Distribusi bersyarat reguler dan disiplin versi

Tujuan dan kesenjangan versi

Notasi

\[ \mathbb P(Y\in B\mid X=x) \]

terlihat seperti sebuah bilangan yang tinggal dihitung. Pada ruang diskret, kesan itu sering benar: jika \(\mathbb P(X=x)>0\), kita membagi peluang gabungan dengan \(\mathbb P(X=x)\). Jika hukum \(X\) tidak beratom—misalnya \(X\) mempunyai kepadatan—maka \(\mathbb P(X=x)=0\) untuk setiap \(x\). Nilai di ruas kiri tetap dapat diberi makna, tetapi maknanya bukan rasio pada kejadian nol. Ia adalah nilai suatu kernel probabilitas bersyarat yang telah dipilih sebagai satu versi.

Unit nilai harapan bersyarat membangun objek bersyarat untuk satu peubah acak atau satu kejadian pada satu waktu. Unit kernel menjelaskan kalkulus kernel. Di antara kedua unit itu masih ada pertanyaan penting:

1. kapan versi-versi untuk semua kejadian dapat dipilih secara serentak agar menjadi ukuran peluang pada setiap titik;
2. di ruang mana kernel semacam itu dijamin ada;
3. dalam arti apa kernel tersebut unik;
4. apa yang boleh dikatakan pada nilai pengondisian yang bermassa nol.

Jawabannya memerlukan pemisahan antara kesamaan hampir pasti dan kesamaan titik demi titik. Jawabannya juga memerlukan hipotesis ruang Borel standar pada sasaran yang tepat. Kita akan menyatakan teorema keberadaan, memberikan arsitektur buktinya, menurunkan rumus disintegrasi, dan menguji notasi bersyarat pada contoh diskret maupun kontinu.

Biarkan \((\Omega,\mathcal F,\mathbb P)\) menjadi ruang peluang dan \(\mathcal G\subseteq\mathcal F\) sebuah sub-sigma-aljabar. Tidak diasumsikan bahwa \((\Omega,\mathcal F)\) Borel standar kecuali ketika hal itu dinyatakan secara khusus. Dengan demikian, pembaca dapat melihat persis ruang mana yang memikul hipotesis keberadaan.

Keberadaan pada sasaran Borel standar

Sebuah ruang terukur \((T,\mathcal T)\) disebut ruang Borel standar apabila ia isomorfik secara terukur dengan sebuah himpunan Borel dalam suatu ruang Polish. Himpunan terhitung dengan sigma-aljabar diskret, \(\mathbb R^d\) dengan sigma-aljabar Borel, dan ruang lintasan Polish dengan sigma-aljabar Borelnya adalah contoh utama.

Teorema (keberadaan distribusi bersyarat reguler). Misalkan \((\Omega,\mathcal F,\mathbb P)\) ruang peluang sembarang, \(\mathcal G\subseteq\mathcal F\), dan \(Y:\Omega\to(T,\mathcal T)\) terukur. Jika \((T,\mathcal T)\) tidak kosong dan Borel standar, maka terdapat distribusi bersyarat reguler \(Y\) terhadap \(\mathcal G\), berupa kernel \[ K:(\Omega,\mathcal G)\rightsquigarrow(T,\mathcal T) \]

Hipotesis Borel standar di sini dikenakan pada ruang nilai \(Y\). Ruang dasar \((\Omega,\mathcal F)\) tidak perlu Borel standar. Ini penting ketika \(\mathcal F\) telah dilengkapi oleh himpunan-himpunan nol atau ketika ruang dasarnya berasal dari konstruksi abstrak.

Berikut arsitektur bukti yang menjelaskan fungsi hipotesis tersebut.

