Sistem PDP Orde Pertama

Batas sumber. Bagian ini mengikat classification.tex baris 1008-1181 pada sumber beku.

Sistem Persamaan Diferensial Parsial Orde Pertama

Seperti pada persamaan diferensial biasa, kita dapat mereduksi persamaan diferensial parsial (atau suatu sistem persamaan diferensial parsial) berorde lebih dari satu menjadi suatu sistem persamaan diferensial parsial orde pertama.

Contoh 2.4.1. Persamaan diferensial parsial

$x \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{2}} + 2 x^2 \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{} \partial y^{}} - \frac{\partial{u}}{\partial x} - 1 = 0$ pada Contoh 2.3.7 dapat direduksi menjadi suatu sistem persamaan diferensial parsial orde pertama.

Misalkan $\displaystyle v_1 = \frac{\partial{u}}{\partial x}$ dan $\displaystyle v_2 = \frac{\partial{u}}{\partial y}$ . Maka,

$\frac{\partial{v_1}}{\partial y} = \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{} \partial y^{}} = \frac{\partial{v_2}}{\partial x}$ dan

$x \frac{\partial{v_1}}{\partial x} + 2 x^2 \frac{\partial{v_1}}{\partial y} - v_1 - 1 = 0 \ .$ Kita peroleh sistem

$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ x & 0 \end{pmatrix} \frac{\partial{v}}{\partial x} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2x^2 & 0 \end{pmatrix} \frac{\partial{v}}{\partial y} = \begin{pmatrix} 0 \\ v_1+1 \end{pmatrix} \quad , \quad v = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \ .$ Setelah $v_1$ dan $v_2$ ditemukan, $u$ diperoleh dengan mengintegralkan $v_1$ terhadap $x$ atau $v_2$ terhadap $y$ .

Misalkan $\displaystyle\mathcal{L}(\mathbb{R}^n)$ adalah ruang matriks $n\times n$ . Sebuah sistem persamaan diferensial parsial linear orde pertama

adalah sistem berbentuk

$A(x,y) \frac{\partial{v}}{\partial x}(x,y) + B(x,y) \frac{\partial{v}}{\partial y}(x,y) = c\left(x,y,v(x,y)\right) \ ,$ di mana $\displaystyle A:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathcal{L}(\mathbb{R}^n)$ , $\displaystyle B:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathcal{L}(\mathbb{R}^n)$ dan $\displaystyle c:\mathbb{R}^{2+n}\rightarrow \mathbb{R}^n$ adalah fungsi-fungsi kontinu. Jika kita menggabungkan syarat

$v\big|_\Gamma = f$ untuk suatu kurva $\Gamma$ di bidang dan suatu fungsi $\displaystyle f:\Gamma \rightarrow \mathbb{R}^n$ dengan (2.4.3), kita memperoleh bentuk umum

masalah Cauchy bagi sistem persamaan diferensial parsial orde pertama.

Seperti untuk satu persamaan diferensial parsial, kita perlu mendefinisikan kurva karakteristik.

Definisi 2.4.2.

Suatu kurva karakteristik bagi masalah Cauchy (2.4.3) dan (2.4.4) adalah kurva $\Gamma$ sedemikian sehingga (2.4.3) dan (2.4.4) tidak cukup untuk menentukan semua turunan parsial orde pertama dari $\boldsymbol{v}$ di suatu lingkungan kurva $\Gamma$ .

Seperti untuk satu persamaan diferensial parsial, kita perlu memberikan syarat yang tepat untuk menentukan apakah suatu kurva merupakan kurva karakteristik atau bukan. Kita batasi pembahasan pada $n=2$ . Misalkan

$\Gamma = \left\{ (x_0(s), y_0(s)) : s \in I \right\} \ ,$ di mana $x_0:I\rightarrow \mathbb{R}$ dan $y_0:I\rightarrow \mathbb{R}$ adalah fungsi-fungsi terdiferensialkan, dan $I$ adalah interval terbuka. Syarat pada $\Gamma$ yang harus dipenuhi oleh $\boldsymbol{v}$ berbentuk

$v(x_0(s),y_0(s)) = f(s)$ untuk $s\in I$ .

Ada dua sistem persamaan diferensial yang harus dipenuhi pada $\Gamma$ .

