Keterukuran proses dan hukum lintasan

Tujuan dan empat lapis objek

Sebuah proses stokastik mempunyai koordinat waktu, tetapi kata “terukur” dapat merujuk pada beberapa peta yang berbeda. Jika peta-peta itu disamakan, argumen yang benar tentang distribusi berdimensi hingga dapat berubah menjadi klaim yang salah tentang lintasan. Unit Konstruksi Kolmogorov dan proses kanonik telah membangun hukum pada ruang produk mentah. Sekarang kita menentukan dengan tepat informasi apa yang tersimpan dalam hukum itu dan apa yang masih memerlukan struktur tambahan.

Biarkan \((T,\mathcal T)\) menjadi ruang indeks terukur, \((\Omega,\mathcal A,\mathbb P)\) ruang peluang, dan \((S,\mathcal S)\) ruang keadaan terukur. Untuk keluarga \(X=(X_t)_{t\in T}\), empat objek berikut harus dibedakan.

  1. Untuk setiap \(t\) tetap, ada peta koordinat \[ X_t:\Omega\longrightarrow S. \]
  2. Seluruh keluarga dapat dikemas sebagai peta lintasan mentah \[ \Phi_X:\Omega\longrightarrow S^T, \qquad \Phi_X(\omega)(t)=X_t(\omega), \] dengan sasaran diberi sigma-aljabar produk \(\mathcal S^{\otimes T}=\sigma(\pi_t:t\in T)\).
  3. Indeks dan hasil acak dapat dibaca bersama melalui peta evaluasi proses \[ \widehat X:T\times\Omega\longrightarrow S, \qquad \widehat X(t,\omega)=X_t(\omega). \]
  4. Jika lintasan mempunyai keteraturan tertentu, peta yang sama mungkin dipandang sebagai peubah acak bernilai ruang lintasan, misalnya \[ \Phi_X:\Omega\longrightarrow C([0,1],\mathbb R) \] dengan sigma-aljabar Borel dari norma seragam.

Keempat pernyataan keterukuran itu tidak identik. Setelah menyelesaikan unit ini, pembaca mampu membuktikan hubungan yang benar di antaranya, menentukan tepat apa yang ditentukan oleh distribusi berdimensi hingga, dan mengaudit klaim tentang modifikasi, ketakterbedaan, serta keteraturan lintasan.

Prasyaratnya ialah ruang produk peluang, proses dan distribusi berdimensi hingga, dan jembatan Kolmogorov di atas. Kita tidak mengulang konstruksi ukuran dari keluarga proyektif, teori gerak Brown, atau teori rantai Markov waktu kontinu. Fokus kita adalah perbedaan logis antara koordinat, peta lintasan, evaluasi gabungan, dan hukum pada ruang lintasan teratur.

Peta lintasan mentah dan keterukuran tiap waktu

Definisi dasar proses stokastik hanya meminta setiap \(X_t\) terukur sebagai peta dari \((\Omega,\mathcal A)\) ke \((S,\mathcal S)\). Syarat ini tepat setara dengan keterukuran peta lintasan mentah ke ruang produk.

Proposisi (koordinat demi koordinat). Peta \(\Phi_X:\Omega\to(S^T,\mathcal S^{\otimes T})\) terukur jika dan hanya jika \(X_t:\Omega\to S\) terukur untuk setiap \(t\in T\).

Bukti. Jika \(\Phi_X\) terukur, maka

\[ X_t=\pi_t\circ\Phi_X \]

terukur karena proyeksi koordinat \(\pi_t\) terukur menurut definisi \(\mathcal S^{\otimes T}\). Sebaliknya, anggap setiap \(X_t\) terukur. Untuk himpunan silinder

\[ C=\pi_J^{-1}(B), \qquad J\subset T\text{ hingga},\quad B\in\mathcal S^{\otimes J}, \]

prabayangannya adalah

\[ \Phi_X^{-1}(C) =\{\omega:(X_t(\omega))_{t\in J}\in B\}. \]

Peta vektor hingga \((X_t)_{t\in J}\) terukur terhadap sigma-aljabar produk hingga, sehingga prabayangan itu berada dalam \(\mathcal A\). Karena silinder membangkitkan \(\mathcal S^{\otimes T}\), kriteria sigma-aljabar pembangkit memberikan keterukuran \(\Phi_X\). \(\square\)

Tidak ada hipotesis Borel standar pada \(S\) dalam proposisi ini. Hipotesis seperti itu diperlukan pada teorema keberadaan tertentu, bukan pada fakta formal bahwa sigma-aljabar produk dibangkitkan oleh koordinat.

