Konstruksi Kolmogorov dan proses kanonik

Tujuan dan prasyarat

Sebuah proses stokastik sering diperkenalkan melalui hukum-hukum berdimensi hingga: kita menentukan distribusi bersama pada setiap kumpulan waktu yang hingga, lalu berharap semuanya berasal dari satu proses. Harapan itu perlu sebuah teorema. Unit ini mengisi langkah dari keluarga hukum yang konsisten menuju ukuran peluang pada ruang lintasan mentah, kemudian menuju proses koordinat kanonik.

Setelah menyelesaikan unit ini, pembaca mampu:

  1. mengaudit hipotesis teorema perluasan Kolmogorov dan membedakan kesimpulan sebenarnya dari klaim tambahan tentang lintasan; dan
  2. membangun proses koordinat kanonik dari hukum-hukum berdimensi hingga yang konsisten secara proyektif.

Prasyaratnya ialah pembahasan ruang produk peluang dan ruang kanonik, proses stokastik dan distribusi berdimensi hingga, serta, untuk contoh Markov, sifat Markov dan kernel transisi. Kita tidak mengulang pembuktian produk koordinat yang saling bebas, definisi dasar proses stokastik, ataupun teori rantai Markov waktu kontinu. Fokusnya lebih sempit: apa tepatnya yang harus konsisten, ukuran pada ruang mana yang dihasilkan, dan apa yang belum dihasilkan oleh teorema tersebut.

Secara operasional, konstruksi ini memisahkan tiga pertanyaan yang mudah tercampur. Pertama, apakah rumus-rumus hingga benar-benar saling cocok ketika koordinat dihapus atau diurutkan ulang? Kedua, apakah kecocokan itu melahirkan ukuran yang aditif terhitung pada ruang produk? Ketiga, apakah ukuran tersebut memiliki lintasan dengan keteraturan yang diinginkan? Konsistensi proyektif menjawab pertanyaan pertama, teorema perluasan dengan hipotesisnya menjawab pertanyaan kedua, sedangkan pertanyaan ketiga tetap memerlukan teorema lain. Pemisahan ini menjadi pola audit yang akan dipakai sepanjang unit.

Ruang lintasan produk

Biarkan \(T\) menjadi himpunan indeks sebarang. Unsur \(T\) dapat berupa waktu, lokasi, atau label lain; pada tahap ini kita bahkan tidak memerlukan urutan atau topologi pada \(T\). Biarkan \((S,\mathcal S)\) menjadi ruang terukur dengan \(S\) tak kosong. Ruang lintasan mentah adalah

\[ \Omega=S^T=\{\omega:T\to S\}. \]

Untuk \(t\in T\), proyeksi koordinat didefinisikan oleh

\[ \pi_t(\omega)=\omega(t). \]

Jika \(J\subset T\) hingga, tulis \(S^J\) untuk himpunan semua fungsi \(J\to S\) dan definisikan proyeksi hingga

\[ \pi_J:S^T\longrightarrow S^J, \qquad \pi_J(\omega)=\omega|_J. \]

Pada \(S^J\) kita memakai sigma-aljabar produk hingga \(\mathcal S^{\otimes J}\). Untuk \(A\in\mathcal S^{\otimes J}\), himpunan

\[ C(J,A)=\pi_J^{-1}(A) \]

disebut himpunan silinder. Keanggotaannya hanya diperiksa melalui sejumlah hingga koordinat dalam \(J\). Sigma-aljabar yang relevan bagi konstruksi ini adalah

\[ \mathcal F^0 =\sigma(\pi_t:t\in T) =\sigma\!\left\{\pi_J^{-1}(A): J\subset T\text{ hingga},\ A\in\mathcal S^{\otimes J}\right\} =\mathcal S^{\otimes T}. \]

Notasi terakhir, \(\mathcal S^{\otimes T}\), didefinisikan sebagai sigma-aljabar produk yang dibangkitkan proyeksi koordinat. Ini penting ketika \(T\) tak terhitung: kita tidak sedang memakai semua bagian dari \(S^T\), dan kita tidak diam-diam memilih sigma-aljabar yang lebih besar. Keunikan ukuran yang dibuktikan nanti juga hanya merupakan keunikan pada \(\mathcal F^0\).

Silinder menerjemahkan pengamatan yang benar-benar berdimensi hingga. Sebagai contoh, pernyataan bahwa lintasan berada dalam himpunan tertentu pada tiga waktu hanya bergantung pada proyeksi ke tiga koordinat itu. Komplemen, gabungan hingga, dan irisan hingga dari silinder dapat ditulis lagi sebagai silinder setelah semua koordinat yang terlibat digabungkan. Jadi silinder membentuk aljabar kejadian dasar, walaupun belum tertutup terhadap seluruh operasi terhitung.

Ada satu fakta lingkup yang berguna ketika \(T\) tak terhitung: setiap kejadian dalam \(\mathcal F^0\) bergantung pada paling banyak terhitung banyak koordinat. Untuk melihatnya, kumpulkan semua kejadian yang keanggotaannya ditentukan oleh suatu himpunan koordinat terhitung. Kelas ini memuat setiap silinder dan tertutup terhadap komplemen serta gabungan terhitung, karena gabungan terhitung dari himpunan koordinat terhitung tetap terhitung. Maka kelas itu memuat sigma-aljabar yang dibangkitkan silinder. Fakta ini tidak mengubah ruang lintasan menjadi terhitung; fakta ini hanya membatasi berapa banyak koordinat yang dapat dibaca oleh satu kejadian terukur produk.

