Turunan Distribusi

Batas sumber. Bagian ini mengikat distributions.tex baris 404-760 pada sumber beku.

Turunan Distribusi

Proposisi 6.4.1. Jika $u \in \mathcal{D}'(\Omega)$ dan $\boldsymbol{\alpha}$ adalah multiindeks, maka

$v(\phi) = (-1)^{|\boldsymbol{\alpha}|}u(\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} \phi) \quad , \quad \phi \in \mathcal{D}(\Omega) \ ,$ mendefinisikan distribusi pada $\Omega$ . Distribusi ini kita notasikan dengan $\displaystyle\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u$ , yaitu turunan parsial dari $u\in \mathcal{D}'(\Omega)$ .

Bukti. (i) $\displaystyle(\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u)(\phi)$ terdefinisi dengan baik untuk setiap $\phi \in \mathcal{D}(\Omega)$ karena $\displaystyle\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} \phi \in \mathcal{D}(\Omega)$ untuk setiap $\phi\in \mathcal{D}(\Omega)$ .

(ii) Mudah ditunjukkan bahwa $\displaystyle\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u$ adalah fungsional linear.

(iii) Untuk membuktikan bahwa $\displaystyle\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u$ kontinu, kita menunjukkan bahwa $\displaystyle\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u$ memenuhi Proposisi 6.3.1.

Misalkan $K$ adalah himpunan bagian kompak dari $\Omega$ . Karena $u\in \mathcal{D}'(\Omega)$ , dari Proposisi 6.3.1 terdapat konstanta $C_K$ dan bilangan bulat $N_K$ sedemikian sehingga $\displaystyle\left| u(\phi) \right| \leq C_K \max_{|\boldsymbol{\beta}|\leq N_K} \left\| \mathrm{D}^{\boldsymbol{\beta}} \phi \right\|_{\infty,K}$ untuk setiap $\phi \in \mathcal{D}_K$ . Oleh karena itu,

$\left| (\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u)(\phi) \right| = \left| (-1)^{|\boldsymbol{\alpha}|} u(\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} \phi) \right| \leq C_K \max_{|\boldsymbol{\beta}|\leq N_K} \left\| \mathrm{D}^{\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}} \phi \right\|_{\infty,K} \leq C_K \max_{|\boldsymbol{\beta}|\leq N_K+|\boldsymbol{\alpha}|} \left\| \mathrm{D}^{\boldsymbol{\beta}} \phi \right\|_{\infty,K}$ untuk setiap $\phi \in \mathcal{D}_K$ . ◻

Distribusi dapat didiferensialkan tak hingga kali. Contoh berikut menjelaskan alasan di balik definisi turunan ini.

Contoh. Misalkan $\displaystyle u \in C^k(\mathbb{R}^n)$ . Tunjukkan bahwa turunan parsial $\displaystyle\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u$ dari distribusi $u$ pada $\displaystyle\mathbb{R}^n$ , dengan $|\boldsymbol{\alpha}|\leq k$ , bersesuaian dengan turunan parsial klasik dari fungsi $u$ . Lebih tepatnya, tunjukkan bahwa turunan distribusi $u$ pada $\displaystyle\mathbb{R}^n$ adalah distribusi yang diberikan oleh turunan klasik fungsi $u$ .

Perhatikan bahwa $\displaystyle u \in C^k(\mathbb{R}^n)$ menyiratkan bahwa turunan klasik $\displaystyle\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u$ dari $u$ berada di $\displaystyle C(\mathbb{R}^n)$ untuk setiap $|\boldsymbol{\alpha}|\leq k$ , sehingga juga berada di $\displaystyle L_{loc}^1(\mathbb{R}^n)$ untuk setiap $|\boldsymbol{\alpha}|\leq k$ . Dengan demikian, turunan klasik $\displaystyle\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u$ dapat mendefinisikan distribusi untuk setiap $|\boldsymbol{\alpha}|\leq k$ .

Misalkan $\boldsymbol{\alpha} = (1,0,\ldots,0)$ ; penalaran untuk turunan parsial orde pertama lainnya serupa. Ada dua cara memandang $\displaystyle\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u$ .

