Polinom Legendre dan Fungsi Gamma

Polinom Legendre $P_n(x)$ pada $[-1,1]$

Rujukan yang baik mengenai topik ini dan topik-topik pada bagian berikutnya dalam bab ini adalah Rain; Simm. Secara khusus, pembaca akan menemukan dalam rujukan ini bukti-bukti untuk hasil yang kami berikan tanpa bukti.

Persamaan diferensial Legendre adalah

$$(1-x^2)y'' -2xy' + n(n+1) y = 0 \ .$$(5.3.1) Dengan menggunakan metode Frobenius di titik reguler $0$, kita mendapati bahwa solusi-solusi terbatas (pada interval $]-1,1[$) dari persamaan diferensial ini merupakan kelipatan dari

$$P_n(x) = \frac{1}{2^n} \sum_{m=0}^{\lfloor{n/2}\rfloor} \, (-1)^m \binom{n}{m} \binom{2n-2m}{n} x^{n-2m} \ ,$$ di mana $\lfloor{n/2}\rfloor$ adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan $n/2$. Polinom $P_n$ disebut polinom Legendre ternormalisasi karena polinom-polinom tersebut memenuhi syarat normalisasi $P_n(1) = 1$. Selain itu, berlaku $|P_n(x)| \leq 1$ untuk $-1 \leq x \leq 1$.

Polinom $P_n$ dapat dibangkitkan oleh relasi rekurensi

$$(n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x)$$ atau oleh rumus Rodrigues yang diberikan dalam proposisi berikut.

Terdapat pula deret pembangkit untuk polinom Legendre; yaitu,

$$\frac{1}{\sqrt{1-2xt +t^2}} = \sum_{n=0}^{\infty} \, P_n(x) t^n \quad , \quad -1 < x,t < 1 \ .$$ Enam polinom Legendre pertama adalah $\displaystyle P_0(x) = 1$, $\displaystyle P_1(x) = x$, $\displaystyle P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2-1)$, $\displaystyle P_3(x) = \frac{1}{2} (5x^3 - 3 x)$, $\displaystyle P_4(x) = \frac{1}{8}(35x^4 - 30x^2 + 3)$ dan $\displaystyle P_5(x) = \frac{1}{8} (63x^5 -70x^3 + 15x)$.

Persamaan Legendre (5.3.1) dapat ditulis sebagai masalah Sturm-Liouville singular reguler. Secara lebih tepat, (5.3.1) adalah

$$\frac{\mathrm{d} \left( (1-x^2) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}{x}}\right)}{\mathrm{d}{x}} + \lambda y = 0 \ .$$ Ini adalah (5.2.1) dengan $\displaystyle r(x) = 1 -x^2$, $q(x)=0$, $p(x) =1$, $a=-1$ dan $b=1$. Jika kita mensyaratkan agar $y$ terbatas pada interval $]-1,1[$, maka kita memperoleh masalah Sturm-Liouville singular reguler yang nilai eigennya adalah $\lambda_n = n(n+1)$ untuk $n \geq 0$, dan di mana polinom Legendre $P_n$ merupakan fungsi eigen yang terkait dengan nilai eigen $\lambda_n$.

Dari teori masalah Sturm-Liouville diperoleh bahwa polinom Legendre ortogonal terhadap hasil kali skalar

$$\left\langle{f},{g}\right\rangle = \int_{-1}^1 f(x)g(x) \,\mathrm{d}{x}$$ dan himpunan $\left\{ P_n : n \geq 0\right\}$ lengkap dalam $\displaystyle L^2[-1,1]$. Secara lebih tepat, polinom Legendre memenuhi relasi ortogonalitas

$$\int_{-1}^{1} \: P_n(x) P_m(x) \,\mathrm{d}{x} = \begin{cases} 0 & \mbox{ jika } n \neq m \\ \displaystyle\frac{2}{2n+1} & \mbox{ jika } n = m \end{cases}$$ Kita juga memiliki hasil berikut.

