Solusi Fundamental dan Latihan yang Disarankan

Batas sumber. Bagian ini mengikat distributions.tex baris 1777-2397 pada sumber beku.

Solusi Fundamental

Penyajian kami didasarkan pada FoPDE dan menggunakan transformasi Fourier. Pendekatan ini bersifat analitik. Penyajian yang lebih elementer dan aljabar diberikan dalam Smo.

Misalkan $\displaystyle\Omega \subset \mathbb{R}^n$ suatu himpunan terbuka dan tinjau persamaan diferensial parsial linear

$L(\boldsymbol{x},\mathrm{D})u = \sum_{|\boldsymbol{\alpha}|\leq m} a_{\boldsymbol{\alpha}} \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u = f$ di mana $u:\Omega \rightarrow \mathbb{C}$ , fungsi $f:\Omega \rightarrow \mathbb{C}$ kontinu, dan $a_{\boldsymbol{\alpha}}:\Omega \rightarrow \mathbb{C}$ berkelas $\displaystyle C^{|\boldsymbol{\alpha}|}$ untuk setiap multiindeks yang muncul dalam penjumlahan tersebut.

Seperti pada pengantar bab ini, misalkan $\displaystyle L^\ast(\boldsymbol{x}, \mathrm{D})$ adalah adjoin dari $L(\boldsymbol{x}, \mathrm{D})$ yang didefinisikan oleh

$L^\ast(\boldsymbol{x},\mathrm{D})\phi = \sum_{|\boldsymbol{\alpha}|\leq m} (-1)^{|\boldsymbol{\alpha}|} \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} \left(a_{\boldsymbol{\alpha}} \phi \right) \quad , \quad \phi \in \mathcal{D}(\Omega) \ .$ Suatu solusi kuat atau solusi dalam pengertian distribusi dari (6.7.1) adalah distribusi $u$ pada $\Omega$ sedemikian sehingga

$\left\langle{L(\boldsymbol{x},\mathrm{D})u},{\phi}\right\rangle = \left\langle{u},{L^\ast(\boldsymbol{x},\mathrm{D})\phi}\right\rangle = \left\langle{f},{\phi}\right\rangle$ untuk semua $\phi \in \mathcal{D}(\Omega)$ .

Tinjau persamaan diferensial parsial linear berkoefisien konstan

$L(\boldsymbol{x},\mathrm{D})u = \sum_{|\boldsymbol{\alpha}|\leq m} a_{\boldsymbol{\alpha}} \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u = f \ ,$ di mana $a_{\boldsymbol{\alpha}} \in \mathbb{R}$ untuk setiap multiindeks $\boldsymbol{\alpha}$ yang muncul dalam penjumlahan, $\displaystyle u:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{C}$ , dan $\displaystyle f \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ .

Kita mengandaikan bahwa koordinat dipilih sedemikian sehingga $\displaystyle\{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n : x_n=0 \}$ bukan permukaan karakteristik. Hal ini mengakibatkan $a_{(0,0,\ldots,0,m)} \neq 0$ . Tanpa mengurangi keumuman, kita bahkan dapat mengandaikan bahwa $a_{(0,0,\ldots,0,m)} = 1$ . Kita akan menunjukkan bahwa terdapat solusi $\displaystyle u \in C^\infty(\mathbb{R}^n)$ untuk (6.7.2).

Dengan konvensi transformasi Fourier pada bagian sebelumnya, kita mempunyai $\displaystyle\widehat{L(\boldsymbol{x},\mathrm{D})u}(\boldsymbol{y}) = p(\boldsymbol{y})\hat{u}(\boldsymbol{y})$ , di mana

$p(\boldsymbol{y}) = \sum_{|\boldsymbol{\alpha}|\leq m} a_{\boldsymbol{\alpha}} (i\boldsymbol{y})^{\boldsymbol{\alpha}} \ .$ Untuk setiap $\displaystyle\breve{\boldsymbol{y}}\in \mathbb{R}^{n-1}$ , misalkan $\lambda_1(\breve{\boldsymbol{y}})$ , $\lambda_2(\breve{\boldsymbol{y}})$ , …, $\lambda_m(\breve{\boldsymbol{y}})$ merupakan suatu penomoran terukur untuk akar-akar, dengan menghitung multiplisitas, dari $\displaystyle g(z) = p(\breve{\boldsymbol{y}}, z)$ . Koefisien polinom ini bergantung kontinu pada $\breve{\boldsymbol{y}}$ ; Teorema Rouché menunjukkan bahwa akar-akarnya berubah secara kontinu sebagai multihimpunan, sehingga penomoran terukur semacam itu dapat dipilih.

