Klasifikasi Linear dalam R^n

Batas sumber. Bagian ini mengikat classification.tex baris 1182-1508 pada sumber beku.

Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial Linear dalam $\displaystyle\mathbf{\mathbb{R}^n}$

Meskipun persamaan diferensial parsial linear berorde lebih dari satu dapat direduksi menjadi suatu sistem persamaan diferensial parsial linear orde pertama, reduksi tersebut belum tentu menguntungkan. Selain itu, karena sistem linear tereduksi yang terdiri atas persamaan diferensial parsial orde pertama mungkin tidak memiliki jumlah persamaan dan variabel tak diketahui yang sama, mendefinisikan simbol utama untuk sistem semacam itu bukanlah perkara sepele (lihat RenRog). Karena alasan ini, kami hanya menyajikan klasifikasi persamaan diferensial parsial linear umum berbentuk

$L(\boldsymbol{x}, \mathrm{D})u = \sum_{|\boldsymbol{\alpha}|\leq m} a_{\boldsymbol{\alpha}}(\boldsymbol{x}) \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u = f \ ,$ dengan $\displaystyle u:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ sekurang-kurangnya merupakan fungsi kelas $\displaystyle C^m$ , $\displaystyle f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ kontinu, dan $\displaystyle a_{\boldsymbol{\alpha}}:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ merupakan fungsi kelas $\displaystyle C^\infty$ untuk semua multiindeks yang terlibat dalam penjumlahan. Kami akan memperlonggar syarat pada $f$ dan $a_{\boldsymbol{\alpha}}$ mulai Bab 12.

Definisi 2.4.5. Suatu himpunan bagian $S$ dari $\displaystyle\mathbb{R}^n$ disebut

hiperpermukaan jika $S$ merupakan manifold berdimensi $n-1$ yang dapat diorientasikan. $S$ disebut hiperpermukaan kelas $\displaystyle C^k$ jika $S$ merupakan manifold kelas $\displaystyle C^k$ . Demikian pula, $S$ disebut hiperpermukaan analitik jika $S$ merupakan manifold analitik.

Jika $S$ suatu hiperpermukaan, maka secara lokal kita dapat menyatakan $S$ sebagai solusi suatu persamaan $\phi(\boldsymbol{x}) = 0$ untuk suatu fungsi $\displaystyle\phi:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ . Jika $S$ merupakan hiperpermukaan kelas $\displaystyle C^k$ , kita dapat memilih $\phi$ kelas $\displaystyle C^k$ ; jika $S$ analitik, kita dapat memilih $\phi$ analitik. Mulai sekarang, kita akan menganggap bahwa hiperpermukaan yang dibahas cukup mulus.

Seperti halnya persamaan diferensial parsial orde dua di bidang, kita memiliki definisi-definisi berikut.

Definisi 2.4.6. Perhatikan masalah Cauchy yang diberikan oleh (2.4.10) dengan syarat pada $u$ dan turunan (berarah) fungsi tersebut yang berorde $\boldsymbol{\alpha}$ dengan $|\boldsymbol{\alpha}|<m$ pada suatu hiperpermukaan $S$ . Maka $S$ merupakan

permukaan karakteristik untuk masalah Cauchy ini jika (2.4.10) beserta syarat pada $u$ dan turunan (berarah) fungsi tersebut tidak cukup untuk menentukan semua turunan parsial (campuran maupun bukan) yang berorde $m$ dari $u$ di suatu lingkungan $S$ .

Definisi 2.4.7.

Simbol utama (juga disebut

bentuk karakteristik) yang terkait dengan operator diferensial parsial linear $\displaystyle L(\boldsymbol{x}, \mathrm{D})$ yang didefinisikan dalam (2.4.10) adalah

$Q(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\xi}) = \sum_{|\boldsymbol{\alpha}|=m} a_{\boldsymbol{\alpha}}(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{\xi}^\alpha$ untuk $\boldsymbol{x}$ dan $\boldsymbol{\xi}$ di $\displaystyle\mathbb{R}^n$ .

Kita memperoleh hasil berikut.

Proposisi 2.4.8. Suatu hiperpermukaan $S$ merupakan permukaan karakteristik jika dan hanya jika $\displaystyle Q\left(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\nu}(\boldsymbol{x}) \right) = 0$ untuk setiap $\boldsymbol{x} \in S$ , dengan $\displaystyle\boldsymbol{\nu}(\boldsymbol{x})$ suatu vektor normal tak nol terhadap $S$ di $\boldsymbol{x}$ .