Proposisi tersebut juga menjelaskan hukum lintasan mentah. Jika setiap koordinat terukur, kita dapat membentuk ukuran dorong

\[ \mathsf P_X=\mathbb P\circ\Phi_X^{-1} \]

pada \((S^T,\mathcal S^{\otimes T})\). Ukuran ini membaca setiap kejadian yang dapat dibangun dari koordinat melalui operasi terhitung. Akan tetapi, sasaran ini belum mengatakan bahwa peta \((t,\omega)\mapsto X_t(\omega)\) terukur, dan belum mengatakan bahwa himpunan semua lintasan kontinu atau cadlag merupakan kejadian terukur.

Keterukuran bersama dan evaluasi kanonik

Keluarga \(X\) disebut terukur bersama apabila

\[ \widehat X:(T\times\Omega,\mathcal T\otimes\mathcal A) \longrightarrow(S,\mathcal S) \]

terukur. Keterukuran bersama bergantung pada sigma-aljabar \(\mathcal T\) yang dipilih pada \(T\); tanpa struktur terukur pada himpunan indeks, pernyataan ini bahkan belum terdefinisi.

Jika \(\widehat X\) terukur, setiap bagian waktu \(\omega\mapsto\widehat X(t,\omega)=X_t(\omega)\) terukur. Untuk \(t\) tetap, peta \(\omega\mapsto(t,\omega)\) terukur, lalu komposisinya dengan \(\widehat X\) ialah \(X_t\). Demikian pula, untuk setiap \(\omega\) tetap, lintasan \(t\mapsto X_t(\omega)\) merupakan peta terukur dari \((T,\mathcal T)\) ke \((S,\mathcal S)\). Jadi keterukuran bersama lebih kuat daripada keterukuran tiap waktu dan juga memaksa setiap lintasan menjadi terukur terhadap waktu.

Kebalikannya gagal bahkan pada proses koordinat kanonik yang paling alami.

Teorema (evaluasi kanonik mentah tidak terukur bersama). Ambil \(T=[0,1]\) dengan sigma-aljabar Borel, \(S=\{0,1\}\) dengan sigma-aljabar diskret, dan \(\Omega=S^T\) dengan sigma-aljabar produk \(\mathcal S^{\otimes T}\). Peta evaluasi \[ e:T\times S^T\longrightarrow S, \qquad e(t,\omega)=\omega(t), \] tidak terukur terhadap \(\mathcal B(T)\otimes\mathcal S^{\otimes T}\).

Untuk membuktikannya, kita memerlukan lemma yang mempertahankan satu himpunan koordinat untuk seluruh nilai \(t\).

Lemma (ketergantungan koordinat terhitung pada produk). Untuk setiap \(E\in\mathcal T\otimes\mathcal S^{\otimes T}\) terdapat himpunan terhitung \(J\subset T\) sedemikian sehingga, apabila \(\omega|_J=\omega'|_J\), maka \[ (t,\omega)\in E\iff(t,\omega')\in E \qquad\text{untuk setiap }t\in T. \]

Bukti lemma. Bentuk kelas \(\mathcal D\) dari semua bagian \(E\subset T\times S^T\) yang memiliki sifat tersebut untuk suatu \(J\) terhitung. Kelas ini merupakan sigma-aljabar. Komplemen memakai \(J\) yang sama. Untuk gabungan terhitung \(E_n\), gunakan \(J=\bigcup_nJ_n\), yang masih terhitung.

Setiap persegi panjang terukur \(B\times C\) berada dalam \(\mathcal D\). Memang, setiap \(C\in\mathcal S^{\otimes T}\) bergantung pada paling banyak terhitung banyak koordinat: kelas kejadian ruang lintasan yang memiliki sifat itu merupakan sigma-aljabar dan memuat seluruh silinder. Karena persegi panjang membangkitkan \(\mathcal T\otimes\mathcal S^{\otimes T}\), seluruh bagian terukur berada dalam \(\mathcal D\). \(\square\)

Bukti teorema. Andaikan \(E=e^{-1}(\{1\})\) terukur. Pilih himpunan terhitung \(J\) dari lemma dan ambil \(t_0\in[0,1]\setminus J\). Biarkan \(\omega_0\) menjadi lintasan nol dan \(\omega_1\) lintasan yang bernilai satu hanya pada \(t_0\). Kedua lintasan sama pada \(J\). Namun

\[ e(t_0,\omega_0)=0, \qquad e(t_0,\omega_1)=1, \]

sehingga keanggotaan \((t_0,\omega_0)\) dan \((t_0,\omega_1)\) dalam \(E\) berbeda. Ini bertentangan dengan lemma. \(\square\)

Tidak ada kontradiksi dengan proposisi sebelumnya. Setiap koordinat \(\pi_t:S^T\to S\) terukur, sehingga peta lintasan identitas \(S^T\to S^T\) terukur. Yang gagal ialah keterukuran peta dua-argumen \((t,\omega)\mapsto\omega(t)\) pada sigma-aljabar produk yang dinyatakan.

