Deret Fourier Klasik

Deret Fourier Klasik untuk Fungsi Bernilai Real

Untuk $L>0$, kita meninjau ruang $\displaystyle L^2[-L,L] = L^2([-L,L],m)$, dengan $m$ ukuran Lebesgue pada interval $[-L,L]$. Suatu himpunan ortogonal lengkap untuk ruang ini diberikan oleh fungsi-fungsi trigonometrik

$$\left\{ \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) : n \geq 0 \right\} \cup \left\{ \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) : n \geq 1 \right\} \ .$$ Lebih tepatnya, kita mempunyai

$$\begin{aligned} \int_{-L}^L \sin\left(\frac{i \pi x}{L}\right) \sin\left(\frac{j \pi x}{L}\right)\,\mathrm{d}{x} & = \begin{cases} 0 & \mbox{ jika } i \neq j \mbox{ dan } i,j > 0\\ L & \mbox{ jika } i = j > 0 \end{cases} \\ \int_{-L}^L \cos\left(\frac{i \pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{j \pi x}{L}\right)\,\mathrm{d}{x} & = \begin{cases} 0 & \mbox{ jika } i \neq j \mbox{ dan } i,j \geq 0 \\ L & \mbox{ jika } i = j > 0 \\ 2L & \mbox{ jika } i = j = 0 \end{cases} \\ &\text{dan}\\ \int_{-L}^L \sin\left(\frac{i \pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{j \pi x}{L}\right)\,\mathrm{d}{x} & = 0 \quad \text{jika} \quad i,j \geq 0 \ . \end{aligned}$$

Dari (4.2.5), kita memperoleh ekspansi Fourier klasik suatu fungsi $\displaystyle f \in L^2[-L,L]$,

$$a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) + b_n \sin\left( \frac{n\pi x}{L}\right) \right) \ ,$$ dengan jumlah-jumlah parsialnya konvergen ke $f$ dalam $L^2[-L,L]$, dan dengan $\displaystyle a_0 = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x) \,\mathrm{d}{x}$, $\displaystyle a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \,\mathrm{d}{x}$ untuk $n \geq 1$, serta
$\displaystyle b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin\left( \frac{n\pi x}{L}\right) \,\mathrm{d}{x}$ untuk $n \geq 1$.

Jika $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ periodik dengan periode $T = 2L$ dan $\displaystyle f\big|_{[-L,L]} \in L^2[-L,L]$, koefisien-koefisien ekspansi Fourier juga diberikan oleh $\displaystyle a_0 = \frac{1}{2L} \int_{\alpha}^{\alpha+2L} f(x) \,\mathrm{d}{x}$,
$\displaystyle a_n = \frac{1}{L} \int_{\alpha}^{\alpha+2L} f(x) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \,\mathrm{d}{x}$ untuk $n \geq 1$, dan $\displaystyle b_n = \frac{1}{L} \int_{\alpha}^{\alpha+2L} f(x) \sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right) \,\mathrm{d}{x}$ untuk $n \geq 1$, di mana $\alpha$ dapat berupa sembarang bilangan real.

Fungsi Ganjil dan Genap

Kita dapat menggunakan sifat bahwa $\displaystyle\int_{-L}^L g(t) \,\mathrm{d}{t} = 0$ jika $g$ merupakan fungsi ganjil, dan $\displaystyle\int_{-L}^L g(t) \,\mathrm{d}{t} = 2 \int_0^L g(t) \,\mathrm{d}{t}$ jika $g$ merupakan fungsi genap, untuk memperoleh rumus-rumus yang lebih sederhana bagi deret Fourier fungsi ganjil dan genap.

Jika $\displaystyle f \in L^2[-L,L]$ merupakan fungsi genap, ekspansi Fouriernya adalah

$$a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \, a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \ ,$$(4.3.1) dengan $\displaystyle a_0 = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} f(x) \,\mathrm{d}{x}$ dan $\displaystyle a_n = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} \, f(x) \cos\left( \frac{n\pi x}{L}\right) \,\mathrm{d}{x}$ untuk $n \geq 1$.