Ekspansi Fourier-Legendre dari $f$ pada $[-1,1]$ adalah

$$f = \sum_{n=0}^{\infty} a_n P_n$$(5.3.2) di mana $\displaystyle a_n = \frac{2n+1}{2} \int_{-1}^{1} f(x) P_n(x)\,\mathrm{d}{x}$ untuk $n \geq 0$. Deret dalam (5.3.2) konvergen dalam $\displaystyle L^2[-1,1]$.

Dengan substitusi $x=\cos(\phi)$ untuk $0\leq \phi \leq \pi$, kita memperoleh himpunan fungsi ortogonal lengkap $\displaystyle\left\{P_n(\cos(\phi)) : n \geq 0 \right\}$ dalam ruang berbobot $\displaystyle L^2([0,\pi],\sin(\phi)\,\mathrm{d}{\phi})$, dengan hasil kali skalar yang diberikan oleh

$$\left\langle{f},{g}\right\rangle = \int_0^\pi f(\phi) g(\phi) \sin(\phi) \,\mathrm{d}{\phi} \ .$$ Ekspansi Fourier-Legendre dari $f$ pada $[0,\pi]$ terhadap himpunan fungsi ortogonal lengkap ini adalah

$$\tilde{f} \equiv f \circ \cos = \sum_{n=0}^{\infty} a_n P_n \circ \cos$$(5.3.3) di mana

$$a_n = \frac{2n+1}{2} \int_{0}^{\pi} \tilde{f}(\phi) P_n(\cos(\phi)) \sin(\phi) \,\mathrm{d}{\phi} = \frac{2n+1}{2} \int_{-1}^{1} f(x)\, P_n(x) \,\mathrm{d}{x}$$ untuk $n \geq 0$. Deret dalam (5.3.3) konvergen dalam $\displaystyle L^2([0,\pi],\sin(\phi)\,\mathrm{d}{\phi})$.

Polinom Legendre Terasosiasi $\displaystyle P_n^m(x)$ pada $]-1,1[$

Persamaan Legendre terasosiasi adalah persamaan diferensial biasa

$$(1-x^2) \frac{\mathrm{d} \left( (1-x^2) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}{x}} \right) }{\mathrm{d}{x}} + \left( (1-x^2)\lambda - m^2 \right) y = 0$$(5.4.1) untuk $-1 < x < 1$, dengan $m$ bilangan bulat taknegatif. Jika kita mendiferensialkan persamaan Legendre sebanyak $m$ kali terhadap $x$, yang diberikan oleh

$$\frac{\mathrm{d} \left( (1-x^2) \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}{x}}\right)}{\mathrm{d}{x}} + \lambda z = 0$$(5.4.2) untuk $-1<x<1$, maka kita memperoleh persamaan diferensial

$$(1-x^2) \frac{\mathrm{d}^{m+2}{z}}{\mathrm{d}{x}^{m+2}} - 2(m+1)x \frac{\mathrm{d}^{m+1}{z}}{\mathrm{d}{x}^{m+1}} + \left( \lambda - m(m+1)\right) \frac{\mathrm{d}^{m}{z}}{\mathrm{d}{x}^{m}} = 0$$ untuk $-1<x<1$. Jika kita menyubstitusikan $\displaystyle y = (1-x^2)^{m/2}\frac{\mathrm{d}^{m}{z}}{\mathrm{d}{x}^{m}}$, atau secara ekuivalen $\displaystyle\frac{\mathrm{d}^{m}{z}}{\mathrm{d}{x}^{m}} = (1-x^2)^{-m/2} y$, ke dalam persamaan sebelumnya dan mengalikannya dengan $\displaystyle(1-x^2)^{-m/2 +1}$, maka kita memperoleh (5.4.1). Oleh karena itu, solusi (5.4.1) berbentuk $\displaystyle y = (1-x^2)^{m/2}\frac{\mathrm{d}^{m}{z}}{\mathrm{d}{x}^{m}}$, dengan $z$ merupakan solusi persamaan Legendre (5.4.2).