1. Karena \(T\) Borel standar, ia dapat dikodekan melalui isomorfisme Borel \(\varphi:T\to E\), dengan \(E\) himpunan Borel dalam \([0,1]\). Ganti sementara \(Y\) oleh \(Z=\varphi(Y)\).
2. Untuk setiap rasional \(q\), pilih satu versi \[ F_q=\mathbb E[\mathbf1_{\{Z\le q\}}\mid\mathcal G]. \] Hanya ada terhitung banyak \(q\), sehingga kita boleh membuang satu gabungan nol agar ketaksamaan monoton, batas ujung, dan relasi yang diperlukan berlaku serentak pada seluruh \(q\) rasional.
3. Di luar himpunan nol bersama itu, bentuk fungsi distribusi kanan-kontinu dari nilai-nilai rasional, misalnya melalui limit dari kanan. Fungsi ini menentukan satu ukuran peluang \(\mu_\omega\) pada \([0,1]\). Pada himpunan nol, pasang satu ukuran titik tetap; perbaikan dilakukan pada seluruh ukuran, bukan secara terpisah untuk setiap \(B\).
4. Keterukuran \(\omega\mapsto\mu_\omega(B)\) mula-mula diperoleh pada kelas interval pembangkit yang terhitung. Teorema kelas monoton memperluasnya ke seluruh himpunan Borel. Identitas integral juga diperluas dari kelas pembangkit ke seluruh sigma-aljabar.
5. Karena \(Z\) berada dalam \(E\) hampir pasti, identitas bersyarat untuk \(E\) memberi \(\mu_\omega(E)=1\) di luar satu himpunan nol lagi. Perbaiki ukuran pada himpunan nol itu dan dorong balik melalui \(\varphi^{-1}\).

Langkah ketiga tidak boleh diganti dengan kalimat “pilih wakil pada sebuah pembangkit.” Nilai pada pembangkit yang dipilih sembarang belum tentu merupakan preukuran atau memenuhi aditivitas terhitung. Konstruksi fungsi distribusi dan perbaikan satu ukuran utuh adalah bagian substantif dari bukti.

Kernel tersebut juga mengondisikan fungsi dari \(Y\), bukan hanya indikator.

Proposisi (bentuk fungsi). Jika \(f:T\to[0,\infty]\) terukur, maka \[ \omega\longmapsto\int_T f(y)K(\omega,dy) \] adalah versi dari \(\mathbb E[f(Y)\mid\mathcal G]\), dengan nilai diperluas dan boleh bernilai \(+\infty\). Jika \(f\) bernilai real dan \(f(Y)\) integrabel, integral bertanda tersebut berhingga mutlak hampir pasti. Tetapkan nilainya sama dengan nol pada himpunan nol terukur tempat \(\int|f|\,dK=\infty\); fungsi yang didefinisikan di seluruh \(\Omega\) itu adalah versi dari \(\mathbb E[f(Y)\mid\mathcal G]\).

Bukti. Untuk indikator, klaim ini adalah definisi kernel bersyarat. Untuk fungsi sederhana nonnegatif, gunakan linearitas. Ambil barisan fungsi sederhana yang naik menuju \(f\) dan gunakan konvergensi monoton pada integral kernel maupun integral terhadap \(\mathbb P\). Untuk \(f\) real integrabel, terapkan hasil nonnegatif pada \(|f|\), \(f^+\), dan \(f^-\). Integral \(\int|f|\,dK\) berhingga hampir pasti. Di himpunan itu ambil selisih integral bagian positif dan negatif; pada himpunan pengecualian yang berpeluang nol, gunakan nilai nol seperti dalam pernyataan. \(\square\)

Kelas penentu dan versi serentak

Keunikan bersyarat mempunyai tiga tingkat.

• Untuk satu \(B\) tetap, dua versi dari \(\mathbb P(Y\in B\mid\mathcal G)\) sama hampir pasti; himpunan nolnya boleh bergantung pada \(B\).
• Untuk dua kernel bersyarat reguler dengan sasaran Borel standar, ada satu himpunan nol di luar mana kedua ukuran itu sama seluruhnya.
• Kesamaan pada setiap \(\omega\), atau pada setiap nilai \(x\) yang mungkin dipakai untuk mengondisikan, tidak mengikuti dari dua pernyataan tersebut.