(i) Fungsi $u$ dapat digunakan untuk mendefinisikan distribusi pada $\displaystyle\mathbb{R}^n$ karena $\displaystyle u\in L_{loc}^1(\mathbb{R}^n)$ . Maka, turunan $u$ dalam pengertian distribusi adalah

$\left\langle{\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u},{\phi}\right\rangle = -\left\langle{u},{\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} \phi}\right\rangle = -\int_{\mathbb{R}^n} u(\boldsymbol{x}) \frac{\partial{\phi}}{\partial x_1}(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} \quad , \quad \phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n) \ .$

(ii) Fungsi $\displaystyle\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u$ dapat digunakan untuk mendefinisikan distribusi pada $\displaystyle\mathbb{R}^n$ karena $\displaystyle\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u\in L_{loc}^1(\mathbb{R}^n)$ . Jadi, menurut definisi,

$\left\langle{\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u},{\phi}\right\rangle = \int_{\mathbb{R}^n} (\mathrm{D}_{x_1}u)(\boldsymbol{x}) \phi(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} \quad , \quad \phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n) \ .$

Namun, untuk setiap $\displaystyle\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ , kita mempunyai

$\begin{aligned} &-\int_{\mathbb{R}^n} u(\boldsymbol{x}) \frac{\partial{\phi}}{\partial x_1}(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} = -\int_{\mathbb{R}^{n-1}} \left( \int_{-\infty}^\infty u(x_1,\boldsymbol{y}) \frac{\partial{\phi}}{\partial x_1}(x_1,\boldsymbol{y})\,\mathrm{d}{x_1}\right) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{y}} \\ &\qquad = -\int_{\mathbb{R}^{n-1}} \left( \lim_{x_1\rightarrow +\infty}u(x_1,\boldsymbol{y})\phi(x_1,\boldsymbol{y}) - \lim_{x_1\rightarrow -\infty}u(x_1,\boldsymbol{y})\phi(x_1,\boldsymbol{y}) \right. \\ &\qquad \qquad \left. - \int_{-\infty}^\infty \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u(x_1,\boldsymbol{y})\phi(x_1,\boldsymbol{y})\,\mathrm{d}{x_1} \right) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{y}}\\ &\qquad = \int_{\mathbb{R}^{n-1}} \left(\int_{-\infty}^\infty \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u(x_1,\boldsymbol{y})\phi(x_1,\boldsymbol{y})\,\mathrm{d}{x_1} \right) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{y}} = \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u(\boldsymbol{x})\phi(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} \ , \end{aligned}$ di mana kita telah menggunakan integrasi parsial untuk fungsi $u$ dan $\phi$ yang dapat didiferensialkan, serta

$\lim_{x_1\rightarrow +\infty}u(x_1,\boldsymbol{y})\phi(x_1,\boldsymbol{y}) = \lim_{x_1\rightarrow -\infty}u(x_1,\boldsymbol{y})\phi(x_1,\boldsymbol{y}) = 0$ karena $\phi$ berdukungan kompak, sehingga dukungan $\phi$ terbatas.

Jadi, aksi turunan distribusi $u$ yang diberikan pada (i) sama dengan aksi distribusi $\displaystyle\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u$ yang diberikan pada (ii) di $\displaystyle\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ .

Dengan induksi, dapat ditunjukkan bahwa hal ini juga berlaku untuk turunan parsial berorde lebih tinggi.

Contoh. Misalkan $\displaystyle k(x_1,x_2) = \frac{1}{2\pi(x_1 + i x_2)}$ dan $L = \mathrm{D}_{x_1} + i \mathrm{D}_{x_2}$ .

Untuk $\displaystyle\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^2)$ , kita mempunyai

$\begin{aligned} \left\langle{L k},{\phi}\right\rangle &= - \left\langle{k},{L\phi}\right\rangle = \frac{-1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}^2} \left( \frac{\partial{\phi}}{\partial x_1} + i \frac{\partial{\phi}}{\partial x_2} \right) \frac{1}{x_1 + i x_2} \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} \\ &= \lim_{r\to 0} \frac{-1}{2\pi} \int_{\|\boldsymbol{x}\|_2\geq r} \left( \frac{\partial{\phi}}{\partial x_1} + i \frac{\partial{\phi}}{\partial x_2} \right) \frac{1}{x_1 + i x_2} \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} \ , \end{aligned}$ di mana limit tersebut dibenarkan oleh Teorema Konvergensi Terdominasi Lebesgue. Pilih $R>r$ cukup besar sehingga $\operatorname{supp}\phi$ berada di dalam cakram $\displaystyle\|\boldsymbol{x}\|_2<R$ . Dengan menerapkan Teorema Green pada anulus $\displaystyle r\leq\|\boldsymbol{x}\|_2\leq R$ , suku batas luar lenyap dan kita memperoleh

