Ruang L² Umum

Ruang $\displaystyle L^2$ Umum

Misalkan $\mu$ adalah suatu ukuran pada ruang terukur $\Omega$. Misalkan $\displaystyle L^2(\Omega) \equiv L^2(\Omega, \mu)$ adalah ruang kelas ekuivalensi fungsi terukur $f:\Omega \rightarrow \mathbb{C}$ terhadap kesamaan hampir di mana-mana, sedemikian sehingga $\displaystyle\int_\Omega |f|^2 \,\mathrm{d}{\mu}$ berhingga. Kita dapat mendefinisikan hasil kali skalar pada $\displaystyle L^2(\Omega)$ dengan

$$\left\langle{f},{g}\right\rangle = \int_\Omega f\, \overline{g} \,\mathrm{d}{\mu} \quad , \quad f, g \in L^2(\Omega) \ .$$ Norma $\displaystyle L^2$ terkait adalah

$$\| f \|_2 = \sqrt{\left\langle{f},{f}\right\rangle} = \left(\int_\Omega |f|^2 \,\mathrm{d}{\mu}\right)^{1/2} \quad , \quad f \in L^2(\Omega) \ .$$ Dengan norma ini, $\displaystyle L^2(\Omega)$ merupakan ruang Hilbert.

Berdasarkan Teorema 4.1.13, suatu himpunan ortonormal fungsi $\displaystyle\{ v_\alpha \}_{\alpha \in A}$, dengan $A$ suatu himpunan indeks, lengkap jika $\left\langle{f},{v_\alpha}\right\rangle = 0$ untuk setiap $\alpha \in A$ mengakibatkan bahwa $f = 0$ hampir di mana-mana pada $\Omega$.

Misalkan $\displaystyle S= \{ v_\alpha \}_{\alpha \in A}$, dengan $A$ suatu himpunan indeks, adalah basis ortonormal dari $\displaystyle L^2(\Omega)$. Deret Fourier (tergeneralisasi) suatu fungsi $\displaystyle f \in L^2(\Omega)$ terhadap basis ortonormal $S$ adalah

$$\sum_{\alpha \in A} a_\alpha v_\alpha \ ,$$ dengan

$$a_\alpha = \left\langle{f},{v_\alpha}\right\rangle = \int_\Omega f\, \overline{v}_\alpha \,\mathrm{d}{\mu} \quad, \quad \alpha \in A \ .$$ Ingatlah bahwa himpunan semua $\alpha$ sedemikian sehingga $a_\alpha \neq 0$ paling banyak terhitung. Jika himpunan itu berhingga atau kosong, deretnya berhingga atau nol; jika tak berhingga, ambil sebarang pengurutan $\displaystyle\{ \alpha_j\}_{j=0}^\infty$ dari himpunan indeks $\alpha \in A$ sedemikian sehingga $a_\alpha \neq 0$. Berdasarkan isometri yang didefinisikan dalam (4.1.2), kita memperoleh

$$\left\| f - \sum_{j=0}^{J} a_{\alpha_j} v_{\alpha_j} \right\|_2 = \left( \int_{j \in B_J} \left| F_f(j)\right|^2 \,\mathrm{d}{\nu} \right)^{1/2} \rightarrow 0 \quad \text{saat} \quad J \rightarrow \infty \ ,$$(4.2.1) dengan $F_f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{C}$ didefinisikan oleh $F_f(j) = \left\langle{f},{v_{\alpha_j}}\right\rangle$ untuk setiap $j\in \mathbb{N}$, $B_J = \{J+1, J+2, \ldots\}$, dan $\nu$ adalah ukuran pencacahan pada $\mathbb{N}$. Kekonvergenan integral di atas ke $0$ disebabkan oleh fakta bahwa $\displaystyle F_f \in \ell^2(\mathbb{N})$. Dengan kata lain, (4.2.1) menyatakan bahwa

$$\left( \int_\Omega \left|f - \sum_{j=0}^{J} \: a_{\alpha_j} v_{\alpha_j} \right|^2 \,\mathrm{d}{\mu} \right)^{1/2} = \left( \sum_{j=J+1}^\infty |a_{\alpha_j}|^2 \right)^{1/2} \rightarrow 0 \quad \text{saat} \quad J \rightarrow \infty$$ untuk setiap pengurutan $\displaystyle\{ \alpha_j\}_{j=0}^\infty$ dalam kasus himpunan indeks $\alpha \in A$ sedemikian sehingga $a_\alpha \neq 0$ tak berhingga; kasus berhingga atau kosong berlaku langsung. Kita menulis

$$f = \sum_{\alpha \in A} a_\alpha v_\alpha$$ apabila (4.2.1) dipenuhi. Ini tidak berarti bahwa kita memiliki kekonvergenan titik demi titik. Persoalan ini dibahas dalam Bagian 4.2.3 di bawah.

