Fungsi Bessel dan Latihan

Batas sumber. Bagian ini mengikat special_functions.tex baris 1432-1972 pada sumber beku.

Fungsi Bessel

Persamaan diferensial Bessel adalah

$x^2 y'' + x y' + (x^2 - \nu^2) y = 0 \ .$ Dengan menggunakan metode Frobenius pada titik singular reguler $0$ , kita memperoleh solusi-solusi berikut. Jika $\nu$ bukan bilangan bulat, fungsi-fungsi

$J_\nu(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \, \frac{(-1)^k}{k! \Gamma(\nu+k+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{\nu+2k}$ dan $J_{-\nu}$ adalah dua solusi persamaan Bessel yang bebas secara linear. Fungsi-fungsi $J_\nu$ disebut fungsi Bessel jenis pertama.

Jika $\nu = n$ adalah bilangan bulat,

$J_n(x) = \frac{x^n}{2^n n!} \left( 1 - \frac{x^2}{2^2 1! (n+1)} + \frac{x^4}{2^4 2! (n+1)(n+2)} - \frac{x^6}{2^6 3! (n+1)(n+2)(n+3)} + \dots \right)$ dan $J_{-n}(x) = (-1)^n J_n(x)$ . Jadi, $J_n$ dan $J_{-n}$ tidak bebas secara linear.

Tetapkan

$Y_\nu(x) = \lim_{\rho \rightarrow \nu} \frac{J_{\rho}(x) \cos(\rho \pi) - J_{-\rho}(x)}{\sin(\rho \pi)} \ .$ Jika $\nu$ bukan bilangan bulat, kita mempunyai

$Y_\nu(x) = \frac{J_{\nu}(x) \cos(\nu \pi) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu \pi)} \ .$ Jika $\nu$ adalah bilangan bulat, $Y_\nu(x)$ dapat dihitung menggunakan aturan l’Hôpital. Fungsi-fungsi $Y_\nu$ disebut fungsi Bessel jenis kedua.

Jika $\nu = n$ adalah bilangan bulat, solusi kedua persamaan diferensial Bessel yang bebas secara linear dari $J_n$ diberikan oleh $Y_n(x)$ . Perhatikan bahwa $Y_\nu$ merupakan solusi persamaan diferensial Bessel yang bebas secara linear dari $J_\nu(x)$ , bahkan ketika $\nu$ bukan bilangan bulat.

Contoh. Tentukan solusi umum persamaan diferensial biasa

$x^2 y'' + xy' + (\lambda^2 x^2 - \nu^2)y = 0$ dengan mereduksinya menjadi persamaan Bessel.

Untuk $\lambda\ne 0$ , misalkan $z=\lambda x$ dan $\displaystyle\tilde{y}(z) = y(x) = y\left(\frac{z}{\lambda}\right)$ , maka

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}{x}} = \frac{\mathrm{d}\tilde{y}}{\mathrm{d}{z}}\,\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}{x}} = \lambda\, \frac{\mathrm{d}\tilde{y}}{\mathrm{d}{z}} \quad \text{dan} \quad \frac{\mathrm{d}^{2}{y}}{\mathrm{d}{x}^{2}} = \frac{\mathrm{d}\left( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}{x}} \right)}{\mathrm{d}{x}} = \frac{\mathrm{d}\left( \lambda\,\frac{\mathrm{d}\tilde{y}}{\mathrm{d}{z}} \right)}{\mathrm{d}{z}} \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}{x}} = \lambda^2 \frac{\mathrm{d}^{2}{\tilde{y}}}{\mathrm{d}{z}^{2}} \ .$ Mengikuti kelaziman, kita akan menggunakan $y$ untuk menyatakan $\tilde{y}$ . Konteks akan menentukan apakah kita sedang bekerja dengan $y(x)$ atau $\tilde{y}(z)$ . Dengan demikian, (5.6.2) menjadi

