Unit 3 — Merekonstruksi Pembuktian yang Diringkas atau Dihilangkan

Dari celah yang terdeteksi menuju argumen minimal yang dapat diaudit

Unit praktik untuk membekukan target, mengaudit kuantor dan domain, menyusun graf ketergantungan, mengambil lemma yang tepat, serta menutup atau melaporkan celah pembuktian secara jujur.

1 Hasil belajar

Unit ini mempunyai pengidentifikasi stabil O017-U03. Setelah menyelesaikannya, Anda mampu:

membekukan klaim yang hendak direkonstruksi tanpa diam-diam menambah atau mengurangi hipotesisnya;
mengembangkan kuantor, domain, dan definisi yang menentukan bentuk sasaran pembuktian;
mengubah bagian pembuktian yang diringkas menjadi daftar kewajiban yang mempunyai masukan dan keluaran jelas;
menggambar graf ketergantungan antara sasaran, lemma, definisi, dan hipotesis;
mengambil lemma berdasarkan kontrak matematisnya, lalu memeriksa setiap hipotesis lemma pada konteks yang sedang dibaca;
mempertemukan perencanaan maju dari hipotesis dengan perencanaan mundur dari kesimpulan;
menulis rekonstruksi minimal yang memadai—cukup lengkap untuk diaudit, tetapi tidak mengubah satu langkah menjadi buku teks baru; dan
membedakan celah yang sudah ditutup, celah yang bersyarat pada rujukan, dan celah yang tetap belum terselesaikan.

Prasyarat dan batas fokus

Unit 1 memperkenalkan rekonstruksi dengan memecah argumen menjadi definisi, asumsi, klaim, justifikasi, dan tugas terbuka. Unit 2 mengajarkan cara menetapkan sumber dan versi yang sedang dibaca. Unit 3 memperdalam praktik itu secara sistematis: tipe dan kuantor dibekukan, kewajiban disusun sebagai graf ketergantungan, lemma diambil melalui kontraknya, dan rincian diuji melalui audit minimalitas. Label D–A–K–J–T dan kasus pohon merentang minimum dari Unit 1 tidak diajarkan kembali di sini.

Pembaca diandaikan mengenal fungsi, himpunan, pracitra, ruang topologis, kekontinuan, dan definisi kompak melalui liputan terbuka. Semua petikan kasus merupakan materi sintetis unit ini.

2 Masalah rekonstruksi: bukan menebak maksud penulis

Perhatikan petikan sintetis berikut.

Misalkan $K$ kompak dan $f:X\to Y$ kontinu. Setiap liputan terbuka atas $f[K]$ ditarik balik menjadi liputan terbuka atas $K$ . Ambil subliputan hingga; citranya memberi subliputan hingga atas $f[K]$ . Jadi $f[K]$ kompak.

Petikan itu mengarah pada teorema yang benar, tetapi beberapa kata kerjanya menyembunyikan pekerjaan:

apa arti “liputan terbuka atas $f[K]$ ” dan di ruang mana tiap himpunan terbuka;
mengapa pracitra-pracitra tersebut terbuka;
mengapa pracitra-pracitra itu meliputi $K$ , bukan harus meliputi seluruh $X$ ;
indeks hingga mana yang dihasilkan kekompakan;
mengapa himpunan asal dengan indeks yang sama meliputi $f[K]$ ; dan
apa arti “citranya”, mengingat persamaan $f[f^{-1}[V]]=V$ tidak benar untuk fungsi umum.

Rekonstruksi bukan upaya menulis pembuktian yang kira-kira mungkin dimaksud. Rekonstruksi adalah penyusunan argumen yang setiap tambahannya dapat dijawab dengan dua pertanyaan: mengapa langkah ini diperlukan, dan dari mana hak untuk memakainya berasal. Jika jawaban kedua belum tersedia, langkah itu tetap dicatat sebagai celah; ia tidak boleh disulap menjadi hipotesis baru.

3 Protokol tujuh tahap

Gunakan protokol berikut setiap kali sumber melompati satu baris maupun satu halaman pembuktian. Hasil tiap tahap menjadi masukan tahap berikutnya.

3.1 Tahap 1 — Bekukan klaim dan konteks

Salin atau parafrasakan secara setia:

klaim sasaran;
seluruh hipotesis yang berlaku, termasuk yang dinyatakan pada awal bagian;
definisi lokal dan konvensi notasi;
penunjuk lokasi awal dan akhir celah; dan
versi sumber yang sedang diperiksa.

Pisahkan teks yang terlihat dari interpretasi pembaca. Misalnya, jika halaman menyatakan “ $K$ kompak” tetapi tidak menyatakan “ $K$ tak kosong”, jangan menambahkan ketak-kosongan hanya karena pembuktian yang terbayang ingin memilih sebuah titik di $K$ .

3.2 Tahap 2 — Kembangkan kuantor, domain, dan definisi sasaran

Tuliskan tipe setiap objek dan kembangkan definisi kesimpulan lebih dahulu. Langkah ini menunjukkan bentuk saksi yang harus dibangun. Untuk membuktikan kekompakan, misalnya, pembaca tidak cukup mengatakan “ambil sebuah liputan”. Ia harus mengambil liputan terbuka yang sebarang dan menghasilkan himpunan indeks hingga yang masih meliputi objek yang tepat.