Konsistensi proyektif

Misalkan untuk setiap \(J\subset T\) yang hingga diberikan ukuran peluang \(\mu_J\) pada \((S^J,\mathcal S^{\otimes J})\). Apabila \(K\subset J\), definisikan

\[ p_{J,K}:S^J\longrightarrow S^K, \qquad p_{J,K}(x)=x|_K. \]

Keluarga \(\{\mu_J\}\) disebut konsisten secara proyektif apabila

\[ \mu_J\circ p_{J,K}^{-1}=\mu_K \qquad\text{untuk setiap }K\subset J\subset T \text{ yang hingga}. \tag{1} \]

Artinya, jika sebuah vektor acak pada koordinat \(J\) dibuang semua koordinatnya di luar \(K\), hukum marginal yang tersisa harus tepat \(\mu_K\). Kita mengindeks hukum dengan himpunan berlabel \(J\), bukan dengan daftar berurutan. Karena itu, dua pengurutan dari anggota \(J\) hanyalah dua cara menuliskan unsur yang sama dari \(S^J\); perubahan urutan diterjemahkan oleh peta permutasi koordinat. Dengan konvensi ini, syarat permutasi dan syarat marginal yang biasa ditulis terpisah untuk tupel berurutan sama-sama tercakup oleh (1): pelabelan menangani permutasi, sedangkan \(p_{J,K}\) menangani penghapusan koordinat.

Syarat (1) perlu. Jika suatu ukuran \(\mu\) pada \((S^T,\mathcal F^0)\) memang memiliki marginal \(\mu_J=\mu\circ\pi_J^{-1}\), maka identitas \(\pi_K=p_{J,K}\circ\pi_J\) langsung memberikan

\[ \mu_J\circ p_{J,K}^{-1} =\mu\circ\pi_J^{-1}\circ p_{J,K}^{-1} =\mu\circ\pi_K^{-1} =\mu_K. \]

Pertanyaan yang lebih dalam adalah apakah syarat yang perlu ini juga cukup. Jawabannya ya di bawah hipotesis keteraturan yang eksplisit berikut.

Pada himpunan persegi panjang terukur, syarat tersebut sangat konkret. Jika \(J=\{t_1,\ldots,t_n\}\) dan \(A=A_1\times\cdots\times A_n\), penghapusan beberapa waktu harus menghasilkan peluang yang sama dengan hukum yang sejak awal diberi pada waktu-waktu yang tersisa. Namun pemeriksaan hanya pada rumus kepadatan atau momen tidak selalu cukup: konsistensi merupakan kesamaan ukuran pada seluruh \(\mathcal S^{\otimes K}\). Karena itu, contoh Markov dan Gaussian di bawah memverifikasi identitas marginal pada tingkat hukum, bukan sekadar kecocokan beberapa statistik.

Teorema perluasan Kolmogorov

Teorema (perluasan Kolmogorov, bentuk ruang Borel standar). Misalkan \((S,\mathcal S)\) adalah ruang Borel standar dan \(T\) adalah himpunan sebarang. Untuk setiap himpunan hingga \(J\subset T\), misalkan \(\mu_J\) merupakan ukuran peluang pada \((S^J,\mathcal S^{\otimes J})\). Jika keluarga \(\{\mu_J\}\) konsisten secara proyektif, maka terdapat tepat satu ukuran peluang \(\mu\) pada \((S^T,\mathcal S^{\otimes T})\) sedemikian sehingga \[ \mu\circ\pi_J^{-1}=\mu_J \qquad\text{untuk setiap }J\subset T\text{ yang hingga}. \]

Ruang Borel standar adalah ruang terukur yang isomorfik secara terukur dengan suatu himpunan Borel dalam ruang Polish. Kelas ini mencakup ruang keadaan yang paling sering dipakai, seperti himpunan hingga atau terhitung dengan sigma-aljabar diskret, \(\mathbb R^d\) dengan sigma-aljabar Borelnya, serta ruang Polish beserta sigma-aljabar Borelnya. Hipotesis Borel standar di sini merupakan hipotesis cukup yang jelas dan dapat diaudit; pernyataan ini tidak mengklaim bahwa hipotesis tersebut perlu dalam setiap versi teorema perluasan.

Keteraturan ditempatkan pada ruang keadaan, bukan pada himpunan indeks. Teorema tidak meminta \(T\) terhitung, berurutan, atau bertopologi. Sebaliknya, struktur Borel standar pada \(S\) memastikan bahwa masalah proyektif tidak kehilangan keteraturan ukuran ketika jumlah koordinat bertambah. Ini juga menjelaskan mengapa urutan waktu, semigrup, atau kovarians bukan bagian dari pernyataan abstrak: semua struktur tersebut masuk melalui keluarga \(\{\mu_J\}\) pada penerapan tertentu.

Lingkup bukti

Ada tiga bagian yang perlu dibedakan. Kita membuktikan bahwa nilai yang hendak diberikan pada silinder tidak bergantung pada representasinya, menguraikan dengan jujur tempat teorema perluasan dipakai untuk keberadaan, lalu membuktikan keunikan pada sigma-aljabar produk.