$\begin{aligned} \int_{\|\boldsymbol{x}\|_2\geq r} \left( \frac{\partial{\phi}}{\partial x_1} + i \frac{\partial{\phi}}{\partial x_2} \right) \frac{1}{x_1 + i x_2} \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} &= -i \int_{\|\boldsymbol{x}\|_2\geq r} \left( \frac{\partial}{\partial x_1}{\left(\frac{i \phi}{x_1 + i x_2}\right)} - \frac{\partial}{\partial x_2}{\left(\frac{\phi}{x_1 + i x_2}\right)} \right) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} \\ &= -i \int_{\|\boldsymbol{x}\|_2 = r} \left(\frac{\phi}{x_1 + i x_2} \,\mathrm{d}{x_1} + \frac{i\phi}{x_1 + i x_2} \,\mathrm{d}{x_2}\right) \end{aligned}$ di mana lingkaran $\|\boldsymbol{x}\|_2 = r$ berorientasi searah jarum jam. Jika kita menggunakan representasi parametrik $(x_1,x_2) = (r\cos(\theta),r\sin(\theta))$ untuk $0 \leq \theta \leq 2\pi$ , yaitu representasi parametrik yang terkait dengan orientasi berlawanan arah jarum jam pada lingkaran tersebut, kita memperoleh

$\begin{aligned} &\int_{\|\boldsymbol{x}\|_2\geq r} \left( \frac{\partial{\phi}}{\partial x_1} + i \frac{\partial{\phi}}{\partial x_2} \right) \frac{1}{x_1 + i x_2} \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} = i \int_0^{2\pi} \frac{\phi(r\cos(\theta),r\sin(\theta))}{r e^{i \theta}} \left( -r \sin(\theta) + i r \cos(\theta) \right) \,\mathrm{d}{\theta} \\ &\qquad \qquad = - \int_0^{2\pi} \phi(r\cos(\theta),r\sin(\theta)) \,\mathrm{d}{\theta} \ . \end{aligned}$ Dengan demikian,

$\left\langle{L k},{\phi}\right\rangle = \lim_{r\to 0} \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \phi(r\cos(\theta),r\sin(\theta)) \,\mathrm{d}{\theta} = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \phi(\boldsymbol{0}) \,\mathrm{d}{\theta} = \phi(\boldsymbol{0}) = \delta(\phi)$ untuk setiap $\displaystyle\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^2)$ . Ini berarti bahwa $L k = \delta$ .

Lema 6.4.4. Misalkan $]a,b[$ adalah interval terbuka di $\mathbb{R}$ . Jika $\displaystyle f \in L^1_{loc}(]a,b[)$ memenuhi

$\left\langle{f},{\phi'}\right\rangle = \int_a^b f(x) \phi'(x) \,\mathrm{d}{x} = 0$ untuk setiap $\phi \in \mathcal{D}(]a,b[)$ , maka terdapat konstanta $C$ sedemikian sehingga $f=C$ hampir di mana-mana pada $]a,b[$ .

Bukti. Pilih $\psi \in \mathcal{D}(]a,b[)$ sedemikian sehingga $\displaystyle\int_a^b \psi(x)\,\mathrm{d}{x}=1$ . Untuk setiap $\phi \in \mathcal{D}(]a,b[)$ , definisikan

$\theta(x) = \int_a^x \left( \phi(y) - \psi(y) \int_a^b \phi(z)\,\mathrm{d}{z}\right) \,\mathrm{d}{y} \ .$ Kita buktikan bahwa $\theta \in \mathcal{D}(]a,b[)$ . Misalkan $K = \operatorname{supp}\psi \cup \operatorname{supp}\phi$ , dan pilih $m, M \in ]a,b[$ sedemikian sehingga $m < x < M$ untuk setiap $x \in K$ . Hal ini mungkin karena $\phi$ dan $\psi$ berdukungan kompak dalam himpunan terbuka $]a,b[$ . Kemudian $\theta(x) = 0$ untuk $x<m$ karena $\phi(x) = \psi(x) = 0$ untuk $x<m$ , dan $\theta(x) = 0$ untuk $x>M$ karena

$\begin{aligned} \int_a^x \left( \phi(y) - \psi(y) \int_a^b \phi(z)\,\mathrm{d}{z}\right) \,\mathrm{d}{y} &= \int_a^b \left( \phi(y) - \psi(y) \int_a^b \phi(z)\,\mathrm{d}{z}\right) \,\mathrm{d}{y} \\ &= \int_a^b \phi(y) \,\mathrm{d}{y} - \left(\int_a^b \psi(y) \,\mathrm{d}{y}\right) \left( \int_a^b \phi(z)\,\mathrm{d}{z}\right) = 0 \end{aligned}$ untuk setiap $x >M$ , dengan menggunakan $\phi(x)=\psi(x) = 0$ untuk $x>M$ .