$0 = \left(\frac{z}{\lambda}\right)^2 \left( \lambda^2 \frac{\mathrm{d}^{2}{y}}{\mathrm{d}{z}^{2}}\right) + \frac{z}{\lambda} \left(\lambda \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}{z}}\right) +\left( \lambda^2 \left(\frac{z}{\lambda}\right)^2 - \nu^2\right)y = z^2 \frac{\mathrm{d}^{2}{y}}{\mathrm{d}{z}^{2}} + z \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}{z}} + (z^2 - \nu^2) y \ .$ Ini adalah persamaan Bessel dengan solusi umum $y(z) = A J_\nu(z) + B\,Y_\nu(z)$ . Dengan demikian, solusi umum (5.6.2) adalah $\displaystyle y(x) = A J_\nu(\lambda x) + B\,Y_\nu(\lambda x)$ untuk konstanta sebarang $A$ dan $B$ . Untuk $\lambda=0$ dan $x>0$ , persamaan ini merupakan persamaan Euler–Cauchy; solusi umumnya adalah $y(x)=A x^\nu+B x^{-\nu}$ jika $\nu\ne0$ , dan $y(x)=A+B\log x$ jika $\nu=0$ .

Contoh. Gunakan substitusi $y(x)=\sqrt{x}\, u(x)$ dan $z=3x$ untuk menyelesaikan (yakni menentukan solusi umum dari) persamaan diferensial biasa pada $x>0$

$x^2 y''+ \left( 9x^2 + \frac{5}{36}\right) y = 0 \ .$

Karena $\displaystyle y'= u' x^{1/2}+ u x^{-1/2}/2$ dan $\displaystyle y''= u'' x^{1/2}+ u' x^{-1/2} - u x^{-3/2}/4$ , (5.6.3) menjadi

$\begin{aligned} 0 &= x^2 \left(u'' x^{1/2}+ u' x^{-1/2} - \frac{1}{4} u x^{-3/2}\right) +\left(9x^2 + \frac{5}{36}\right) u x^{1/2} \\ &= x^{5/2} u'' + x^{3/2} u' + \left( 9 x^2 - \frac{1}{9}\right) u x^{1/2} \ . \end{aligned}$ Jadi, setelah mengalikan kedua ruas persamaan sebelumnya dengan $\displaystyle x^{-1/2}$ , kita memperoleh

$x^2 u'' + x u' + \left( 9 x^2 - \frac{1}{9}\right) u =0 \ .$ Persamaan ini hampir merupakan persamaan Bessel, kecuali adanya koefisien $9$ di depan $\displaystyle x^2$ di dalam tanda kurung. Misalkan $z=3x$ . Kita mempunyai

$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}{x}} = \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}{z}}\,\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}{x}} = 3 \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}{z}} \quad \text{dan} \quad \frac{\mathrm{d}^{2}{u}}{\mathrm{d}{x}^{2}} = \frac{\mathrm{d}\left( \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}{x}} \right)}{\mathrm{d}{x}} = \frac{\mathrm{d}\left( 3 \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}{z}} \right)}{\mathrm{d}{z}} \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}{x}} = 9 \frac{\mathrm{d}^{2}{u}}{\mathrm{d}{z}^{2}} \ .$ Dengan demikian,

$\begin{aligned} x^2 u'' + x u' + \left( 9 x^2 - \frac{1}{9}\right) u &= 9 \left(\frac{z}{3}\right)^2\frac{\mathrm{d}^{2}{u}}{\mathrm{d}{z}^{2}} + 3\left( \frac{z}{3}\right) \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}{z}} + \left( 9 \left( \frac{z}{3}\right)^2 - \frac{1}{9}\right) u \\ &= z^2 \frac{\mathrm{d}^{2}{u}}{\mathrm{d}{z}^{2}} + z \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}{z}} + \left(z^2 - \frac{1}{9}\right) u =0 \ . \end{aligned}$ Ini adalah persamaan Bessel dengan $\nu = 1/3$ . Solusi umum persamaan Bessel ini adalah $\displaystyle u(z) = A J_{1/3}(z) + B J_{-1/3}(z)$ . Oleh karena itu, solusi umum (5.6.3) adalah $\displaystyle y(x) = \sqrt{x} \, u(x) = A \sqrt{x}\, J_{1/3}(3x)+ B \sqrt{x}\, J_{-1/3}(3x)$ untuk konstanta sebarang $A$ dan $B$ .

Contoh. Tentukan solusi umum persamaan diferensial biasa

$y''+ k^2 x^2 y = 0$ untuk $x >0$ .

Karena persamaan hanya bergantung pada $k^2$ , dalam derivasi berikut kita ambil $k>0$ . Untuk $k<0$ , ganti $k$ dengan $|k|$ dalam hasil akhir; untuk $k=0$ , solusi umumnya adalah $y(x)=A+Bx$ .

