Solusi yang Dihasilkan sebagai Selubung

Contoh 1.4.3. Tentukan integral lengkap dari

$$\begin{aligned}\frac{\partial{u}}{\partial x}\,\frac{\partial{u}}{\partial y} &= u\end{aligned}$$(1.4.9) Fungsi $u(x,y)=0$ untuk semua $x$ dan $y$ memenuhi (1.4.9) dan syarat $u(x,x)=0$. Apakah terdapat solusi taktrivial dari (1.4.9) yang memenuhi $u(x,x)=0$? Gunakan integral lengkap tersebut untuk menemukan solusi taktrivial $u$ dari (1.4.9) yang memenuhi $u(x,x) = 0$.

Untuk menemukan integral lengkap, kita menggunakan metode pemisahan variabel. Jika kita substitusikan $u(x,y) = F(x)G(y)$ ke dalam (1.4.9), diperoleh $F'(x)G(y)\, F(x)G'(y) = F(x)G(y)$. Jika kedua ruas dibagi dengan $F(x)G(y)$, diperoleh $F'(x) \, G'(y) = 1$. Jadi, $\displaystyle F'(x) = \frac{1}{G'(y)}$. Karena ruas kanan tidak bergantung pada $x$ dan ruas kiri tidak bergantung pada $y$, haruslah $\displaystyle F'(x) = \frac{1}{G'(y)} = a$, dengan $a\neq0$ suatu konstanta. Kita memperoleh dua persamaan diferensial biasa orde pertama: $F'(x)= a$ dan $G'(y) = 1/a$. Solusi umumnya adalah $F(x) = ax+b$ dan $G(y) = y/a + c$. Oleh karena itu, $$u(x,y) = (ax+b)\left(\frac{y}{a} + c\right) = xy + ac\, x + \frac{b}{a} \, y + bc = xy + \alpha x + \beta y + \alpha \beta$$ untuk $\alpha = ac$ dan $\beta = b/a$. Fungsi $$u = G(x,y,\alpha,\beta) = xy + \alpha x + \beta y + \alpha \beta$$ merupakan integral lengkap karena $$\det \begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\displaystyle \partial^{2}{G}}{\displaystyle \partial x^{} \partial \alpha^{}} & \displaystyle\frac{\displaystyle \partial^{2}{G}}{\displaystyle \partial x^{} \partial \beta^{}} \\[0.7em] \displaystyle\frac{\displaystyle \partial^{2}{G}}{\displaystyle \partial y^{} \partial \alpha^{}} & \displaystyle\frac{\displaystyle \partial^{2}{G}}{\displaystyle \partial y^{} \partial \beta^{}} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 \neq 0 \ .$$ Dengan demikian, pemetaan yang didefinisikan dalam (1.4.2) berperingkat $2$.

Untuk menemukan solusi taktrivial $u$ dari (1.4.9) yang memenuhi $u(x,x) = 0$, mula-mula kita mencari keluarga permukaan integral yang menyinggung kurva $\Gamma = \{ (x,x,0) : x \in \mathbb{R}\}$ yang didefinisikan oleh $x=s$, $y=s$, dan $u=0$ untuk $s \in \mathbb{R}$. Keluarga ini didefinisikan oleh sistem persamaan $$\begin{align*} 0 &= s^2 + \alpha \, s + \beta \, s + \alpha \, \beta \\ 0 &= 2s + \alpha + \beta \end{align*}$$ yang diperoleh dari (1.4.3) dan (1.4.4). Kita memperoleh $\alpha(s) = -s$ dan $\beta(s) = -s$. Keluarga satu-parameter permukaan integral yang kita cari diberikan oleh $$u = G(x,y, -s, -s) = xy -s x -s y + s^2 \ .$$ Selubung keluarga permukaan integral ini diberikan oleh sistem persamaan $$\begin{align*} u &= G(x,y, -s, -s) = xy - s x - s y + s^2 \\ 0 &= \frac{\partial{G(x,y, -s,-s)}}{\partial s} = -x - y + 2s \end{align*}$$ yang diperoleh dari (1.2.1) dan (1.2.2). Dari persamaan kedua, kita memperoleh $s = (x+y)/2$. Jika nilai $s$ ini disubstitusikan ke dalam persamaan pertama, diperoleh permukaan integral yang dicari, $$u = xy - \frac{x(x+y)}{2} - \frac{y(x+y)}{2} + \frac{(x+y)^2}{4} = - \frac{(x-y)^2}{4}$$ yang memuat $\Gamma$.