Ada dua batas positif yang membantu mengisolasi sumber kegagalan.

Dengan demikian, ruang lintasan yang lebih teratur dapat memperbaiki keterukuran evaluasi, tetapi hanya setelah hukum proses benar-benar dibangun sebagai hukum pada ruang tersebut.

Distribusi berdimensi hingga dan hukum lintasan mentah

Distribusi berdimensi hingga, disingkat FDD, membaca hukum vektor \((X_t)_{t\in J}\) untuk setiap \(J\subset T\) hingga. Pada ruang produk mentah, informasi ini lengkap.

Proposisi (FDD menentukan hukum produk mentah). Dua proses \(X\) dan \(Y\), yang boleh didefinisikan pada ruang peluang berbeda tetapi mempunyai ruang keadaan \((S,\mathcal S)\) yang sama, mempunyai FDD yang sama jika dan hanya jika hukum lintasan mentahnya sama pada \((S^T,\mathcal S^{\otimes T})\).

Bukti. Jika hukum lintasannya sama, dorongan melalui setiap proyeksi hingga \(\pi_J\) sama, sehingga FDD sama. Sebaliknya, anggap semua FDD sama. Untuk silinder \(C=\pi_J^{-1}(B)\),

\[ \mathsf P_X(C) =\mathbb P_X((X_t)_{t\in J}\in B) =\mathbb P_Y((Y_t)_{t\in J}\in B) =\mathsf P_Y(C). \]

Silinder membentuk sistem-\(\pi\), memuat seluruh ruang, dan membangkitkan \(\mathcal S^{\otimes T}\). Kelas kejadian tempat kedua ukuran peluang itu sepakat merupakan sistem Dynkin. Teorema sistem-\(\pi\)- \(\lambda\) memberi kesamaan pada seluruh sigma-aljabar produk. \(\square\)

Proposisi ini merupakan pernyataan keunikan, bukan teorema keberadaan baru. Jembatan Kolmogorov menjawab kapan keluarga FDD melahirkan hukum produk; proposisi di sini menjawab bahwa, setelah hukum itu ada, tidak ada dua hukum berbeda pada sigma-aljabar produk dengan FDD yang sama.

Kata-kata “pada sigma-aljabar produk” tidak boleh dihapus. FDD tidak otomatis menentukan nilai pada himpunan yang bukan anggota sigma-aljabar tersebut, dan tidak membuat himpunan seperti “lintasan kontinu” menjadi terukur di ruang mentah.

Mengapa sifat lintasan belum menjadi kejadian mentah

Setiap \(E\in\mathcal S^{\otimes T}\) bergantung pada paling banyak terhitung banyak koordinat. Bukti singkatnya mengikuti pola yang sudah dipakai: kelas semua bagian \(E\subset S^T\) yang keanggotaannya ditentukan oleh suatu \(J\subset T\) terhitung merupakan sigma-aljabar; kelas itu memuat setiap silinder, sehingga memuat sigma-aljabar yang dibangkitkan silinder.

Ambil sekarang \(T=[0,1]\), \(S=\mathbb R\), dan

\[ \mathcal C=C([0,1],\mathbb R)\subset\mathbb R^{[0,1]}. \]

Himpunan \(\mathcal C\) bukan anggota sigma-aljabar produk mentah \(\mathcal B(\mathbb R)^{\otimes[0,1]}\). Andaikan ia terukur dan bergantung pada koordinat dalam himpunan terhitung \(J\). Pilih \(t_0\notin J\). Lintasan nol \(f_0\) kontinu. Lintasan

\[ f_1(t)=\mathbf 1_{\{t_0\}}(t) \]

tidak kontinu, tetapi \(f_0|_J=f_1|_J\). Keanggotaan dalam \(\mathcal C\) tidak dapat ditentukan oleh \(J\), suatu kontradiksi.