Lema 6.7.1. Terdapat fungsi terukur $\displaystyle\kappa:\mathbb{R}^{n-1}\rightarrow [-m,m]$ sedemikian sehingga, untuk setiap $\breve{\boldsymbol{y}} \in \mathbb{R}^{n-1}$ ,

$\min_{1\leq j \leq m} \left\{ \left|\kappa(\breve{\boldsymbol{y}}) - \operatorname{Im}\lambda_j(\breve{\boldsymbol{y}})\right| \right\} \geq 1 \ .$

Bukti. Diberikan $\displaystyle\breve{\boldsymbol{y}} \in \mathbb{R}^{n-1}$ , terdapat sekurang-kurangnya satu interval terbuka $\displaystyle I_k = (2k-m-1, 2k-m+1)$ dengan $0\leq k \leq m$ yang tidak memuat $\operatorname{Im}\lambda_j(\breve{\boldsymbol{y}})$ untuk semua $j$ . Memang, terdapat $m+1$ interval terbuka yang saling lepas dan paling banyak $m$ akar. Definisikan

$V_k = \left\{ \breve{\boldsymbol{y}} \in \mathbb{R}^{n-1} : \operatorname{Im}\lambda_j(\breve{\boldsymbol{y}}) \not\in I_k \ \text{untuk} \ 1 \leq j \leq m \right\}$ untuk $0 \leq k \leq m$ . Kita mempunyai $\displaystyle\mathbb{R}^{n-1} = \bigcup_{0\leq k \leq m} V_k$ , dan himpunan-himpunan $V_k$ terukur karena

$V_k = \bigcap_{1\leq j \leq m} \lambda_j^{-1}\big(\mathbb{C}\setminus (\mathbb{R}+ i\,I_k)\big)$ dan fungsi-fungsi $\lambda_j$ terukur.

Fungsi $\kappa$ didefinisikan oleh $\displaystyle\kappa(\breve{\boldsymbol{y}}) = 2k-m$ jika $\displaystyle\breve{\boldsymbol{y}} \in V_k \setminus \bigcup_{0\leq j<k} V_j$ . Fungsi ini terukur karena $\displaystyle\kappa^{-1}\big(\{2k-m\}\big) = V_k \setminus \bigcup_{0\leq j<k} V_j$ adalah himpunan terukur. ◻

Lema 6.7.2. Misalkan $\displaystyle q(z) = z^m + g(z)$ , dengan $g$ suatu polinom berderajat kurang dari $m$ dan $g(0) \neq 0$ . Andaikan $\lambda_1$ , $\lambda_2$ , …, $\lambda_m$ adalah akar-akar $q$ . Maka $\displaystyle\left| q(0)\right| \geq \left(\frac{\lambda}{2}\right)^m$ , di mana $\displaystyle\lambda = \min_{1\leq j\leq m} |\lambda_j|$ .

Bukti. Faktorisasi $q$ adalah $\displaystyle q(z) = (z-\lambda_1)(z-\lambda_2)\ldots(z-\lambda_m)$ . Oleh karena itu,

$\left| q(0) \right| = \left| \prod_{j=1}^m \lambda_j \right| = \prod_{j=1}^m \left| \lambda_j \right| \geq \lambda^m \geq \left(\frac{\lambda}{2}\right)^m \ . \square$

Catatan. Suatu bukti yang lebih berliku tetapi menarik untuk lema sebelumnya diberikan dalam FoPDE. Faktorisasi $q$ adalah $\displaystyle q(z) = (z-\lambda_1)(z-\lambda_2)\ldots(z-\lambda_m)$ . Dengan demikian,

$\left| \frac{q(z)}{q(0)} \right| = \prod_{j=1}^m \left| 1 - \frac{z}{\lambda_j} \right| \leq 2^m$ untuk $|z|= \lambda$ karena $|z/\lambda_j| = \lambda/|\lambda_j| \leq 1$ , sehingga $z/\lambda_j \in \overline{B_1(0)} \subset \mathbb{C}$ dan $|z/\lambda_j - 1| \leq 2$ . Karena $\displaystyle m! = q^{(m)}(z)$ , Rumus Integral Cauchy memberikan

$\begin{aligned} m! & = |q^{(m)}(0)| = \left| \frac{m!}{2\pi i} \int_{|z|=\lambda} \frac{q(z)}{z^{m+1}} \,\mathrm{d}{z} \right| = \frac{m!}{2\pi} \left| \int_0^{2\pi} \frac{q(\lambda e^{i\theta})}{(\lambda e^{i\theta})^{m+1}} \lambda i e^{i\theta} \,\mathrm{d}{\theta}\right| \\ & \leq \frac{m!}{2\pi \lambda^m} \int_0^{2\pi} |q(\lambda e^{i\theta})| \,\mathrm{d}{\theta} \leq \frac{m!\, 2^m |q(0)|}{2\pi \lambda^m} \int_0^{2\pi} \,\mathrm{d}{\theta} = \frac{m!\, 2^m |q(0)|}{\lambda^m} \ . \end{aligned}$ Jadi, $\displaystyle\left(\frac{\lambda}{2}\right)^m \leq |q(0)|$ .

Teorema 6.7.4. Terdapat solusi berkelas $\displaystyle C^\infty$ untuk (6.7.2).

Bukti. Misalkan

$u(\boldsymbol{x}) = (2\pi)^{-n/2} \int_{\mathbb{R}^{n-1}} \int_{\operatorname{Im}y_n = \kappa(\breve{\boldsymbol{y}})} e^{i\, \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}} \frac{\hat{f}(\boldsymbol{y})}{p(\boldsymbol{y})} \,\mathrm{d}{y_n}\,\mathrm{d}{\breve{\boldsymbol{y}}}$ untuk $\displaystyle\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n$ , dengan $\kappa$ didefinisikan dalam Lema 6.7.1 dan $p$ didefinisikan dalam (6.7.3). Pada integral tersebut, kita memandang $y_n \in \mathbb{C}$ .