Contoh 1.4.4. Gunakan metode pemisahan variabel untuk mencari solusi dari $$\frac{\partial{u}}{\partial x} + \frac{\partial{u}}{\partial y} = 0 \ ,$$ dan tentukan mengapa keluarga dua-parameter yang diperoleh bukan integral lengkap bila seluruh bidang parameter $(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2$ disertakan.

Misalkan $u(x,y) = F(x)G(y)$. Kita memperoleh $F'(x) G(y) + F(x) G'(y) = 0$. Jika kedua ruas kesamaan ini dibagi dengan $F(x)G(y)$, lalu fungsi-fungsi yang bergantung pada $x$ dikumpulkan di satu ruas dan yang bergantung pada $y$ di ruas lainnya, kita memperoleh $$\frac{F'(x)}{F(x)} = - \frac{G'(y)}{G(y)}$$ untuk semua $x$ dan $y$ sedemikian sehingga $F(x) \neq 0$ dan $G(y) \neq 0$. Karena ruas kanan tidak bergantung pada $x$ dan ruas kiri tidak bergantung pada $y$, harus berlaku $$\frac{F'(x)}{F(x)} = - \frac{G'(y)}{G(y)} = \alpha \ ,$$ dengan $\alpha$ suatu konstanta. Kita memperoleh dua persamaan diferensial biasa orde pertama, $F'(x) -\alpha F(x) = 0$ dan $G'(y) + \alpha G(y) = 0$, yang solusi umumnya masing-masing adalah $\displaystyle F(x) = \beta_1 e^{\alpha x}$ dan $\displaystyle G(y) = \beta_2 e^{-\alpha y}$. Salah satu solusinya adalah $\displaystyle u(x,y) = F(x)G(y) = \beta e^{\alpha(x-y)}$, dengan $\beta = \beta_1 \beta_2$.

Determinan yang hanya memakai baris $u_x$ dan $u_y$ memang nol, tetapi itu belum membuktikan bahwa pemetaan dalam (1.4.2) berperingkat kurang dari $2$. Minor yang memakai $u$ dan $u_x$ justru memberikan $$\det \begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial{u}}{\partial \alpha} & \displaystyle\frac{\partial{u}}{\partial \beta} \\[0.7em] \displaystyle\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{} \partial \alpha^{}} & \displaystyle\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{} \partial \beta^{}} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} \beta(x-y)e^{\alpha(x-y)} & e^{\alpha(x-y)} \\ \beta(1+\alpha(x-y))e^{\alpha(x-y)} & \alpha e^{\alpha(x-y)} \end{pmatrix} =-\beta e^{2\alpha(x-y)} .$$ Jadi pemetaan tersebut berperingkat $2$ untuk $\beta\neq0$, tetapi hanya berperingkat $1$ pada $\beta=0$. Karena itu, keluarga dengan seluruh $\beta\in\mathbb{R}$ bukan integral lengkap. Pada masing-masing daerah parameter $\beta>0$ atau $\beta<0$, keluarga ini menjadi integral lengkap; ekuivalen, kita dapat memakai parameter $\beta=\pm e^b$.

Contoh 1.4.5. Gunakan metode pemisahan variabel untuk mencari solusi dari $$x\frac{\partial{u}}{\partial x} - y\frac{\partial{u}}{\partial y} = 0 \ ,$$ dan tentukan mengapa keluarga dua-parameter yang diperoleh bukan integral lengkap bila nilai parameter $\beta=0$ disertakan.