Akibatnya, jika \(\mu\) baru didefinisikan pada \(\mathcal B(\mathbb R)^{\otimes[0,1]}\), ungkapan

\[ \mu\bigl(C([0,1],\mathbb R)\bigr)=1 \]

belum merupakan pernyataan yang sah: argumennya bukan kejadian pada ruang terukur itu. Demikian pula, kita tidak boleh mengurangi sigma-aljabar secara diam-diam ke ruang lintasan kontinu atau cadlag. Diperlukan konstruksi ukuran pada ruang lintasan teratur, atau sebuah teorema versi/modifikasi yang menyediakan peubah acak bernilai ruang tersebut.

Contoh satu lonjakan memperlihatkan fenomena ini secara probabilistik. Pada \(([0,1],\mathcal B,\lambda)\), definisikan

\[ X_t(\omega)=0, \qquad Y_t(\omega)=\mathbf1_{\{t=\omega\}}. \tag{1} \]

Untuk setiap himpunan waktu hingga, dengan peluang satu nilai \(\omega\) tidak sama dengan satu pun waktu itu. Maka seluruh FDD \(Y\) sama dengan FDD proses nol \(X\). Menurut proposisi sebelumnya, hukum lintasan mentah keduanya sama, yaitu ukuran titik pada lintasan nol jika dilihat melalui sigma-aljabar produk. Namun setiap lintasan \(Y\) mempunyai satu lonjakan dan tidak kontinu. Tidak ada kontradiksi: kontinuitas bukan kejadian pada sigma-aljabar produk mentah.

Hukum pada ruang lintasan kontinu

Sekarang beri \(C=C([0,1],\mathbb R)\) norma seragam \(\|f\|_\infty=\sup_t|f(t)|\) dan sigma-aljabar Borel \(\mathcal B(C)\). Untuk \(t\in[0,1]\), evaluasi \(e_t(f)=f(t)\) kontinu. Lebih kuat lagi, evaluasi pada waktu-waktu rasional sudah membangkitkan seluruh sigma-aljabar Borel.

Teorema (koordinat rasional membangkitkan ruang kontinu). Jika \(Q=\mathbb Q\cap[0,1]\), maka \[ \mathcal B(C)=\sigma(e_q:q\in Q). \]

Bukti. Karena setiap \(e_q\) kontinu, \(\sigma(e_q:q\in Q)\subset\mathcal B(C)\). Untuk arah sebaliknya, kontinuitas dan kerapatan \(Q\) memberi, bagi \(f,g\in C\),

\[ \|f-g\|_\infty =\sup_{t\in[0,1]}|f(t)-g(t)| =\sup_{q\in Q}|f(q)-g(q)|. \tag{2} \]

Untuk pusat \(f\in C\) dan \(r>0\), bola terbuka dapat ditulis

\[ B(f,r) =\bigcup_{n:\,1/n<r} \bigcap_{q\in Q} \left\{g:|g(q)-f(q)|\le r-\frac1n\right\}. \tag{3} \]

Ruas kanan terukur terhadap evaluasi rasional. Kesetaraan (3) memakai celah positif antara \(\|f-g\|_\infty\) dan \(r\); sekadar menulis irisan semua ketaksamaan ketat akan keliru pada kasus supremum sama dengan \(r\).

Ruang \(C([0,1],\mathbb R)\) separabel dalam norma seragam. Memang, teorema aproksimasi Weierstrass dan pendekatan koefisien real oleh bilangan rasional menunjukkan bahwa polinom berkoefisien rasional membentuk himpunan rapat yang terhitung. Karena itu setiap himpunan terbuka merupakan gabungan terhitung bola dari suatu basis terhitung. Semua himpunan terbuka berada dalam \(\sigma(e_q:q\in Q)\), sehingga seluruh \(\mathcal B(C)\) juga berada di sana. \(\square\)

Akibatnya, jika \(Z\) dan \(W\) benar-benar merupakan peubah acak bernilai \(C([0,1],\mathbb R)\) dan mempunyai FDD yang sama, maka hukum Borel mereka pada \(C\) sama. Bahkan FDD pada waktu rasional cukup: kedua hukum sepakat pada silinder rasional, lalu pada sigma-aljabar yang dibangkitkannya.

Hasil ini tidak membuktikan bahwa proses mentah sebarang mempunyai versi kontinu. Ia hanya menyatakan keunikan hukum setelah keterukuran sebagai peubah acak bernilai \(C\) sudah tersedia. Teorema Kolmogorov-Chentsov atau argumen keteraturan lain diperlukan untuk menghasilkan versi semacam itu. Teorema perluasan Kolmogorov dan teorema kontinuitas Kolmogorov-Chentsov mempunyai fungsi yang berbeda.