Representasi silinder yang sama

Secara alami kita ingin menetapkan

\[ q\bigl(\pi_J^{-1}(A)\bigr)=\mu_J(A). \tag{2} \]

Namun satu silinder dapat mempunyai dua representasi. Misalkan

\[ \pi_J^{-1}(A)=\pi_K^{-1}(B), \qquad A\in\mathcal S^{\otimes J},\quad B\in\mathcal S^{\otimes K}. \tag{3} \]

Ambil \(L=J\cup K\). Pada ruang bersama \(S^L\), bentuk dua pengangkatan

\[ A_L=p_{L,J}^{-1}(A), \qquad B_L=p_{L,K}^{-1}(B). \]

Kita klaim \(A_L=B_L\). Pilih satu titik tetap \(s_0\in S\). Setiap \(x\in S^L\) dapat diperluas menjadi \(\omega\in S^T\) dengan menetapkan \(\omega|_L=x\) dan \(\omega(t)=s_0\) untuk \(t\notin L\). Karena \(\pi_J=p_{L,J}\circ\pi_L\) dan \(\pi_K=p_{L,K}\circ\pi_L\), persamaan (3) mengatakan

\[ x\in A_L \iff \omega\in\pi_J^{-1}(A) \iff \omega\in\pi_K^{-1}(B) \iff x\in B_L. \]

Jadi kedua himpunan terangkat sama. Konsistensi proyektif kemudian memberi

\[ \mu_J(A) =\mu_L\bigl(p_{L,J}^{-1}(A)\bigr) =\mu_L\bigl(p_{L,K}^{-1}(B)\bigr) =\mu_K(B). \tag{4} \]

Dengan demikian, (2) terdefinisi dengan baik. Argumen ini juga menunjukkan mengapa konsistensi harus diperiksa pada ruang koordinat bersama, bukan hanya dengan membandingkan rumus yang kebetulan tampak serupa.

Keberadaan: bagian yang benar-benar memakai teorema

Konsistensi membuat nilai silinder pada (2) kompatibel dan aditif untuk pembagian hingga yang tetap bergantung pada sejumlah hingga koordinat. Akan tetapi, aditivitas hingga bukan aditivitas terhitung. Jadi kita tidak boleh menyebut (2) sebagai ukuran peluang pada \(\mathcal F^0\) hanya karena semua marginal berhingga saling cocok.

Pada titik inilah teorema batas proyektif Kolmogorov untuk ruang Borel standar dipakai. Dalam pembuktian lengkap teorema tersebut, keteraturan Borel standar menyediakan kendali yang diperlukan agar sistem ukuran pada ruang koordinat hingga menghasilkan ukuran yang aditif terhitung. Salah satu peta jalan pembuktiannya ialah pertama menangani himpunan koordinat terhitung melalui ukuran-ukuran proyektif yang konsisten dan keteraturan ruang keadaan, lalu memakai fakta bahwa setiap kejadian dalam sigma-aljabar produk dibangun dari paling banyak terhitung banyak koordinat. Teorema itu menghasilkan ukuran \(\mu\) pada \(\mathcal F^0\) yang nilainya pada setiap silinder ialah (2). Unit ini menggunakan hasil keberadaan tersebut; unit ini tidak menyamarkan langkah aditivitas terhitung sebagai akibat otomatis dari konsistensi hingga dan tidak mengulang teori umum perluasan ukuran.

Peta jalan itu dapat dibuat lebih konkret tanpa mengulang seluruh teorema. Untuk setiap himpunan koordinat terhitung \(I\subset T\), teorema pada produk terhitung memberi ukuran \(\mu_I\) yang mempunyai marginal yang ditentukan. Jika suatu kejadian \(E\in\mathcal F^0\) ditentukan oleh koordinat dalam \(I\), nilainya dibaca dari \(\mu_I\). Apabila \(E\) juga mempunyai representasi melalui himpunan terhitung \(K\), kedua nilai dibandingkan di ruang bersama \(S^{I\cup K}\); konsistensi marginal di ruang itu membuat hasilnya sama. Untuk memeriksa aditivitas terhitung suatu barisan kejadian, gabungkan semua himpunan koordinat yang menopang kejadian-kejadian tersebut. Gabungan itu masih terhitung, sehingga seluruh pemeriksaan berlangsung di bawah satu ukuran \(\mu_L\) yang sudah aditif terhitung. Inilah mekanisme yang menjelaskan mengapa pengurangan ke koordinat terhitung sah, sekaligus mengapa keteraturan ruang keadaan tetap diperlukan pada langkah perluasan terhitung.

Dengan kata lain, pembuktian representasi silinder di atas hanya memastikan bahwa kandidat nilai \(q(C)\) tidak ambigu. Teorema batas proyektif itulah yang memastikan bahwa apabila silinder-silinder disusun dalam barisan yang melibatkan makin banyak koordinat, nilai kandidat itu tetap memenuhi syarat limit yang diperlukan oleh ukuran peluang. Setelah teorema diterapkan, kita boleh memakai semua operasi terhitung dalam \(\mathcal F^0\) secara sah. Tanpa langkah tersebut, yang tersedia baru data hingga yang kompatibel, bukan ruang peluang proses yang sudah dibangun.

Keunikan pada sigma-aljabar produk

Misalkan \(\mu\) dan \(\nu\) adalah dua ukuran peluang pada \((S^T,\mathcal F^0)\) dengan marginal hingga yang sama. Kelas semua silinder

\[ \mathcal C =\{\pi_J^{-1}(A):J\subset T\text{ hingga}, A\in\mathcal S^{\otimes J}\} \]

adalah suatu sistem-\(\pi\). Memang, jika dua silinder masing-masing bergantung pada \(J\) dan \(K\), irisan keduanya dapat ditulis sebagai silinder pada \(L=J\cup K\). Selain itu, \(\Omega\in\mathcal C\) dan \(\sigma(\mathcal C)=\mathcal F^0\).

