Persamaan Diferensial Parsial Orde Pertama Umum

Kita meninjau persamaan diferensial parsial berbentuk

$$F\left(x,y,u,\frac{\partial{u}}{\partial x}, \frac{\partial{u}}{\partial y}\right) = 0 \ ,$$(1.3.1) dengan $\displaystyle F:\mathbb{R}^5 \rightarrow \mathbb{R}$ cukup terdiferensialkan.

Tujuannya adalah mencari permukaan terdiferensialkan $u=u(x,y)$ yang memenuhi Persamaan (1.3.1) dan memuat kurva $\Gamma$ yang diberikan oleh $$\left\{ (x,y,u) = (x_0(s) , y_0(s) , u_0(s)) : s \in I \right\} \ ,$$ dengan $I$ suatu interval terbuka, dan $x_0$, $y_0$, $u_0$ merupakan fungsi-fungsi terdiferensialkan. Ini adalah masalah Cauchy bagi persamaan diferensial parsial orde pertama umum. Seperti pada persamaan diferensial parsial kuasilinear, kita mempunyai definisi berikut.

Seperti pada persamaan diferensial parsial kuasilinear, kita akan mencari keluarga kurva $\displaystyle\left\{ \gamma_s \right\}_{s\in I}$ yang menghasilkan permukaan integral $u=u(x,y)$ bagi Persamaan (1.3.1) dan setiap kurva $\gamma_s$ memotong $\Gamma$ secara transversal di $(x_0(s),y_0(s),u_0(s))$. Sayangnya, persamaan diferensial biasa yang menentukan keluarga kurva ini tidak dapat dibaca langsung dari persamaan diferensial parsial sebagaimana yang dilakukan untuk persamaan diferensial parsial kuasilinear.

Untuk persamaan diferensial parsial kuasilinear, kita tidak perlu meninjau bidang singgung permukaan integral secara eksplisit, tetapi untuk persamaan diferensial parsial umum kita harus melakukannya. Andaikan $u=u(x,y)$ adalah permukaan yang memenuhi Persamaan (1.3.1) dan misalkan $$(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{u}) = \left(\tilde{x},\tilde{y},u(\tilde{x},\tilde{y})\right)$$ merupakan titik pada permukaan ini. Persamaan bidang singgung permukaan integral di $(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{u})$ adalah

$$\frac{\partial{u}}{\partial x}(\tilde{x},\tilde{y})(x-\tilde{x}) + \frac{\partial{u}}{\partial y}(\tilde{x},\tilde{y}) (y-\tilde{y}) - (u-\tilde{u}) = 0 \ .$$(1.3.2) Persamaan (1.3.1) memberikan hubungan antara $\displaystyle\frac{\partial{u}}{\partial x}(\tilde{x},\tilde{y})$ dan $\displaystyle\frac{\partial{u}}{\partial y}(\tilde{x},\tilde{y})$; yakni, $$F\left( \tilde{x}, \tilde{y}, \tilde{u}, \frac{\partial{u}}{\partial x}(\tilde{x},\tilde{y}), \frac{\partial{u}}{\partial y}(\tilde{x},\tilde{y}) \right) = 0 \ .$$ Jika digabungkan dengan turunan di sepanjang kurva $\Gamma$, hubungan ini memungkinkan kita menentukan bidang singgung permukaan integral.

Persamaan untuk $x$, $y$, dan $u$

Pembahasan pada paragraf sebelumnya dapat digunakan untuk menurunkan syarat-syarat yang harus dipenuhi oleh kurva-kurva $\gamma_s$ dengan $s\in I$. Persamaan $F(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{u},p,q)=0$ merepresentasikan sebuah kurva pada bidang $p$,$q$. Kita memperoleh keluarga satu-parameter bidang singgung yang didefinisikan oleh $$p(x-\tilde{x}) + q (y-\tilde{y}) - (u-\tilde{u}) = 0 \quad \text{dan} \quad F(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{u},p,q)=0 \ .$$ Keluarga bidang singgung ini, yang semuanya memuat titik $(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{u})$, menghasilkan sebuah “kerucut” dengan puncak di $(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{u})$. Kerucut ini disebut Kerucut Monge. Untuk memvisualisasikan kerucut ini, bayangkan daerah yang diselubungi oleh keluarga satu-parameter bidang singgung yang semuanya memuat titik $(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{u})$. Hal ini diilustrasikan pada Gambar 3.