Sebelum memberikan klasifikasi persamaan diferensial parsial linear berorde lebih dari $2$ , kita memperluas klasifikasi persamaan diferensial parsial linear berorde $2$ yang diberikan dalam Bagian 2.3 ke $\displaystyle\mathbb{R}^n$ dengan $n>2$ .

Perhatikan persamaan diferensial parsial linear orde dua

$L(\boldsymbol{x}, \mathrm{D})u = \sum_{i,j=1}^n a_{i,j}(\boldsymbol{x}) \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x_i^{} \partial x_j^{}} + \sum_{i=1}^n b_i(\boldsymbol{x}) \frac{\partial{u}}{\partial x_i} + c(\boldsymbol{x})u = 0 \ ,$ dengan $\displaystyle u:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ , $\displaystyle a_{i,j} \in C^2(\mathbb{R}^n)$ , $\displaystyle b_i \in C^1(\mathbb{R}^n)$ , dan $\displaystyle c \in C(\mathbb{R}^n)$ . Simbol utamanya berbentuk

$Q(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\xi}) = \sum_{i,j=1}^n a_{i,j}(\boldsymbol{x})\xi_i \xi_j = \xi^\top\ A(\boldsymbol{x})\ \xi \ ,$ dengan $A(\boldsymbol{x})$ matriks $n\times n$ yang entri-entrinya $a_{i,j}(\boldsymbol{x})$ .

Definisi 2.4.9. Perhatikan operator diferensial parsial linear $L(\boldsymbol{x}, \mathrm{D})$ dalam (2.4.12) dengan simbol utamanya $Q$ yang diberikan dalam (2.4.13).

$L(\boldsymbol{x}, \mathrm{D})$ bersifat

eliptik di $\boldsymbol{x}$ jika semua nilai eigen $A(\boldsymbol{x})$ memiliki tanda yang sama.
$L(\boldsymbol{x}, \mathrm{D})$ bersifat

hiperbolik di $\boldsymbol{x}$ jika semua nilai eigen $A(\boldsymbol{x})$ tak nol dan semuanya kecuali satu memiliki tanda yang sama.
$L(\boldsymbol{x}, \mathrm{D})$ bersifat ultrahiperbolik

di $\boldsymbol{x}$ jika semua nilai eigen $A(\boldsymbol{x})$ tak nol dan terdapat lebih dari satu nilai eigen untuk masing-masing tanda.
$L(\boldsymbol{x}, \mathrm{D})$ bersifat parabolik

di $\boldsymbol{x}$ jika $A(\boldsymbol{x})$ singular; yakni, $A(\boldsymbol{x})$ memiliki sekurang-kurangnya satu nilai eigen nol.

Di $\displaystyle\mathbb{R}^2$ , definisi ini ekuivalen dengan Definisi 2.3.1. Ingat bahwa semua nilai eigen suatu matriks simetris bernilai real.

Kita tidak akan mencoba memberikan klasifikasi lengkap untuk persamaan diferensial parsial berorde lebih dari $2$ . Bahkan, kita hanya akan memperhatikan persamaan diferensial parsial eliptik dan membuktikan satu hasil yang menarik tentang persamaan tersebut.

Definisi 2.4.10. Misalkan $L(\boldsymbol{x}, \mathrm{D})$ adalah operator diferensial parsial linear yang didefinisikan dalam (2.4.10) dan $Q$ adalah simbol utama terkait yang didefinisikan dalam (2.4.11). $L(\boldsymbol{x}, \mathrm{D})$ bersifat

eliptik di $\boldsymbol{x}$ jika $\displaystyle Q(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\xi}) \neq 0$ untuk setiap $\displaystyle\boldsymbol{\xi} \in \mathbb{R}^n\setminus \{\boldsymbol{0}\}$ .

Dalam kasus $m=2$ pada (2.4.10), definisi persamaan diferensial parsial eliptik yang diberikan dalam Definisi 2.4.9 ekuivalen dengan definisi yang diberikan dalam Definisi 2.4.10.

Proposisi berikut menunjukkan bahwa orde suatu operator diferensial parsial linear eliptik harus genap.

Proposisi 2.4.11. Misalkan $L(\boldsymbol{x}, \mathrm{D})$ adalah operator diferensial parsial linear eliptik berorde $m$ di $\displaystyle\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n$ , $n>1$ .