Kesamaan marginal memastikan \(\mu\) dan \(\nu\) sepakat pada setiap anggota \(\mathcal C\); pembuktian representasi bersama sebelumnya menjamin bahwa pernyataan ini tidak bergantung pada cara silinder ditulis. Langkah berikut harus memperluas kesepakatan dari pengamatan hingga ke semua kejadian yang dibangun melalui operasi terhitung. Inilah fungsi argumen kelas monoton, dan bukan suatu asumsi tambahan tentang topologi lintasan.

Bentuk kelas

\[ \mathcal D=\{E\in\mathcal F^0:\mu(E)=\nu(E)\}. \]

Karena \(\mu\) dan \(\nu\) adalah ukuran peluang, \(\mathcal D\) memuat \(\Omega\), tertutup terhadap komplemen relatif, dan tertutup terhadap gabungan terhitung dari himpunan-himpunan saling lepas. Jadi \(\mathcal D\) merupakan sistem Dynkin. Kedua ukuran mempunyai marginal yang sama, sehingga \(\mathcal C\subset\mathcal D\). Teorema sistem-\(\pi\)–\(\lambda\)—bentuk indikator dari teorema kelas monoton—memberikan

\[ \mathcal F^0=\sigma(\mathcal C)\subset\mathcal D. \]

Akibatnya \(\mu(E)=\nu(E)\) untuk setiap \(E\in\mathcal F^0\). Inilah seluruh lingkup klaim keunikan: kesamaan pada sigma-aljabar produk yang dibangkitkan silinder, bukan pada sigma-aljabar lebih besar yang tidak disebutkan.

Proses koordinat kanonik

Setelah teorema menghasilkan \(\mu\), tetapkan pada \((\Omega,\mathcal F^0,\mu)=(S^T,\mathcal S^{\otimes T},\mu)\)

\[ X_t(\omega)=\omega(t)=\pi_t(\omega), \qquad t\in T. \]

Untuk \(B\in\mathcal S\),

\[ X_t^{-1}(B)=\pi_t^{-1}(B)\in\mathcal F^0, \]

sehingga setiap \(X_t\) terukur. Jika \(J\subset T\) hingga, peta vektor \((X_t)_{t\in J}\) persis \(\pi_J\). Oleh karena itu, untuk setiap \(A\in\mathcal S^{\otimes J}\),

\[ \mathbb P\bigl((X_t)_{t\in J}\in A\bigr) =\mu(\pi_J^{-1}(A)) =\mu_J(A). \]

Jadi hukum berdimensi hingga proses koordinat kanonik tepat keluarga yang diberikan. Ini juga membuktikan klaim koordinat dan distribusi berdimensi hingga tanpa memilih versi proses di ruang peluang lain.

Konstruksi kanonik juga merangkum setiap realisasi lain. Misalkan pada ruang peluang \((\Omega',\mathcal A,\mathbb P')\) sudah ada keluarga peubah acak \(Y_t\) dengan hukum-hukum hingga \(\mu_J\). Peta lintasan

\[ \Phi:\Omega'\longrightarrow S^T, \qquad \Phi(\omega')=(Y_t(\omega'))_{t\in T}, \]

terukur terhadap \(\mathcal F^0\): prabayangan setiap silinder adalah kejadian yang ditentukan oleh vektor hingga \((Y_t)_{t\in J}\). Ukuran dorong \(\mathbb P'\circ\Phi^{-1}\) memiliki marginal \(\mu_J\), sehingga keunikan memberikan \(\mathbb P'\circ\Phi^{-1}=\mu\). Jadi hukum pada ruang kanonik menyimpan tepat informasi distribusional dari setiap realisasi tersebut. Argumen ini tidak mengatakan bahwa peta evaluasi bersama \((t,\omega')\mapsto Y_t(\omega')\) terukur dan tidak menyamakan lintasan dua realisasi di luar kesamaan hukumnya.

Jika \(T\) terurut, kita boleh membentuk filtrasi kanonik mentah

\[ \mathcal F_t^0=\sigma(X_s:s\le t). \]

Filtrasi ini belum dilengkapi oleh himpunan nol dan belum dibuat kontinu kanan. Pelengkapan serta augmentasi biasa bergantung pada hukum \(\mu\) dan konvensi waktu yang dipilih; keduanya bukan bagian dari konstruksi Kolmogorov mentah.