Ruang $\displaystyle L^2$ pada Garis Real

Salah satu kasus khusus yang penting dalam teori umum ruang $\displaystyle L^2$ diperoleh dengan mengambil $\Omega=[a,b]$ yang dilengkapi dengan ukuran $\mu$ yang didefinisikan pada $[a,b]$ oleh

$$\mu(I) = \int_I p(x) \,\mathrm{d}{x}$$ untuk setiap himpunan bagian terukur Lebesgue $I$ dari $[a,b]$, dengan $p:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ suatu fungsi kontinu sepotong-sepotong pada interval $[a,b]$ sedemikian sehingga $p(x) > 0$ untuk hampir setiap $x \in [a,b]$. Kita juga dapat menggunakan interval terbuka $]a,b[$, baik terbatas maupun tak terbatas. Hasilnya sama.

Ingatlah bahwa suatu fungsi $f$ disebut kontinu sepotong-sepotong pada suatu interval $I$ jika $f$ kontinu pada interval $I$, kecuali di sejumlah berhingga titik, dan $\displaystyle f(c^+) = \lim_{x\to c^+} f(x)$ untuk setiap $c \in I$ yang bukan ujung kanan serta $\displaystyle f(c^-) = \lim_{x\to c^-} f(x)$ untuk setiap $c \in I$ yang bukan ujung kiri; khususnya pada titik-titik tempat $f$ tidak kontinu.

Dalam subbagian ini, $\displaystyle L^2[a,b] \equiv L^2([a,b],\mu)$ secara khusus menyatakan ruang real yang terdiri atas fungsi terukur $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ sedemikian sehingga $\displaystyle\int_a^b f^2 \,\mathrm{d}{\mu} = \int_a^b f^2(x) p(x) \,\mathrm{d}{x}$ berhingga. Hasil kali skalar pada $\displaystyle L^2[a,b]$ adalah

$$\left\langle{f},{g}\right\rangle = \int_a^b f(x) g(x) p(x) \,\mathrm{d}{x} \quad , \quad f, g \in L^2[a,b] \ .$$(4.2.2) Norma $\displaystyle L^2$ terkait adalah

$$\| f \|_2 = \sqrt{\left\langle{f},{f}\right\rangle} = \left(\int_a^b f^2(x) p(x) \,\mathrm{d}{x}\right)^{1/2} \quad , \quad f \in L^2[a,b] \ .$$(4.2.3)

Ruang-ruang $\displaystyle L^2[a,b]$ memiliki basis ortonormal terhitung. Misalkan $\displaystyle\{v_n : n \in \mathbb{N}\} \subset L^2[a,b]$ adalah basis ortonormal untuk $\displaystyle L^2[a,b]$. Deret Fourier suatu fungsi $\displaystyle f \in L^2[a,b]$ terhadap basis ini adalah

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} v_n \ ,$$(4.2.4) dengan

$$a_n = \left\langle{f},{v_n}\right\rangle = \int_a^b f(x) v_n(x) p(x) \,\mathrm{d}{x} \quad, \quad n \in \mathbb{N}\ .$$

Kadang-kadang, kita hanya memiliki suatu himpunan ortogonal lengkap fungsi $\displaystyle\{v_n : n \in \mathbb{N}\} \subset L^2[a,b]$. Dalam hal ini, deret Fourier $\displaystyle f \in L^2[a,b]$ terhadap himpunan fungsi tersebut adalah

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} v_n \ ,$$(4.2.5) dengan

$$a_n = \frac{\left\langle{f},{v_n}\right\rangle}{\| v_n \|^2} = \left( \int_a^b (v_n(x))^2 p(x) \,\mathrm{d}{x} \right)^{-1} \int_a^b f(x) v_n(x) p(x) \,\mathrm{d}{x} \quad, \quad n \in \mathbb{N}\ .$$

Kelengkapan basis ortonormal atau himpunan ortogonal yang digunakan dalam (4.2.4) dan (4.2.5) mengakibatkan bahwa

$$\left\| f - \sum_{n=0}^{N} a_n v_n \right\|_2 = \left( \int_a^b \left( f(x) - \sum_{n=0}^{N} \: a_n v_n(x) \right)^2 p(x) \,\mathrm{d}{x} \right)^{1/2} \rightarrow 0 \quad \text{saat} \quad N \rightarrow \infty \ .$$ Kita mengatakan bahwa $\displaystyle\sum_{n=0}^{N} \: a_n v_n$ konvergen dalam $\displaystyle L^2$ ke $f$ saat $N\rightarrow \infty$, dan kita menulis

$$f = \sum_{n=0}^\infty a_n v_n \ .$$ Ingatlah bahwa kesamaan ini bukan kesamaan titik demi titik, melainkan kesamaan dalam $\displaystyle L^2[a,b]$.