Kita menggunakan substitusi $y(x)=u(x) \sqrt{x}$ dan $\displaystyle z= kx^2/2$ . Karena $\displaystyle y'= u' x^{1/2}+ u x^{-1/2}/2$ dan $\displaystyle y''= u'' x^{1/2}+ u' x^{-1/2} - u x^{-3/2}/4$ , kita memperoleh

$0 = \left(u'' x^{1/2}+ u' x^{-1/2} - \frac{1}{4} u x^{-3/2}\right) + k^2 x^2 \left(u x^{1/2}\right) = x^{1/2} u'' + x^{-1/2} u' + \left( k^2 x^{5/2} - \frac{1}{4} x^{-3/2}\right) u$ dari (5.6.4). Dengan demikian,

$u'' + x^{-1} u' + \left( k^2 x^2 - \frac{1}{4} x^{-2}\right) u = 0 \ .$ Karena

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}{x}} &= \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}{z}}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}{x}} = k x \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}{z}} = \sqrt{2kz}\, \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}{z}} \\ &\text{dan}\\ \frac{\mathrm{d}^{2}{u}}{\mathrm{d}{x}^{2}} &= \frac{\mathrm{d}\left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}{x}}\right)}{\mathrm{d}{x}} = \frac{\mathrm{d}\left(\sqrt{2kz}\, \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}{z}}\right)}{\mathrm{d}{z}}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}{x}} = \sqrt{2k} \left(\frac{1}{2}z^{-1/2} \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}{z}} + z^{1/2} \frac{\mathrm{d}^{2}{u}}{\mathrm{d}{z}^{2}} \right) \sqrt{2kz} \\ &= 2k \left( \frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}{z}} + z \frac{\mathrm{d}^{2}{u}}{\mathrm{d}{z}^{2}}\right) \ , \end{aligned}$ di sini kita menggunakan $u$ untuk menyatakan $\tilde{u}$ yang didefinisikan oleh $\tilde{u}(z) = u(x) = u(\sqrt{2z/k})$ , sehingga kita memperoleh

$\begin{aligned} 0 &= 2k \left( \frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}{z}} + z \frac{\mathrm{d}^{2}{u}}{\mathrm{d}{z}^{2}}\right) + \sqrt{\frac{k}{2z}} \left( \sqrt{2kz} \, \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}{z}}\right) + \left( k^2 \left(\frac{2z}{k}\right) - \frac{1}{4} \left(\frac{k}{2z}\right)\right) u \\ &= 2k z \frac{\mathrm{d}^{2}{u}}{\mathrm{d}{z}^{2}} + 2 k \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}{z}} + \left(2kz - \frac{k}{8z}\right)u \ . \end{aligned}$ Jadi,

$z^2 \frac{\mathrm{d}^{2}{u}}{\mathrm{d}{z}^{2}} + z \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}{z}} + \left(z^2 - \frac{1}{16}\right)u = 0 \ .$ Ini adalah persamaan Bessel dengan $\nu = 1/4$ . Solusi umumnya adalah $\displaystyle u = A J_{1/4}(z) + B J_{-1/4}(z)$ . Dengan demikian, solusi umum (5.6.4) adalah
$\displaystyle y(x) = \sqrt{x}\, u(x) = A \sqrt{x} J_{1/4}\left(kx^2/2\right) + B \sqrt{x}\, J_{-1/4}\left(kx^2/2\right)$ untuk konstanta sebarang $A$ dan $B$ .

Kita mempunyai aturan turunan berikut untuk fungsi Bessel jenis pertama.

Proposisi.

$(x^n J_{n}(x))' = x^n J_{n-1}(x)$ dan

$(x^{-n} J_n(x))' = -x^{-n} J_{n+1}(x)$ untuk $n \ge 0$ .