Audit ini juga memeriksa pergeseran domain. Jika $f:X\to Y$ dan $V\subseteq Y$ , maka $f^{-1}[V]\subseteq X$ ; ekspresi $f[V]$ bahkan tidak bertipe kecuali $V\subseteq X$ . Banyak pembuktian ringkas gagal bukan karena gagasan besarnya salah, melainkan karena satu objek berpindah ruang tanpa izin.

3.3 Tahap 3 — Nyatakan kewajiban pembuktian

Ganti kata seperti jelas, serupa, tarik balik, atau hasilnya mengikuti dengan daftar bernomor. Satu kewajiban yang baik mempunyai:

masukan yang sudah tersedia;
keluaran yang diperlukan oleh langkah berikutnya; dan
kriteria selesai yang dapat diperiksa.

“Jelaskan pracitra” terlalu kabur. “Untuk setiap $i$ , buktikan $f^{-1}[V_i]$ terbuka di $X$ ” mempunyai keluaran yang tegas.

3.4 Tahap 4 — Susun graf ketergantungan

Buat satu simpul untuk sasaran, setiap kewajiban, setiap hipotesis aktif, dan setiap lemma yang mungkin dipakai. Tarik panah dari masukan menuju kesimpulan yang bergantung padanya. Graf itu mencegah dua kesalahan:

memakai sebuah kesimpulan sebelum simpul pendukungnya tertutup; dan
membuktikan hasil menarik yang tidak mempunyai jalur menuju sasaran.

Simpul daun harus berupa hipotesis, definisi, hasil yang sudah dibuktikan, atau rujukan yang dapat diambil kembali. “Teorema terkenal” bukan simpul daun yang dapat diaudit.

3.5 Tahap 5 — Ambil lemma melalui kontraknya

Jangan mulai dari nama lemma saja. Tuliskan kontrak yang dibutuhkan:

masukan + hipotesis  ──>  keluaran

Kemudian cocokkan lemma calon terhadap kontrak itu, kata demi kata. Catat pernyataan tepat, domain, semua hipotesis, dan penunjuk lokasinya. Buat tabel instansiasi yang menerangkan objek pada lemma menjadi objek apa dalam kasus sekarang. Sebuah lemma belum “diambil” bila namanya ditemukan tetapi salah satu hipotesisnya belum diperiksa.

Jika hasil kecil dapat dibuktikan langsung dalam satu atau dua baris, pembuktian lokal sering lebih dapat diaudit daripada rujukan kabur. Jika hasilnya substantif, gunakan rujukan yang tepat; jangan menyalin kesimpulannya sambil menghilangkan syarat.

3.6 Tahap 6 — Rencanakan mundur dan maju

Perencanaan mundur bertanya: agar kesimpulan berlaku, objek atau sifat apa yang harus tersedia tepat sebelumnya? Perencanaan maju bertanya: apa yang langsung dihasilkan hipotesis dan definisi? Rekonstruksi biasanya ditemukan pada titik pertemuan kedua arah itu.

Rencana bukan pembuktian. Panah “kekompakan $K$ $\Rightarrow$ indeks hingga” baru sah setelah keluarga yang menjadi masukannya terbukti sebagai liputan terbuka atas $K$ .

3.7 Tahap 7 — Tulis rekonstruksi minimal yang memadai dan audit sisanya

Tulis pembuktian dalam urutan baca yang wajar. Setelah itu lakukan dua uji.

Uji penghapusan: jika sebuah kalimat dihapus, apakah satu panah penting dalam graf kehilangan dasar? Jika tidak, kalimat itu mungkin tidak perlu.
Uji celah: apakah setiap panah yang tersisa berakhir pada definisi, hipotesis, pembuktian lokal, atau lemma dengan kontrak yang cocok?

Catat status setiap celah sebagai tertutup, bersyarat, belum dipastikan, atau ditolak. Kata “minimal” tidak berarti sesingkat mungkin. Ia berarti tidak ada kewajiban penting yang disembunyikan dan tidak ada teori tambahan yang dibawa masuk tanpa fungsi.

4 Lembar kerja rekonstruksi

Satu lembar berikut biasanya cukup untuk menahan seluruh proses.

Bidang	Isi yang dapat diaudit
Klaim beku	pernyataan, hipotesis, dan konteks yang benar-benar tersedia
Kamus objek	simbol, domain, dan hubungan inklusi atau pemetaan
Bentuk sasaran	definisi kesimpulan dengan kuantor eksplisit
Kewajiban	daftar keluaran kecil yang harus dibangun
Graf	panah ketergantungan dan simpul daun
Kontrak lemma	masukan, hipotesis, keluaran, penunjuk, instansiasi
Rencana dua arah	jalur maju, jalur mundur, dan titik temu
Rekonstruksi	pembuktian berurutan yang menutup graf
Daftar celah	status, dasar status, dan tindakan yang masih diperlukan
Batas klaim	hal yang sengaja tidak disimpulkan

Lembar itu merupakan catatan kerja logis, bukan buku catatan provenance lengkap yang menjadi fokus Unit 4. Namun, suatu lemma yang diambil dari sumber tetap memerlukan identitas versi dan penunjuk secukupnya agar dapat diperiksa.

5 Kasus kerja: citra kontinu dari himpunan kompak

Kita sekarang menjalankan ketujuh tahap pada petikan awal. Kasus ini sengaja memakai definisi liputan terbuka, bukan kriteria barisan, Heine–Borel, atau teorema nilai ekstrem. Dengan demikian, setiap perpindahan kuantor dan domain terlihat.