Modifikasi, FDD yang sama, dan ketakterbedaan

Demi membuat kejadian kesamaan di bawah terdefinisi, pada bagian ini anggap diagonal \(\Delta_S=\{(x,x):x\in S\}\) berada dalam \(\mathcal S\otimes\mathcal S\); syarat ini berlaku, misalnya, untuk ruang keadaan Borel standar dan khususnya untuk proses bernilai real.

Dua proses \(X\) dan \(Y\) pada ruang peluang yang sama disebut modifikasi satu sama lain apabila

\[ \mathbb P(X_t=Y_t)=1 \qquad\text{untuk setiap }t\in T. \tag{4} \]

Mereka disebut tak terbedakan apabila terdapat satu kejadian terukur \(A\in\mathcal A\) dengan \(\mathbb P(A)=1\) sedemikian sehingga

\[ X_t(\omega)=Y_t(\omega) \qquad \text{untuk setiap }t\in T\text{ dan setiap }\omega\in A. \tag{5} \]

Definisi (5) sengaja menyebut satu kejadian terukur. Kita tidak mendefinisikan \(A\) sebagai irisan tak terhitung dari kejadian-kejadian pada (4), karena irisan tak terhitung tidak harus berada dalam sigma-aljabar dan tidak mewarisi peluang satu.

Selalu berlaku

\[ \text{tak terbedakan} \Longrightarrow \text{modifikasi} \Longrightarrow \text{FDD sama}. \tag{6} \]

Implikasi kedua benar karena untuk \(J\) hingga, irisan kejadian \(\{X_t=Y_t\}\), \(t\in J\), masih mempunyai peluang satu. Pada kejadian itu vektor hingga kedua proses sama.

Kedua kebalikan pada (6) gagal secara umum.

Contoh (1) bahkan terukur bersama: himpunan \(\{(t,\omega):t=\omega\}\) adalah diagonal tertutup dalam \([0,1]^2\). Jadi keterukuran bersama pun tidak mengubah modifikasi menjadi ketakterbedaan.

Keteraturan lintasan memberi kondisi tambahan yang berguna. Misalkan \(X\) dan \(Y\) adalah modifikasi pada ruang peluang yang sama. Andaikan ada kejadian terukur \(A_X,A_Y\) berpeluang satu tempat lintasan masing-masing kontinu pada \([0,1]\). Untuk setiap \(q\in Q\), kejadian \(A_q=\{X_q=Y_q\}\) mempunyai peluang satu. Maka

\[ A=A_X\cap A_Y\cap\bigcap_{q\in Q}A_q \]

terukur dan berpeluang satu karena \(Q\) terhitung. Pada \(A\), dua fungsi kontinu sama pada himpunan rasional yang rapat, sehingga sama pada seluruh \([0,1]\). Jadi modifikasi kontinu tak terbedakan.

Perhatikan dua peran yang berbeda. FDD yang sama untuk peubah acak bernilai \(C\) memberi hukum Borel yang sama pada \(C\); ia tidak menentukan kopling kedua peubah acak. Asumsi modifikasi memberi kesamaan tiap waktu dalam satu kopling; kontinuitas lalu mengangkat kesamaan rasional menjadi kesamaan semua waktu pada satu kejadian berpeluang satu.

Audit klaim lintasan

Tabel berikut merangkum batas kesimpulan.

Data yang tersedia Kesimpulan yang sah Yang belum mengikuti
Setiap \(X_t\) terukur \(\Phi_X\) terukur ke ruang produk mentah keterukuran bersama; keteraturan lintasan
\(\widehat X\) terukur bersama setiap koordinat dan setiap bagian lintasan terukur kontinuitas atau sifat cadlag
Semua FDD diketahui hukum unik pada \(\mathcal S^{\otimes T}\), jika hukum itu ada nilai pada himpunan di luar sigma-aljabar produk
Peubah acak bernilai \(C([0,1],\mathbb R)\) hukum Borel ditentukan oleh evaluasi rasional keberadaan versi kontinu dari proses mentah
\(X,Y\) modifikasi FDD sama ketakterbedaan tanpa keteraturan tambahan
Modifikasi dengan lintasan kontinu hampir pasti ketakterbedaan tidak ada klaim tambahan tentang proses lain

Saat membaca sebuah pembuktian, tanyakan secara berurutan: apa ruang sasaran peta lintasannya, sigma-aljabar apa yang dipakai, apakah evaluasi waktu-proses perlu terukur bersama, apakah sifat lintasan merupakan kejadian pada ruang itu, dan apakah kesamaan yang diklaim adalah kesamaan hukum, modifikasi, atau ketakterbedaan. Lima pertanyaan itu mencegah FDD diberi kekuatan yang tidak dimilikinya.