Jika $\displaystyle a_{\boldsymbol{\alpha}}:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ untuk semua multiindeks $\boldsymbol{\alpha}$ sedemikian sehingga $|\boldsymbol{\alpha}|=m$ , maka $m$ genap. Selain itu, simbol utama terkait $Q(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\xi})$ bernilai positif untuk setiap $\boldsymbol{\xi} \neq \boldsymbol{0}$ atau negatif untuk setiap $\boldsymbol{\xi} \neq \boldsymbol{0}$ .
Jika $\displaystyle a_{\boldsymbol{\alpha}}:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{C}$ untuk sejumlah multiindeks $\boldsymbol{\alpha}$ sedemikian sehingga $|\boldsymbol{\alpha}|=m$ dan $n>2$ , maka $m$ genap.

Bukti. (i) Misalkan $\displaystyle a_{\boldsymbol{\alpha}}:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ untuk semua multiindeks $\boldsymbol{\alpha}$ sedemikian sehingga $|\boldsymbol{\alpha}|=m$ .

Selain itu, andaikan terdapat $\boldsymbol{\xi}_1$ dan $\boldsymbol{\xi}_2$ di $\displaystyle\mathbb{R}^n$ sedemikian sehingga $\displaystyle Q\left(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\xi}_1\right) < 0 < Q\left(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\xi}_2\right)$ . Karena $Q$ kontinu, kita dapat menganggap bahwa ruas garis $\displaystyle\left\{ (1-s)\boldsymbol{\xi}_1 + s\boldsymbol{\xi}_2 : s \in [0,1] \right\}$ tidak memuat titik asal. Jika titik asal berada pada ruas garis ini, kita mengganti $\boldsymbol{\xi}_1$ dengan titik lain $\boldsymbol{\xi}_1'$ di dekat $\boldsymbol{\xi}_1$ yang masih memenuhi $Q\left(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\xi}_1'\right) < 0$ . Perhatikan fungsi

$\begin{aligned} g:[0,1] &\rightarrow \mathbb{R}\\ s &\mapsto Q\left(\boldsymbol{x}, (1-s)\boldsymbol{\xi}_1 + s\boldsymbol{\xi}_2\right) \end{aligned}$ Karena $Q$ kontinu, $g$ adalah fungsi kontinu sedemikian sehingga $g(0)<0<g(1)$ . Berdasarkan Teorema Nilai Antara, terdapat $s_0 \in ]0,1[$ sedemikian sehingga $g(s_0)=0$ . Jadi
$\displaystyle Q\left(\boldsymbol{x}, (1-s_0)\boldsymbol{\xi}_1 + s_0\boldsymbol{\xi}_2\right) = 0$ dengan $\displaystyle(1-s_0)\boldsymbol{\xi}_1 + s_0\boldsymbol{\xi}_2 \neq \boldsymbol{0}$ . Hal ini bertentangan dengan sifat eliptik $L(\boldsymbol{x}, \mathrm{D})$ .

Oleh karena itu, untuk $\displaystyle\boldsymbol{\xi} \in \mathbb{R}^n \setminus \{\boldsymbol{0}\}$ , nilai $\displaystyle Q(\boldsymbol{x}, -\boldsymbol{\xi}) = (-1)^mQ(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\xi})$ dan $\displaystyle Q(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\xi})$ memiliki tanda yang sama. Hal ini hanya mungkin jika $m$ genap.

(ii) Misalkan $\displaystyle a_{\boldsymbol{\alpha}}:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{C}$ untuk sejumlah multiindeks $\boldsymbol{\alpha}$ sedemikian sehingga $|\boldsymbol{\alpha}|=m$ dan $n>2$ .

Untuk setiap $\displaystyle\boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^{n-1}$ , misalkan

$p_{\boldsymbol{y}}(z) = Q(\boldsymbol{x}, \,(\boldsymbol{y},z)\,) \quad , \quad z \in \mathbb{C}\ .$ Misalkan $n_+(\boldsymbol{y})$ adalah banyaknya akar (dihitung beserta multiplisitasnya) dari $p_{\boldsymbol{y}}$ yang bagian imajinernya positif, dan misalkan $n_-(\boldsymbol{y})$ adalah banyaknya akar (dihitung beserta multiplisitasnya) dari $p_{\boldsymbol{y}}$ yang bagian imajinernya negatif.

Karena $p_{\boldsymbol{y}}(z) \neq 0$ untuk setiap $z\in \mathbb{R}$ dan $\displaystyle\boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^{n-1}\setminus \{\boldsymbol{0}\}$ sebab $L(\boldsymbol{x},\mathrm{D})$ bersifat eliptik, kita memperoleh $n_+(\boldsymbol{y})+n_-(\boldsymbol{y})=m$ untuk $\displaystyle\boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^{n-1}\setminus \{\boldsymbol{0}\}$ .