Dari (6.4.1) diperoleh

$\begin{aligned} 0 &= \left\langle{f},{\theta'}\right\rangle = \int_a^b f(x) \left( \phi(x) - \psi(x) \int_a^b \phi(z)\,\mathrm{d}{z}\right) \,\mathrm{d}{x} \\ &= \int_a^b f(x) \phi(x) \,\mathrm{d}{x} - \left( \int_a^b f(x) \,\psi(x) \,\mathrm{d}{x}\right) \left(\int_a^b \phi(z)\,\mathrm{d}{z}\right) \\ &= \int_a^b f(x) \phi(x) \,\mathrm{d}{x} - \left( \int_a^b f(z) \, \psi(z) \,\mathrm{d}{z}\right) \left(\int_a^b \phi(x)\,\mathrm{d}{x}\right) \\ &= \int_a^b \left( f(x) - \left( \int_a^b f(z)\,\psi(z) \,\mathrm{d}{z}\right) \right) \phi(x)\,\mathrm{d}{x} \end{aligned}$ untuk setiap $\phi \in \mathcal{D}(]a,b[)$ . Jadi,

$f(x) - \left( \int_a^b f(z)\,\psi(z) \,\mathrm{d}{z}\right) = 0$ hampir di mana-mana pada $]a,b[$ . Konstanta $C$ pada kesimpulan lema tersebut diberikan oleh $\displaystyle C = \int_a^b f(z)\,\psi(z) \,\mathrm{d}{z}$ . Pembaca dapat meyakinkan diri bahwa konstanta ini tidak bergantung pada $\psi$ . ◻

Lema sebelumnya dapat dinyatakan ulang sebagai berikut. Jika $u \in \mathcal{D}'(]a,b[)$ didefinisikan oleh $\displaystyle u(\phi) = \int_a^b f(x) \phi(x) \,\mathrm{d}{x}$ untuk $\phi \in \mathcal{D}(]a,b[)$ , dengan $\displaystyle f \in L_{loc}^1(]a,b[)$ , dan $\mathrm{D}u = 0$ dalam pengertian distribusi, maka terdapat konstanta $C$ sedemikian sehingga $f(x) = C$ hampir di mana-mana pada $]a,b[$ . Dengan demikian, kita dapat mengatakan bahwa $u$ adalah distribusi yang diberikan oleh fungsi konstan $f(x) = C$ untuk setiap $x \in ]a,b[$ .

Proposisi 6.4.5. Misalkan $u \in C(\Omega)$ . Selain itu, misalkan turunan dalam pengertian distribusi $\displaystyle\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u$ dapat direpresentasikan oleh fungsi kontinu $g_{\boldsymbol{\alpha}}:\Omega \to \mathbb{C}$ untuk $|\boldsymbol{\alpha}|\leq k$ ; yaitu,

$\left\langle{\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u},{\phi}\right\rangle = (-1)^{|\boldsymbol{\alpha}|} \left\langle{u},{\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}}\phi}\right\rangle = \left\langle{g_{\boldsymbol{\alpha}}},{\phi}\right\rangle = \int_{\Omega} g_{\boldsymbol{\alpha}}(\boldsymbol{x}) \phi(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}}$ untuk setiap $\phi \in \mathcal{D}(\Omega)$ . Maka $\displaystyle u \in C^k(\Omega)$ .

Bukti. ( $\mathbf{k=1}$ ) Misalkan $g_{\boldsymbol{\alpha}} \in C(\Omega)$ adalah fungsi yang merepresentasikan $\displaystyle\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u$ untuk $\boldsymbol{\alpha} = (1,0,\ldots,0)$ , yakni turunan parsial distribusi $u$ pada $\Omega$ terhadap $x_1$ . Penalarannya serupa untuk multiindeks $\boldsymbol{\alpha}$ lainnya yang memenuhi $|\boldsymbol{\alpha}|=1$ .