Latihan penguasaan

Latihan 1 — koordinat kanonik tidak terukur bersama

Ambil \(T=[0,1]\), \(S=\{0,1\}\), dan \(\Omega=S^T\) seperti pada teorema evaluasi kanonik.

  1. Buktikan bahwa setiap \(E\in\mathcal B(T)\otimes\mathcal S^{\otimes T}\) bergantung pada suatu himpunan koordinat lintasan \(J\subset T\) yang terhitung, seragam untuk seluruh nilai \(t\).
  2. Gunakan hasil itu untuk membuktikan bahwa \(e(t,\omega)=\omega(t)\) tidak terukur bersama.
  3. Jelaskan mengapa setiap \(\pi_t\) dan peta lintasan identitas tetap terukur.
Petunjuk 1 untuk Latihan 1

Petunjuk 1. Bentuk kelas bagian \(E\subset T\times S^T\) yang keanggotaannya tidak berubah apabila lintasan diubah di luar suatu \(J\) terhitung. Tunjukkan bahwa kelas itu sigma-aljabar dan memuat persegi panjang \(B\times C\).

Petunjuk 2 untuk Latihan 1

Petunjuk 2. Setelah memperoleh \(J\), pilih \(t_0\notin J\). Bandingkan lintasan nol dengan lintasan yang hanya bernilai satu pada \(t_0\), lalu evaluasi keduanya pada waktu yang sama \(t_0\).

Jawaban ringkas. Sigma-aljabar produk hanya dapat membaca paling banyak terhitung banyak koordinat lintasan sekaligus. Jika \(e^{-1}(\{1\})\) bergantung pada \(J\), lintasan nol dan lonjakan pada \(t_0\notin J\) seharusnya memberi keanggotaan yang sama, padahal evaluasi pada \(t_0\) memberi nol dan satu. Setiap \(\pi_t\) tetap terukur karena justru proyeksi-proyeksi itu yang membangkitkan sigma-aljabar produk.

Penyelesaian lengkap untuk Latihan 1

Penyelesaian lengkap. Misalkan \(\mathcal D\) adalah kelas semua \(E\subset T\times S^T\) yang mempunyai suatu \(J_E\subset T\) terhitung dengan sifat

\[ \omega|_{J_E}=\omega'|_{J_E} \Longrightarrow \bigl[(t,\omega)\in E\iff(t,\omega')\in E\bigr] \]

untuk semua \(t\). Komplemen mempertahankan \(J_E\). Untuk \(E_n\in\mathcal D\), gabungan \(J=\bigcup_nJ_{E_n}\) terhitung dan menopang \(\bigcup_nE_n\). Jadi \(\mathcal D\) sigma-aljabar.

Jika \(E=B\times C\) dan \(C\in\mathcal S^{\otimes T}\), kejadian \(C\) bergantung pada suatu himpunan koordinat terhitung: kelas kejadian dengan sifat itu adalah sigma-aljabar yang memuat silinder. Maka \(B\times C\in\mathcal D\). Karena persegi panjang membangkitkan sigma-aljabar produk, \(\mathcal B(T)\otimes\mathcal S^{\otimes T}\subset\mathcal D\).

Andaikan \(e\) terukur. Untuk \(E=e^{-1}(\{1\})\), ambil penopang terhitung \(J\) dan \(t_0\notin J\). Definisikan \(\omega_0(t)=0\) untuk semua \(t\) dan \(\omega_1(t)=\mathbf1_{\{t_0\}}(t)\). Kedua lintasan sama pada \(J\), tetapi

\[ (t_0,\omega_0)\notin E, \qquad (t_0,\omega_1)\in E, \]

kontradiksi. Untuk setiap \(t\) tetap, \(\pi_t^{-1}(A)\) adalah silinder, sehingga \(\pi_t\) terukur. Peta identitas \(S^T\to S^T\) juga terukur. Jadi kegagalan terletak tepat pada keterukuran dua-argumen, bukan pada koordinat atau peta lintasan mentah.