(i) Diberikan $\displaystyle\boldsymbol{y}=(\breve{\boldsymbol{y}},y_n) \in \mathbb{R}^{n-1}\times\mathbb{C}$ dengan $\operatorname{Im}y_n = \kappa(\breve{\boldsymbol{y}})$ , mula-mula kita buktikan bahwa $\displaystyle|p(\boldsymbol{y})| \geq 2^{-m}$ . Misalkan $q(z) = i^{-m}p(\breve{\boldsymbol{y}}, y_n+z)$ . Polinom $q$ monik, akar-akarnya sama dengan akar-akar $p(\breve{\boldsymbol{y}},y_n+z)$ , dan $|q(0)|=|p(\boldsymbol{y})|$ . Pemilihan $\kappa$ memastikan bahwa $y_n$ bukan akar $p(\breve{\boldsymbol{y}},\,\cdot)$ , sehingga $q(0)\neq0$ . Dari Lema 6.7.2, kita memperoleh

$\left| p(\boldsymbol{y}) \right| = \left| q(0) \right| \geq \left(\frac{\lambda}{2}\right)^m$ di mana $\displaystyle \lambda = \min_{1\leq j\leq m} \left\{ \left|\lambda_j\right| : \lambda_j \ \text{adalah akar dari} \ q \right\}$ . Namun, akar-akar polinom $q$ ini adalah $\lambda_j(\breve{\boldsymbol{y}}) - y_n$ , dengan $\lambda_j(\breve{\boldsymbol{y}})$ , untuk $1\leq j \leq m$ , akar-akar polinom $\displaystyle g(z) = p(\breve{\boldsymbol{y}}, z)$ . Oleh karena itu, jika $\operatorname{Im}y_n = \kappa(\breve{\boldsymbol{y}})$ , Lema 6.7.1 memberikan

$\lambda = \min_{1\leq j \leq m} \left| \lambda_j(\breve{\boldsymbol{y}}) - y_n \right| \geq \min_{1\leq j \leq m} \left|\operatorname{Im}\lambda_j(\breve{\boldsymbol{y}}) - \kappa(\breve{\boldsymbol{y}}) \right| \geq 1 \ .$

(ii) Menurut Proposisi 6.6.7, $\hat{f}$ meluruh cepat pada pita kompleks $\displaystyle S_m = \{\boldsymbol{y} = (\breve{\boldsymbol{y}},y_n) \in \mathbb{R}^{n-1}\times\mathbb{C}: |\operatorname{Im}y_n|\leq m\}$ . Pita tersebut memuat grafik integrasi

$\Gamma_\kappa = \{\boldsymbol{y} = (\breve{\boldsymbol{y}}, y_n) \in \mathbb{R}^{n-1}\times \mathbb{C}: \operatorname{Im}y_n = \kappa(\breve{\boldsymbol{y}}) \}$ karena jangkauan $\kappa$ adalah $[-m,m]$ .

Dari (i) dan (ii), pemetaan $\displaystyle\boldsymbol{y} \mapsto e^{i\, \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}} \frac{\hat{f}(\boldsymbol{y})}{p(\boldsymbol{y})}$ terbatas dan meluruh cepat pada $\Gamma_\kappa$ . Karena $|\operatorname{Im}y_n|\leq m$ pada grafik integrasi, nilai mutlak faktor eksponensial dalam definisi $u$ dibatasi oleh $\displaystyle e^{m|x_n|}$ . Akibatnya, $\displaystyle\boldsymbol{y} \mapsto \mathrm{D}_{\boldsymbol{x}}^{\boldsymbol{\alpha}} e^{i\, \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}} \frac{\hat{f}(\boldsymbol{y})}{p(\boldsymbol{y})}$ meluruh cepat pada $\Gamma_\kappa$ untuk setiap multiindeks $\boldsymbol{\alpha}$ . Karena itu, kita boleh mempertukarkan turunan dan integral dalam definisi $u$ . Jadi, $u$ berkelas $\displaystyle C^\infty$ .

Kita mempunyai

$\begin{aligned} (L(\boldsymbol{x},\mathrm{D})u)(\boldsymbol{x}) &= (2\pi)^{-n/2} \int_{\mathbb{R}^{n-1}} \int_{\operatorname{Im}y_n = \kappa(\breve{\boldsymbol{y}})} \left( L(\boldsymbol{x},\mathrm{D}) e^{i\, \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}} \right) \frac{\hat{f}(\boldsymbol{y})}{p(\boldsymbol{y})} \,\mathrm{d}{y_n}\,\mathrm{d}{\breve{\boldsymbol{y}}} \\ &= (2\pi)^{-n/2} \int_{\mathbb{R}^{n-1}} \int_{\operatorname{Im}y_n = \kappa(\breve{\boldsymbol{y}})} e^{i\, \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}} \hat{f}(\boldsymbol{y}) \,\mathrm{d}{y_n}\,\mathrm{d}{\breve{\boldsymbol{y}}} \end{aligned}$ untuk $\displaystyle\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n$ .