Karena keterdiferensialan klasik bersifat lokal, kita dapat mengasumsikan bahwa $\displaystyle\Omega = \prod_{j=1}^n ]a_j,b_j[$ .

Pilih $\boldsymbol{y} \in \Omega$ . Definisikan

$v(\boldsymbol{x}) = \int_{y_1}^{x_1} g_{\boldsymbol{\alpha}}(s,\tilde{\boldsymbol{x}}) \,\mathrm{d}{s} + u(y_1,\tilde{\boldsymbol{x}})$ untuk $\boldsymbol{x} = (x_1, \tilde{\boldsymbol{x}}) \in \Omega$ . Definisi ini juga menunjukkan bahwa $v$ kontinu pada $\Omega$ . Karena $g_{\boldsymbol{\alpha}} \in C(\Omega)$ , pemetaan

$\begin{aligned} ]a_1,b_1[ & \rightarrow \mathbb{C}\\ x & \mapsto v(x,\tilde{\boldsymbol{x}}) \end{aligned}$ dapat didiferensialkan dalam pengertian klasik untuk setiap $\displaystyle\tilde{\boldsymbol{x}} \in \prod_{j=2}^n ]a_j,b_j[$ . Lebih tepatnya, $\displaystyle\frac{\partial{v}}{\partial x_1}(x,\tilde{\boldsymbol{x}}) = g_{\boldsymbol{\alpha}}(x,\tilde{\boldsymbol{x}})$ untuk setiap $(x, \tilde{\boldsymbol{x}}) \in \Omega$ . Tujuannya adalah menunjukkan bahwa $u=v$ di $\Omega$ .

Pertimbangkan

$\int_\Omega \left(u(\boldsymbol{x}) - v(\boldsymbol{x})\right) \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} \phi(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} = \int_\Omega u(\boldsymbol{x}) \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} \phi(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} - \int_\Omega v(\boldsymbol{x}) \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} \phi(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}}$ untuk $\phi \in \mathcal{D}(\Omega)$ . Menurut definisi turunan dalam pengertian distribusi, berdasarkan hipotesis kita mempunyai

$-\int_\Omega u(\boldsymbol{x}) \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} \phi(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} = \int_\Omega g_{\boldsymbol{\alpha}}(\boldsymbol{x}) \phi(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}}$ untuk setiap $\phi \in \mathcal{D}(\Omega)$ . Selain itu, dengan integrasi parsial kita memperoleh

$\begin{aligned} &\int_\Omega v(\boldsymbol{x}) \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} \phi(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} = \int_{\prod_{j=2}^n]a_j,b_j[} \int_{a_1}^{b_1} v(x_1,\tilde{\boldsymbol{x}}) \frac{\partial{\phi}}{\partial x_1}(x_1,\tilde{\boldsymbol{x}}) \,\mathrm{d}{x_1} \,\mathrm{d}{\tilde{\boldsymbol{x}}} \\ &\quad = \int_{\prod_{j=2}^n]a_j,b_j[} \left( v(x_1, \tilde{\boldsymbol{x}})\, \phi(x_1,\tilde{\boldsymbol{x}})\bigg|_{x_1=a_1}^{x_1=b_1} - \int_{a_1}^{b_1} \frac{\partial{v}}{\partial x_1}(x_1,\tilde{\boldsymbol{x}})\, \phi(x_1,\tilde{\boldsymbol{x}}) \,\mathrm{d}{x_1} \right) \,\mathrm{d}{\tilde{\boldsymbol{x}}} \\ &\quad = - \int_\Omega \frac{\partial{v}}{\partial x_1}(\boldsymbol{x})\,\phi(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} = - \int_\Omega g_{\boldsymbol{\alpha}}(\boldsymbol{x})\,\phi(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} \end{aligned}$ untuk setiap $\phi \in \mathcal{D}(\Omega)$ , di mana kita telah menggunakan fakta bahwa $\phi$ berdukungan kompak di $\Omega$ untuk memperoleh

$v(x_1,\tilde{\boldsymbol{x}})\, \phi(x_1,\tilde{\boldsymbol{x}}) \bigg|_{x_1=a_1}^{x_1=b_1} = \lim_{x_1 \to b_1^-} v(x_1,\tilde{\boldsymbol{x}})\, \phi(x_1,\tilde{\boldsymbol{x}}) - \lim_{x_1 \to a_1^+} v(x_1,\tilde{\boldsymbol{x}})\, \phi(x_1,\tilde{\boldsymbol{x}}) = 0 \ .$ Dari (6.4.2), (6.4.3), dan (6.4.4) diperoleh

$\int_\Omega \left(u(\boldsymbol{x}) - v(\boldsymbol{x})\right) \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} \phi(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} = 0$ untuk setiap $\phi \in \mathcal{D}(\Omega)$ .