Contoh keluarga Markov

Misalkan \((S,\mathcal S)\) Borel standar, waktu \(T\subset[0,\infty)\) memuat \(0\), \(\eta\) adalah hukum awal, dan \(P_{s,t}(x,\mathrm dy)\) adalah keluarga kernel transisi terukur untuk \(s\le t\). Anggap \(P_{t,t}(x,\cdot)=\delta_x\) dan hukum komposisi Chapman–Kolmogorov berlaku:

\[ P_{r,t}(x,A) =\int_S P_{r,s}(x,\mathrm dy)P_{s,t}(y,A), \qquad r\le s\le t. \tag{5} \]

Tulis \(\eta_t(A)=\int_S\eta(\mathrm dx)P_{0,t}(x,A)\). Untuk himpunan waktu \(J=\{t_1<\cdots<t_n\}\), definisikan hukum hingga melalui

\[ \begin{aligned} &\mu_J(\mathrm dx_1\cdots\mathrm dx_n)\\ &\quad=\eta_{t_1}(\mathrm dx_1) P_{t_1,t_2}(x_1,\mathrm dx_2)\cdots P_{t_{n-1},t_n}(x_{n-1},\mathrm dx_n). \end{aligned} \tag{6} \]

Secara lebih eksplisit, untuk persegi panjang \(A_1\times\cdots\times A_n\), ruas kanan (6) berarti integral berulang

\[ \int_{A_1}\eta_{t_1}(\mathrm dx_1) \int_{A_2}P_{t_1,t_2}(x_1,\mathrm dx_2)\cdots \int_{A_n}P_{t_{n-1},t_n}(x_{n-1},\mathrm dx_n). \]

Keterukuran kernel memastikan bahwa setiap integral luar terdefinisi. Bentuk ini lalu menentukan satu ukuran peluang pada sigma-aljabar produk hingga, bukan hanya pada persegi panjang. Urutan waktu dipakai untuk memfaktorkan hukum; indeks hukum itu sendiri tetap himpunan berlabel \(J\), sehingga hasil akhir tidak bergantung pada cara kita menuliskan daftar yang sama.

Menghapus koordinat terakhir berarti mengintegralkan \(P_{t_{n-1},t_n}(x_{n-1},\mathrm dx_n)\) atas seluruh \(S\); hasilnya satu, karena kernel tersebut merupakan ukuran peluang. Menghapus koordinat interior \(t_i\) menggabungkan dua kernel yang bersebelahan, dan (5) mengganti integralnya dengan \(P_{t_{i-1},t_{i+1}}\). Menghapus koordinat pertama memakai \(\eta_{t_1}P_{t_1,t_2}=\eta_{t_2}\). Penghapusan berulang menangani setiap \(K\subset J\), sehingga keluarga (6) konsisten secara proyektif.

Teorema perluasan kini menghasilkan hukum pada ruang mentah \(S^T\) dan proses koordinat dengan hukum-hukum (6). Kesimpulannya hanya itu. Untuk teori rantai Markov waktu kontinu, generator, dan semigrup, lihat unit QuantEcon. Jika teori tersebut memakai ruang lintasan kontinu kanan yang lebih sempit, diperlukan argumen tambahan untuk menunjukkan bahwa hukum mentah berkonsentrasi di sana atau untuk membangun ukuran langsung pada ruang yang lebih sempit tersebut.

Contoh keluarga Gaussian

Ambil \(S=\mathbb R\) dengan sigma-aljabar Borel. Misalkan \(m:T\to\mathbb R\) dan \(K:T\times T\to\mathbb R\) memenuhi \(K(s,t)=K(t,s)\) serta bersifat semidefinit positif: untuk setiap \(t_1,\ldots,t_n\in T\) dan \(a_1,\ldots,a_n\in\mathbb R\),

\[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_i a_jK(t_i,t_j)\ge0. \tag{7} \]

Untuk \(J=\{t_1,\ldots,t_n\}\), tetapkan \(m_J=(m(t_i))_{i=1}^n\) dan \(K_J=(K(t_i,t_j))_{i,j=1}^n\). Ada hukum Gaussian multivariat \(\mu_J=\mathcal N(m_J,K_J)\), termasuk ketika \(K_J\) singular. Sebagai contoh, hukum singular dapat dipahami melalui fungsi karakteristik

\[ u\longmapsto \exp\!\left(iu^\mathsf Tm_J-\tfrac12u^\mathsf TK_Ju\right), \]

yang tetap sah untuk matriks kovarians semidefinit positif.

Singularitas berarti sebagian kombinasi linear koordinat mempunyai varians nol dan karena itu memenuhi hubungan deterministik di bawah hukum tersebut. Hal ini tidak merusak ukuran peluang: ukuran Gaussian hanya terkonsentrasi pada subruang afin yang dimensinya lebih kecil. Karena proyeksi linear dari Gaussian—singular ataupun tak singular—tetap Gaussian, pengambilan marginal tidak memerlukan invers matriks kovarians ataupun kepadatan terhadap ukuran Lebesgue. Inilah alasan formulasi semidefinit positif, bukan definit positif, merupakan formulasi yang tepat bagi keluarga hingga.

Marginal sebuah vektor Gaussian pada subhimpunan koordinat tetap Gaussian; vektor rataan dan matriks kovariansnya menjadi subvektor dan submatriks yang bersesuaian. Maka untuk \(K_0\subset J\) berlaku \(\mu_J\circ p_{J,K_0}^{-1}=\mu_{K_0}\). Teorema Kolmogorov menghasilkan proses Gaussian kanonik dengan fungsi rataan \(m\) dan fungsi kovarians \(K\). Pemilihan \(K(s,t)=\min(s,t)\) terkait dengan pembahasan gerak Brown standar, tetapi konstruksi di sini sendiri tidak membuktikan lintasan kontinu, sifat Markov, atau sifat lintasan Brown lainnya.

Audit hipotesis dan bukan klaim

Empat batas berikut mencegah teorema perluasan dipakai melampaui isinya.

