Selubung Keluarga Permukaan

Analisis kita terhadap persamaan diferensial parsial orde pertama umum pada bagian-bagian berikutnya akan menggunakan konsep selubung suatu keluarga permukaan. Konsep inilah yang dibahas dalam bagian ini.

Pada daerah tempat $G$ terdefinisi, kita tinjau keluarga permukaan yang dideskripsikan oleh

$$F(x,y,z,\lambda) = z - G(x,y,\lambda) = 0 \quad , \quad \lambda \in \mathbb{R}\ .$$(1.2.1) Dengan kata lain, keluarga permukaan $S_\lambda$ untuk $\lambda\in\mathbb{R}$ diberikan oleh $$S_\lambda = \left\{ (x,y,z) : F(x,y,z,\lambda) = 0 \right\} \ .$$ Persamaan

$$\frac{\partial{G}}{\partial \lambda}(x,y,\lambda) = 0$$(1.2.2) bersama dengan Persamaan (1.2.1) menentukan sebuah kurva $\gamma_\lambda$ untuk setiap nilai tetap $\lambda$ pada komponen reguler himpunan perpotongannya. Sebagai contoh, regularitas ini berlaku di titik-titik tempat $$\left(\frac{\partial^2G}{\partial x\,\partial\lambda}, \frac{\partial^2G}{\partial y\,\partial\lambda}\right)\neq(0,0).$$ Selubung keluarga permukaan tersebut adalah gabungan semua kurva ini. Kata “selubung” pada umumnya merujuk pada permukaan yang membungkus sesuatu. Apakah selubung keluarga permukaan menurut definisi kita benar-benar merupakan suatu permukaan di $\displaystyle\mathbb{R}^3$?

Andaikan $G$ dua kali terdiferensialkan secara kontinu di sekitar $(x_1,y_1,\lambda_1)$, $$\displaystyle\frac{\partial{G}}{\partial \lambda}(x_1,y_1,\lambda_1) = 0, \qquad \displaystyle\frac{\displaystyle \partial^{2}{G}}{\displaystyle \partial \lambda^{2}}(x_1,y_1,\lambda_1) \neq 0.$$ Teorema Fungsi Implisit memberikan lingkungan terbuka $\displaystyle V \subset \mathbb{R}^2$ dari $(x_1,y_1)$ dan $\displaystyle W \subset \mathbb{R}^3$ dari $(x_1,y_1,\lambda_1)$, serta fungsi unik $\lambda:V\to\mathbb{R}$ yang terdiferensialkan secara kontinu, sedemikian sehingga $\lambda(x_1,y_1)=\lambda_1$, $(x,y,\lambda(x,y))\in W$ untuk setiap $(x,y)\in V$, dan

$$\frac{\partial{G}}{\partial \lambda}\left(x,y,\lambda(x,y)\right) = 0$$(1.2.3) untuk $(x,y)\in V$. Selain itu, semua solusi Persamaan (1.2.2) di $W$ diberikan oleh fungsi $\lambda$ ini.

Jika syarat regularitas di atas juga berlaku di $(x_1,y_1,\lambda_1)$, dengan mendiferensialkan persamaan terakhir dan menggunakan $G_{\lambda\lambda}\neq0$ kita memperoleh $\nabla_{x,y}\lambda(x_1,y_1)\neq0$. Setelah $V$ diperkecil jika perlu, $\lambda$ menjadi submersi pada $V$. Di bawah syarat tambahan ini, untuk setiap $\lambda_2\in\lambda(V)$ yang cukup dekat dengan $\lambda_1$, kurva $\gamma_{\lambda_2}$ didefinisikan oleh $$\begin{align*} \gamma_{\lambda_2} &= \left\{ (x,y,z) : (x,y) \in V \ , \ \lambda(x,y) = \lambda_2 \ \text{dan} \ F(x,y,z,\lambda_2) = 0 \right\} \\ &= \left\{ (x,y,G(x,y,\lambda(x,y))) : (x,y) \in V \ \text{dan} \ \lambda(x,y) = \lambda_2 \right\} \ . \end{align*}$$ Gabungan kurva-kurva ini untuk $\lambda_2\in\lambda(V)$ membentuk sebuah “petak” lokal pada selubung $E$ keluarga permukaan dalam Persamaan (1.2.1). Jika kita menyubstitusikan $\lambda=\lambda(x,y)$ ke dalam Persamaan (1.2.1), kita memperoleh persamaan $$F(x,y,z,\lambda(x,y)) = z - G(x,y,\lambda(x,y)) = 0$$ untuk sebuah “petak” lokal selubung $E$. Tanpa syarat submersi tambahan, persamaan ini tetap mendefinisikan graf permukaan lokal, tetapi penguraiannya menjadi kurva-kurva level $\lambda(x,y)=\lambda_2$ dapat mengalami degenerasi.

Pada petak lokal yang sedang ditinjau, $\gamma_{\lambda_2}$ adalah perpotongan permukaan $S_{\lambda_2}$ dengan selubung $E$ keluarga permukaan tersebut. Pernyataan ini tidak menyingkirkan perpotongan lain di luar lingkungan lokal itu.