Misalkan $$S = \left\{ (p,q) : F(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{u},p,q) = 0 \right\} \ .$$ Kita mengasumsikan bahwa $F$ dalam Persamaan (1.3.1) tidak degenerat pada $S$; yakni, $$\left(\frac{\partial{F}}{\partial p}(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{u},p,q), \frac{\partial{F}}{\partial q}(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{u},p,q) \right) \neq (0,0)$$ untuk semua $(p,q) \in S$. Tanpa mengurangi keumuman, kita dapat mengasumsikan bahwa $$\frac{\partial{F}}{\partial q}(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{u},p,q) \neq 0$$ secara lokal di sepanjang kurva $S$. Dengan demikian, kita dapat menulis $q=q(p)$ secara lokal.

Jika terhadap $p$ kita diferensialkan persamaan

$$p(x-\tilde{x}) + q(y-\tilde{y}) = u-\tilde{u}$$(1.3.3) yang menyatakan bidang singgung di $(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{u})$, kita memperoleh $$(x-\tilde{x}) + \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}{p}}(y-\tilde{y}) = 0 \ .$$ Menurut Teorema Fungsi Implisit, karena kita mengasumsikan bahwa $\displaystyle\frac{\partial{F}}{\partial q}(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{u},p,q) \neq 0$, kita mempunyai $$\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}{p}} = - \frac{\displaystyle\frac{\partial{F}}{\partial p}(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{u},p,q)} {\displaystyle\frac{\partial{F}}{\partial q}(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{u},p,q)} \ .$$ Oleh karena itu,

$$\frac{\partial{F}}{\partial q}(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{u},p,q)(x-\tilde{x}) = \frac{\partial{F}}{\partial p}(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{u},p,q)(y-\tilde{y}) \ .$$(1.3.4) Dengan mengalikan Persamaan (1.3.3) oleh $\frac{\partial{F}}{\partial q}(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{u},p,q)$ dan memakai Persamaan (1.3.4), kita memperoleh bentuk tanpa pembagian $$\frac{\partial{F}}{\partial q}(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{u},p,q)(u-\tilde{u}) = p\, \frac{\partial{F}}{\partial q}(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{u},p,q)(x-\tilde{x}) + q\, \frac{\partial{F}}{\partial q}(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{u},p,q)(y-\tilde{y}) = \left[p\,\frac{\partial{F}}{\partial p}(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{u},p,q) + q\,\frac{\partial{F}}{\partial q}(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{u},p,q)\right] (y-\tilde{y}) \ .$$ Jadi,

$$\frac{\partial{F}}{\partial q}(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{u},p,q)(u-\tilde{u}) = \left[p\,\frac{\partial{F}}{\partial p}(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{u},p,q) + q\,\frac{\partial{F}}{\partial q}(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{u},p,q)\right] (y-\tilde{y}) \ .$$(1.3.5)

Persamaan Persamaan (1.3.4) dan Persamaan (1.3.5) menghasilkan representasi standar sebuah garis yang termuat dalam bidang yang didefinisikan oleh Persamaan (1.3.3); bentuk tanpa pembagian tersebut juga memuat titik puncaknya. Garis ini berada pada bidang singgung permukaan integral $u=u(x,y)$ di $(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{u})$ jika $$(p,q) = \left( \frac{\partial{u}}{\partial x}(\tilde{x},\tilde{y}) , \frac{\partial{u}}{\partial y}(\tilde{x},\tilde{y}) \right) \ .$$ Arah garis ini di $(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{u})$ adalah $$\left( \frac{\partial{F}}{\partial p}(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{u},p,q), \frac{\partial{F}}{\partial q}(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{u},p,q) , p\, \frac{\partial{F}}{\partial p}(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{u},p,q) + q\, \frac{\partial{F}}{\partial q}(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{u},p,q) \right) \ .$$

Seperti pada persamaan diferensial parsial kuasilinear orde pertama, hal ini mengisyaratkan bahwa permukaan integral merupakan gabungan keluarga kurva $\displaystyle\left\{\gamma_s\right\}_{s\in I}$, dengan setiap kurva $\gamma_s$ didefinisikan oleh $$\gamma_s = \left\{ (x,y,u) = (x(t,s) , y(t,s) , u(t,s)) : t \in J_s \right\}$$ sedemikian sehingga