$\begin{split} &A(x_0(s),y_0(s)) \frac{\partial{v}}{\partial x}(x_0(s),y_0(s)) + B(x_0(s),y_0(s)) \frac{\partial{v}}{\partial y}(x_0(s),y_0(s)) \\ &\qquad =c\left(x_0(s),y_0(s),v(x_0(s),y_0(s))\right) \end{split}$ dan

$x_0'(s)\frac{\partial{v}}{\partial x}(x_0(s),y_0(s)) + y_0'(s)\frac{\partial{v}}{\partial y}(x_0(s),y_0(s)) = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}{s}}(s) \ .$ Persamaan kedua merupakan turunan dari (2.4.6) terhadap $s$ .

(2.4.7) dikalikan dengan $y_0'(s)$ lalu dikurangi (2.4.8) yang dikalikan dengan $B(x_0(s),y_0(s))$ (dari kiri) menghasilkan

$\begin{aligned} & \left( y_0'(s)A(x_0(s),y_0(s)) - x_0'(s)B(x_0(s),y_0(s)) \right) \frac{\partial{v}}{\partial x}(x_0(s),y_0(s)) \\ &\qquad = \left( y_0'(s) c(x_0(s),y_0(s),v(x_0(s),y_0(s))) - B(x_0(s),y_0(s))\,\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}{s}}(s)\right) \end{aligned}$ dan (2.4.7) dikalikan dengan $x_0'(s)$ lalu dikurangi (2.4.8) yang dikalikan dengan $A(x_0(s),y_0(s))$ (dari kiri) menghasilkan

$\begin{aligned} &\left( x_0'(s)B(x_0(s),y_0(s)) - y_0'(s)A(x_0(s),y_0(s)) \right) \frac{\partial{v}}{\partial y}(x_0(s),y_0(s)) \\ &\qquad = \left( x_0'(s) c(x_0(s),y_0(s),v(x_0(s),y_0(s))) - A(x_0(s),y_0(s))\,\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}{s}}(s)\right) \ . \end{aligned}$ Dari sistem pertama dapat ditentukan $\displaystyle\frac{\partial{v}}{\partial x}(x_0(s),y_0(s))$ , dan dari sistem kedua dapat ditentukan $\displaystyle\frac{\partial{v}}{\partial y}(x_0(s),y_0(s))$ jika matriks

$\left( x_0'(s)B(x_0(s),y_0(s)) - y_0'(s)A(x_0(s),y_0(s)) \right)$ invertibel.

Definisi 2.4.3.

Simbol utama untuk (2.4.3) didefinisikan oleh $\displaystyle Q\left(x,y,\xi_1, \xi_2\right) = \xi_1 A(x,y) + \xi_2 B(x,y)$ untuk $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ dan $(\xi_1,\xi_2)\in\mathbb{R}^2$ .

Proposisi berikut merupakan akibat dari (2.4.9).

Proposisi 2.4.4. Kurva $\Gamma$ yang diberikan oleh (2.4.5) merupakan kurva karakteristik bagi masalah Cauchy (2.4.3) dan (2.4.4) jika dan hanya jika $Q(x_0(s),y_0(s), -y_0'(s) , x_0'(s))$ singular untuk setiap $s \in I$ .

Vektor $(-y_0'(s) , x_0'(s))$ tegak lurus terhadap kurva $\Gamma$ di $(x_0(s), y_0(s))$ . Karena itu, syarat di atas dapat dirumuskan kembali sebagai berikut. Kurva $\Gamma$ merupakan kurva karakteristik jika dan hanya jika pada setiap titik $(x,y)$ di $\Gamma$ berlaku bahwa $Q(x,y, \zeta_1 , \zeta_2)$ singular untuk setiap vektor $\boldsymbol{\zeta}$ yang ortogonal terhadap kurva $\Gamma$ di $(x,y)$ .

Jika $\Gamma$ diberikan secara implisit oleh $\mu(x,y) = c$ untuk suatu konstanta $c$ , syarat di atas menjadi sebagai berikut. Kurva $\Gamma$ merupakan kurva karakteristik jika dan hanya jika

$Q\left(x,y, \frac{\partial{\mu}}{\partial x}(x,y), \frac{\partial{\mu}}{\partial y}(x,y) \right)$ singular untuk semua $(x,y) \in \Gamma$ .

Atribusi dan hak. Karya sumber oleh Benoit Dionne dilisensikan berdasarkan Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International. Terjemahan dan perubahan yang dicatat menggunakan lisensi komponen yang sama. Produksi terjemahan dan edisi dibantu OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; semua kredit penulis dan kontributor manusia tetap dipertahankan. Ini bukan terbitan atau dukungan resmi Benoit Dionne maupun University of Ottawa.