Karena $\displaystyle y_n \mapsto e^{i\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}} \hat{f}(\boldsymbol{y})$ holomorfik di seluruh bidang kompleks, Teorema Cauchy untuk integral sepanjang lintasan tertutup memberikan

$\int_{y_n \in \Gamma} e^{i\, \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}} \hat{f}(\boldsymbol{y}) \,\mathrm{d}{y_n} = 0 \ ,$ di mana $\Gamma = \Gamma_1 + \Gamma_2 - \Gamma_3 - \Gamma_4$ dengan $\Gamma_1 = \{ r+ 0 i : -R \leq r \leq R \}$ , $\Gamma_2 = \{ R+ s\kappa(\breve{\boldsymbol{y}}) i : 0 \leq s \leq 1 \}$ , $\Gamma_3 = \{ r+ \kappa(\breve{\boldsymbol{y}}) i : -R \leq r \leq R \}$ , dan $\Gamma_4 = \{ -R+ s\kappa(\breve{\boldsymbol{y}}) i : 0 \leq s \leq 1 \}$ (Gambar 6.2). Kita mempunyai

$\int_{y_n \in \Gamma_1} e^{i\, \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}} \hat{f}(\boldsymbol{y}) \,\mathrm{d}{y_n} \to \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\, \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}} \hat{f}(\boldsymbol{y}) \,\mathrm{d}{y_n} \quad \text{ketika} \quad R \to \infty$ dan

$\int_{y_n \in \Gamma_3} e^{i\, \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}} \hat{f}(\boldsymbol{y}) \,\mathrm{d}{y_n} \to \int_{\operatorname{Im}y_n = \kappa(\breve{\boldsymbol{y}})} e^{i\, \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}} \hat{f}(\boldsymbol{y}) \,\mathrm{d}{y_n} \quad \text{ketika} \quad R \to \infty \ .$ Selain itu, karena $\displaystyle\boldsymbol{y} \mapsto e^{i\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}} \hat{f}(\boldsymbol{y})$ meluruh cepat dalam arah real pada setiap pita dengan bagian imajiner terbatas, terdapat konstanta $C>0$ sedemikian sehingga $\displaystyle\left| e^{i\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}} \hat{f}(\boldsymbol{y}) \right| \leq C/(1+\|\operatorname{Re}\boldsymbol{y}\|_2^2)$ untuk semua $\boldsymbol{y} \in S_m$ . Jadi, untuk $R>0$ , kita mempunyai

$\begin{aligned} \left| \int_{y_n \in \Gamma_2} e^{i\, \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}} \hat{f}(\boldsymbol{y}) \,\mathrm{d}{y_n} \right| & \leq C |\kappa(\breve{\boldsymbol{y}})| \int_0^1 \frac{1}{1+\|\breve{\boldsymbol{y}}\|_2^2+R^2} \,\mathrm{d}{s} \\ & \leq \frac{Cm}{1+R^2} \to 0 \quad \text{ketika} \quad R \to \infty \end{aligned}$ dan, dengan cara serupa,

$\begin{aligned} \left| \int_{y_n \in \Gamma_4} e^{i\, \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}} \hat{f}(\boldsymbol{y}) \,\mathrm{d}{y_n} \right| &\leq C |\kappa(\breve{\boldsymbol{y}})| \int_0^1 \frac{1}{1+\|\breve{\boldsymbol{y}}\|_2^2+R^2} \,\mathrm{d}{s} \\ & \leq \frac{Cm}{1+R^2} \to 0 \quad \text{ketika} \quad R \to \infty \ . \end{aligned}$ Oleh karena itu,

$\int_{\operatorname{Im}y_n = \kappa(\breve{\boldsymbol{y}})} e^{i\, \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}} \hat{f}(\boldsymbol{y}) \,\mathrm{d}{y_n} = \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\, \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}} \hat{f}(\boldsymbol{y}) \,\mathrm{d}{y_n} \ .$ Dari (6.7.4) diperoleh

$(L(\boldsymbol{x},\mathrm{D})u)(\boldsymbol{x}) = \int_{\mathbb{R}^n} e^{i\, \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}} \hat{f}(\boldsymbol{y}) \,\mathrm{d}{\mu(\boldsymbol{y})} = f(\boldsymbol{x})$ untuk $\displaystyle\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n$ , di mana kita telah menggunakan rumus inversi Fourier. ◻

Kontur persegi panjang kompleks untuk menggeser lintasan integrasi; sisi-sisinya diberi label Gamma_1 sampai Gamma_4.

Definisi. Suatu solusi fundamental bagi operator diferensial $L(\boldsymbol{x},\mathrm{D})$ yang didefinisikan dalam (6.7.2) adalah distribusi $F$ pada $\displaystyle\mathbb{R}^n$ sedemikian sehingga $L(\boldsymbol{x},\mathrm{D})F = \delta$ .