Bukti. (5.6.5) dan (5.6.6) mudah dibuktikan dengan menggunakan ekspansi deret pangkat fungsi Bessel jenis pertama. Dari

$J_n(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \, \frac{(-1)^k}{k! \Gamma(n+k+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k} \ ,$ kita memperoleh

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}(x^n J_n(x))}{\mathrm{d}{x}} &= \frac{\mathrm{d} \left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2n+2k}} {k! \Gamma(n+k+1) 2^{n+2k}}\right) }{\mathrm{d}{x}} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k (2n+2k) x^{2n+2k-1}} {k! \Gamma(n+k+1) 2^{n+2k}} \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2n+2k-1}} {k! \Gamma(n+k) 2^{n+2k-1}} = x^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{n+2k-1}} {k! \Gamma(n+k) 2^{n+2k-1}} = x^n J_{n-1}(x) \end{aligned}$ dan

$\frac{\mathrm{d}(x^{-n} J_n(x))}{\mathrm{d}{x}} = \frac{\mathrm{d} \left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k}} {k! \Gamma(n+k+1) 2^{n+2k}}\right) }{\mathrm{d}{x}} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k (2k) x^{2k-1}} {k! \Gamma(n+k+1) 2^{n+2k}} .$ Jika kita menyubstitusikan $k=s+1$ ke dalam persamaan terakhir, kita memperoleh

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}(x^{-n} J_n(x))}{\mathrm{d}{x}} &= \sum_{s=0}^{\infty} \frac{(-1)^{s+1} x^{2s+1}(2s+2)} {(s+1)! \Gamma(n+s+2) 2^{n+2s+2}} = -x^{-n} \sum_{s=0}^{\infty} \frac{(-1)^s x^{2s+n+1}} {s! \Gamma(n+s+2) 2^{n+2s+1}}\\ & = -x^{-n} J_{n+1}(x) \ . \square \end{aligned}$

Contoh 5.6.5. Hitung integral-integral berikut.

a) $\displaystyle\int x^4 J_1(x)\,\mathrm{d}{x}$
b) $\displaystyle\int x^3 J_0(x)\,\mathrm{d}{x}$
c) $\displaystyle\int x J_2(x)\,\mathrm{d}{x}$

a) Untuk menghitung integral ini, kita menggunakan integrasi parsial dan (5.6.5). Dengan demikian,

$\begin{aligned} \int x^4 J_1(x) \,\mathrm{d}{x} &= \int x^2 \left( x^2 J_1(x) \right) \,\mathrm{d}{x} \\ &= x^4 J_2(x) - \int 2 x^3 J_2(x) \,\mathrm{d}{x} \quad \left\{ \begin{array}{l} \text{Jika kita menggunakan integrasi parsial dengan} \\ f(x)=x^2 \text{ dan } g'(x) = x^2 J_1(x), \text{ maka} \\ f'(x) = 2x \text{ dan } g(x) = x^2 J_2(x) \text{ berdasarkan} \\ \text{(5.6.5) dengan } n=2 . \end{array} \right. \\ &= x^4 J_2(x) - 2 \int x^3 J_2(x) \,\mathrm{d}{x} \\ &= x^4 J_2(x) - 2 x^3 J_3(x) + C \quad \Big\{ \text{Berdasarkan (5.6.5) dengan } n = 3 . \end{aligned}$

b) Untuk menghitung integral ini, kita kembali menggunakan integrasi parsial dan (5.6.5). Dengan demikian,

$\begin{aligned} \int x^3 J_0(x) \,\mathrm{d}{x} &= \int x^2 \left( x J_0(x)\right) \,\mathrm{d}{x} \\ &= x^3 J_1(x) - \int 2 x^2 J_1(x) \,\mathrm{d}{x} \quad \left\{ \begin{array}{l} \text{Jika kita menggunakan integrasi parsial dengan} \\ f(x)=x^2 \text{ dan } g'(x) = x J_0(x), \text{ maka} \\ f'(x) = 2x \text{ dan } g(x) = x J_1(x) \text{ berdasarkan} \\ \text{(5.6.5) dengan } n=1 . \end{array} \right. \\ &= x^3 J_1(x) - 2 \int x^2 J_1(x) \,\mathrm{d}{x} \\ &= x^3 J_1(x) - 2 x^2 J_2(x) + C \quad \Big\{ \text{Berdasarkan (5.6.5) dengan } n = 2 . \end{aligned}$

c) Untuk menghitung integral ini, kita menggunakan integrasi parsial dan (5.6.6). Dengan demikian,