5.1 Membekukan pernyataan

Teorema 1 Misalkan $X$ dan $Y$ ruang topologis, $K\subseteq X$ kompak, dan $f:X\to Y$ kontinu. Maka citra

$f[K]=\{f(x):x\in K\}$

kompak di $Y$ .

Pernyataan beku ini tidak mengasumsikan $K$ tak kosong, $f$ injektif, $f$ surjektif ke $Y$ , atau $Y$ Hausdorff. Rekonstruksi yang memakai salah satu dari keempat sifat itu akan memperkuat sumber tanpa izin.

Untuk unit ini, “ $K$ kompak di $X$ ” berarti: untuk setiap keluarga $(U_i)_{i\in I}$ yang terdiri atas himpunan terbuka di $X$ dan memenuhi $K\subseteq\bigcup_{i\in I}U_i$ , terdapat $F\subseteq I$ hingga sehingga $K\subseteq\bigcup_{i\in F}U_i$ . Definisi ini setara dengan kekompakan $K$ dalam topologi subruang, tetapi kesetaraan tersebut tidak diperlukan dalam rekonstruksi ini.

5.2 Audit kuantor dan domain

Kesimpulan “ $f[K]$ kompak di $Y$ ” dikembangkan menjadi:

$\begin{aligned} &\text{untuk setiap himpunan indeks }I\text{ dan keluarga }(V_i)_{i\in I},\\ &\left[\bigl(\forall i\in I,\;V_i\text{ terbuka di }Y\bigr) \land f[K]\subseteq\bigcup_{i\in I}V_i\right]\\ &\qquad\Longrightarrow \left[\exists F\subseteq I,\;F\text{ hingga dan } f[K]\subseteq\bigcup_{i\in F}V_i\right]. \end{aligned}$

Kamus objeknya adalah sebagai berikut.

Simbol	Domain atau tipe	Peran
$x$	anggota $X$ , kemudian dibatasi ke $K$	saksi pada sisi domain
$y$	anggota $Y$ , kemudian dibatasi ke $f[K]$	elemen yang harus diliputi
$i$	anggota himpunan indeks sebarang $I$	menunjuk anggota liputan
$V_i$	himpunan terbuka di $Y$	anggota liputan awal
$U_i=f^{-1}[V_i]$	himpunan bagian $X$	calon anggota liputan tarik-balik
$F$	himpunan bagian hingga dari $I$	saksi subliputan hingga

Urutan kuantornya penting. Keluarga $(V_i)$ dipilih sebarang terlebih dahulu; barulah $F$ boleh bergantung pada keluarga itu. Memilih satu $F$ sebelum liputan diketahui akan membuktikan pernyataan yang jauh lebih kuat dan biasanya salah.

5.3 Daftar kewajiban

Dari petikan ringkas diperoleh lima kewajiban.

P1 — Keterbukaan. Untuk setiap $i\in I$ , buktikan $U_i=f^{-1}[V_i]$ terbuka di $X$ .
P2 — Peliputan balik. Buktikan $K\subseteq\bigcup_{i\in I}U_i$ .
P3 — Pemakaian kekompakan. Dari P1 dan P2, hasilkan $F\subseteq I$ hingga dengan $K\subseteq\bigcup_{i\in F}U_i$ .
P4 — Peliputan maju. Dengan indeks $F$ yang sama, buktikan $f[K]\subseteq\bigcup_{i\in F}V_i$ .
P5 — Penutupan kuantor. Karena liputan awal sebarang, simpulkan bahwa setiap liputan terbuka atas $f[K]$ memiliki subliputan hingga.

P1 dan P2 berbeda: keluarga dapat terdiri atas himpunan terbuka tanpa meliputi $K$ , atau meliputi $K$ tanpa terdiri atas himpunan terbuka. Kekompakan baru boleh dipakai setelah kedua sifat itu tersedia.

5.4 Graf ketergantungan

Graf berikut dibaca dari kiri ke kanan. Tanda kurung siku menunjukkan simpul yang harus mempunyai dasar mandiri.

[D1: U_i := f^{-1}[V_i]]
[V_i terbuka di Y] + [f kontinu] + D1
    └─> P1: U_i terbuka di X ───────────────────────────────┐
                                                           │
[V_i meliputi f[K]] + [definisi f[K]] +                    │
[D2: x ∈ U_i ⇔ f(x) ∈ V_i] + D1                            │
    └─> P2: keluarga U_i meliputi K ───────────────────────┤
                                                           v
[K kompak] + P1 + P2 ──> P3: ada F ⊆ I hingga             │
                                                           v
P3 + [definisi f[K]] + D1 + D2                             │
    └─> P4: keluarga V_i, i ∈ F, meliputi f[K]             │
                                                           │
[liputan awal sebarang] + P4 ──> P5: f[K] kompak <─────────┘

Graf tersebut juga menunjukkan apa yang tidak diperlukan: keterbatasan $K$ , ketertutupan $K$ , sifat Hausdorff $Y$ , atau keberadaan nilai maksimum. Tidak satu pun mempunyai jalur yang perlu menuju P5.

5.5 Kontrak hasil yang benar-benar diperlukan

Rekonstruksi ini memerlukan satu klausa definisi dan dua mikrolemma. Tidak ada teorema besar yang perlu diambil.