Selain itu, dari Teorema Rouché (lihat Co) diperoleh bahwa $n_+$ dan $n_-$ konstan secara lokal. Jadi, keduanya konstan pada setiap komponen terhubung dari $\displaystyle\mathbb{R}^{n-1}\setminus\{\boldsymbol{0}\}$ (titik asal adalah satu-satunya nilai $\boldsymbol{y}$ yang memungkinkan $p_{\boldsymbol{y}}$ memiliki akar real). Karena $\displaystyle\mathbb{R}^{n-1}\setminus\{\boldsymbol{0}\}$ terhubung untuk $n>2$ , $n_+$ dan $n_-$ konstan pada $\displaystyle\mathbb{R}^{n-1}\setminus\{\boldsymbol{0}\}$ .

Terakhir, untuk setiap $\displaystyle\boldsymbol{y}\in\mathbb{R}^{n-1}\setminus\{\boldsymbol{0}\}$ , berlaku $n_+(-\boldsymbol{y}) = n_-(\boldsymbol{y})$ karena $\displaystyle p_{-\boldsymbol{y}}(-z) = (-1)^m p_{\boldsymbol{y}}(z)$ . Karena $n_+$ dan $n_-$ konstan pada $\displaystyle\mathbb{R}^{n-1}\setminus\{\boldsymbol{0}\}$ , kita memperoleh $n_-(\boldsymbol{y}) = n_+(-\boldsymbol{y}) = n_+(\boldsymbol{y})$ untuk $\displaystyle\boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^{n-1}\setminus\{\boldsymbol{0}\}$ .

Dengan demikian, $m = n_+(\boldsymbol{y})+n_-(\boldsymbol{y}) = 2n_+(\boldsymbol{y})$ , sehingga $m$ genap. ◻

Untuk menggunakan metode variasional dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial eliptik di Bab 12, sifat eliptik suatu operator pada umumnya belum cukup kuat. Kita perlu memberlakukan syarat yang sedikit lebih kuat pada operator eliptik tersebut. Meskipun kelak kita mungkin tidak menggunakan tingkat keumuman ini sepenuhnya, kita menganggap bahwa koefisien $a_{\boldsymbol{\alpha}}$ dalam operator diferensial parsial linear $L(\boldsymbol{x}, \mathrm{D})$ yang didefinisikan dalam (2.4.10) merupakan fungsi bernilai kompleks.

Karena kita tertarik pada persamaan diferensial parsial linear eliptik, dari Proposisi 2.4.11 diperoleh bahwa kita dapat menganggap orde $m$ dari operator diferensial parsial linear $L(\boldsymbol{x}, \mathrm{D})$ yang didefinisikan dalam (2.4.10) adalah genap.

Definisi 2.4.12. Misalkan $L(\boldsymbol{x}, \mathrm{D})$ adalah operator diferensial parsial linear berorde genap yang didefinisikan dalam (2.4.10) dan $Q$ adalah simbol utama terkait yang didefinisikan dalam (2.4.11). Operator $L(\boldsymbol{x}, \mathrm{D})$ bersifat eliptik kuat atau eliptik seragam

pada suatu himpunan bagian terbuka $\displaystyle\Omega \subset \mathbb{R}^n$ jika terdapat konstanta $C>0$ sedemikian sehingga

$(-1)^{m/2} \operatorname{Re}Q(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\xi}) \geq C \|\boldsymbol{\xi}\|^m$ untuk setiap $\displaystyle\boldsymbol{\xi} \in \mathbb{R}^n$ dan $\boldsymbol{x}\in \Omega$ .

Perhatikan bahwa persamaan diferensial parsial semula mungkin perlu dikalikan dengan $-1$ agar memenuhi (2.4.14). Kita menganggap bahwa hal ini selalu dilakukan jika diperlukan.