Teorema (keunikan serentak). Misalkan \(K\) dan \(L\) adalah dua distribusi bersyarat reguler \(Y\) terhadap \(\mathcal G\), dengan sasaran Borel standar \((T,\mathcal T)\). Maka ada \(N\in\mathcal G\) dengan \(\mathbb P(N)=0\) sedemikian sehingga \[ K(\omega,\cdot)=L(\omega,\cdot) \qquad(\omega\notin N). \]

Bukti. Ruang Borel standar mempunyai sebuah sistem-\(\pi\) terhitung \(\mathcal C\) yang membangkitkan \(\mathcal T\) dan menentukan ukuran peluang; kita boleh memastikan \(T\in\mathcal C\). Untuk setiap \(C\in\mathcal C\), \(K(\cdot,C)\) dan \(L(\cdot,C)\) adalah dua versi nilai harapan bersyarat yang sama. Maka ada \(N_C\in\mathcal G\) dengan peluang nol tempat kesamaan mungkin gagal. Bentuk

\[ N=\bigcup_{C\in\mathcal C}N_C. \]

Gabungan ini terhitung, jadi \(\mathbb P(N)=0\). Jika \(\omega\notin N\), kedua ukuran peluang \(K(\omega,\cdot)\) dan \(L(\omega,\cdot)\) sepakat pada \(\mathcal C\). Teorema sistem-\(\pi\)–\(\lambda\) memperluas kesamaan ke seluruh \(\mathcal T\). \(\square\)

Kelas penentu terhitung dipakai untuk keunikan setelah kita sudah tahu bahwa \(K(\omega,\cdot)\) dan \(L(\omega,\cdot)\) adalah ukuran. Ia tidak mengubah sebuah keluarga wakil sembarang menjadi kernel. Perbedaan arah logika ini adalah inti disiplin versi.

Jika sebuah kernel perlu diperbaiki pada \(N\), pilih satu ukuran peluang tetap \(\rho\) pada \(T\) dan definisikan

\[ \widetilde K(\omega,\cdot)= \begin{cases} K(\omega,\cdot),&\omega\notin N,\\ \rho(\cdot),&\omega\in N. \end{cases} \]

Karena \(N\in\mathcal G\), hasilnya tetap kernel terukur dan seluruh identitas integral tidak berubah. Mengganti nilai secara berbeda untuk setiap \(B\) dapat merusak normalisasi atau aditivitas dan karena itu bukan perbaikan yang sah.

Pengondisian pada peubah acak

Sekarang misalkan

\[ X:\Omega\to(S,\mathcal S), \qquad Y:\Omega\to(T,\mathcal T) \]

adalah peubah acak. Notasi “dengan syarat \(X=x\)” meminta kernel yang domainnya adalah ruang nilai \(X\), bukan ruang sampel \(\Omega\).

Teorema (hukum bersyarat terhadap sebuah peubah acak). Jika \(S\) dan \(T\) merupakan ruang Borel standar, terdapat kernel probabilitas \[ Q:(S,\mathcal S)\rightsquigarrow(T,\mathcal T) \] sedemikian sehingga untuk setiap \(A\in\mathcal S\) dan \(B\in\mathcal T\), \[ \mathbb P(X\in A,Y\in B) =\int_AQ(x,B)\,\mathbb P_X(dx). \] Secara ekuivalen, \(Q(X,B)\) adalah sebuah versi dari \(\mathbb P(Y\in B\mid\sigma(X))\) untuk setiap \(B\).

Identitas ini disebut disintegrasi hukum gabungan \((X,Y)\) terhadap marginal \(\mathbb P_X\). Ia memberi arti ketat pada

\[ Q(x,B)=\mathbb P(Y\in B\mid X=x). \]

Teorema dapat dibuktikan sebagai kasus teorema disintegrasi pada produk Borel standar. Cara lain ialah mulai dari distribusi bersyarat reguler terhadap \(\sigma(X)\) dan memandang \(\omega\mapsto K(\omega,\cdot)\) sebagai satu peta terukur menuju ruang Borel standar \(\mathcal P(T)\) dari ukuran peluang, yang sigma-aljabarnya dibangkitkan oleh evaluasi pada sebuah kelas penentu terhitung. Faktorkan seluruh peta bernilai ukuran itu melalui \(X\) dengan Doob–Dynkin. Memfaktorkan setiap \(K(\cdot,B)\) secara terpisah tidak cukup untuk membuktikan aditivitas terhitung. Hipotesis Borel standar pada \(S\) dan \(T\) memastikan bahwa faktorisasi bernilai ukuran serta struktur terukurnya tersedia.