  1. Borel standar adalah hipotesis cukup yang dinyatakan. Kita tidak mengasumsikan bahwa keluarga konsisten pada ruang terukur sebarang selalu dapat diperluas. Ada versi teorema dengan hipotesis lain, tetapi versi itulah yang harus dinyatakan dan dibuktikan jika hendak dipakai.
  2. Ukuran hidup pada sigma-aljabar produk. Untuk \(T\) tak terhitung, \(\mathcal S^{\otimes T}\) dapat lebih kecil daripada sigma-aljabar lain yang muncul dari suatu topologi pada \(S^T\), apalagi daripada himpunan semua bagiannya. Keunikan pada silinder tidak menentukan nilai kejadian di luar \(\mathcal S^{\otimes T}\).
  3. Ruang lintasan mentah bukan ruang lintasan teratur. Konstruksi pada \(S^T\) tidak dengan sendirinya memberi ukuran pada \(C(T,S)\), \(D(T,S)\), atau kelas lintasan kontinu kanan. Untuk berpindah ke kelas tersebut perlu dibuktikan keterukuran kelasnya dan konsentrasi ukuran, atau digunakan teorema konstruksi lain. Hukum berdimensi hingga saja tidak menyertakan keteraturan lintasan.
  4. Keterukuran setiap koordinat bukan keterukuran bersama. Kita telah membuktikan bahwa \(\omega\mapsto X_t(\omega)\) terukur untuk setiap \(t\) tetap. Itu tidak otomatis membuktikan bahwa \((t,\omega)\mapsto X_t(\omega)\) terukur terhadap sigma-aljabar produk pada \(T\times\Omega\). Keterukuran bersama, modifikasi proses, dan ekuivalensi lintasan memerlukan pembahasan penghubung tersendiri.

Dengan batas-batas ini, perluasan Kolmogorov melakukan satu pekerjaan yang sangat kuat tetapi spesifik: mengubah hukum berdimensi hingga yang konsisten menjadi satu hukum pada ruang koordinat mentah, lalu menyediakan realisasi kanonik melalui proyeksi koordinat.

Karena itu, setiap penerapan sebaiknya meninggalkan jejak audit yang menyebut ruang keadaan, sigma-aljabar hasil, keluarga marginal, dan teorema tambahan apa pun yang dipakai untuk keteraturan lintasan. Menuliskan keempat unsur itu mencegah kesimpulan sah tentang hukum koordinat berubah tanpa disadari menjadi klaim yang lebih kuat tentang geometri lintasan.

Latihan penguasaan

Latihan 1 — satu silinder, dua representasi

Misalkan \(J,K\subset T\) hingga, \(A\in\mathcal S^{\otimes J}\), \(B\in\mathcal S^{\otimes K}\), dan \(\pi_J^{-1}(A)=\pi_K^{-1}(B)\).

  1. Dengan \(L=J\cup K\), buktikan bahwa \(p_{L,J}^{-1}(A)=p_{L,K}^{-1}(B)\) di \(S^L\).
  2. Buktikan bahwa penetapan peluang silinder tidak bergantung pada representasinya, yaitu \(\mu_J(A)=\mu_K(B)\).
  3. Gunakan bentuk silinder untuk membuktikan bahwa setiap koordinat \(X_t(\omega)=\omega(t)\) terukur pada \(\mathcal F^0\).
Petunjuk 1 untuk Latihan 1

Petunjuk 1. Pindahkan kedua representasi ke ruang koordinat bersama \(S^L\). Untuk membandingkan keanggotaan titik \(x\in S^L\), perpanjang \(x\) menjadi sebuah lintasan \(\omega\in S^T\).

Petunjuk 2 untuk Latihan 1

Petunjuk 2. Setelah kedua himpunan terangkat terbukti sama, terapkan konsistensi proyektif sekali dari \(L\) ke \(J\) dan sekali dari \(L\) ke \(K\). Untuk keterukuran koordinat, hitung prabayangan \(X_t^{-1}(D)\) bagi \(D\in\mathcal S\).

Jawaban ringkas. Kedua himpunan yang diangkat ke \(S^L\) sama, sehingga

\[ \mu_J(A)=\mu_L(p_{L,J}^{-1}A) =\mu_L(p_{L,K}^{-1}B)=\mu_K(B). \]

Selain itu, \(X_t^{-1}(D)=\pi_{\{t\}}^{-1}(D)\) adalah silinder dan karena itu berada dalam \(\mathcal F^0\).

Penyelesaian lengkap untuk Latihan 1

Penyelesaian lengkap. Pilih \(s_0\in S\). Untuk \(x\in S^L\), definisikan \(\omega_x\in S^T\) dengan \(\omega_x|_L=x\) dan \(\omega_x(t)=s_0\) di luar \(L\). Karena kedua silinder pada soal sama,

\[ \begin{aligned} x\in p_{L,J}^{-1}(A) &\iff \pi_J(\omega_x)\in A\\ &\iff \omega_x\in\pi_J^{-1}(A)\\ &\iff \omega_x\in\pi_K^{-1}(B)\\ &\iff \pi_K(\omega_x)\in B\\ &\iff x\in p_{L,K}^{-1}(B). \end{aligned} \]

Kesetaraan berlaku untuk setiap \(x\), jadi kedua himpunan terangkat sama. Konsistensi proyektif memberikan

\[ \mu_J(A)=\mu_L(p_{L,J}^{-1}A) =\mu_L(p_{L,K}^{-1}B)=\mu_K(B). \]

Dengan demikian peluang silinder terdefinisi baik, meskipun satu silinder ditulis memakai dua himpunan koordinat berbeda. Terakhir, bagi \(D\in\mathcal S\),

\[ X_t^{-1}(D) =\{\omega:\omega(t)\in D\} =\pi_{\{t\}}^{-1}(D)\in\mathcal F^0. \]

Karena ini berlaku untuk setiap \(D\in\mathcal S\), peta \(X_t\) terukur.