ID kerja	Kontrak	Dasar dan cara menutupnya
C1	$f$ kontinu + $V$ terbuka di $Y$ $\Rightarrow f^{-1}[V]$ terbuka di $X$	klausa definisi kekontinuan
L1	$f[K]\subseteq\bigcup_{i\in I}V_i$ $\Rightarrow K\subseteq\bigcup_{i\in I}f^{-1}[V_i]$	buktikan secara elementer dengan mengambil $x\in K$
L2	$K\subseteq\bigcup_{i\in F}f^{-1}[V_i]$ $\Rightarrow f[K]\subseteq\bigcup_{i\in F}V_i$	buktikan secara elementer dengan mengambil $y\in f[K]$ dan saksi $x\in K$

Untuk C1, instansiasinya ialah $V\mapsto V_i$ untuk setiap $i\in I$ . L1 dan L2 tidak memerlukan injektivitas atau surjektivitas. Keduanya sengaja dibuktikan lokal di bawah, sebab pembuktian elementernya lebih pendek dan lebih jelas daripada rujukan ke “sifat citra dan pracitra” yang tidak berpenunjuk.

Identitas

$f^{-1}\!\left[\bigcup_{i\in I}V_i\right] =\bigcup_{i\in I}f^{-1}[V_i]$

dapat menggantikan pembuktian elementer L1, tetapi tidak wajib. Jika identitas itu diambil sebagai lemma, kontraknya dan domain $V_i\subseteq Y$ tetap harus diperiksa.

5.6 Perencanaan dua arah

Rencana mundur dimulai dari sasaran:

f[K] kompak
< perlu: setiap liputan terbuka f[K] mempunyai subliputan hingga
< perlu: satu F hingga yang masih meliputi f[K]
< calon penghasil F: kekompakan K
< perlu: liputan terbuka atas K dengan indeks I yang sama

Rencana maju dimulai dari data:

V_i terbuka + f kontinu
> f^{-1}[V_i] terbuka

V_i meliputi f[K] + x ∈ K
> f(x) ∈ salah satu V_i
> x ∈ salah satu f^{-1}[V_i]
> keluarga pracitra meliputi K

liputan terbuka K + K kompak
> ada F hingga

Titik temu kedua rencana ialah kalimat: “keluarga $(f^{-1}[V_i])_{i\in I}$ merupakan liputan terbuka atas $K$ .” Setelah titik itu, kekompakan menghasilkan $F$ ; L2 mengangkut $F$ kembali ke sasaran.

5.7 Rekonstruksi lengkap

Bukti 1. Ambil himpunan indeks $I$ dan keluarga sebarang $(V_i)_{i\in I}$ dari himpunan-himpunan terbuka di $Y$ yang meliputi $f[K]$ :

$f[K]\subseteq\bigcup_{i\in I}V_i.$

Untuk setiap $i\in I$ , tetapkan $U_i=f^{-1}[V_i]$ . Karena $f$ kontinu dan $V_i$ terbuka di $Y$ , himpunan $U_i$ terbuka di $X$ .

Keluarga $(U_i)_{i\in I}$ meliputi $K$ . Memang, jika $x\in K$ , maka $f(x)\in f[K]$ . Karena $(V_i)_{i\in I}$ meliputi $f[K]$ , terdapat $i\in I$ sehingga $f(x)\in V_i$ . Menurut definisi pracitra, $x\in f^{-1}[V_i]=U_i$ .

Kekompakan $K$ sekarang berlaku pada liputan terbuka tersebut. Jadi terdapat $F\subseteq I$ hingga sehingga

$K\subseteq\bigcup_{i\in F}U_i =\bigcup_{i\in F}f^{-1}[V_i].$

Keluarga $(V_i)_{i\in F}$ meliputi $f[K]$ . Untuk melihatnya, ambil $y\in f[K]$ . Menurut definisi citra, ada $x\in K$ dengan $y=f(x)$ . Karena keluarga berindeks $F$ meliputi $K$ , terdapat $i\in F$ sehingga $x\in f^{-1}[V_i]$ . Maka $y=f(x)\in V_i$ .

Dengan demikian, dari setiap liputan terbuka sebarang atas $f[K]$ telah diperoleh subliputan hingga. Jadi $f[K]$ kompak di $Y$ .

Pembuktian tetap berlaku ketika $K=\varnothing$ . Pada paragraf terakhir, kalimat “ambil $y\in f[K]$ ” berada di dalam pembuktian implikasi universal; tidak ada $y$ yang harus dipilih jika $f[K]$ kosong. Kita tidak perlu menambahkan hipotesis ketak-kosongan.

5.8 Mengapa rekonstruksi ini minimal tetapi memadai

Bagian	Panah yang ditutup	Akibat jika dihapus
liputan awal dipilih sebarang	membuka kuantor definisi kompak	pembuktian hanya menangani satu liputan tertentu
kekontinuan memberi keterbukaan pracitra	P1	kekompakan $K$ diterapkan pada keluarga yang belum terbukti terbuka
argumen dengan $x\in K$	P2/L1	belum terbukti bahwa pracitra meliputi $K$
pemakaian kekompakan	P3	tidak ada saksi $F$ yang hingga
argumen dengan $y\in f[K]$	P4/L2	belum terbukti indeks yang sama meliputi citra
penutupan “setiap liputan”	P5	kesimpulan kompak belum mengikuti secara eksplisit

Sebaliknya, pembuktian tidak perlu membuktikan teorema Heine–Borel, tidak perlu mengganti liputan dengan barisan, dan tidak perlu menunjukkan bahwa $f[K]$ tertutup. Menambahkan semua itu memperpanjang teks tanpa menutup panah baru dalam graf.

