Klasifikasi - Kurva Karakteristik

Kurva karakteristik

Sebagaimana akan kita lihat kemudian, tidak setiap kurva awal $\Gamma$ menghasilkan masalah Cauchy yang dibentuk oleh (2.1.1) dan (2.1.2) serta memenuhi keberadaan, ketunggalan, dan kestabilan. Bagian ini berfokus khususnya pada kegagalan penentuan tunggal turunan-turunan orde dua dari data Cauchy.

Definisi sebelumnya masih agak samar dan belum memberikan syarat yang tepat untuk menentukan apakah suatu kurva merupakan kurva karakteristik. Sekarang kita mencari syarat tersebut. Misalkan

$$\Gamma = \left\{ (x_0(s), y_0(s)) : s \in I \right\}$$(2.2.1) untuk dua fungsi terdiferensialkan $x_0:I\rightarrow \mathbb{R}$ dan $y_0:I\rightarrow \mathbb{R}$ pada interval terbuka $I$, dengan parameterisasi reguler, yaitu $\bigl(x_0'(s),y_0'(s)\bigr)\neq(0,0)$ untuk setiap $s\in I$. Turunan syarat awal $u(x_0(s),y_0(s)) = f(x_0(s),y_0(s))$ kemudian memberikan

$$\frac{\mathrm{d}f(x_0(s),y_0(s))}{\mathrm{d}{s}} = \frac{\partial{u}}{\partial x}(x_0(s),y_0(s))\,x_0'(s) + \frac{\partial{u}}{\partial y}(x_0(s),y_0(s))\, y_0'(s) \ .$$(2.2.2) Selain itu,

$$\begin{aligned} &g(x_0(s),y_0(s)) = \frac{\partial{u}}{\partial \nu}(x_0(s),y_0(s)) = \nabla u(x_0(s),y_0(s)) \cdot \nu(x_0(s),y_0(s)) \\ &\quad = \frac{\partial{u}}{\partial x}(x_0(s),y_0(s))\,\nu_1(x_0(s),y_0(s)) + \frac{\partial{u}}{\partial y}(x_0(s),y_0(s))\,\nu_2(x_0(s),y_0(s)) \ . \end{aligned}$$(2.2.3) Sistem persamaan (2.2.2) dan (2.2.3) menentukan $\displaystyle\frac{\partial{u}}{\partial x}$ dan $\displaystyle\frac{\partial{u}}{\partial y}$ secara tunggal sepanjang $\Gamma$ karena

$$\begin{aligned} &\det \begin{pmatrix} x_0'(s) & y_0'(s) \\ \nu_1(x_0(s),y_0(s)) & \nu_2(x_0(s),y_0(s)) \end{pmatrix} \\ &\quad = \big(-y_0'(s),x_0'(s)\big)\cdot \big(\nu_1(x_0(s),y_0(s)), \nu_2(x_0(s),y_0(s))\big) = \epsilon \left\|\bigl(-y_0'(s),x_0'(s)\bigr)\right\| \neq 0 \ , \end{aligned}$$ dengan $\epsilon = 1$ atau $-1$ sesuai arah $(-y_0'(s),x_0'(s))$ dan $\nu(x_0(s),y_0(s))$. Vektor $(-y_0'(s),x_0'(s))$ tegak lurus terhadap kurva $\Gamma$ di $(x_0(s),y_0(s))$, sehingga sejajar dengan vektor normal satuan $\nu(x_0(s),y_0(s))$.

Karena itu, sebagai ganti data $\displaystyle\frac{\partial{u}}{\partial \nu}\bigg|_\Gamma = g$, kita dapat memakai data yang ekuivalen

$$\frac{\partial{u}}{\partial x}\bigg|_\Gamma = g_1 \quad \text{dan} \quad \frac{\partial{u}}{\partial y}\bigg|_\Gamma = g_2 \ .$$(2.2.4) Agar konsisten, (2.2.2) mensyaratkan

$$\frac{\mathrm{d}f(x_0(s),y_0(s))}{\mathrm{d}{s}} = g_1(x_0(s),y_0(s))\,x_0'(s) + g_2(x_0(s),y_0(s))\, y_0'(s) \ .$$