Ruang $\displaystyle L^2$ pada Lingkaran Satuan

Salah satu kelas penting ruang $\displaystyle L^2$ adalah ruang fungsi terukur bernilai kompleks $\displaystyle L^2(T) \equiv L^2(T,\nu)$, dengan $T$ lingkaran satuan di $\mathbb{C}$ dan ukuran Lebesgue $\nu$ pada $T$ diperoleh dari panjang busur dibagi dengan $2\pi$. Secara khusus, $\nu(T) =1$.

Misalkan $P$ adalah ruang kelas ekuivalensi terhadap kesamaan hampir di mana-mana dari fungsi terukur bernilai kompleks yang $2\pi$-periodik pada $\mathbb{R}$ sedemikian sehingga

$$\left(\int_{-\pi}^\pi |f|^2 \,\mathrm{d}{\mu}\right)^{1/2} < \infty \ ,$$ dengan $\mu$ ukuran Lebesgue pada $[-\pi,\pi]$ yang dibagi dengan $2\pi$. Jika norma pada $P$ didefinisikan oleh

$$\|f\|_2 = \left(\int_{-\pi}^\pi |f|^2 \,\mathrm{d}{\mu}\right)^{1/2} \ ,$$ maka terdapat suatu isometri antara $\displaystyle L^2(T,\nu)$ dan $P$ yang didefinisikan oleh

$$\begin{aligned} Q: L^2(T,\nu) & \rightarrow P \\ f & \mapsto f(e^{x\,i}) \end{aligned}$$ Kita memperoleh

$$\left(\int_T |f(z)|^2\,\mathrm{d}{\nu}(z) \right)^{1/2} = \left(\int_{-\pi}^\pi |f(e^{x\,i})|^2\,\mathrm{d}{\mu}(x) \right)^{1/2} \ ,$$ Setiap himpunan terukur $B \subset T$ berbentuk $\displaystyle B = e^{Ai} \equiv \{e^{x\,i} : x\in A\}$ dengan $A \subset [-\pi,\pi]$ suatu himpunan terukur, dan sebaliknya. Kita juga memperoleh $\displaystyle\nu(e^{Ai}) = \mu(A)$.

Definisi berikut dibenarkan oleh isometri di atas.

Konteks akan menentukan ruang mana di antara keduanya yang sedang kita gunakan.

Himpunan $\displaystyle\left\{ e^{n x\, i} : n \in \mathbb{Z}\right\}$ adalah suatu himpunan ortonormal lengkap dalam $\displaystyle L^2(T)$. Ekspansi Fourier klasik suatu fungsi bernilai kompleks $\displaystyle f \in L^2(T)$ adalah

$$\sum_{n\in \mathbb{Z}} c_n e^{n x\, i} \ ,$$ dengan

$$c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \, f(x) e^{-n x\, i} \,\mathrm{d}{x} \quad , \quad n \in \mathbb{Z}\ .$$(4.2.6)

Kekonvergenan Titik demi Titik Deret Fourier Klasik

Dalam bagian ini, kita membuktikan teorema berikut.

Syarat yang lebih longgar untuk kekonvergenan titik demi titik deret Fourier diberikan dalam RuPMA. Ingatlah bahwa $f$ disebut terdiferensialkan sepotong-sepotong pada $[a,b]$ jika $f$ dan $f'$ kontinu sepotong-sepotong pada $[a,b]$.

Sebelum membuktikan teorema ini, kita memerlukan sebuah lemma yang sangat terkenal.

Misalkan

$$S_N(x) = \sum_{n=-N}^N c_n e^{n x\, i}$$ untuk $N$ suatu bilangan bulat positif dan $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}$. Dari (4.2.6) kita memperoleh bahwa

$$S_N(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sum_{n=-N}^N e^{n(x-t)\, i} \,\mathrm{d}{t} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) D_N(x-t) \,\mathrm{d}{t} \ ,$$ dengan

$$D_N(y) = \sum_{n=-N}^N e^{n y \, i} \ .$$ $D_N$ disebut kernel Dirichlet. Dari

$$(1-e^{y\, i}) \sum_{n=-N}^N e^{n y \, i} = \sum_{n=-N}^N \left( e^{n y \, i} - e^{(n+1) y \, i} \right) = e^{-N y \, i} - e^{(N+1) y \, i} \ ,$$ kita memperoleh

$$D_N(y) = \frac{e^{-N y \, i} - e^{(N+1) y \, i}}{1-e^{y\, i}} = \frac{e^{-(N+1/2) y \, i} - e^{(N+1/2) y \, i}}{e^{-(y/2)\,i}-e^{(y/2)\, i}} = \frac{ \sin( (N+1/2)y)}{\sin(y/2)}$$ untuk $y \neq 2 n \pi$ dengan $n \in \mathbb{Z}$.

Fungsi $D_N(y)$ genap dan $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} D_N(y) \,\mathrm{d}{y} = 2\pi$.