Kerjakan pada satu kuadran terhubung, sehingga $x$ dan $y$ tidak nol dan semua fungsi yang diturunkan tetap mulus. Misalkan $u(x,y) = F(x)G(y)$. Kita memperoleh $xF'(x) G(y) - y F(x) G'(y) = 0$. Jika kedua ruas kesamaan ini dibagi dengan $F(x)G(y)$, lalu fungsi-fungsi yang bergantung pada $x$ dikumpulkan di satu ruas dan yang bergantung pada $y$ di ruas lainnya, kita memperoleh $$x\frac{F'(x)}{F(x)} = y\frac{G'(y)}{G(y)}$$ untuk semua $x$ dan $y$ sedemikian sehingga $F(x) \neq 0$ dan $G(y) \neq 0$. Karena ruas kanan tidak bergantung pada $x$ dan ruas kiri tidak bergantung pada $y$, harus berlaku $$x \frac{F'(x)}{F(x)} = y \frac{G'(y)}{G(y)} = \alpha \ ,$$ dengan $\alpha$ suatu konstanta. Kita memperoleh dua persamaan diferensial biasa orde pertama dengan bentuk yang sama: $x F'(x) - \alpha F(x) = 0$ dan $y G'(y) - \alpha G(y) = 0$. Jika kita meninjau persamaan diferensial pertama, kita dapat menuliskan $$\frac{F'(x)}{F(x)} = \frac{\alpha}{x} \ .$$ Mengintegralkan kedua ruas terhadap $x$ memberikan $\ln|F(x)| = \alpha \ln|x| + \gamma_1$ untuk suatu konstanta $\gamma_1$. Dengan demikian, $\displaystyle F(x) = \beta_1 |x|^\alpha$, dengan $\displaystyle\beta_1 = \pm e^{\gamma_1}$. Kita juga dapat mengambil $\beta_1 = 0$ untuk memperoleh solusi trivial $u(x,y)=0$ untuk semua $x$ dan $y$. Demikian pula, $\displaystyle G(y) = \beta_2 |y|^\alpha$. Salah satu solusinya adalah $u(x,y) = F(x)G(y) = \beta |xy|^{\alpha}$, dengan $\beta = \beta_1 \beta_2$.

Pada suatu kuadran, tulis $t=|xy|>0$. Seperti pada contoh sebelumnya, determinan yang hanya memakai $u_x$ dan $u_y$ bernilai nol, tetapi minor itu tidak menentukan peringkat seluruh pemetaan. Minor yang memakai $u$ dan $u_x$ adalah $$\det \begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial{u}}{\partial \alpha} & \displaystyle\frac{\partial{u}}{\partial \beta} \\[0.7em] \displaystyle\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{} \partial \alpha^{}} & \displaystyle\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{} \partial \beta^{}} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} \beta t^\alpha\ln t & t^\alpha \\ \displaystyle\frac{\beta t^\alpha}{x}(1+\alpha\ln t) & \displaystyle\frac{\alpha t^\alpha}{x} \end{pmatrix} =-\frac{\beta t^{2\alpha}}{x} .$$ Dengan demikian, pada setiap kuadran pemetaan dalam (1.4.2) berperingkat $2$ untuk $\beta\neq0$, tetapi berperingkat $1$ pada $\beta=0$. Keluarga pada seluruh bidang parameter karena itu bukan integral lengkap; pembatasan ke $\beta>0$ atau $\beta<0$, atau parameterisasi $\beta=\pm e^b$, menghasilkan integral lengkap pada kuadran tersebut. Sumbu koordinat tidak termasuk dalam domain klasik ini karena $|x|^\alpha|y|^\alpha$ umumnya tidak terdiferensialkan di sana.

Contoh 1.4.6. Kita meninjau kembali persamaan eikonal dari Contoh 1.3.9 dengan bekal pengetahuan kita tentang selubung dan integral lengkap.

Keluarga permukaan integral untuk persamaan eikonal yang diberikan oleh $$u = G(x,y,\alpha,\beta) = n(x\cos(\alpha) + y \sin(\alpha)) + \beta$$ merupakan integral lengkap karena $$\begin{split} \mathbb{R}^2 &\rightarrow \mathbb{R}^3 \\ (\alpha,\beta) &\mapsto \left(G(x,y,\alpha,\beta), \frac{\partial{G}}{\partial x}(x,y,\alpha,\beta) , \frac{\partial{G}}{\partial y}(x,y,\alpha,\beta) \right) \end{split}$$ merupakan pemetaan berperingkat $2$ untuk semua $(x,y)$. Memang, matriks $$\begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial{G}}{\partial \alpha} & \displaystyle\frac{\partial{G}}{\partial \beta} \\ \displaystyle\frac{\displaystyle \partial^{2}{G}}{\displaystyle \partial x^{} \partial \alpha^{}} & \displaystyle\frac{\displaystyle \partial^{2}{G}}{\displaystyle \partial x^{} \partial \beta^{}} \\ \displaystyle\frac{\displaystyle \partial^{2}{G}}{\displaystyle \partial y^{} \partial \alpha^{}} & \displaystyle\frac{\displaystyle \partial^{2}{G}}{\displaystyle \partial y^{} \partial \beta^{}} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n(- x\sin(\alpha) + y \cos(\alpha)) & 1 \\ -n\sin(\alpha) & 0 \\ n\cos(\alpha) & 0 \end{pmatrix}$$ berperingkat $2$ karena sekurang-kurangnya salah satu dari kedua determinan $\displaystyle\det \begin{pmatrix} n(- x\sin(\alpha) + y \cos(\alpha)) & 1 \\ -n\sin(\alpha) & 0 \end{pmatrix}$ dan $\displaystyle\det \begin{pmatrix} n(- x\sin(\alpha) + y \cos(\alpha)) & 1 \\ n\cos(\alpha) & 0 \end{pmatrix}$ tak nol untuk semua $(x,y)$.