Contoh. Misalkan $\displaystyle R = \{\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^2 : x_i > 0 \ \text{untuk} \ i=1,2 \}$ dan $\displaystyle L(\boldsymbol{x},\mathrm{D}) = \mathrm{D}^{(1,1)} = \frac{\displaystyle \partial^{2}{}}{\displaystyle \partial x_1^{} \partial x_2^{}}$ . Maka $\mathcal{X}_R$ merupakan solusi fundamental bagi operator diferensial $L(\boldsymbol{x},\mathrm{D})$ karena

$\begin{aligned} \left\langle{L(\boldsymbol{x},\mathrm{D}) \mathcal{X}_R},{\phi}\right\rangle &= \left\langle{\mathcal{X}_R},{\mathrm{D}^{(1,1)} \phi}\right\rangle \\ &= \int_0^\infty \int_0^\infty \frac{\displaystyle \partial^{2}{\phi}}{\displaystyle \partial x_1^{} \partial x_2^{}}(x_1,x_2) \,\mathrm{d}{x_2}\,\mathrm{d}{x_1} \\ &= \int_0^\infty \left( \frac{\partial{\phi}}{\partial x_1}(x_1,x_2) \bigg|_0^\infty\right)\,\mathrm{d}{x_1} \\ &= -\int_0^\infty \frac{\partial{\phi}}{\partial x_1}(x_1,0) \,\mathrm{d}{x_1} \\ &= -\phi(x_1,0) \bigg|_0^\infty = \phi(0,0) = \delta(\phi) \end{aligned}$ untuk semua $\displaystyle\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^2)$ .

Catatan. Jika $\displaystyle F\in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ merupakan solusi fundamental bagi $L(\boldsymbol{x},\mathrm{D})$ , maka suatu solusi dari $L(\boldsymbol{x},\mathrm{D})u = f$ , dengan $\displaystyle f \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ , adalah distribusi $u = F \ast f$ karena

$L(\boldsymbol{x},\mathrm{D}) u = L(\boldsymbol{x},\mathrm{D})(F \ast f) = (L(\boldsymbol{x},\mathrm{D}) F) \ast f = \delta \ast f = f \ .$

Teorema 6.7.8. Setiap operator diferensial linear dengan koefisien konstan

$L(\boldsymbol{x},\mathrm{D}) = \sum_{|\boldsymbol{\alpha}|\leq m} a_{\boldsymbol{\alpha}} \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}}$ memiliki solusi fundamental pada $\displaystyle\mathbb{R}^n$ .

Bukti. Kita mendefinisikan suatu fungsional linear $F$ pada $\displaystyle\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ dengan

$F(\phi) = (2\pi)^{-n/2} \int_{\mathbb{R}^{n-1}} \int_{\operatorname{Im}y_n = \kappa(\breve{\boldsymbol{y}})} \frac{\hat{\phi}^\vee(\boldsymbol{y})}{p(\boldsymbol{y})}\,\mathrm{d}{y_n}\,\mathrm{d}{\breve{\boldsymbol{y}}} \quad , \quad \phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n) \ ,$ di mana $\kappa$ didefinisikan dalam Lema 6.7.1 dan $p$ didefinisikan dalam (6.7.3). Pada integral di atas, kita menganggap bahwa $y_n \in \mathbb{C}$ . Untuk membuktikan bahwa $\displaystyle F \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ , kita harus menunjukkan bahwa $F$ kontinu pada $\displaystyle\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ . Kita juga akan menunjukkan bahwa $L(\boldsymbol{x},\mathrm{D})F = \delta$ .

(i) Misalkan $\displaystyle K \subset \mathbb{R}^n$ adalah himpunan kompak. Kita akan mencari suatu konstanta $C_K$ dan suatu bilangan bulat $N_K$ sedemikian sehingga

$\left|F(\phi)\right| \leq C_K \sum_{|\boldsymbol{\alpha}|\leq N_K} \|\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} \phi\|_{\infty,K}$ untuk semua $\phi \in \mathcal{D}_K$ . Proposisi 6.3.1 kemudian menyiratkan bahwa $F$ kontinu pada $\displaystyle\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ , sehingga $\displaystyle F\in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ .

Seperti dalam bukti Teorema 6.7.4, kita dapat menggunakan Proposisi 6.6.7 untuk menyimpulkan bahwa $\hat{\phi}$ meluruh cepat pada himpunan $\displaystyle\{\boldsymbol{y} \in \mathbb{C}^n : \|\operatorname{Im}\boldsymbol{y}\|_2 \leq m \}$ . Selain itu, dalam bukti Teorema 6.7.4 telah kita tunjukkan bahwa $\displaystyle\left|p(\boldsymbol{y})\right| \geq 2^{-m}$ untuk $\operatorname{Im}y_n = \kappa(\breve{\boldsymbol{y}})$ . Oleh karena itu,

$\begin{aligned} &\left| F(\phi) \right| \leq 2^m(2\pi)^{-n/2} \int_{\mathbb{R}^{n-1}} \int_{-\infty}^\infty \left| \hat{\phi}^\vee(\breve{\boldsymbol{y}},r + \kappa(\breve{\boldsymbol{y}})\,i) \right| \,\mathrm{d}{r}\,\mathrm{d}{\breve{\boldsymbol{y}}} \\ &\quad\leq \underbrace{ 2^m(2\pi)^{-n/2} \int_{\mathbb{R}^{n-1}} \int_{-\infty}^\infty \left( 1+\|\breve{\boldsymbol{y}}\|^2 + r^2\right)^{-n-1} \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\breve{\boldsymbol{y}}}}_{=C_2} \\ &\qquad{}\times \sup_{\|\operatorname{Im}\boldsymbol{y}\| \leq m } \left\{ \left( 1+ \|\boldsymbol{y}\|^2 \right)^{n+1} \left| \hat{\phi}^\vee(\boldsymbol{y}) \right| \right\} \\ &\quad = C_2 \sup_{\|\operatorname{Im}\boldsymbol{y}\| \leq m} \left\{ \left( 1+\|\boldsymbol{y}\|^2 \right)^{n+1} \left| \hat{\phi}^\vee(\boldsymbol{y}) \right| \right\} \\ &\quad \leq C_3 \sum_{|\boldsymbol{\alpha}|\leq 2(n+1)} \|\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} \phi\|_\infty \end{aligned}$ untuk semua $\phi \in \mathcal{D}_K$ dan suatu konstanta $C_3$ . Ketaksamaan terakhir di atas dibuktikan dengan menggunakan hubungan