Jika \(Q\) dan \(R\) keduanya memenuhi identitas di atas, maka untuk \(B\) tetap \(Q(\cdot,B)=R(\cdot,B)\) hampir di mana-mana terhadap \(\mathbb P_X\). Kelas penentu terhitung pada \(T\) memberi satu himpunan \(M\in\mathcal S\) dengan \(\mathbb P_X(M)=0\) sehingga

\[ Q(x,\cdot)=R(x,\cdot) \qquad(x\notin M). \]

Jadi kernel unik sebagai ukuran hanya \(\mathbb P_X\)-hampir di mana-mana. Teorema tidak memilih nilai kanonik pada setiap \(x\).

Untuk fungsi terukur nonnegatif \(g:S\times T\to[0,\infty]\), bentuk fungsi disintegrasi adalah

\[ \mathbb E[g(X,Y)] =\int_S\left[\int_Tg(x,y)Q(x,dy)\right]\mathbb P_X(dx). \]

Untuk \(g\) bernilai real, rumus yang sama berlaku apabila \(g(X,Y)\) integrabel: integral dalam berhingga mutlak untuk \(\mathbb P_X\)-hampir setiap \(x\) dan didefinisikan sama dengan nol pada himpunan marginal nol tempat \(\int|g(x,y)|Q(x,dy)=\infty\). Pembuktiannya dimulai dari indikator persegi panjang, diteruskan ke fungsi sederhana, lalu ke fungsi nonnegatif dengan konvergensi monoton; kasus bertanda memakai bagian positif dan negatif.

Rumus disintegrasi dan kepadatan

Pada kasus yang mempunyai kepadatan, kernel dapat ditulis eksplisit tanpa menghilangkan disiplin nilai nol. Misalkan \(\mu\) dan \(\nu\) sigma-hingga dan hukum gabungan \((X,Y)\) mempunyai kepadatan \(p(x,y)\) terhadap ukuran produk \(\mu\otimes\nu\). Bentuk marginal

\[ p_X(x)=\int_Tp(x,y)\,\nu(dy). \]

Karena \(\int p_X\,d\mu=1\), himpunan \(D=\{x:0<p_X(x)<\infty\}\) mempunyai komplemen yang bermarginal nol. Pilih satu hukum peluang tetap \(\rho\) pada \(T\), lalu definisikan

\[ Q(x,B)= \begin{cases} \displaystyle\int_B\frac{p(x,y)}{p_X(x)}\,\nu(dy),&x\in D,\\[1.2ex] \rho(B),&x\notin D. \end{cases} \]

Untuk setiap \(x\), \(Q(x,\cdot)\) adalah ukuran peluang. Keterukuran terhadap \(x\) mengikuti dari Tonelli untuk integral kernel nonnegatif. Untuk \(A\in\mathcal S\) dan \(B\in\mathcal T\),

\[ \begin{aligned} \int_AQ(x,B)\,\mathbb P_X(dx) &=\int_{A\cap D} \left[\int_B\frac{p(x,y)}{p_X(x)}\,\nu(dy)\right] p_X(x)\,\mu(dx)\\ &=\int_{A\times B}p(x,y)\,(\mu\otimes\nu)(d(x,y)). \end{aligned} \]

Bagian \(D^c\) tidak berkontribusi terhadap integral marginal: tempat \(p_X=0\) bermassa marginal nol, sedangkan tempat \(p_X=\infty\) bermassa \(\mu\) nol karena \(p_X\) integrabel. Karena itu, hukum \(\rho\) di bagian tersebut dapat diganti dengan kernel terukur lain tanpa mengubah disintegrasi. Kebebasan ini bukan cacat rumus; ia tepat mencerminkan keunikan hanya hampir di mana-mana.

Untuk \(0<p_X(x)<\infty\), fungsi

\[ q(y\mid x)=\frac{p(x,y)}{p_X(x)} \]

disebut kepadatan bersyarat. Menulis rasio yang sama pada titik di luar \(D\) menghasilkan bentuk tak terdefinisi atau pembagian oleh nol dan tidak mendefinisikan hukum. Pada titik itu kita harus menyatakan versi kernel yang dipilih.