Jika $\displaystyle f\in L^2[-L,L]$ merupakan fungsi ganjil, ekspansi Fouriernya adalah

$$\sum_{n=1}^{\infty} \, b_n \sin \left( \frac{n\pi x}{L}\right) \ ,$$(4.3.2) dengan $\displaystyle b_n = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} \, f(x) \sin \left( \frac{n\pi x}{L}\right) \,\mathrm{d}{x}$ untuk $n \geq 1$.

Deret Fourier sinus suatu fungsi $f:[0,L] \rightarrow \mathbb{R}$ adalah deret Fourier dari perluasan ganjil formal $F:[-L,L]\rightarrow \mathbb{R}$ berikut. Nilai pada $0$ dan $-L$ ditetapkan secara eksplisit agar $F(-x)=-F(x)$ pada seluruh interval; perubahan nilai di titik-titik tunggal ini tidak mengubah kelas $L^2$:

$$F(x) = \begin{cases} f(x) & \quad \text{jika} \ 0 < x \leq L \\ 0 & \quad \text{jika} \ x=0 \\ -f(-x) & \quad \text{jika} \ -L < x < 0 \\ -f(L) & \quad \text{jika} \ x=-L \end{cases}$$ jika $\displaystyle F \in L^2[-L,L]$; pembatasan $F$ ke $[0,L]$ sama dengan $f$ hampir di mana-mana, yakni sebagai kelas $L^2$. Deret Fourier kosinus suatu fungsi $f:[0,L] \rightarrow \mathbb{R}$ adalah deret Fourier dari fungsi genap $F:[-L,L]\rightarrow \mathbb{R}$ yang didefinisikan oleh

$$F(x) = \begin{cases} f(x) & \quad \text{jika} \ 0 \leq x \leq L \\ f(-x) & \quad \text{jika} \ -L \leq x < 0 \end{cases}$$ jika $\displaystyle F\in L^2[-L,L]$.

Deret Fourier dalam (4.3.1) dan (4.3.2) masing-masing konvergen dalam $\displaystyle L^2[0,L]$ ke $f$, yakni ke pembatasan hampir di mana-mana dari perluasan $F$ yang bersesuaian, karena setiap deret konvergen ke perluasan tersebut dalam $\displaystyle L^2[-L,L]$.

Contoh. Carilah deret Fourier fungsi periodik $f$ dengan periode $\pi$ yang didefinisikan oleh $f(x) = |\sin(x)|$, yang grafiknya diberikan pada Gambar 4.1 (rujukan ke bab mendatang).

Kita perhatikan bahwa $f$ merupakan fungsi genap. Oleh karena itu, semua koefisien $b_n$ dalam deret Fourier bernilai nol. Dalam rumus untuk $a_n$, kita mempunyai $L = \pi/2$. Jadi,

$$\begin{aligned} a_0 &= \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi/2} f(x) \,\mathrm{d}{x} = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi/2} \sin(x) \,\mathrm{d}{x} = -\frac{2}{\pi} \cos(x) \bigg|_0^{\pi/2} = \frac{2}{\pi} \\ &\text{dan}\\ a_n &= \frac{4}{\pi} \int_0^{\pi/2} f(x) \cos(2n x) \,\mathrm{d}{x} = \frac{4}{\pi} \int_0^{\pi/2} \sin(x) \cos(2n x) \,\mathrm{d}{x} \\ &= \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi/2} \left( \sin( (2n+1)x) - \sin((2n-1)x) \right) \,\mathrm{d}{x} \\ &= \frac{2}{\pi} \left( -\frac{\cos( (2n+1)x)}{2n+1} + \frac{\cos((2n-1)x)}{2n-1} \right)\bigg|_0^{\pi/2} = \frac{4}{(1-4n^2)\pi} \ . \end{aligned}$$ Dalam $L^2[-\pi/2,\pi/2]$, kita memperoleh

$$f = \frac{2}{\pi} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4}{(1-4n^2)\pi} \cos(2n x) \ .$$