$\begin{aligned} \int x J_2(x) \,\mathrm{d}{x} &= \int x^2 \left( x^{-1} J_2(x) \right) \,\mathrm{d}{x} \\ &= -x J_1(x) + \int 2 J_1(x) \,\mathrm{d}{x} \quad \left\{ \begin{array}{l} \text{Jika kita menggunakan integrasi parsial dengan} \\ f(x)=x^2 \text{ dan } g'(x) = x^{-1} J_2(x), \text{ maka} \\ f'(x) = 2x \text{ dan } g(x) = - x^{-1} J_1(x) \text{ berdasarkan} \\ \text{(5.6.6) dengan } n=1 . \end{array} \right. \\ &= -x J_1(x) + 2 \int J_1(x) \,\mathrm{d}{x} \\ &= -x J_1(x) - 2 J_0(x) + C \quad \Big\{ \text{Berdasarkan (5.6.6) dengan } n = 0 . \end{aligned}$

Fungsi Bessel jenis pertama memenuhi relasi rekurensi berikut.

$\begin{aligned} n J_n(x) + x J_n'(x) &= xJ_{n-1}(x) \ , \end{aligned}$

$\begin{aligned} n J_n(x) - x J_n'(x) &= xJ_{n+1}(x) \ , \end{aligned}$

$\begin{aligned} J_{n-1}(x) + J_{n+1}(x) &= \frac{2n}{x} J_n(x) \end{aligned}$

dan

$\begin{aligned} J_{n-1}(x) - J_{n+1}(x) &= 2 J_n'(x) \ . \end{aligned}$ Persamaan (5.6.7) dan (5.6.8) masing-masing diperoleh dengan menguraikan (5.6.5) dan (5.6.6). Penjumlahan (5.6.7) dan (5.6.8) menghasilkan (5.6.9), sedangkan selisih (5.6.7) dan (5.6.8) menghasilkan (5.6.10).

Dua fungsi Bessel khusus jenis pertama adalah $\displaystyle J_{1/2}(x) = \sqrt{2/(\pi x)}\, \sin(x)$ dan $\displaystyle J_{-1/2}(x) = \sqrt{2/(\pi x)}\, \cos(x)$ .

Beberapa nol $\alpha_{n,0}$ dari $J_0$ beserta nilai $J_1$ di titik-titik tersebut, dan beberapa nol $\alpha_{n,1}$ dari $J_1$ beserta nilai $J_0$ di titik-titik tersebut, dicantumkan dalam tabel berikut. Nilai-nilainya dibulatkan sampai empat tempat desimal.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline n & \alpha_{n,0} & J_1(\alpha_{n,0}) & \alpha_{n,1} & J_0(\alpha_{n,1}) \\ \hline 0 & & & 0.0000 & 1.0000 \\ 1 & 2.4048 & 0.5191 & 3.8317 & -0.4028 \\ 2 & 5.5201 & -0.3403 & 7.0156 & 0.3001 \\ 3 & 8.6537 & 0.2715 & 10.1735 & -0.2497 \\ 4 & 11.7915 & -0.2325 & 13.3237 & 0.2184 \\ 5 & 14.9309 & 0.2065 & 16.4706 & -0.1965 \\ 6 & 18.0711 & -0.1877 & 19.6159 & 0.1801 \\ 7 & 21.2116 & 0.1733 & & \\ \hline \end{array}$

Persamaan Bessel (5.6.1) dapat dikaitkan dengan suatu masalah Sturm-Liouville singular reguler. Lebih tepatnya, substitusi $x= \sqrt{\lambda}\, t$ dan $\nu = k \in \mathbb{N}$ mengubah (5.6.1) menjadi