$$\begin{split} \frac{\partial{x}}{\partial t}(t,s) &= \frac{\partial{F}}{\partial p}(x(t,s),y(t,s),u(t,s),p(t,s),q(t,s)) \ , \\ \frac{\partial{y}}{\partial t}(t,s) &= \frac{\partial{F}}{\partial q}(x(t,s),y(t,s),u(t,s),p(t,s),q(t,s)) \ , \\ \frac{\partial{u}}{\partial t}(t,s) &= p(t,s) \frac{\partial{F}}{\partial p}(x(t,s),y(t,s),u(t,s),p(t,s),q(t,s)) \\ & \qquad + q(t,s) \frac{\partial{F}}{\partial q}(x(t,s),y(t,s),u(t,s),p(t,s),q(t,s)) \end{split}$$(1.3.6) dan $$\left(x(0,s),y(0,s),u(0,s)\right) = \left(x_0(s), y_0(s), u_0(s)\right) \ ,$$ dengan $p$ dan $q$ fungsi-fungsi belum diketahui yang akan ditentukan kemudian, dan $J_s$ adalah domain solusi untuk $s$ yang diberikan. Untuk menentukan $p$ dan $q$, kita memerlukan dua persamaan diferensial tambahan yang berkaitan dengan bidang-bidang singgung permukaan integral yang dicari.

Jika untuk sementara kita mengasumsikan bahwa $p$ dan $q$ juga telah ditentukan, dan bahwa

$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(t,s)}\bigg|_{(t,s)} = \det \begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial{x}}{\partial t} & \displaystyle\frac{\partial{x}}{\partial s} \\[0.7em] \displaystyle\frac{\partial{y}}{\partial t} & \displaystyle\frac{\partial{y}}{\partial s} \end{pmatrix}\bigg|_{(t,s)} \neq 0 \ ,$$(1.3.7) maka kita dapat menggunakan Teorema Pemetaan Invers untuk menyatakan $s$ dan $t$ secara lokal sebagai fungsi dari $x$ dan $y$. Mensubstitusikan ungkapan $s$ dan $t$ ini ke $u=u(t,s)$, $p=p(t,s)$, dan $q=q(t,s)$ menghasilkan $u=u(x,y)$, $p=p(x,y)$, dan $q=q(x,y)$. Seperti yang kita lakukan untuk persamaan diferensial parsial kuasilinear orde pertama, kita tetap menggunakan $u$, $p$, dan $q$ untuk menyatakan fungsi-fungsi dari $s$ dan $t$, sekaligus fungsi-fungsi dari $x$ dan $y$. Kita mempunyai $u(x,y) = u(t,s)$ untuk $x=x(t,s)$ dan $y=y(t,s)$, serta kesamaan-kesamaan serupa untuk $p$ dan $q$.

Persamaan untuk $p$ dan $q$

Fungsi-fungsi $p$ dan $q$ dalam Persamaan (1.3.6) harus memenuhi

$$p(t,s) = \frac{\partial{u}}{\partial x}(x(t,s),y(t,s)) \quad \text{dan} \quad q(t,s) = \frac{\partial{u}}{\partial y}(x(t,s),y(t,s))$$(1.3.8) jika kita ingin memenuhi syarat-syarat konsistensi $$p(x,y) = \frac{\partial{u}}{\partial x}(x,y) \quad \text{dan} \quad q(x,y) = \frac{\partial{u}}{\partial y}(x,y) \ .$$

Untuk penurunan berikut, andaikan $u\in C^2$ pada daerah yang ditinjau. Asumsi ini menjamin keberadaan turunan kedua dan kesamaan turunan campuran yang digunakan di bawah.

Jika kita mengasumsikan bahwa Persamaan (1.3.8) dipenuhi dan mendiferensialkan persamaan-persamaan dalam Persamaan (1.3.8) terhadap $t$, kita memperoleh

$$\begin{align} \frac{\partial{p}}{\partial t}(t,s) &= \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{2}}(x(t,s),y(t,s)) \frac{\partial{x}}{\partial t}(t,s) + \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial y^{} \partial x^{}}(x(t,s),y(t,s)) \frac{\partial{y}}{\partial t}(t,s) \nonumber \\ &= \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{2}}(x(t,s),y(t,s)) \frac{\partial{F}}{\partial p}\left(x(t,s),y(t,s),u(t,s),p(t,s),q(t,s)\right) \nonumber \\ & \qquad + \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial y^{} \partial x^{}}(x(t,s),y(t,s)) \frac{\partial{F}}{\partial q}\left(x(t,s),y(t,s),u(t,s),p(t,s),q(t,s)\right) \end{align}$$(1.3.9) dan

$$\begin{align} \frac{\partial{q}}{\partial t}(t,s) &= \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{} \partial y^{}}(x(t,s),y(t,s)) \frac{\partial{x}}{\partial t}(t,s) + \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial y^{2}}(x(t,s),y(t,s)) \frac{\partial{y}}{\partial t}(t,s) \nonumber \\ &= \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{} \partial y^{}}(x(t,s),y(t,s)) \frac{\partial{F}}{\partial p}\left(x(t,s),y(t,s),u(t,s),p(t,s),q(t,s)\right) \nonumber \\ & \qquad + \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial y^{2}}(x(t,s),y(t,s)) \frac{\partial{F}}{\partial q}\left(x(t,s),y(t,s),u(t,s),p(t,s),q(t,s)\right) \ . \end{align}$$(1.3.10)

