PDP Semilinear Orde Dua di Bidang

Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial Semilinear Orde Dua di Bidang

Kita meninjau masalah Cauchy

$$\begin{aligned} & L(x,y,u,\mathrm{D}) = a_{2,0}(x,y,u) \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{2}}(x,y) + 2a_{1,1}(x,y,u) \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{} \partial y^{}}(x,y) + a_{0,2}(x,y,u) \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial y^{2}}(x,y) \\ &\qquad + a_{1,0}(x,y,u) \frac{\partial{u}}{\partial x}(x,y) + a_{0,1}(x,y,u) \frac{\partial{u}}{\partial y}(x,y) + a_{0,0}(x,y,u) = 0 \end{aligned}$$(2.4.1) dengan syarat-syarat

$$u\big|_\Gamma = f \quad \text{dan} \quad \frac{\partial{u}}{\partial \nu}\bigg|_\Gamma = g \ ,$$(2.4.2) di mana $\nu(x,y)$ untuk $(x,y)\in \Gamma$ adalah vektor normal satuan terhadap $\Gamma$ di $(x,y)$. Persamaan (2.4.1) adalah suatu persamaan diferensial parsial semilinear orde dua

. Koefisien $a_{i,j}$ dapat bergantung pada $x$, $y$, maupun $u$.

Klasifikasi persamaan diferensial parsial linear orde dua yang diberikan pada bagian sebelumnya tetap berlaku untuk persamaan diferensial parsial semilinear orde dua. Satu-satunya

perbedaan adalah bahwa simbol utama sekarang didefinisikan oleh

$$\begin{aligned} Q(x,y,u,\zeta_1,\zeta_2) &= a_{2,0}(x,y,u) \zeta_1^2 + 2a_{1,1}(x,y,u)\zeta_1\zeta_2 + a_{0,2}(x,y,u) \zeta_2^2 \\ &= \begin{pmatrix} \zeta_1 & \zeta_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{2,0}(x,y,u) & a_{1,1}(x,y,u) \\ a_{1,1}(x,y,u) & a_{0,2}(x,y,u) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \zeta_1 \\ \zeta_2 \end{pmatrix} \ . \end{aligned}$$ Kini, simbol utama bergantung pada $x$, $y$, dan $u$. Sayangnya, tidak ada metode sederhana untuk mereduksi persamaan diferensial parsial semilinear orde dua ke bentuk baku.