$\frac{\mathrm{d} \left( t \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}{t}}\right)}{\mathrm{d}{t}} + \left( - \frac{k^2}{t} + \lambda\, t\right) y = 0$ untuk $0 < t < R$ , dengan $R$ ditentukan oleh masalah yang sedang ditinjau. Ini adalah (5.2.1) dengan $r(t) = t$ , $\displaystyle q(t)= -k^2/t$ , $p(t)=t$ , $a=0$ , dan $b=R$ . Jika kita mensyaratkan agar $y$ terbatas di dekat $0$ dan $y(R)=0$ , maka kita memperoleh masalah Sturm-Liouville singular reguler yang nilai-nilai eigennya adalah $\displaystyle\lambda = \lambda_{n,k} = \left(\alpha_{n,k}/R\right)^2$ , dengan $n > 0$ dan $\alpha_{n,k}$ merupakan nol ke- $n$ dari $J_k(x)$ . Fungsi-fungsi eigen yang berkaitan dengan $\lambda_{n,k}$ merupakan kelipatan skalar dari $\displaystyle J_k\left(\alpha_{n,k} t/R\right)$ . Hal ini diperoleh dari fakta bahwa solusi-solusi terbatas (5.6.11) pada $[0,R]$ merupakan kelipatan skalar dari $\displaystyle y(t) = J_k\big(\sqrt{\lambda} t\big)$ dan $y(R) = 0$ mengakibatkan $\sqrt{\lambda}\, R = \alpha_{n,k}$ . Kita mengabaikan $n=0$ untuk $k>0$ karena $\displaystyle J_k\left(\alpha_{0,k} t/R\right) = J_k\left(0\right) = 0$ untuk setiap $t$ , sehingga tidak mungkin menjadi fungsi eigen. Himpunan $\displaystyle\left\{ J_k\left(\alpha_{n,k} t/R\right) : n \geq 1 \right\}$ lengkap dan ortogonal dalam ruang berbobot $\displaystyle L^2((0,R),t\,\mathrm{d}{t})$ , dengan hasil kali skalar yang didefinisikan oleh

$\left\langle{f},{g}\right\rangle = \int_0^R f(t)g(t) \, t \,\mathrm{d}{t} \ .$ Keortogonalan tersebut merupakan konsekuensi dari teori masalah Sturm-Liouville. Lebih tepatnya, fungsi Bessel jenis pertama memenuhi relasi keortogonalan berikut.

Proposisi.

$\int_0^R J_k\left(\frac{\alpha_{i,k} t}{R}\right) J_k\left(\frac{\alpha_{j,k} t}{R}\right)\, t \,\mathrm{d}{t} = \begin{cases} 0 & \mbox{ jika } i \neq j \\ \displaystyle\frac{R^2}{2} J_{k+1}^2(\alpha_{i,k}) & \mbox{ jika } i = j \end{cases}$

Bukti. Keortogonalan diperoleh dari teori masalah Sturm-Liouville. Kita hanya perlu membuktikan bahwa

$\int_0^R J_k^2\left(\frac{\alpha_{n,k} t}{R}\right)\, t \,\mathrm{d}{t} = \frac{R^2}{2} J_{k+1}^2(\alpha_{n,k}) \ .$

Kita menggunakan fakta bahwa $\displaystyle y(t) = J_k(\gamma_{n,k}t)$ dengan $\gamma_{n,k} = \alpha_{n,k}/R$ merupakan solusi (5.6.11), yaitu persamaan Bessel dalam bentuk Sturm-Liouville dengan syarat bahwa $y$ terbatas di titik asal dan $y(R)=0$ . Secara lebih khusus, kita mempunyai

$\frac{\mathrm{d}\left( t \frac{\mathrm{d}\left(J_k(\gamma_{n,k}t)\right)}{\mathrm{d}{t}} \right)}{\mathrm{d}{t}} + \left( -\frac{k^2}{t} + \gamma_{n,k}^2 t\right) J_k(\gamma_{n,k}t) = 0 \ .$ Dengan mengalikan kedua ruas dengan $\displaystyle 2 t \frac{\mathrm{d}\left( J_k(\gamma_{n,k}t)\right)}{\mathrm{d}{t}}$ , kita memperoleh

$2 t \frac{\mathrm{d}\left( J_k(\gamma_{n,k}t) \right)}{\mathrm{d}{t}} \frac{\mathrm{d}\left( t \frac{\mathrm{d}\left(J_k(\gamma_{n,k}t)\right)}{\mathrm{d}{t}}\right)}{\mathrm{d}{t}} + 2\left( -k^2 + \gamma_{n,k}^2 t^2\right) J_k(\gamma_{n,k}t)\, \frac{\mathrm{d}\left( J_k(\gamma_{n,k}t)\right)}{\mathrm{d}{t}} = 0 \ .$ Dengan kata lain,

$\frac{\mathrm{d}\left( t \frac{\mathrm{d}\left(J_k(\gamma_{n,k}t)\right)}{\mathrm{d}{t}}\right)^2}{\mathrm{d}{t}} + \left(- k^2 + \gamma_{n,k}^2 t^2\right) \frac{\mathrm{d} J_k^2(\gamma_{n,k}t)}{\mathrm{d}{t}} = 0 \ .$ Oleh karena itu,

