Klasifikasi Eliptik, Hiperbolik, dan Parabolik

Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial Linear Orde Dua pada Bidang

Persamaan diferensial parsial linear orde dua dapat diklasifikasikan, pada setiap titik, ke dalam tiga jenis. Keberadaan kurva karakteristik berbeda antara satu jenis dan jenis lainnya; sebagaimana akan ditunjukkan, jumlah arah konormal karakteristik real masing-masing adalah nol, dua, dan satu untuk jenis eliptik, hiperbolik, dan parabolik.

Apabila simbol utama bergantung pada $x$ dan $y$, suatu persamaan diferensial parsial dapat bersifat eliptik di satu daerah bidang, parabolik di daerah kedua, dan hiperbolik di daerah ketiga.

Dua keluarga kurva $\xi(x,y)=k$ dan $\eta(x,y)=h$ yang digunakan dalam Bagian 2.1 untuk mereduksi persamaan diferensial parsial linear orde dua dalam (2.1.1) ke bentuk yang lebih sederhana tidak harus ortogonal. Selain itu, $\Gamma$ tidak harus menjadi anggota salah satu keluarga. Satu-satunya syarat ialah bahwa kurva-kurva dari satu keluarga memotong kurva-kurva dari keluarga lainnya secara transversal. Akan tetapi, kita kemudian kehilangan kendali sederhana atas transformasi pada $\Gamma$ dan atas syarat-syarat di $\Gamma$. Secara khusus, data $\displaystyle\frac{\partial{u}}{\partial \nu}\bigg|_\Gamma = g$ secara umum tidak dapat direduksi menjadi syarat yang hanya melibatkan $\displaystyle\frac{\partial{u}}{\partial \xi}$. Bahkan untuk koordinat ortogonal dengan orientasi $\nu=\nabla\xi/\lVert\nabla\xi\rVert$, hubungan yang benar adalah $\displaystyle\frac{\partial{u}}{\partial \xi}=g/\lVert\nabla\xi\rVert$ pada $\Gamma$, bukan $\displaystyle\frac{\partial{u}}{\partial \xi}=g$ tanpa syarat normalisasi. Untuk keluarga yang hanya transversal, data normal secara umum berbentuk $u_\eta(\nu\!\cdot\!\nabla\eta)+u_\xi(\nu\!\cdot\!\nabla\xi)=g$, sehingga turunan terhadap $\xi$ tidak harus merupakan turunan arah yang tegak lurus terhadap $\Gamma$. Jika $\Gamma$ bukan kurva koordinat, ia pun tidak dapat ditulis sebagai $\xi=0$ atau diparameterkan dengan $(\eta,0)$ tanpa perubahan tambahan.

Dari (2.1.7), perubahan koordinat yang diberikan oleh keluarga kurva transversal $\xi(x,y)=k$ dan $\eta(x,y)=h$ dalam Bagian 2.1 tidak mengubah jenis persamaan diferensial parsial secara lokal: Jacobian tak nol, sehingga faktor kuadrat Jacobian dalam identitas tersebut positif dan tanda diskriminan tetap.

Untuk mempelajari sifat ketiga jenis persamaan diferensial parsial tersebut, kita hanya akan menggunakan keluarga kurva yang memenuhi syarat transversal ketika berpotongan. Dalam beberapa kasus, kita bahkan akan memilih keluarga kurva karakteristik.