Seperti pada Contoh 1.3.9, kita meninjau masalah Cauchy dengan kurva
$\displaystyle\Gamma = \left\{ (x_0(s), y_0(s), u_0(s)) : s \in I\right\}$, dengan $x_0(s)= \cos(s)$, $y_0(s) = \sin(s)$ dan $u_0(s)=0$ untuk $s \in I = \mathbb{R}$.

Subkeluarga permukaan yang diperoleh dari integral lengkap di atas dengan $\alpha = \alpha(s) = s$ dan $\beta= \beta(s) = -n$ untuk semua $s$ merupakan keluarga permukaan integral berparameter satu yang diperlukan untuk mencari permukaan integral yang memuat $\Gamma$ dengan menggunakan selubung keluarga ini. Untuk memverifikasinya, perhatikan bahwa $$G(x_0(s),y_0(s),\alpha(s),\beta(s)) = n(\cos(s)\cos(s) + \sin(s)\sin(s)) + \beta(s) = 0 = u_0(s)$$ dan $$\begin{align*} &\frac{\partial{G}}{\partial x}(x_0(s),y_0(s), \alpha(s), \beta(s))\, \frac{\mathrm{d}x_0}{\mathrm{d}{s}}(s) + \frac{\partial{G}}{\partial y}(x_0(s),y_0(s), \alpha(s), \beta(s))\, \frac{\mathrm{d}y_0}{\mathrm{d}{s}}(s) \\ &\qquad = -n\cos(s)\sin(s) + n \sin(s)\cos(s) = 0 = u_0'(s) \end{align*}$$ untuk semua $s$.

Selubung keluarga permukaan integral ini diberikan oleh persamaan-persamaan

$$\begin{aligned}u &= G(x,y,\alpha(s),\beta(s)) = n(x\cos(s) + y \sin(s)) - n\end{aligned}$$(1.4.10)

dan

$$\begin{aligned}0 &= \frac{\partial}{\partial s}{G}(x,y,\alpha(s), \beta(s)) = -nx\sin(s) +ny\cos(s) \ .\end{aligned}$$(1.4.11) (1.4.11) menyatakan bahwa arah $(\cos(s),\sin(s))$ sejajar dengan $(x,y)$. Untuk $(x,y)\neq(0,0)$, cabang selubung yang memuat $\Gamma$ memenuhi $\displaystyle\cos(s) = x/\sqrt{x^2+y^2}$ dan $\displaystyle\sin(s) = y/\sqrt{x^2+y^2}$. Jika nilai-nilai $\cos(s)$ dan $\sin(s)$ ini disubstitusikan ke dalam (1.4.10), kita memperoleh $$u = \frac{nx^2}{\sqrt{x^2+y^2}} + \frac{ny^2}{\sqrt{x^2+y^2}} - n = n\sqrt{x^2+y^2} - n \ .$$ Ini merupakan salah satu permukaan integral yang kita temukan dalam Contoh 1.3.9. Permukaan integral lainnya diperoleh dari subkeluarga berbeda $\alpha(s)=s+\pi$ dan $\beta(s)=n$ untuk semua $s$; perhitungan selubung yang sama memberikan $u=n-n\sqrt{x^2+y^2}$. Kedua solusi radial ini ditinjau pada domain yang tidak memuat titik asal karena tidak terdiferensialkan di sana.