6 Jalan pintas yang tidak sah

6.1 Liputan citra bukan liputan seluruh kodomain atau domain

Dari $f[K]\subseteq\bigcup_{i\in I}V_i$ tidak mengikuti bahwa $Y=\bigcup_{i\in I}V_i$ . Karena itu juga tidak mengikuti bahwa pracitra meliputi seluruh $X$ .

Ambil $X=Y=\mathbb{R}$ , $K=\{0\}$ , dan $f$ fungsi identitas. Satu himpunan $V=(-1,1)$ meliputi $f[K]$ , tetapi $V$ tidak meliputi $Y$ dan $f^{-1}[V]=(-1,1)$ tidak meliputi $X$ . Yang diperlukan pembuktian hanyalah bahwa pracitra meliputi $K$ ; menuntut liputan atas $X$ akan menciptakan kewajiban palsu.

6.2 Citra pracitra tidak selalu mengembalikan himpunan asal

Untuk fungsi umum, identitas yang benar adalah

$f[f^{-1}[V]]=V\cap f[X],$

bukan $f[f^{-1}[V]]=V$ . Jika $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ diberikan oleh $f(x)=0$ dan $V=(-1,1)$ , maka $f[f^{-1}[V]]=\{0\}\neq V$ .

Dalam rekonstruksi utama, kita tidak perlu menyamakan kedua himpunan. Kita hanya memakai implikasi $x\in f^{-1}[V_i]\Rightarrow f(x)\in V_i$ untuk sebuah saksi $x\in K$ . Inilah sebab frasa ringkas “citranya memberi subliputan” perlu diganti dengan argumen elementer L2.

6.3 Keterbukaan tidak berpindah tanpa memeriksa ruang

Jika $V_i$ terbuka di $Y$ , kekontinuan menjadikan $f^{-1}[V_i]$ terbuka di $X$ ; ia tidak mengatakan bahwa $V_i$ terbuka di $X$ . Jika fungsi yang tersedia hanya $f|_K:K\to Y$ , pracitranya terbuka di subruang $K$ , bukan otomatis di $X$ . Versi teorema itu tetap dapat dibuktikan dengan definisi kekompakan subruang, tetapi kontrak dan domainnya berbeda. Rekonstruksi harus mengikuti versi yang benar-benar dinyatakan sumber.

7 Menguji hipotesis dengan contoh tandingan

Contoh tandingan tidak menggantikan rekonstruksi. Ia menguji apakah hipotesis yang dipakai dalam graf memang menjalankan pekerjaan yang diklaim.

7.1 Tanpa kekompakan domain

Fungsi inklusi

$j:(0,1)\hookrightarrow\mathbb{R},\qquad j(x)=x,$

kontinu, tetapi citranya $(0,1)$ tidak kompak. Keluarga

$U_n=(1/n,1),\qquad n\geq2,$

meliputi $(0,1)$ . Subkeluarga kosong jelas tidak meliputi $(0,1)$ . Setiap subkeluarga hingga tak kosong termuat dalam satu $(1/N,1)$ untuk indeks terbesar $N$ yang dipilih dan karena itu melewatkan, misalnya, $1/(2N)$ . Jadi tidak ada subliputan hingga. Contoh ini memutus panah P1+P2 menuju P3: tanpa kekompakan, liputan terbuka tidak menghasilkan $F$ .

7.2 Tanpa kekontinuan

Ambil

$K=\{0\}\cup\{1/n:n\in\mathbb{N},\ n\geq1\}\subseteq\mathbb{R}.$

Himpunan $K$ kompak menurut definisi liputan terbuka. Untuk setiap liputan, pilih satu anggota yang memuat $0$ . Karena anggota itu terbuka, ia memuat $1/n$ untuk semua $n$ yang cukup besar; hanya tersisa berhingga banyak titik, dan dari liputan semula dapat dipilih satu anggota untuk tiap titik yang tersisa.

Definisikan $g:K\to\mathbb{R}$ dengan $g(0)=0$ dan $g(1/n)=n$ . Fungsi ini tidak kontinu di $0$ : pracitra $g^{-1}[(-1/2,1/2)]=\{0\}$ tidak terbuka di $K$ , sebab setiap lingkungan $0$ dalam $K$ memuat $1/n$ untuk $n$ yang cukup besar. Selain itu,

$g[K]=\{0,1,2,3,\ldots\}$

tidak kompak. Keluarga $W_m=(-1,m)$ , $m\geq1$ , meliputi $g[K]$ tetapi setiap subkeluarga hingga melewatkan semua bilangan bulat yang cukup besar. Di sini kegagalan kekontinuan memutus P1: pracitra dari anggota liputan tidak dijamin terbuka.

Kedua contoh ini juga mencegah rekonstruksi yang diam-diam membuang salah satu hipotesis hanya karena pembuktian ringkas tidak menyebutkannya lagi.

8 Mengambil lemma dan menolak hipotesis tersembunyi

Nama sebuah hasil sering lebih luas daripada kontrak yang sebenarnya. Misalkan setelah teorema utama sebuah sumber menambahkan:

Karena $f[K]$ kompak, $f[K]$ tertutup di $Y$ .