Kasus Khusus Lainnya

Dengan memperluas definisi suatu fungsi $f:[0,L] \to \mathbb{R}$ ke interval yang lebih besar daripada $[0,L]$, kita dapat memperoleh deret Fourier yang berbeda bagi $f$ pada $[0,L]$ dalam bentuk fungsi-fungsi sinus dan kosinus.

Sebagai contoh, jika kita memperluas fungsi $\displaystyle f \in L^2[0,L]$ menjadi fungsi genap $F:[-2L,2L]\rightarrow \mathbb{R}$ sebagai berikut,

$$F(x) = \begin{cases} -f(2L-x) & \quad \text{jika} \ L<x\leq 2L \\ f(x) & \quad \text{jika} \ 0 \leq x\leq L \\ f(-x) & \quad \text{jika} \ -L\leq x < 0 \\ -f(2L+x) & \quad \text{jika} \ -2L\leq x < -L \end{cases}$$ maka $\displaystyle F\in L^2[-2L,2L]$, dan deret Fourier kosinus $F$ pada $[0,2L]$ yang dibatasi ke $[0,L]$ memberikan representasi deret berikut bagi $f$ pada $[0,L]$, dengan kekonvergenan dalam $L^2[0,L]$:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \, a_n \cos\left(\frac{(2n-1)\pi x}{2L}\right)$$(4.3.3) pada $[0,L]$ dalam pengertian $L^2$, dengan $\displaystyle a_n = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} \, f(x) \cos\left(\frac{(2n-1) \pi x}{2L}\right) \,\mathrm{d}{x}$ untuk $n \geq 1$. Untuk memperoleh rumus ini, kita perlu memperhatikan bahwa

$$\cos\left(\frac{m \pi x}{2L}\right) = \begin{cases} \displaystyle \cos\left(\frac{m \pi (2L-x)}{2L}\right) & \quad \text{jika $m$ genap} \\ \displaystyle -\cos\left(\frac{m \pi (2L-x)}{2L}\right) & \quad \text{jika $m$ ganjil} \end{cases}$$ untuk $L \leq x \leq 2L$. Jadi,

$$F(x) \cos\left(\frac{m \pi x}{2L}\right) = F(x) \cos\left(\frac{m \pi (2L-x)}{2L}\right) = -F\left( 2L-x\right) \cos\left(\frac{m \pi (2L-x)}{2L}\right)$$ untuk $m$ genap dan $L < x \leq 2L$, sedangkan

$$F(x) \cos\left(\frac{m \pi x}{2L}\right) = -F(x) \cos\left(\frac{m \pi (2L-x)}{2L}\right) = F\left( 2L-x\right) \cos\left(\frac{m \pi (2L-x)}{2L}\right)$$ untuk $m$ ganjil dan $L < x \leq 2L$. Selanjutnya, kita memperoleh

$$a_m = \frac{2}{2L} \int_{0}^{2L} \, F(x) \cos\left(\frac{m \pi x}{2L}\right) \,\mathrm{d}{x} = \begin{cases} \displaystyle\frac{2}{L} \int_{0}^{L} \, f(x) \cos\left(\frac{m \pi x}{2L}\right) \,\mathrm{d}{x} & \quad \text{jika $m$ ganjil} \\ 0 & \quad \text{jika $m$ genap} \end{cases}$$