Jika kita mengambil $\phi \in \mathcal{D}(\Omega)$ dalam bentuk $\displaystyle\phi(\boldsymbol{x}) = \phi_1(x_1) \, \phi_2(\tilde{\boldsymbol{x}})$ untuk setiap $\boldsymbol{x} = (x_1,\tilde{\boldsymbol{x}}) \in \Omega$ , dengan $\phi_1 \in \mathcal{D}(]a_1,b_1[)$ dan $\displaystyle\phi_2 \in \mathcal{D}\left(\prod_{j=2}^n]a_j,b_j[\right)$ , kita dapat menulis ulang (6.4.5) sebagai

$\int_{\prod_{j=2}^n]a_j,b_j[} \left( \int_{a_1}^{b_1} \left(u(x_1,\tilde{\boldsymbol{x}}) - v(x_1,\tilde{\boldsymbol{x}})\right) \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} \phi_1(x_1) \,\mathrm{d}{x_1} \right) \phi_2(\tilde{\boldsymbol{x}}) \,\mathrm{d}{\tilde{\boldsymbol{x}}} = 0$ untuk setiap $\phi_1 \in \mathcal{D}(]a_1,b_1[)$ dan $\displaystyle\phi_2 \in \mathcal{D}\left(\prod_{j=2}^n]a_j,b_j[\right)$ . Untuk setiap $\phi_1 \in \mathcal{D}(]a_1,b_1[)$ yang tetap, definisikan

$F_{\phi_1}(\tilde{\boldsymbol{x}})=\int_{a_1}^{b_1} \left(u(x_1,\tilde{\boldsymbol{x}})-v(x_1,\tilde{\boldsymbol{x}})\right) \phi_1'(x_1)\,\mathrm{d}{x_1}.$ Fungsi $F_{\phi_1}$ kontinu terhadap $\tilde{\boldsymbol{x}}$ karena $u-v$ kontinu dan $\phi_1$ berdukungan kompak. Identitas di atas menyatakan bahwa integral $F_{\phi_1}\phi_2$ sama dengan nol untuk setiap $\displaystyle\phi_2\in\mathcal{D}\left(\prod_{j=2}^n]a_j,b_j[\right)$ . Lema fundamental untuk fungsi uji karena itu memberi $F_{\phi_1}=0$ di seluruh $\displaystyle\prod_{j=2}^n]a_j,b_j[$ . Karena $\phi_1$ dipilih sembarang, untuk setiap $\tilde{\boldsymbol{x}}$ dan setiap $\phi_1\in\mathcal{D}(]a_1,b_1[)$ berlaku $F_{\phi_1}(\tilde{\boldsymbol{x}})=0$ .

Dengan menerapkan Lema 6.4.4 pada setiap serat, terdapat konstanta $C(\tilde{\boldsymbol{x}})$ sedemikian sehingga $u(x_1,\tilde{\boldsymbol{x}})-v(x_1,\tilde{\boldsymbol{x}})=C(\tilde{\boldsymbol{x}})$ hampir di mana-mana terhadap $x_1$ . Kekontinuan $u-v$ memperluas kesamaan ini ke setiap $x_1\in]a_1,b_1[$ . Akan tetapi, dari definisi $v$ ,

$(u-v)(y_1,\tilde{\boldsymbol{x}})=0,$ sehingga $C(\tilde{\boldsymbol{x}})=0$ untuk setiap $\tilde{\boldsymbol{x}}$ . Jadi, $u=v$ di $\Omega$ .

( $\mathbf{k>1}$ ) Pembuktian dengan induksi terhadap $k$ menangani turunan parsial berorde lebih tinggi. ◻

Atribusi dan hak. Karya sumber oleh Benoit Dionne dilisensikan berdasarkan Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International. Terjemahan dan perubahan yang dicatat menggunakan lisensi komponen yang sama. Produksi terjemahan dan edisi dibantu OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; semua kredit penulis dan kontributor manusia tetap dipertahankan. Ini bukan terbitan atau dukungan resmi Benoit Dionne maupun University of Ottawa.