\alpha_{1,0}(\eta,\xi)\frac{\partial{u}}{\partial \eta} +\alpha_{0,1}(\eta,\xi)\frac{\partial{u}}{\partial \xi} +\alpha_{0,0}(\eta,\xi)u+\beta(\eta,\xi)=0\ ,$$(2.3.13) dengan $\displaystyle\alpha_{1,0}=A_{1,0}/A_{0,2}$, $\alpha_{0,1}=A_{0,1}/A_{0,2}$, $\alpha_{0,0}=A_{0,0}/A_{0,2}$, dan $\beta=B/A_{0,2}$. Persamaan (2.3.13) merupakan bentuk baku

dari suatu persamaan parabolik.