$\begin{aligned} \left( t \frac{\mathrm{d}\left(J_k(\gamma_{n,k}t)\right)}{\mathrm{d}{t}}\right)^2\bigg|_0^R & = \int_0^R \frac{\mathrm{d}\left( t \frac{\mathrm{d}\left(J_k(\gamma_{n,k}t)\right)}{\mathrm{d}{t}}\right)^2}{\mathrm{d}{t}} \,\mathrm{d}{t}\\ &= \int_0^R \left(k^2 - \gamma_{n,k}^2 t^2\right) \frac{\mathrm{d} J_k^2(\gamma_{n,k}t)}{\mathrm{d}{t}} \,\mathrm{d}{t} \ . \end{aligned}$

Pertama-tama kita hitung ruas kiri (5.6.13). Dari (5.6.8) dengan $x=\gamma_{n,k}t$ , kita memperoleh

$t \frac{\mathrm{d}\left( J_k(\gamma_{n,k}t) \right)}{\mathrm{d}{t}} = \gamma_{n,k}t J_k'(\gamma_{n,k}t) = k J_k(\gamma_{n,k}t) - \gamma_{n,k}t J_{k+1}(\gamma_{n,k}t) \ .$ Dengan demikian,

$\begin{aligned} \left( t \frac{\mathrm{d}\left(J_k(\gamma_{n,k}t)\right)}{\mathrm{d}{t}}\right)^2\bigg|_0^R &= \left( k J_k(\gamma_{n,k}t) - \gamma_{n,k}t J_{k+1}(\gamma_{n,k}t) \right)^2\bigg|_0^R \\ &= \alpha_{n,k}^2 J_{k+1}^2(\alpha_{n,k}) \end{aligned}$ karena $\gamma_{n,k}R = \alpha_{n,k}$ , $J_k(\alpha_{n,k})=0$ untuk setiap $n$ , dan $J_k(0) = 0$ untuk $k>0$ .

Sekarang kita beralih ke ruas kanan (5.6.13). Dengan menggunakan integrasi parsial dengan $\displaystyle f(t) = \left(k^2 - \gamma_{n,k}^2 t^2\right)$ dan $\displaystyle g'(t) = \frac{\mathrm{d}\left( J_k^2(\gamma_{n,k}t)\right)}{\mathrm{d}{t}}$ , sehingga $\displaystyle f'(t) = - 2\gamma_{n,k}^2 t$ dan $\displaystyle g(t) = J_k^2(\gamma_{n,k}t)$ , kita memperoleh

$\begin{aligned} \int_0^R \left(k^2 - \gamma_{n,k}^2 t^2\right) \frac{\mathrm{d}\left( J_k^2(\gamma_{n,k}t)\right)}{\mathrm{d}{t}} \,\mathrm{d}{t} &= \left(k^2 - \gamma_{n,k}^2 t^2\right) J_k^2(\gamma_{n,k}t)\bigg|_0^R + \int_0^R 2\gamma_{n,k}^2 t J_k^2(\gamma_{n,k}t) \,\mathrm{d}{t} \\ &= 2\gamma_{n,k}^2 \int_0^R t J_k^2(\gamma_{n,k}t) \,\mathrm{d}{t} = 2\frac{\alpha_{n,k}^2}{R^2 } \int_0^R J_k^2(\gamma_{n,k}t)\, t \,\mathrm{d}{t} \ , \end{aligned}$ di mana sekali lagi kita menggunakan $J_k(\alpha_{n,k})=0$ untuk setiap $n$ dan $J_k(0) = 0$ untuk $k>0$ .

Dari (5.6.13) diperoleh

$\alpha_{n,k}^2 J_{k+1}^2(\alpha_{n,k}) = 2\frac{\alpha_{n,k}^2}{R^2 } \int_0^R J_k^2(\gamma_{n,k}t)\, t \,\mathrm{d}{t} \ ,$ dan setelah disederhanakan, persamaan ini menghasilkan (5.6.12). ◻

Dengan demikian, norma $\displaystyle J_k\left(\alpha_{n,k} t / R\right)$ pada $[0,R]$ diberikan oleh