Latihan 2 — konsistensi hukum Markov

Misalkan \(S=\{0,1\}\), \(\eta\) suatu hukum awal, dan rantai Markov homogen mempunyai matriks transisi

\[ P=\begin{pmatrix}3/4&1/4\\[2pt]1/2&1/2\end{pmatrix}. \]

  1. Tuliskan hukum bersama tiga waktu \((X_0,X_1,X_2)\).
  2. Jumlahkan keadaan interior \(X_1\) dan tunjukkan bahwa marginal \((X_0,X_2)\) memakai matriks dua-langkah \(P^2\).
  3. Periksa dengan aritmetika rasional nilai \(P^2\), jelaskan penghapusan koordinat ujung, lalu simpulkan konsistensi semua hukum waktu hingga dan terapkan teorema perluasan Kolmogorov.
Petunjuk 1 untuk Latihan 2

Petunjuk 1. Untuk \(i,j,k\in S\), hukum tiga waktunya adalah \(\eta_iP_{ij}P_{jk}\). Ketika \(j\) dijumlahkan, pisahkan dua faktor kernel yang bersebelahan.

Petunjuk 2 untuk Latihan 2

Petunjuk 2. Gunakan hukum komposisi \(\sum_jP_{ij}P_{jk}=(P^2)_{ik}\). Menghapus koordinat terakhir memakai jumlah baris satu, sedangkan penghapusan berulang menangani subhimpunan waktu sebarang.

Jawaban ringkas. Hukum tiga waktunya \(\mu_{\{0,1,2\}}(i,j,k)=\eta_iP_{ij}P_{jk}\). Chapman–Kolmogorov tepat memberi identitas marginal yang hilang, dan

\[ P^2=\begin{pmatrix}11/16&5/16\\[2pt]5/8&3/8\end{pmatrix}. \]

Karena setiap penghapusan koordinat mempertahankan hukum yang ditentukan, keluarganya konsisten dan menghasilkan hukum kanonik pada \(S^{\mathbb N_0}\).

Penyelesaian lengkap untuk Latihan 2

Penyelesaian lengkap. Dengan menulis \(\eta_i=\eta(\{i\})\) dan \(P_{ij}=P(i,\{j\})\), sifat Markov memberi

\[ \mathbb P(X_0=i,X_1=j,X_2=k)=\eta_iP_{ij}P_{jk}. \]

Jika koordinat interior dijumlahkan, diperoleh

\[ \sum_{j\in S}\eta_iP_{ij}P_{jk} =\eta_i\sum_{j\in S}P_{ij}P_{jk} =\eta_i(P^2)_{ik}. \]

Jadi hukum marginal \((X_0,X_2)\) memakai kernel dua-langkah; identitas ini persis hukum Chapman–Kolmogorov. Perhitungan rasional menghasilkan

\[ \begin{aligned} (P^2)_{00}&=\frac34\frac34+\frac14\frac12 =\frac9{16}+\frac2{16}=\frac{11}{16},\\ (P^2)_{01}&=\frac34\frac14+\frac14\frac12 =\frac3{16}+\frac2{16}=\frac5{16},\\ (P^2)_{10}&=\frac12\frac34+\frac12\frac12 =\frac38+\frac14=\frac58,\\ (P^2)_{11}&=\frac12\frac14+\frac12\frac12 =\frac18+\frac14=\frac38. \end{aligned} \]

Maka, tepat seperti yang harus diperiksa,

\[ P^2= \begin{pmatrix} 11/16&5/16\\[2pt] 5/8&3/8 \end{pmatrix}. \]

Menghapus \(X_2\) dari hukum tiga waktu memberi

\[ \sum_k\eta_iP_{ij}P_{jk} =\eta_iP_{ij}\sum_kP_{jk} =\eta_iP_{ij}, \]

karena setiap baris \(P\) berjumlah satu. Menghapus \(X_0\) memberi \(\sum_i\eta_iP_{ij}P_{jk}=(\eta P)_jP_{jk}\), yaitu hukum dua waktu dengan distribusi awal pada waktu \(1\). Untuk kumpulan waktu yang lebih panjang, koordinat ujung dihapus dengan normalisasi kernel, sedangkan koordinat interior dihapus dengan komposisi kernel. Penghapusan berulang membuktikan konsistensi untuk setiap pasangan himpunan waktu hingga \(K\subset J\).

Ruang keadaan hingga adalah Borel standar. Karena itu, teorema perluasan Kolmogorov memberikan ukuran peluang unik pada \((S^{\mathbb N_0},\mathcal S^{\otimes\mathbb N_0})\) dengan semua hukum hingga tersebut. Proyeksi koordinat di ruang ini membentuk rantai Markov kanonik. Penerapan teorema ini belum menambahkan struktur lintasan apa pun di luar koordinat diskret tersebut.