$\left| \boldsymbol{y}^{\boldsymbol{\alpha}} \hat{\phi}(\boldsymbol{y}) \right| \leq e^{r\|\operatorname{Im}\boldsymbol{y}\|_2}\,\int_{\mathbb{R}^n} \left|\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} \phi(\boldsymbol{x})\right| \,\mathrm{d}{\mu(\boldsymbol{x})}$ untuk $\displaystyle\boldsymbol{y} \in \mathbb{C}^n$ dan $\displaystyle\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{N}^n$ yang telah kita peroleh pada (6.6.4) dalam bukti Proposisi 6.6.7, di mana $r$ dipilih sedemikian sehingga $K \subset B_r(\boldsymbol{0})$ . Dengan demikian, konstanta $C_3$ bergantung pada $K$ .

(ii) Kita mempunyai $\displaystyle\left\langle{L(\boldsymbol{x},\mathrm{D}) F},{\phi}\right\rangle = \left\langle{F},{L^\ast(\boldsymbol{x},\mathrm{D}) \phi}\right\rangle$ untuk $\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ , di mana
$\displaystyle L^\ast(\boldsymbol{x},\mathrm{D}) = \sum_{|\boldsymbol{\alpha}|\leq m} (-1)^{|\boldsymbol{\alpha}|} a_{\boldsymbol{\alpha}} \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}}$ . Misalkan $\displaystyle p^\ast(\boldsymbol{y}) = \sum_{|\boldsymbol{\alpha}|\leq m} a_{\boldsymbol{\alpha}} (-i \boldsymbol{y})^{\boldsymbol{\alpha}}$ . Maka

$((L^\ast(\boldsymbol{x},\mathrm{D}) \phi))^\wedge(-\boldsymbol{y}) = p^\ast(-\boldsymbol{y}) \hat{\phi}(-\boldsymbol{y}) = p(\boldsymbol{y}) \hat{\phi}(-\boldsymbol{y})$ untuk $\displaystyle\boldsymbol{y}\in \mathbb{R}^n$ . Oleh karena itu,

$\begin{aligned} \left\langle{L(\boldsymbol{x},\mathrm{D})F},{\phi}\right\rangle &= \left\langle{F},{L^\ast(\boldsymbol{x},\mathrm{D})\phi}\right\rangle \\ &= (2\pi)^{-n/2} \int_{\mathbb{R}^{n-1}} \int_{\operatorname{Im}y_n = \kappa(\breve{\boldsymbol{y}})} \frac{(L^\ast(\boldsymbol{x},\mathrm{D})\phi)^\wedge(-\boldsymbol{y})}{p(\boldsymbol{y})} \,\mathrm{d}{y_n}\,\mathrm{d}{\breve{\boldsymbol{y}}} \\ &= (2\pi)^{-n/2} \int_{\mathbb{R}^{n-1}} \int_{\operatorname{Im}y_n = \kappa(\breve{\boldsymbol{y}})} \hat{\phi}(-\boldsymbol{y}) \,\mathrm{d}{y_n}\,\mathrm{d}{\breve{\boldsymbol{y}}} \\ &= (2\pi)^{-n/2} \int_{\mathbb{R}^n} \hat{\phi}(-\boldsymbol{y}) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{y}} \\ &= \int_{\mathbb{R}^n} \hat{\phi}(\boldsymbol{y}) \,\mathrm{d}{\mu(\boldsymbol{y})} = \phi(\boldsymbol{0}) = \delta(\phi) \end{aligned}$ untuk semua $\displaystyle\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ . Kesamaan keempat diperoleh dari teorema Cauchy untuk integral sepanjang lintasan tertutup, seperti yang telah kita gunakan, misalnya, dalam Teorema 6.7.4. Perhatikan bahwa $\hat{\phi}$ merupakan restriksi dari suatu fungsi holomorfik di seluruh ruang kompleks yang meluruh cepat pada himpunan $\displaystyle\{ \boldsymbol{y} \in \mathbb{C}^n : \|\operatorname{Im}\boldsymbol{y}\|_2 \leq m \}$ menurut Proposisi 6.6.7. Kesamaan kedua dari belakang merupakan akibat rumus inversi Fourier. ◻

Definisi. Misalkan $\Omega$ himpunan bagian terbuka dari $\displaystyle\mathbb{R}^n$ . Operator diferensial $\displaystyle L(\boldsymbol{x},\mathrm{D})u = \sum_{|\boldsymbol{\alpha}|\leq m} a_{\boldsymbol{\alpha}} \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u$ , dengan $\displaystyle a_{\boldsymbol{\alpha}}\in C^\infty(\Omega)$ , disebut hipoeliptik jika $\displaystyle L(\boldsymbol{x},\mathrm{D})u \in C^\infty(\Omega)$ mengakibatkan $\displaystyle u \in C^\infty(\Omega)$ .