Dapat ditunjukkan bahwa, untuk setiap bilangan bulat tetap $m\geq 0$, (5.4.1) mempunyai solusi terbatas taktrivial jika dan hanya jika $\lambda = n(n+1)$ untuk suatu bilangan bulat $n\geq m$. Selain itu, apabila $\lambda = n(n+1)$ dan $0\leq m\leq n$, ruang solusi terbatas dari (5.4.1) direntang oleh polinom Legendre terasosiasi yang didefinisikan oleh

$$P_n^m(x) = (1-x^2)^{m/2}\, \frac{\mathrm{d}^{m}{P_n}}{\mathrm{d}{x}^{m}}(x)$$ Perhatikan bahwa $m$ tidak dapat lebih besar daripada $n$ karena $P_n$ merupakan polinom berderajat $n$ sehingga turunannya yang berorde lebih besar daripada $n$ bernilai nol.

Polinom Legendre terasosiasi akan berguna dalam mempelajari persamaan Laplace pada Bab 9 (rujukan ke bab mendatang).

Fungsi Gamma

Fungsi gamma diperlukan untuk mendefinisikan fungsi-fungsi Bessel pada bagian berikutnya. Penggunaan fungsi gamma dalam matematika tidak terbatas pada definisi fungsi-fungsi Bessel. Bahkan, fungsi gamma muncul di banyak bidang matematika. Fungsi gamma memainkan peranan penting dalam analisis matematika, dalam teori bilangan analitik, dan sebagainya.

Fungsi gamma $\Gamma$ didefinisikan oleh

$$\Gamma(\nu) = \int_0^\infty e^{-t} t^{\nu-1} \,\mathrm{d}{t}$$ untuk $\nu > 0$ dan secara rekursif oleh $\displaystyle\Gamma(\nu) = \Gamma(\nu + 1)/\nu$ untuk $\nu < 0$, dengan $\nu$ bukan bilangan bulat negatif. Graf fungsi gamma antara $-3$ dan $3$ ditampilkan pada Gambar 5.1.

Beberapa sifat fungsi gamma adalah $\displaystyle\Gamma(\nu+1) = \nu \Gamma(\nu)$ dan $\displaystyle\Gamma(n+1) = n!$ untuk $n \geq 0$.

Perhatikan bahwa $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$. Hal ini dapat dengan mudah dibuktikan menggunakan integral ganda. Dengan substitusi $\displaystyle t = s^2$ dalam

$$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \int_0^\infty e^{-t} t^{-1/2} \,\mathrm{d}{t} \ ,$$ kita memperoleh

$$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \int_0^\infty e^{-s^2} \,\mathrm{d}{s} \ .$$ Jadi,

$$\begin{aligned} \Gamma^2\left(\frac{1}{2}\right) &= 4 \left(\int_0^\infty e^{-u^2} \,\mathrm{d}{u}\right)^2 = 4 \left(\int_0^\infty e^{-u^2} \,\mathrm{d}{u}\right) \left( \int_0^\infty e^{-v^2} \,\mathrm{d}{v}\right) \\ &= 4 \int_0^\infty \int_0^\infty e^{-u^2-v^2} \,\mathrm{d}{u} \,\mathrm{d}{v} = 4 \int_0^{\pi/2} \int_0^\infty r e^{-r^2} \,\mathrm{d}{r}\,\mathrm{d}{\theta} = \pi \ , \end{aligned}$$ dengan menggunakan koordinat polar $u=r\cos(\theta)$, $v=r\sin(\theta)$ untuk $0\leq \theta \leq \pi/2$ dan $r\geq 0$ guna menghitung integral ganda.