Hasil calon yang lazim diingat pembaca mempunyai kontrak:

$\bigl(Y\text{ Hausdorff}\bigr) \land\bigl(C\subseteq Y\bigr) \land\bigl(C\text{ kompak}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad C\text{ tertutup di }Y.$

Kontrak itu dapat dibuktikan secara lokal. Jika $C=\varnothing$ , kesimpulannya langsung. Jika $C\neq\varnothing$ , ambil $y\in Y\setminus C$ . Untuk setiap $x\in C$ , sifat Hausdorff memberi himpunan terbuka saling lepas $U_x$ dan $V_x$ dengan $x\in U_x$ dan $y\in V_x$ . Keluarga $(U_x)_{x\in C}$ meliputi $C$ ; karena $C$ kompak, ada $x_1,\ldots,x_n\in C$ sehingga $C\subseteq U_{x_1}\cup\cdots\cup U_{x_n}$ . Himpunan $V=V_{x_1}\cap\cdots\cap V_{x_n}$ terbuka, memuat $y$ , dan terpisah dari $U_{x_1}\cup\cdots\cup U_{x_n}$ , sehingga $V\subseteq Y\setminus C$ . Jadi setiap titik di $Y\setminus C$ mempunyai lingkungan yang termuat di $Y\setminus C$ ; komplemen $C$ terbuka dan $C$ tertutup.

Tabel instansiasinya harus berbentuk berikut.

Variabel lemma	Instansiasi	Status hipotesis
ruang induk $Y$	$Y$ pada teorema utama	tersedia sebagai ruang topologis
$Y$ Hausdorff	tidak ada padanan pada pernyataan beku	belum tersedia
himpunan $C$	$f[K]$	tersedia
$C$ kompak	hasil rekonstruksi utama	tersedia
kesimpulan $C$ tertutup	$f[K]$ tertutup di $Y$	sasaran tambahan

Kontrak tidak cocok karena syarat Hausdorff tidak tersedia. Hal ini bukan sekadar kehati-hatian formal; kesimpulan tambahan memang salah secara umum.

Ambil ruang Sierpiński $Y=\{0,1\}$ dengan topologi $\{\varnothing,\{1\},Y\}$ . Misalkan $X=K=\{*\}$ dengan topologi satu titik dan $f:K\to Y$ diberikan oleh $f(*)=1$ . Himpunan $K$ kompak. Fungsi $f$ kontinu karena pracitra ketiga himpunan terbuka di $Y$ masing-masing adalah $\varnothing$ atau $K$ , yang terbuka di $K$ . Citranya $\{1\}$ juga kompak, tetapi tidak tertutup di $Y$ , sebab komplemennya $\{0\}$ tidak terbuka.

Jika halaman terdahulu sumber mungkin menetapkan bahwa semua ruang Hausdorff, catatan yang jujur bukan “tentu diasumsikan Hausdorff”, melainkan:

ID celah	Klaim	Status	Dasar	Tindakan
G-H	$Y$ Hausdorff berlaku dalam konteks	belum dipastikan	tidak ada pada petikan yang dibekukan	periksa konteks dan versi sumber
G-C	$f[K]$ tertutup di $Y$	ditolak sebagai klaim mandiri; bersyarat pada G-H	kontrak lemma dan contoh Sierpiński	tambahkan syarat hanya jika sumber mendukung

Ada tiga hasil yang mungkin dari pengambilan lemma:

seluruh hipotesis cocok, sehingga simpul dapat ditutup;
hipotesis belum dapat ditemukan, sehingga simpul tetap terbuka; atau
hipotesis bertentangan dengan konteks atau ada contoh tandingan, sehingga jalur itu ditolak.

Hanya hasil pertama yang memberi izin untuk melanjutkan seolah-olah lemma telah diterapkan.

9 Menetapkan rincian minimal yang memadai

Tingkat rincian bergantung pada apa yang sudah tersedia bagi pembaca sasaran, bukan pada selera penulis rekonstruksi. Gunakan urutan keputusan berikut.

Jika langkah itu definisional tetapi memindahkan kuantor atau domain, tuliskan instansiasinya. Pada kasus utama, C1 perlu ditulis karena ia menghasilkan keterbukaan di ruang yang tepat.
Jika langkah itu mikrolemma yang membentuk jembatan utama, buktikan secara elementer. L1 dan L2 masing-masing hanya memerlukan satu saksi.
Jika lemma substantif sudah tersedia dalam sumber yang sama, sitasi nomor hasil dan periksa hipotesisnya; jangan salin seluruh pembuktiannya.
Jika lemma substantif belum tersedia, ambil sumber yang dapat ditelusuri atau tandai celah. Jangan mengisi kekosongan dengan nama teorema tanpa kontrak.
Jika suatu paragraf tidak mendukung jalur mana pun dalam graf, pindahkan ke catatan tambahan atau hapus dari rekonstruksi inti.

Rekonstruksi minimal juga mempertahankan kekuatan tepat dari klaim sumber. Teorema utama membuktikan kekompakan $f[K]$ ; ia tidak membuktikan bahwa $f[K]$ tertutup, terbatas, atau mempunyai titik maksimum dalam setiap kodomain. Kesimpulan-kesimpulan itu memerlukan struktur dan lemma tambahan.

Aturan berhenti rekonstruksi

Berhenti ketika semua jalur menuju klaim beku telah tertutup dan setiap celah lain sudah diberi status. Jangan memperluas pekerjaan untuk membuktikan semua hasil yang berdekatan. Sebaliknya, jangan menyatakan selesai hanya karena gagasan besar tampak benar jika satu panah domain, kuantor, atau hipotesis masih tanpa dasar.