$\left\| J_k\left(\frac{\alpha_{n,k} t}{R}\right) \right\|^2 = \int_0^R J_k^2\left(\frac{\alpha_{n,k} t}{R}\right) \, t \,\mathrm{d}{t} = \frac{R^2}{2} J_{k+1}^2 (\alpha_{n,k}) \ .$ Untuk $k$ tetap, ekspansi Fourier-Bessel dari $f$ pada $]0,R[$ terhadap fungsi-fungsi $\displaystyle J_k\left(\alpha_{n,k} t/R\right)$ untuk $n \geq 1$ adalah

$f = \sum_{n=1}^{\infty}\, a_{n} J_k\left(\frac{\alpha_{n,k} t}{R}\right)$ untuk $0 < t < R$ , dengan

$a_n = \frac{2}{R^2 J_{k+1}^2(\alpha_{n,k})} \int_0^R f(t) J_k\left(\frac{\alpha_{n,k} t}{R}\right) \, t \,\mathrm{d}{t}$ untuk $n \geq 1$ . Deret tersebut konvergen dalam $\displaystyle L^2((0,R),t\,\mathrm{d}{t})$ .

Contoh. Nyatakan $\displaystyle f(x) = x^2$ untuk $0<x<R$ dalam bentuk fungsi-fungsi Bessel $\displaystyle\left\{ J_0(\gamma_{n,0}x)\right\}_{n=1}^\infty$ , dengan $\gamma_{n,0} = \alpha_{n,0}/R$ untuk $n\geq1$ .

Koefisien-koefisien deret Fourier-Bessel adalah

$\begin{aligned} a_n &= \frac{2}{R^2 J_{1}^2(\alpha_{n,0})} \int_0^R t^3J_0(\gamma_{n,0} t) \,\mathrm{d}{t} = \frac{2}{R^2 J_{1}^2(\alpha_{n,0})} \left( \frac{1}{\gamma_{n,0}^4} \int_0^{\alpha_{n,0}} s^3 J_0(s) \,\mathrm{d}{s} \right) \\ &= \frac{2}{R^2 J_{1}^2(\alpha_{n,0})\gamma_{n,0}^4} \left( s^3 J_1(s) - 2\, s^2 J_2(s) \right)\bigg|_0^{\alpha_{n,0}} \\ &= \frac{2 R^2}{J_{1}^2(\alpha_{n,0})\alpha_{n,0}^4} \left( \alpha_{n,0}^3 J_1(\alpha_{n,0}) - 2\, \alpha_{n,0}^2 J_2(\alpha_{n,0}) \right) \end{aligned}$ Persamaan kedua diperoleh dari substitusi $s=\gamma_{n,0}t$ dalam integral. Integral $s^3J_0(s)$ yang dihitung dalam Contoh 5.6.5 (b) menghasilkan persamaan ketiga. Bentuk $a_n$ dapat disederhanakan lebih lanjut menggunakan (5.6.9) dengan $n=1$ . Kita memperoleh

$J_2(\alpha_{n,0}) = J_0(\alpha_{n,0}) + J_2(\alpha_{n,0}) = \frac{2}{\alpha_{n,0}} J_1(\alpha_{n,0}) \ .$ Dengan demikian,

$a_n = \frac{2 R^2}{J_{1}^2(\alpha_{n,0})\alpha_{n,0}^4} \left( \alpha_{n,0}^3 \, J_1(\alpha_{n,0}) - 4 \alpha_{n,0} J_1(\alpha_{n,0}) \right) = \frac{2R^2}{\alpha_{n,0}^3 J_{1}(\alpha_{n,0})} \left( \alpha_{n,0}^2 - 4\right) \ .$

Latihan

Latihan yang disarankan:

Dalam PinRub: nomor 6.1 sampai 6.9 dalam Bagian 6.7.
Dalam Str: nomor 6, 7, dan 13 dalam Bagian 10.5.
Dalam Simm: nomor 1, 2, dan 8 dalam Bagian 26; semua nomor dalam Bagian 27 sampai 29, dan 32 sampai 35.

Atribusi dan hak. Karya sumber oleh Benoit Dionne dilisensikan berdasarkan Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International. Terjemahan dan perubahan yang dicatat menggunakan lisensi komponen yang sama. Produksi terjemahan dan edisi dibantu OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; semua kredit penulis dan kontributor manusia tetap dipertahankan. Ini bukan terbitan atau dukungan resmi Benoit Dionne maupun University of Ottawa.