Latihan 2 — modifikasi terukur bersama dengan lintasan berbeda

Pada \(([0,1],\mathcal B,\lambda)\), definisikan

\[ X_t(\omega)=0, \qquad Y_t(\omega)=\mathbf1_{\{t=\omega\}}. \]

Buktikan bahwa \(Y\) terukur bersama, \(X\) dan \(Y\) merupakan modifikasi, semua FDD mereka sama, tetapi mereka tidak tak terbedakan. Tunjukkan pula bahwa setiap lintasan \(X\) kontinu sedangkan setiap lintasan \(Y\) mempunyai satu lonjakan. Rekonsiliasikan fakta ini dengan kesamaan hukum lintasan mentah.

Petunjuk 1 untuk Latihan 2

Petunjuk 1. Himpunan tempat \(Y=1\) adalah diagonal \(\{(t,\omega):t=\omega\}\) dalam \([0,1]^2\). Untuk \(t\) tetap, singleton \(\{t\}\) mempunyai ukuran Lebesgue nol.

Petunjuk 2 untuk Latihan 2

Petunjuk 2. Untuk banyak waktu yang hingga, gabungkan singleton waktu itu. Untuk ketakterbedaan, pada setiap \(\omega\) pilih waktu \(t=\omega\). Kesamaan hukum mentah hanya menguji kejadian yang bergantung pada koordinat terhitung.

Jawaban ringkas. Diagonal tertutup membuat \(Y\) terukur bersama. Untuk tiap \(t\), \(Y_t=0=X_t\) hampir pasti, sehingga keduanya modifikasi dan mempunyai FDD yang sama. Namun \(Y_\omega(\omega)=1\ne0=X_\omega(\omega)\) untuk setiap \(\omega\), jadi tidak ada titik sampel tempat seluruh lintasan sama. Hukum produk mentah tetap sama karena kontinuitas bukan kejadian dalam \(\mathcal B(\mathbb R)^{\otimes[0,1]}\).

Penyelesaian lengkap untuk Latihan 2

Penyelesaian lengkap. Diagonal \(D=\{(t,\omega):t=\omega\}\) tertutup dalam \([0,1]^2\), sehingga indikatornya \(Y\) terukur terhadap \(\mathcal B\otimes\mathcal B\). Untuk \(t\) tetap,

\[ \lambda\{\omega:Y_t(\omega)\ne X_t(\omega)\} =\lambda(\{t\})=0. \]

Jadi \(X\) dan \(Y\) merupakan modifikasi. Jika \(J=\{t_1,\ldots,t_n\}\), di luar himpunan hingga \(J\) seluruh \(Y_{t_i}(\omega)\) nol. Himpunan itu berpeluang satu, sehingga vektor \((Y_{t_1},\ldots,Y_{t_n})\) hampir pasti sama dengan vektor nol, persis FDD \(X\).

Sebaliknya, untuk setiap \(\omega\), pilih \(t=\omega\). Maka \(Y_t(\omega)=1\) dan \(X_t(\omega)=0\). Himpunan titik sampel tempat kedua proses sama untuk semua \(t\) kosong, jadi keduanya tidak tak terbedakan.

Lintasan \(X\) adalah fungsi nol yang kontinu. Lintasan \(Y\) pada titik sampel \(\omega\) adalah fungsi yang satu hanya di \(t=\omega\), sehingga tidak kontinu. Kesamaan FDD memberi kesamaan ukuran dorong pada sigma-aljabar produk mentah. Setiap kejadian mentah bergantung pada koordinat dalam suatu \(J\) terhitung; dengan peluang satu, \(\omega\notin J\), sehingga lonjakan tidak terbaca oleh kejadian itu. Himpunan semua lintasan kontinu sendiri bukan kejadian mentah. Inilah sebabnya kesamaan hukum mentah konsisten dengan perilaku lintasan yang berbeda pada setiap titik sampel.

Latihan 3 — modifikasi kontinu menjadi tak terbedakan

Misalkan \(X\) dan \(Y\) adalah proses real pada \([0,1]\).

  1. Jika keduanya merupakan peubah acak bernilai \(C([0,1],\mathbb R)\) dan mempunyai FDD yang sama, buktikan bahwa hukum Borel mereka pada \(C([0,1],\mathbb R)\) sama.
  2. Sekarang andaikan \(X\) dan \(Y\) berada pada ruang peluang yang sama, merupakan modifikasi, dan masing-masing mempunyai lintasan kontinu pada suatu kejadian terukur berpeluang satu. Buktikan bahwa keduanya tak terbedakan.
  3. Jelaskan mengapa kesamaan FDD saja tidak cukup untuk kesimpulan bagian 2.
Petunjuk 1 untuk Latihan 3

Petunjuk 1. Sigma-aljabar Borel pada \(C([0,1],\mathbb R)\) dibangkitkan oleh evaluasi pada \(Q=\mathbb Q\cap[0,1]\). FDD yang sama membuat kedua hukum sepakat pada seluruh silinder rasional.