10 Praktik audit singkat

Seorang pembaca menawarkan rekonstruksi berikut untuk petikan utama:

Ambil liputan $(V_i)$ atas $f[K]$ . Karena $f$ kontinu, setiap $f[V_i]$ terbuka di $Y$ . Himpunan-himpunan ini meliputi $K$ . Kekompakan $Y$ memberi beberapa indeks hingga, jadi selesai.

Audit tipe langsung menemukan tiga kerusakan sebelum kita menilai gagasan besarnya.

$V_i\subseteq Y$ , sedangkan domain $f$ adalah $X$ ; $f[V_i]$ tidak bertipe secara umum. Objek yang diperlukan ialah $f^{-1}[V_i]\subseteq X$ .
Keluarga pracitra harus dibuktikan meliputi $K$ , bukan dinyatakan begitu saja.
Hipotesis kompak dimiliki $K$ , bukan $Y$ .

Setelah perbaikan itu, masih diperlukan langkah mengangkut subliputan hingga kembali ke $f[K]$ . Menemukan tiga kesalahan pertama belum dengan sendirinya menutup P4.

11 Latihan

O017-U03-X01 — Audit kuantor. Tulis bentuk berkuantor dari “ $f[K]$ kompak” dan jelaskan mengapa himpunan indeks hingga $F$ boleh bergantung pada liputan $(V_i)_{i\in I}$ , tetapi tidak sebaliknya.
O017-U03-X02 — Graf ketergantungan. Tanpa melihat graf kasus kerja, susun graf minimal dari liputan terbuka atas $f[K]$ sampai kesimpulan kompak. Tandai mana yang ditutup oleh definisi, kekontinuan, kekompakan, L1, dan L2.
O017-U03-X03 — Jalan pintas salah. Berikan contoh konkret yang menyangkal $f[f^{-1}[V]]=V$ . Nyatakan identitas yang benar dan jelaskan mengapa pembuktian utama hanya memerlukan satu arah implikasi.
O017-U03-X04 — Uji hipotesis. Bangun atau jelaskan satu contoh ketika domain tidak kompak dan satu contoh ketika fungsi tidak kontinu sehingga citranya tidak kompak. Hubungkan tiap kegagalan dengan simpul pada graf.
O017-U03-X05 — Kontrak lemma. Audit kalimat “ $f[K]$ kompak, maka $f[K]$ tertutup di $Y$ .” Tuliskan kontrak lemma yang dibutuhkan, hipotesis yang hilang, dan status celah yang jujur bila konteks terdahulu belum dapat diperiksa.
O017-U03-X06 — Perbaikan minimal. Perbaiki petikan pada bagian Praktik audit singkat. Buat tabel tiga kolom berisi fragmen rusak, jenis kerusakan, dan pengganti minimal; lalu tambahkan langkah P4 yang semula hilang.

12 Petunjuk dan panduan jawaban

O017-U03-H01. Urutannya ialah: untuk setiap $I$ dan setiap keluarga terbuka $(V_i)_{i\in I}$ yang meliputi $f[K]$ , terdapat $F\subseteq I$ hingga yang masih meliputi $f[K]$ . Karena $F$ adalah saksi untuk liputan yang dipilih, ia berada setelah kuantor keluarga.
O017-U03-H02. Jalur minimalnya adalah liputan awal $\to$ pracitra terbuka (kekontinuan) dan pracitra meliputi $K$ (L1) $\to$ indeks hingga (kekompakan $K$ ) $\to$ indeks yang sama meliputi $f[K]$ (L2) $\to$ definisi kompak.
O017-U03-H03. Gunakan fungsi konstan $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=0$ , dan $V=(-1,1)$ . Identitas yang benar ialah $f[f^{-1}[V]]=V\cap f[X]$ . P4 hanya memakai $x\in f^{-1}[V]\Rightarrow f(x)\in V$ .
O017-U03-H04. Inklusi $j:(0,1)\hookrightarrow\mathbb{R}$ memutus langkah dari liputan terbuka menuju subliputan hingga. Fungsi $g(0)=0$ , $g(1/n)=n$ pada $\{0\}\cup\{1/n\}$ memutus langkah yang menjamin keterbukaan pracitra.
O017-U03-H05. Kontrak yang sah memerlukan $Y$ Hausdorff dan $f[K]$ kompak. Tanpa dasar bahwa $Y$ Hausdorff, penerapan bersifat belum dipastikan; sebagai klaim mandiri ia ditolak oleh contoh Sierpiński. Jangan menambahkan Hausdorff ke pernyataan beku.
O017-U03-H06. Ganti $f[V_i]$ dengan $f^{-1}[V_i]$ , buktikan keluarga itu meliputi $K$ , dan terapkan kekompakan $K$ , bukan $Y$ . Untuk P4, ambil $y\in f[K]$ , pilih $x\in K$ dengan $y=f(x)$ , lalu gunakan keanggotaan $x$ dalam salah satu pracitra berindeks hingga.

13 Tugas penyelesaian unit

Rekonstruksi petikan sintetis berikut sebagai dosier pembuktian.

Jika $K$ kompak dan $F$ tertutup di $K$ , maka $F$ kompak. Memang, tambahkan komplemen $F$ pada sebuah liputan atas $F$ , gunakan kekompakan $K$ , lalu buang komplemennya.