Sepanjang $\Gamma$, turunan-turunan $\displaystyle\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{2}}$, $\displaystyle\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{} \partial y^{}}$, dan $\displaystyle\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial y^{2}}$ merupakan solusi, jika ada, dari sistem linear yang dibentuk oleh (2.1.1) dan turunan terhadap $s$ dari persamaan-persamaan dalam (2.2.4), yaitu

$$\begin{aligned} & a_{2,0}(x_0(s),y_0(s)) \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{2}}(x_0(s),y_0(s)) + 2a_{1,1}(x_0(s),y_0(s)) \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{} \partial y^{}}(x_0(s),y_0(s)) \\ & \quad + a_{0,2}(x_0(s),y_0(s)) \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial y^{2}}(x_0(s),y_0(s)) = - a_{1,0}(x_0(s),y_0(s)) \frac{\partial{u}}{\partial x}(x_0(s),y_0(s)) \\ & \quad - a_{0,1}(x_0(s),y_0(s)) \frac{\partial{u}}{\partial y}(x_0(s),y_0(s)) - a_{0,0}(x_0(s),y_0(s))u(x_0(s),y_0(s)) - b(x_0(s),y_0(s)) \ , \\ &\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{2}}(x_0(s),y_0(s))\, x_0'(s) + \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{} \partial y^{}}(x_0(s),y_0(s))\, y_0'(s) = \frac{\mathrm{d}g_1(x_0(s),y_0(s))}{\mathrm{d}{s}} \\ &\text{dan}\\ &\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{} \partial y^{}}(x_0(s),y_0(s))\, x_0'(s) + \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial y^{2}}(x_0(s),y_0(s))\, y_0'(s) = \frac{\mathrm{d}g_2(x_0(s),y_0(s))}{\mathrm{d}{s}} \ . \end{aligned}$$

Untuk setiap $s\in I$ yang tetap, sistem ini mempunyai solusi tunggal jika dan hanya jika

$$\begin{aligned} &\det \begin{pmatrix} a_{2,0}(x_0(s),y_0(s)) & 2a_{1,1}(x_0(s),y_0(s)) & a_{0,2}(x_0(s),y_0(s)) \\ x_0'(s) & y_0'(s) & 0 \\ 0 & x_0'(s) & y_0'(s) \end{pmatrix} \\ & \qquad = a_{2,0}(x_0(s),y_0(s)) \left(y_0'(s)\right)^2 -2 a_{1,1}(x_0(s),y_0(s)) x_0'(s) y_0'(s) \\ & \qquad\qquad + a_{0,2}(x_0(s),y_0(s)) \left(x_0'(s)\right)^2 \neq 0 \ . \end{aligned}$$(2.2.5) Dengan demikian, ketiga turunan orde dua ditentukan secara tunggal sepanjang $\Gamma$ jika dan hanya jika syarat determinan di atas berlaku untuk setiap $s\in I$.

Hal ini memotivasi definisi berikut.

Kita telah membuktikan proposisi berikut.

Karena $\displaystyle\left(-y_0'(s),x_0'(s)\right)$ tegak lurus terhadap kurva $\Gamma$ di $\displaystyle\left(x_0(s),y_0(s)\right)$, syarat di atas dapat dinyatakan kembali sebagai berikut. Kurva $\Gamma$ merupakan kurva karakteristik jika dan hanya jika, di setiap titik $(x,y)$ pada $\Gamma$, berlaku $Q(x,y,\zeta_1,\zeta_2)=0$ untuk setiap kovektor konormal tak nol $\boldsymbol{\zeta}$; melalui identifikasi Euklides, kovektor ini bersesuaian dengan vektor normal terhadap $\Gamma$ di $(x,y)$.

Jika $\Gamma$ diberikan secara implisit oleh $\mu(x,y)=c$ untuk suatu konstanta $c$, dengan $\nabla\mu\neq0$ pada $\Gamma$, syarat di atas menjadi sebagai berikut. Kurva $\Gamma$ merupakan kurva karakteristik jika dan hanya jika

$$Q\left(x,y, \frac{\partial{\mu}}{\partial x}(x,y), \frac{\partial{\mu}}{\partial y}(x,y) \right) = 0$$ untuk setiap $(x,y) \in \Gamma$.

Dalam Bagian 2.1, kita memperoleh bahwa (2.1.6) diperlukan dan cukup untuk mereduksi masalah Cauchy (2.1.1) dan (2.1.2) menjadi masalah dengan kurva $\Gamma$ digantikan oleh suatu sumbu dan semua turunan parsial $u$ dapat dihitung. Syarat dalam (2.1.6) dapat dinyatakan dengan simbol utama (2.1.1), yaitu

$$Q\left(p_1,p_2, \frac{\partial{\xi}}{\partial x}(p_1,p_2), \frac{\partial{\xi}}{\partial y}(p_1,p_2) \right) \neq 0 \ .$$ Ini berarti bahwa $\Gamma$ bukan kurva karakteristik di dekat $\boldsymbol{p}=(p_1,p_2)$.

Jika kurva $\Gamma$ untuk syarat (2.1.2) pada (2.1.1) merupakan kurva karakteristik, penentuan Cauchy lokal menjadi singular. Bergantung pada syarat kompatibilitas, solusi mungkin tidak ada atau mungkin tidak tunggal; karena itu, syarat masalah terumus baik tidak terjamin.