Ingat bahwa kita mengatakan $u \in \mathcal{D}'(\Omega)$ berkelas $\displaystyle C^\infty(\Omega)$ dan menulis $\displaystyle u \in C^\infty(\Omega)$ jika terdapat fungsi $\displaystyle f \in C^\infty(\Omega)$ sedemikian sehingga $\displaystyle u(\phi) = \int_{\Omega} f(x) \phi(x) \,\mathrm{d}{x}$ untuk setiap $\phi \in \mathcal{D}(\Omega)$ .

Lema berikut akan digunakan untuk memberikan syarat cukup yang menentukan apakah suatu operator diferensial hipoeliptik.

Lema 6.7.10. Jika $\displaystyle f \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ memenuhi $\displaystyle f\in C^\infty(\mathbb{R}^n\setminus \{\boldsymbol{0}\})$ dan $\displaystyle v \in \mathcal{E}'(\mathbb{R}^n)$ , maka $\displaystyle f\ast v \in C^\infty(\mathbb{R}^n\setminus \operatorname{supp}v)$ .

Bukti. Ambil $\boldsymbol{z} \not\in \operatorname{supp}v$ dan pilih $\epsilon >0$ sedemikian sehingga $\displaystyle B_\epsilon(\boldsymbol{z}) \cap \operatorname{supp}v = \emptyset$ . Pilih $\displaystyle\psi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ sedemikian sehingga $\psi(\boldsymbol{x}) = 1$ untuk $\displaystyle\boldsymbol{x} \in B_{\epsilon/4}(\boldsymbol{0})$ dan $\displaystyle\operatorname{supp}\psi \subset B_{\epsilon/2}(\boldsymbol{0})$ .

Maka $f\ast v = (\psi f)\ast v + ( (1-\psi)f) \ast v$ , dengan $\displaystyle((1-\psi) f) \ast v \in C^\infty(\mathbb{R}^n)$ menurut butir (3) Proposisi 6.5.5 dan Proposisi 6.5.7, karena $\displaystyle(1-\psi) f \in C^\infty(\mathbb{R}^n)$ . Selain itu,

$\operatorname{supp}\big( (\psi f)\ast v\big) \subset D = \left\{ \boldsymbol{x} + \boldsymbol{y} : \boldsymbol{x} \in \operatorname{supp}\psi \ , \ \boldsymbol{y} \in \operatorname{supp}v \right\}$ dan $\displaystyle D \cap B_{\epsilon/2}(\boldsymbol{z}) = \emptyset$ . Dengan demikian, $((\psi f)\ast v)(\phi) = 0$ untuk setiap $\displaystyle\phi \in \mathcal{D}\left(B_{\epsilon/2}(\boldsymbol{z})\right)$ . Oleh karena itu, $\displaystyle f\ast v = ((1-\psi)f) \ast v$ pada $\displaystyle\mathcal{D}\left(B_{\epsilon/2}(\boldsymbol{z})\right)$ , sehingga $\displaystyle f\ast v \in C^\infty\left(B_{\epsilon/2}(\boldsymbol{z})\right)$ .

Karena $\boldsymbol{z} \not\in \operatorname{supp}v$ sebarang, kita memperoleh $\displaystyle f\ast v \in C^\infty(\mathbb{R}^n\setminus \operatorname{supp}v)$ . ◻

Teorema 6.7.11. Pertimbangkan operator diferensial

$L(\boldsymbol{x},\mathrm{D})u = \sum_{|\boldsymbol{\alpha}|\leq m} a_{\boldsymbol{\alpha}} \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u \ ,$ dengan $a_{\boldsymbol{\alpha}} \in \mathbb{R}$ untuk setiap multiindeks $\boldsymbol{\alpha}$ . Pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen.

Terdapat solusi fundamental dari $L(\boldsymbol{x},\mathrm{D})$ yang berkelas $\displaystyle C^\infty$ pada $\displaystyle\mathbb{R}^n\setminus \{\boldsymbol{0}\}$ .
Setiap solusi fundamental dari $L(\boldsymbol{x},\mathrm{D})$ berkelas $\displaystyle C^\infty$ pada $\displaystyle\mathbb{R}^n\setminus \{\boldsymbol{0}\}$ .
$L(\boldsymbol{x},\mathrm{D})$ hipoeliptik.

Bukti. ( $\mathbf{(3)\Rightarrow (2)}$ ) Jika $F$ adalah solusi fundamental, maka $\displaystyle L(\boldsymbol{x},\mathrm{D})F = \delta \in C^\infty(\mathbb{R}^n \setminus \{\boldsymbol{0}\})$ , dan (3) mengakibatkan $\displaystyle F \in C^\infty(\mathbb{R}^n \setminus \{\boldsymbol{0}\})$ .

( $\mathbf{(2) \Rightarrow (1)}$ ) Hal ini langsung mengikuti Teorema 6.7.8.