Petunjuk 2 untuk Latihan 3

Petunjuk 2. Untuk bagian kedua, iris kejadian kontinuitas kedua proses dengan kejadian \(\{X_q=Y_q\}\) untuk seluruh \(q\in Q\). Irisan ini terhitung. Pada kejadian hasilnya, gunakan kerapatan \(Q\) dan kontinuitas.

Jawaban ringkas. Evaluasi rasional membangkitkan \(\mathcal B(C)\), sehingga FDD rasional menentukan hukum Borel pada \(C\). Jika kedua proses juga modifikasi pada ruang yang sama, ada kejadian berpeluang satu tempat keduanya kontinu dan sama pada semua waktu rasional; kontinuitas memperluas kesamaan itu ke semua waktu. Kesamaan FDD sendiri hanya menyamakan hukum, bukan kopling titik demi titik.

Penyelesaian lengkap untuk Latihan 3

Penyelesaian lengkap. Biarkan \(\nu_X\) dan \(\nu_Y\) menjadi hukum Borel kedua peubah acak bernilai \(C\). Untuk \(q_1,\ldots,q_n\in Q\) dan \(B\in\mathcal B(\mathbb R^n)\), FDD yang sama memberi

\[ \nu_X\{f:(f(q_1),\ldots,f(q_n))\in B\} = \nu_Y\{f:(f(q_1),\ldots,f(q_n))\in B\}. \]

Silinder rasional membentuk sistem-\(\pi\) yang membangkitkan \(\mathcal B(C)\), sehingga teorema sistem-\(\pi\)- \(\lambda\) memberi \(\nu_X=\nu_Y\).

Untuk bagian kedua, pilih kejadian terukur \(A_X,A_Y\) berpeluang satu tempat lintasan masing-masing kontinu. Karena \(X\) dan \(Y\) modifikasi, untuk setiap \(q\in Q\) kejadian \(A_q=\{X_q=Y_q\}\) berpeluang satu. Bentuk

\[ A=A_X\cap A_Y\cap\bigcap_{q\in Q}A_q. \]

Himpunan \(Q\) terhitung, sehingga \(A\) terukur dan berpeluang satu. Untuk \(\omega\in A\), fungsi kontinu \(t\mapsto X_t(\omega)\) dan \(t\mapsto Y_t(\omega)\) sama pada \(Q\) yang rapat. Bagi \(t\in[0,1]\), ambil \(q_n\to t\); kontinuitas memberi

\[ X_t(\omega) =\lim_nX_{q_n}(\omega) =\lim_nY_{q_n}(\omega) =Y_t(\omega). \]

Jadi satu kejadian \(A\) membuktikan ketakterbedaan. Kesamaan FDD tanpa asumsi modifikasi tidak menentukan bagaimana dua proses dipasangkan pada ruang peluang yang sama; contoh \(U\) dan \(1-U\) menunjukkan bahwa FDD dapat sama sementara kesamaan pada satu waktu pun gagal hampir pasti.

Hak dan provenans

Unit Keterukuran proses dan hukum lintasan, termasuk ketiga latihan, petunjuk, jawaban, dan penyelesaian di atas, merupakan materi asli berbahasa Indonesia yang disusun untuk edisi ini dan dilisensikan terpisah di bawah CC BY 4.0, sejauh hak baru timbul. ID hak komponennya ialah rights.o009.original.bridge.process-measurability-path-law.cc-by-4.0.

Penyusunan unit ini dibantu oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra. Identitas model tersebut tidak menggantikan kredit penulis sumber atau kontributor manusia. Tautan ke unit Random Services, QuantEcon, dan jembatan sebelumnya berfungsi sebagai prasyarat dan batas duplikasi; materi asli ini tidak melisensikan ulang komponen mereka. Hak campuran seluruh edisi tetap dijelaskan dalam LICENSES.md dan backend hak per komponen.

Unit ini independen dan tidak didukung atau disahkan oleh penulis Random Services, QuantEcon, lembaga mereka, atau penulis sumber lain. Ia juga tidak mengklaim bahwa teorema perluasan Kolmogorov sendiri menghasilkan lintasan kontinu, keterukuran bersama, atau hukum pada sigma-aljabar lintasan yang tidak dinyatakan.