Selain itu, jika $u$ merupakan permukaan integral, maka kita mempunyai $\displaystyle F\left(x,y,u(x,y),p(x,y),q(x,y)\right) = 0$ dengan $\displaystyle p(x,y) = \frac{\partial{u}}{\partial x}(x,y)$ dan $\displaystyle q(x,y) = \frac{\partial{u}}{\partial y}(x,y)$. Jika kita mendiferensialkan $\displaystyle F\left(x,y,u(x,y),p(x,y),q(x,y)\right) = 0$ terhadap $x$, kita memperoleh $$\frac{\partial{F}}{\partial x} + \frac{\partial{F}}{\partial u}\frac{\partial{u}}{\partial x} + \frac{\partial{F}}{\partial p}\frac{\partial{p}}{\partial x} + \frac{\partial{F}}{\partial q} \frac{\partial{q}}{\partial x} = 0$$ di $(x,y,u(x,y),p(x,y),q(x,y))$. Oleh karena itu,

$$-\frac{\partial{F}}{\partial x} - \frac{\partial{F}}{\partial u}\frac{\partial{u}}{\partial x} = \frac{\partial{F}}{\partial p}\frac{\partial{p}}{\partial x} + \frac{\partial{F}}{\partial q} \frac{\partial{q}}{\partial x} = \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{2}} \frac{\partial{F}}{\partial p} + \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial y^{} \partial x^{}} \frac{\partial{F}}{\partial q}$$(1.3.11) di $(x,y,u(x,y),p(x,y),q(x,y))$. Serupa dengan itu, jika kita mendiferensialkan $\displaystyle F\left(x,y,u(x,y),p(x,y),q(x,y)\right) = 0$ terhadap $y$, kita memperoleh $$\frac{\partial{F}}{\partial y} + \frac{\partial{F}}{\partial u}\frac{\partial{u}}{\partial y} + \frac{\partial{F}}{\partial p}\frac{\partial{p}}{\partial y} + \frac{\partial{F}}{\partial q} \frac{\partial{q}}{\partial y} = 0$$ di $(x,y,u(x,y),p(x,y),q(x,y))$. Oleh karena itu,

$$-\frac{\partial{F}}{\partial y} - \frac{\partial{F}}{\partial u}\frac{\partial{u}}{\partial y} = \frac{\partial{F}}{\partial p}\frac{\partial{p}}{\partial y} + \frac{\partial{F}}{\partial q} \frac{\partial{q}}{\partial y} = \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{} \partial y^{}} \frac{\partial{F}}{\partial p} + \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial y^{2}} \frac{\partial{F}}{\partial q}$$(1.3.12) di $(x,y,u(x,y),p(x,y),q(x,y))$. Jika kita mensubstitusikan Persamaan (1.3.11) dan Persamaan (1.3.12) masing-masing ke Persamaan (1.3.9) dan Persamaan (1.3.10), serta menggunakan hubungan $p(x,y) = p(t,s)$, $q(x,y) = q(t,s)$, dan $u(x,y) = u(t,s)$ untuk $(x,y) = (x(t,s), y(t,s))$, kita memperoleh

$$\begin{split} \frac{\partial{p}}{\partial t}(t,s) &=-\frac{\partial{F}}{\partial x}\left(x(t,s),y(t,s),u(t,s),p(t,s),q(t,s)\right) \\ & \qquad - p(t,s) \, \frac{\partial{F}}{\partial u}\left(x(t,s),y(t,s),u(t,s),p(t,s),q(t,s)\right) \ , \\ \frac{\partial{q}}{\partial t}(t,s) &=-\frac{\partial{F}}{\partial y}\left(x(t,s),y(t,s),u(t,s),p(t,s),q(t,s)\right) \\ & \qquad - q(t,s)\, \frac{\partial{F}}{\partial u}\left(x(t,s),y(t,s),u(t,s),p(t,s),q(t,s)\right) \ . \end{split}$$(1.3.13)

Persamaan (1.3.6) dan Persamaan (1.3.13) mendefinisikan sistem lima persamaan diferensial biasa bagi lima fungsi yang belum diketahui, $x(t,s)$, $y(t,s)$, $u(t,s)$, $p(t,s)$, dan $q(t,s)$.