Probabilitas bersyarat seluruh eksperimen

Kadang-kadang “probabilitas bersyarat reguler terhadap \(\mathcal G\)” berarti sebuah kernel

\[ R:(\Omega,\mathcal G)\rightsquigarrow(\Omega,\mathcal F) \]

yang memenuhi

\[ R(\cdot,A) =\mathbb P(A\mid\mathcal G) \quad\text{hampir pasti untuk setiap }A\in\mathcal F. \]

Ini adalah kasus khusus distribusi bersyarat reguler dengan \(Y=\operatorname{id}_\Omega\). Teorema keberadaan sebelumnya dapat langsung dipakai hanya jika ruang terukur sasaran \((\Omega,\mathcal F)\) sendiri Borel standar. Fakta bahwa \(Y\) yang lain bernilai di ruang Borel standar tidak otomatis membuat ruang dasar Borel standar.

Penyelesaian sebuah sigma-aljabar Borel dengan semua bagian himpunan nol juga tidak otomatis tetap menjadi ruang Borel standar sebagai ruang terukur. Karena itu, klaim “probabilitas bersyarat reguler selalu ada untuk semua kejadian \(A\)” memerlukan hipotesis tambahan pada \((\Omega,\mathcal F)\) atau sebuah teorema lain yang dinyatakan secara eksplisit.

Ada kehati-hatian kedua. Untuk setiap \(G\in\mathcal G\) tetap, \(R(\cdot,G)\) dan \(\mathbf1_G\) adalah dua versi dari objek bersyarat yang sama, sehingga keduanya sama hampir pasti. Namun satu himpunan nol yang bekerja serentak untuk semua \(G\in\mathcal G\) tidak boleh diklaim dari argumen ini tanpa syarat keterhitungan yang memadai pada \(\mathcal G\). Properti per kejadian, versi serentak, dan properti titik demi titik tetap merupakan tiga tingkat yang berbeda.

Audit klaim probabilitas bersyarat

Sebelum menerima sebuah rumus atau argumen tentang pengondisian, periksa daftar berikut.

1. Objek apa yang dikondisikan? Nilai harapan satu fungsi, peluang satu kejadian, atau seluruh hukum peluang memerlukan tingkat koherensi berbeda.
2. Di mana kernelnya hidup? Kernel terhadap \(\mathcal G\) berdomain \(\Omega\); kernel dengan syarat \(X=x\) berdomain ruang nilai \(X\).
3. Hipotesis keberadaan apa yang dipakai? Untuk teorema dalam unit ini, ruang nilai peubah yang dikondisikan harus Borel standar. Probabilitas bersyarat untuk seluruh \(\mathcal F\) membutuhkan syarat itu pada ruang dasar ketika memakai peta identitas.
4. Apakah keluarga per kejadian sudah terbukti sebagai ukuran? Keterukuran tiap koordinat \(B\) dan kesamaan hampir pasti tidak membuktikan normalisasi atau aditivitas terhitung pada satu titik.
5. Apakah himpunan nol digabungkan secara sah? Hanya keluarga terhitung boleh digabungkan langsung. Kelas penentu terhitung memberi keunikan serentak bagi dua kernel yang sudah sah.
6. Ukuran mana yang mengatur “hampir di mana-mana”? Untuk \(K(\omega,\cdot)\) ukurannya \(\mathbb P\); untuk \(Q(x,\cdot)\) ukurannya marginal \(\mathbb P_X\).
7. Apakah titik pengondisian bermassa positif? Rasio atomik hanya berlaku jika penyebut positif. Kepadatan bersyarat hanya ditentukan di tempat marginal positif.
8. Apakah nilai pada himpunan nol diberi status yang jujur? Nilai itu mungkin merupakan pilihan versi yang berguna, tetapi bukan nilai kanonik yang dipaksa oleh hukum gabungan.
9. Apakah kernel diperbaiki sebagai satu ukuran utuh? Pada himpunan nol, ganti \(K(\omega,\cdot)\) dengan satu hukum peluang tetap; jangan menambal setiap \(B\) secara independen.
10. Apakah notasi menyembunyikan struktur tambahan? Kontinuitas terhadap \(x\), kepadatan, simetri, atau solusi persamaan stokastik dapat memilih versi istimewa, tetapi harus disebut sebagai informasi tambahan.

Daftar ini memperbaiki lingkup pernyataan informal dalam unit donor tanpa mengubah byte sumbernya. Ia juga menghubungkan jembatan konstruksi Kolmogorov dan keterukuran proses: struktur Borel standar dan argumen keterhitungan bekerja di tempat tertentu, bukan sebagai izin untuk mengambil irisan keluarga nol tak terhitung.

Latihan penguasaan probabilitas bersyarat reguler