Latihan 3 — keluarga Gaussian kanonik

Untuk \(T\subset\mathbb R\), definisikan

\[ K(s,t)=1+st. \]

  1. Buktikan bahwa \(K\) simetris dan semidefinit positif.
  2. Untuk setiap \(J=\{t_1,\ldots,t_n\}\subset T\) yang hingga, definisikan hukum Gaussian berataan nol dan berkovarians \(K_J=(1+t_it_j)_{i,j}\). Buktikan keluarga hukum ini konsisten, termasuk saat \(K_J\) singular.
  3. Terapkan teorema perluasan Kolmogorov dan nyatakan dengan tepat apa yang dapat—dan tidak dapat—disimpulkan tentang proses kanoniknya.
Petunjuk 1 untuk Latihan 3

Petunjuk 1. Untuk skalar \(a_1,\ldots,a_n\), tulis ulang bentuk kuadratnya sebagai

\[ \left(\sum_i a_i\right)^2 +\left(\sum_i a_it_i\right)^2. \]

Petunjuk 2 untuk Latihan 3

Petunjuk 2. Marginal dari Gaussian multivariat diperoleh dengan mengambil subvektor rataan dan submatriks kovarians. Fakta ini tetap berlaku untuk Gaussian singular; gunakan fungsi karakteristik jika diperlukan.

Jawaban ringkas. Identitas bentuk kuadrat menunjukkan bahwa \(K\) positif semidefinit. Marginal Gaussian pada koordinat \(K_0\subset J\) mempunyai kovarians \((1+st)_{s,t\in K_0}\), sehingga keluarga konsisten. Teorema Kolmogorov menghasilkan proses koordinat Gaussian kanonik berataan nol dan berkovarians \(K\) pada sigma-aljabar produk; tahap ini tidak menyimpulkan kontinuitas atau keteraturan lintasan lainnya.

Penyelesaian lengkap untuk Latihan 3

Penyelesaian lengkap. Simetri langsung mengikuti \(1+st=1+ts\). Untuk \(t_1,\ldots,t_n\in T\) dan \(a_1,\ldots,a_n\in\mathbb R\),

\[ \begin{aligned} \sum_{i,j=1}^na_ia_jK(t_i,t_j) &=\sum_{i,j=1}^na_ia_j(1+t_it_j)\\ &=\left(\sum_{i=1}^na_i\right)^2 +\left(\sum_{i=1}^na_it_i\right)^2 \ge0. \end{aligned} \]

Jadi setiap matriks \(K_J=(1+t_it_j)_{i,j}\) simetris dan semidefinit positif. Karena itu terdapat hukum Gaussian multivariat \(\mu_J=\mathcal N(0,K_J)\). Matriks ini dapat singular—misalnya, untuk banyak titik peringkatnya tidak melebihi dua—tetapi singularitas tidak menggagalkan keberadaan ukuran Gaussian. Fungsi karakteristiknya tetap

\[ \varphi_J(u)=\exp\!\left(-\tfrac12u^\mathsf TK_Ju\right). \]

Ambil \(K_0\subset J\) dan proyeksikan vektor ke koordinat dalam \(K_0\). Fungsi karakteristik marginal diperoleh dengan memberi nilai nol pada komponen \(u\) di luar \(K_0\). Hasilnya

\[ u_0\longmapsto \exp\!\left(-\tfrac12u_0^\mathsf TK_{K_0}u_0\right), \]

yang merupakan fungsi karakteristik \(\mathcal N(0,K_{K_0})\). Maka \(\mu_J\circ p_{J,K_0}^{-1}=\mu_{K_0}\) bahkan ketika kovariansnya singular.

Karena \(\mathbb R\) dengan sigma-aljabar Borel adalah ruang Borel standar, teorema perluasan memberikan ukuran unik pada \((\mathbb R^T,\mathcal B(\mathbb R)^{\otimes T})\). Proses koordinat \(X_t(\omega)=\omega(t)\) di bawah ukuran itu adalah Gaussian, berataan nol, dan memenuhi

\[ \operatorname{Cov}(X_s,X_t)=1+st. \]

Konstruksi ini menetapkan semua hukum berdimensi hingga. Konstruksi ini saja tidak membuktikan bahwa lintasan \(t\mapsto X_t(\omega)\) kontinu, kontinu kanan, terukur bersama, atau memiliki keteraturan lain. Setiap klaim semacam itu memerlukan argumen tambahan di luar teorema perluasan yang dipakai di sini.

Hak dan provenans

Seluruh unit asli ini—termasuk uraian, teorema sebagaimana dirumuskan di sini, tiga latihan, enam petunjuk progresif, tiga jawaban ringkas, dan tiga penyelesaian lengkap—dilepas dengan lisensi Creative Commons Attribution 4.0 International di bawah pengenal hak rights.o009.original.bridge.kolmogorov.cc-by-4.0.

Unit ini ditulis sebagai jembatan mandiri untuk menghubungkan materi Random tentang ruang produk dan distribusi berdimensi hingga dengan materi QuantEcon tentang proses Markov waktu kontinu. Teksnya bukan bagian dari sumber-sumber donor tersebut dan tidak mengubah lisensi apa pun yang berlaku pada sumber donor. Catatan audit mengenai hipotesis ruang keadaan, lingkup langkah keberadaan, dan perbedaan antara ruang lintasan mentah dan kelas lintasan kontinu kanan merupakan koreksi hilir; byte sumber donor tetap dipertahankan tanpa perubahan.

Pengungkapan produksi: OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra. Materi ini dibuat atas arahan pengguna. Random dan QuantEcon tidak mendukung, mengesahkan, atau mensponsori unit ini; penyebutan dan pranala hanya menyatakan hubungan kurikuler serta provenans intelektual yang relevan.