Gunakan konvensi bahwa $K$ adalah ruang topologis kompak, $F\subseteq K$ tertutup, dan kekompakan $F$ diuji dengan keluarga himpunan yang terbuka di $K$ dan meliputi $F$ . Dossier harus memuat:

klaim beku, urutan kuantor, serta kamus domain untuk $K$ , $F$ , keluarga $(U_i)_{i\in I}$ , komplemen $K\setminus F$ , dan himpunan indeks hingga;
daftar kewajiban yang mengganti kata “tambahkan”, “gunakan”, dan “buang”;
graf ketergantungan yang semua simpul daunnya mempunyai dasar;
kontrak dan instansiasi klausa “ $F$ tertutup di $K$ jika dan hanya jika $K\setminus F$ terbuka di $K$ ”;
rencana mundur dan maju beserta titik temunya;
pembuktian minimal yang menangani kemungkinan bahwa subliputan hingga dari $K$ tidak memilih $K\setminus F$ ;
uji penghapusan untuk sekurang-kurangnya empat kalimat pembuktian;
daftar celah dengan status akhir; dan
satu batas klaim: jelaskan mengapa pembuktian itu tidak dengan sendirinya menunjukkan bahwa $F$ tertutup dalam ruang induk yang lebih besar dari $K$ .

13.1 Rubrik

Setiap kriteria dinilai 0, 1, atau 2.

Kriteria	0	1	2
Klaim dan domain	hipotesis/ruang berubah	sebagian tipe atau kuantor tersirat	semua objek, kuantor, dan topologi ruang induk tepat
Kewajiban dan graf	lompatan utama tetap tersembunyi	graf ada tetapi mempunyai daun tanpa dasar	setiap kata ringkas menjadi kewajiban dan setiap jalur tertutup
Kontrak lemma	lemma hanya disebut namanya	kontrak ada tetapi instansiasi tidak lengkap	masukan, hipotesis, keluaran, dan instansiasi diperiksa
Rekonstruksi	argumen tidak menghasilkan subliputan hingga atas $F$	gagasan benar dengan satu perpindahan yang belum dijustifikasi	pembuktian elementer lengkap dan menangani dua kemungkinan pemilihan komplemen
Minimal tetapi memadai	terlalu ringkas atau membawa teori tak relevan	sebagian kalimat belum diuji	uji penghapusan menunjukkan setiap rincian inti mempunyai fungsi
Kejujuran celah dan batas	celah disembunyikan atau klaim diperkuat	status/batas disebut tanpa dasar	semua celah berstatus, berdasar, dan kesimpulan pada ruang induk dibatasi tepat

Nilai lulus adalah sekurang-kurangnya 10 dari 12, dengan nilai 2 pada Rekonstruksi dan Kejujuran celah dan batas. Menambahkan hipotesis yang tidak ada, memakai kekompakan sebelum keluarga terbukti sebagai liputan terbuka, atau menyatakan celah tertutup hanya berdasarkan nama lemma mewajibkan revisi meskipun jumlah nilai cukup.

14 Batas dengan B80 dan unit lain

Unit ini mengajarkan rekonstruksi logis, bukan keterampilan komputasi. Ia tidak mengajarkan sintaks Python, SageMath, SymPy, NumPy/SciPy, API paket, metode numerik, pembuatan plot, penulisan pengujian, notebook, lingkungan perangkat lunak, atau perbedaan implementasi bilangan eksak dan titik-mengambang. Semua itu berada pada B80.

Program dapat dipakai oleh pembaca yang sudah memiliki keterampilan B80 untuk mencari contoh atau menguji dugaan selama rekonstruksi. Keluarannya tetap bukti empiris diagnostik, bukan pengganti jalur pembuktian dalam graf. Unit ini juga tidak mengajarkan kembali penelusuran versi dari Unit 2, buku catatan provenance lengkap dari Unit 4, atau reproduksibilitas komputasional dari Unit 6. Jika pengambilan lemma menemukan masalah sumber, catat kebutuhan itu dan teruskan ke unit yang tepat.

15 Sumber, provenance, dan hak

Petikan sintetis, protokol tujuh tahap, susunan graf, tabel kontrak, eksposisi, rekonstruksi pembuktian, contoh, contoh tandingan, latihan, panduan jawaban, tugas penyelesaian, dan rubrik pada unit ini merupakan materi asli O017 oleh kontributor O017, 2026, dan dilisensikan di bawah CC BY-SA 4.0.

Teorema bahwa citra kontinu dari himpunan kompak bersifat kompak dan teorema bahwa subhimpunan tertutup dari ruang kompak bersifat kompak adalah hasil klasik topologi. Unit ini tidak mengklaim penemuan hasil tersebut dan tidak menyalin redaksi pembuktian dari sumber tertentu; presentasi melalui audit kuantor, kontrak lemma, dan graf ketergantungan ditulis khusus untuk O017. Contoh ruang Sierpiński juga merupakan contoh matematika standar, dengan redaksi dan fungsi pedagogis asli unit ini.

Tidak ada petikan atau adaptasi dari The Turing Way maupun Research Software Engineering with Python dalam Unit 3. Kedua sumber beku itu tetap tercatat dalam manifes hak O017 untuk unit-unit yang benar-benar mengadaptasinya dan tetap tunduk pada lisensinya masing-masing. Lisensi CC BY-SA 4.0 di atas berlaku untuk materi asli unit ini; ia tidak mengganti hak atas sumber lain yang kelak disitasi atau ditambahkan.