( $\mathbf{(1) \Rightarrow (3)}$ ) Misalkan $\displaystyle F \in C^\infty(\mathbb{R}^n\setminus \{\boldsymbol{0}\})$ merupakan solusi fundamental dari $L(\boldsymbol{x},\mathrm{D})$ . Misalkan $u\in \mathcal{D}'(\Omega)$ sedemikian sehingga $\displaystyle L(\boldsymbol{x},\mathrm{D})u \in C^\infty(\Omega)$ .

Untuk $\boldsymbol{z} \in \Omega$ dan $\epsilon >0$ sedemikian sehingga $\displaystyle B_\epsilon(\boldsymbol{z}) \subset \Omega$ , kita akan membuktikan bahwa $\displaystyle u \in C^\infty(B_{\epsilon/2}(\boldsymbol{z}))$ . Pilih $\displaystyle\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ sedemikian sehingga $\displaystyle\operatorname{supp}\phi \subset B_\epsilon(\boldsymbol{z})$ dan $\phi(\boldsymbol{x})=1$ untuk setiap $\displaystyle\boldsymbol{x} \in B_{\epsilon/2}(\boldsymbol{z})$ .

Kita mempunyai

$L(\boldsymbol{x},\mathrm{D})(\phi u) = \phi\, L(\boldsymbol{x},\mathrm{D})u + v \ ,$ di mana $v$ adalah ekspresi yang melibatkan turunan parsial dari $\phi$ (tetapi bukan $\phi$ itu sendiri) dan turunan parsial dari $u$ yang berorde kurang dari $m$ .

Menurut butir (1) Proposisi 6.5.5, $\displaystyle F\ast (\phi \, L(\boldsymbol{x},\mathrm{D})u) \in C^\infty(\mathbb{R}^n)$ karena $\displaystyle\phi\,L(\boldsymbol{x},\mathrm{D})u \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ .

Kita mempunyai $v(\eta) = 0$ untuk setiap $\displaystyle\eta \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ dengan $\displaystyle\operatorname{supp}\eta \subset \overline{B_{\epsilon/2}(\boldsymbol{z})} \cup \left( \mathbb{R}^n \setminus B_\epsilon(\boldsymbol{z}) \right)$ , karena $\phi(\boldsymbol{x})=0$ untuk $\displaystyle\boldsymbol{x} \not\in B_\epsilon(\boldsymbol{z})$ dan $\phi(\boldsymbol{x})=1$ untuk $\displaystyle\boldsymbol{x} \in B_{\epsilon/2}(\boldsymbol{z})$ . Oleh karena itu, dari Lema 6.7.10, kita memperoleh $\displaystyle F\ast v \in C^\infty(B_{\epsilon/2}(\boldsymbol{z}))$ karena $\displaystyle\operatorname{supp}v \subset \overline{B_\epsilon(\boldsymbol{z})} \setminus B_{\epsilon/2}(\boldsymbol{z})$ .

Dengan demikian,

$\begin{aligned} \phi u &= \delta \ast (\phi u) = \big(L(\boldsymbol{x},\mathrm{D}) F\big) \ast (\phi u) = F \ast \big( L(\boldsymbol{x},\mathrm{D})(\phi u) \big) \\ &= F \ast (\phi L(\boldsymbol{x},\mathrm{D}) u) + F\ast v \in C^\infty(B_{\epsilon/2}(\boldsymbol{z})) \end{aligned}$ dan, karena $\phi(\boldsymbol{x}) = 1$ untuk $\displaystyle\boldsymbol{x} \in B_{\epsilon/2}(\boldsymbol{z})$ , kita memperoleh $\displaystyle u \in C^\infty(B_{\epsilon/2}(\boldsymbol{z}))$ . ◻

Latihan

Kami hanya menyarankan soal-soal elementer tentang distribusi dan transformasi Fourier fungsi. Untuk soal-soal yang lebih lanjut, khususnya yang berkaitan dengan transformasi Fourier distribusi, kami menyarankan ReeSim; RuFA.

Catatan yang dibuat dalam bagian latihan Bab 13 (rujukan ke bab mendatang) layak diulangi di sini. Beberapa soal di bawah merujuk kepada solusi lemah persamaan diferensial parsial, yang dalam buku ini berarti solusi dalam pengertian distribusi atau solusi kuat. Ungkapan “solusi lemah” dicadangkan untuk solusi dari masalah variasional yang akan kita pelajari dalam Bab 12 (rujukan ke bab mendatang).

Latihan yang disarankan:

Dalam J: soal nomor 1 pada Bagian 3.6; semua soal pada Bagian 1.9.
Dalam McO: soal nomor 3 sampai 5 dan 7 sampai 9 pada Bagian 2.3.
Dalam Str: semua soal pada Bagian 12.1 dan 12.4 (Peringatan: definisi transformasi Fourier dalam Str sedikit berbeda dari definisi yang diberikan di atas).

Atribusi dan hak. Karya sumber oleh Benoit Dionne dilisensikan berdasarkan Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International. Terjemahan dan perubahan yang dicatat menggunakan lisensi komponen yang sama. Produksi terjemahan dan edisi dibantu OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; semua kredit penulis dan kontributor manusia tetap dipertahankan. Ini bukan terbitan atau dukungan resmi Benoit Dionne maupun University of Ottawa.