Jika kita memperluas fungsi $\displaystyle f \in L^2[0,L]$ menjadi fungsi ganjil $F:[-2L,2L]\rightarrow \mathbb{R}$ sebagai berikut,

$$F(x) = \begin{cases} f(2L-x) & \quad \text{jika} \ L<x\leq 2L \\ f(x) & \quad \text{jika} \ 0 < x\leq L \\ 0 & \quad \text{jika} \ x=0 \\ -f(-x) & \quad \text{jika} \ -L\leq x < 0 \\ -f(2L+x) & \quad \text{jika} \ -2L\leq x < -L \end{cases}$$ maka $\displaystyle F\in L^2[-2L,2L]$, dengan $F\big|_{[0,L]}=f$ hampir di mana-mana (yakni sebagai kelas $L^2$), dan deret Fourier sinus $F$ pada $[0,2L]$ yang dibatasi ke $[0,L]$ memberikan representasi deret berikut bagi $f$ pada $[0,L]$, dengan kekonvergenan dalam $L^2[0,L]$:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \, b_n \sin\left(\frac{(2n-1)\pi x}{2L}\right)$$(4.3.4) pada $[0,L]$ dalam pengertian $L^2$, dengan $\displaystyle b_n = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} \, f(x) \sin\left(\frac{(2n-1)\pi x}{2L}\right) \,\mathrm{d}{x}$ untuk $n \geq 1$. Kita dapat meneruskan seperti di atas untuk memperoleh hasil ini.

Deret Fourier dalam (4.3.3) dan (4.3.4) masing-masing konvergen dalam $\displaystyle L^2[0,L]$ ke $f$, yakni ke pembatasan hampir di mana-mana dari perluasan $F$ yang bersesuaian, karena setiap deret konvergen ke perluasan tersebut dalam $\displaystyle L^2[-2L,2L]$.

Deret Fourier Fungsi Dua Variabel

Jika, dalam definisi umum ruang $\displaystyle L^2$, kita mengambil $a<b$ dan $c<d$, serta $\Omega =[a,b]\times[c,d]$ dan $\mu$ sebagai ukuran Lebesgue pada $\Omega$, maka kita memperoleh ruang $\displaystyle L^2([a,b]\times[c,d]) = L^2([a,b]\times[c,d],\mu)$ yang terdiri atas kelas-kelas ekuivalensi, modulo kesamaan hampir di mana-mana, dari fungsi-fungsi terukur yang kuadratnya terintegralkan pada persegi panjang $[a,b]\times[c,d]$. Pembaca dipersilakan menuliskan definisi hasil kali skalar, norma, himpunan ortogonal, himpunan lengkap, … dalam kasus khusus $\displaystyle L^2([a,b]\times[c,d])$.

Kita dapat memperluas konsep deret Fourier klasik secara alami kepada fungsi-fungsi dalam $\displaystyle L^2([a,b]\times[c,d])$. Sebagai contoh, untuk $a,b>0$, deret Fourier sinus suatu fungsi $\displaystyle f \in L^2([0,a]\times[0,b])$ adalah

$$\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \, c_{m,n} \sin\left(\frac{m \pi x}{a} \right)\sin\left(\frac{n \pi y}{b} \right) \ ,$$ dengan $\displaystyle c_{m,n} = \frac{4}{ab} \int_{0}^{b} \int_{0}^{a} f(x,y) \sin \left(\frac{m \pi x}{a}\right) \sin\left(\frac{n \pi y}{b}\right) \,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}$ untuk $n,m \geq 1$. Notasi jumlah ganda ini berarti bahwa jumlah parsial persegi panjang $\displaystyle S_{M,N}(x,y)=\sum_{m=1}^{M}\sum_{n=1}^{N}c_{m,n} \sin\left(\frac{m\pi x}{a}\right)\sin\left(\frac{n\pi y}{b}\right)$ memenuhi $\displaystyle\|f-S_{M,N}\|_{L^2([0,a]\times[0,b])}\to0$ saat $M,N\to\infty$.

Contoh-contoh lain deret Fourier klasik dalam $\displaystyle L^2([a,b]\times[c,d])$ diserahkan kepada pembaca.