Pengantar Distribusi

Distribusi dan Solusi Kuat

Pendahuluan

Pertimbangkan persamaan diferensial parsial linear

$$L(\boldsymbol{x}, \mathrm{D})u = \sum_{|\boldsymbol{\alpha}|\leq m} a_{\boldsymbol{\alpha}}(\boldsymbol{x}) \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u = f$$(6.1.1) dengan $\displaystyle u \in C^m(\mathbb{R}^n)$, $\displaystyle f \in C(\mathbb{R}^n)$, dan $\displaystyle a_{\boldsymbol{\alpha}} \in C^{|\boldsymbol{\alpha}|}(\mathbb{R}^n)$ untuk semua multiindeks yang muncul dalam jumlah tersebut.

Jika kedua ruas persamaan pada (6.1.1) kita kalikan dengan fungsi $\displaystyle\phi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$ (fungsi-fungsi dalam $\displaystyle C^\infty(\mathbb{R}^n)$ yang berdukungan kompak) dan menggunakan integrasi parsial, kita memperoleh

$$\begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^n} f(\boldsymbol{x})\phi(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} &= \sum_{|\boldsymbol{\alpha}|\leq m} \int_{\mathbb{R}^n} a_{\boldsymbol{\alpha}}(\boldsymbol{x}) \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u(\boldsymbol{x})\phi(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} \\ &= \sum_{|\boldsymbol{\alpha}|\leq m} (-1)^{|\boldsymbol{\alpha}|}\int_{\mathbb{R}^n} u(\boldsymbol{x}) \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} \left(a_{\boldsymbol{\alpha}}(\boldsymbol{x})\phi(\boldsymbol{x})\right) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} \ . \end{aligned}$$

Sebaliknya, jika terdapat fungsi $\displaystyle u \in C^m(\mathbb{R}^n)$ sedemikian sehingga

$$\int_{\mathbb{R}^n} f(\boldsymbol{x})\phi(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} = \sum_{|\boldsymbol{\alpha}|\leq m} (-1)^{|\boldsymbol{\alpha}|}\int_{\mathbb{R}^n} u(\boldsymbol{x}) \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} \left(a_{\boldsymbol{\alpha}}(\boldsymbol{x})\phi(\boldsymbol{x})\right) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}}$$(6.1.2) untuk semua fungsi $\displaystyle\phi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$, maka integrasi parsial memungkinkan kita menulis ulang persamaan ini sebagai

$$\int_{\mathbb{R}^n} f(\boldsymbol{x})\phi(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} = \sum_{|\boldsymbol{\alpha}|\leq m} \int_{\mathbb{R}^n} a_{\boldsymbol{\alpha}}(\boldsymbol{x}) \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u(\boldsymbol{x})\phi(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}}$$ untuk semua fungsi $\displaystyle\phi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$. Menurut (6.1.2), selisih kedua ruas merupakan fungsi kontinu pada $\displaystyle\mathbb{R}^n$ yang integralnya terhadap setiap fungsi uji sama dengan nol. Lema fundamental untuk fungsi uji kemudian menyiratkan bahwa (6.1.1) dipenuhi oleh $u$ dalam pengertian klasik.

Pembahasan sebelumnya menyarankan pendekatan berikut untuk menyelesaikan (6.1.1).

1. Cari fungsi $u$ yang memenuhi (6.1.2) untuk setiap fungsi $\displaystyle\phi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$.

2. Tunjukkan, jika mungkin, bahwa $u$ yang ditemukan pada (1) berada di $\displaystyle C^m(\mathbb{R}^n)$.

Misalkan $\displaystyle L^\ast(\boldsymbol{x}, \mathrm{D})$ adalah operator diferensial parsial linear yang didefinisikan oleh

$$L^\ast(\boldsymbol{x}, \mathrm{D})\phi = \sum_{|\boldsymbol{\alpha}|\leq m} (-1)^{|\boldsymbol{\alpha}|} \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} \left( a_{\boldsymbol{\alpha}}(\boldsymbol{x}) \phi \right)$$ untuk semua $\displaystyle\phi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$. Operator $\displaystyle L^\ast(\boldsymbol{x}, \mathrm{D})$ disebut adjoin dari $L(\boldsymbol{x}, \mathrm{D})$. Jadi, jika $\displaystyle u \in C^m(\mathbb{R}^n)$ merupakan solusi dari (6.1.1), kita mempunyai

$$\int_{\mathbb{R}^n} \big( L(\boldsymbol{x}, \mathrm{D})u(\boldsymbol{x}) \big) \phi(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} = \int_{\mathbb{R}^n} u(\boldsymbol{x}) \big( L^\ast(\boldsymbol{x}, \mathrm{D})\phi(\boldsymbol{x}) \big) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}}$$ untuk semua $\displaystyle\phi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$. Hal ini mengingatkan kita pada hubungan dalam aljabar linear antara matriks $n\times n$ $A$ dan adjoinnya $\displaystyle A^\ast$, yaitu $\displaystyle\left\langle{A\boldsymbol{x}},{\boldsymbol{y}}\right\rangle = \left\langle{\boldsymbol{x}},{A^\ast\boldsymbol{y}}\right\rangle$ untuk semua $\displaystyle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^n$.

Solusi klasik dari (6.1.1) adalah fungsi $\displaystyle u\in C^m(\mathbb{R}^n)$ yang memenuhi (6.1.1). Solusi kuat, atau solusi dalam pengertian distribusi, dari (6.1.1) adalah fungsi $\displaystyle u\in L^1_{loc}(\mathbb{R}^n)$ yang memenuhi (6.1.2). Kadang-kadang hanya solusi kuat dari (6.1.1) yang dapat ditemukan.

Kami memperingatkan pembaca bahwa penggunaan istilah solusi kuat di sini tidak universal. Apa yang kami sebut solusi kuat sering disebut “solusi lemah” dalam literatur. Namun, kami memakai istilah “solusi lemah” khusus untuk solusi dari “masalah variasional” yang terkait dengan persamaan diferensial parsial, sebagaimana akan kita lihat di Bab 12 (rujukan ke bab mendatang). Konsep solusi kuat lebih umum daripada konsep “solusi lemah”, meskipun keduanya sering sama.

Gagasan sederhana untuk menyelesaikan persamaan integral seperti (6.1.2), alih-alih persamaan diferensial terkait seperti (6.1.1), telah memicu banyak penelitian dalam persamaan diferensial parsial selama abad kedua puluh. Teori distribusi yang disajikan secara singkat dalam bab ini dan ruang Sobolev yang akan kita pelajari pada bab mendatang lahir dari penelitian pada abad tersebut. Teori modern analisis numerik untuk persamaan diferensial parsial didasarkan pada teori distribusi dan ruang Sobolev.

Rujukan yang baik untuk materi dalam bab ini adalah ReeSim; RuFA. Dalam rujukan tersebut pembaca dapat menemukan bukti hasil-hasil yang kami nyatakan tanpa bukti dalam uraian berikut.