Catatan 2.4.13. Jika operator diferensial parsial linear $L(\boldsymbol{x}, \mathrm{D})$ bersifat eliptik di $\boldsymbol{x}$ , maka

$0 < C_{\boldsymbol{x}} = \inf_{\|\boldsymbol{\xi}\|_2 = 1} \left| Q(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\xi}) \right| < \infty$ karena $\boldsymbol{\xi} \to |Q(\boldsymbol{x},\boldsymbol{\xi})|$ kontinu pada himpunan kompak $\displaystyle B= \{\boldsymbol{\xi}\in \mathbb{R}^n : \|\boldsymbol{\xi}\| = 1\}$ dan karena itu mencapai minimumnya di suatu titik dalam $B$ . Jika lebih lanjut kita menganggap bahwa persamaan diferensial parsial linear dirumuskan pada suatu himpunan terbuka terbatas $\Omega$ dengan koefisien yang kontinu pada $\overline{\Omega}$ , maka kita dapat menemukan $C>0$ sedemikian sehingga $C \leq C_{\boldsymbol{x}}$ untuk setiap $\boldsymbol{x} \in \Omega$ , sebab $\boldsymbol{x} \to C_{\boldsymbol{x}}$ kontinu pada himpunan kompak $\overline{\Omega}$ . Dengan demikian, kita memperoleh

$\inf_{\|\boldsymbol{\xi}\|_2 = 1} \left| Q(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\xi}) \right| \geq C$ untuk setiap $\boldsymbol{x} \in \Omega$ . Akibatnya,

$\left| Q(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\xi}) \right| \geq C \|\boldsymbol{\xi}\|^m$ untuk setiap $\displaystyle\boldsymbol{\xi} \in \mathbb{R}^n$ dan $\boldsymbol{x} \in \Omega$ . Jika kita juga menganggap semua koefisien $a_{\boldsymbol{\alpha}}$ dalam $L(\boldsymbol{x},\mathrm{D})$ adalah fungsi dari $\displaystyle\mathbb{R}^n$ ke $\mathbb{R}$ , maka $\operatorname{Re}\, Q(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\xi}) = Q(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\xi})$ sehingga $L(\boldsymbol{x}, \mathrm{D})$ bersifat eliptik kuat pada $\Omega$ karena kita selalu dapat mengalikan $a_{\boldsymbol{\alpha}}$ dengan $1$ atau $-1$ untuk memperoleh tanda yang sesuai dengan definisi eliptik kuat.

Catatan 2.4.14. Definisi operator diferensial linear eliptik kuat $L(\boldsymbol{x}, \mathrm{D})$ sebagaimana didefinisikan dalam (2.4.10) kadang-kadang dinyatakan sebagai berikut. Suatu operator diferensial linear $L(\boldsymbol{x}, \mathrm{D})$ bersifat eliptik kuat pada suatu himpunan terbuka $\displaystyle\Omega \subset \mathbb{R}^n$ jika terdapat suatu fungsi bernilai kompleks $\displaystyle\gamma \in C^\infty(\overline{\Omega})$ dan konstanta $C>0$ sedemikian sehingga $|\gamma(\boldsymbol{x})|=1$ untuk setiap $\boldsymbol{x} \in \overline{\Omega}$ dan

$\operatorname{Re}\left(\gamma(\boldsymbol{x})\, Q(\boldsymbol{x},\boldsymbol{\xi})\right) \geq C \|\boldsymbol{\xi}\|^m$ untuk setiap $\displaystyle\boldsymbol{\xi} \in \mathbb{R}^n$ dan $\boldsymbol{x} \in \overline{\Omega}$ . Definisi ini tidak lebih umum daripada Definisi 2.4.12 karena kita selalu dapat mengalikan persamaan diferensial parsial linear dengan $\displaystyle(-1)^{m/2}/\gamma$ untuk memperoleh persamaan diferensial parsial linear yang ekuivalen dengan persamaan semula. Koefisien $a_{\boldsymbol{\alpha}}$ dari persamaan diferensial parsial linear semula diganti dengan koefisien $\displaystyle(-1)^{m/2} a_{\boldsymbol{\alpha}}/\gamma$ dalam persamaan diferensial parsial linear yang baru, sehingga (2.4.15) tereduksi menjadi (2.4.14).

Atribusi dan hak. Karya sumber oleh Benoit Dionne dilisensikan berdasarkan Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International. Terjemahan dan perubahan yang dicatat menggunakan lisensi komponen yang sama. Produksi terjemahan dan edisi dibantu OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; semua kredit penulis dan kontributor manusia tetap dipertahankan. Ini bukan terbitan atau dukungan resmi Benoit Dionne maupun University of Ottawa.

Klasifikasi Linear dalam R^n

Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial Linear dalam ℝ𝒏\displaystyle\mathbf{\mathbb{R}^n}

Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial Linear dalam $\displaystyle\mathbf{\mathbb{R}^n}$