Masalah Cauchy dan Reduksi ke Bentuk Normal

Masalah Cauchy

Teorema Cauchy–Kovalevski

Misalkan $S$ sebuah hiperpermukaan di $\displaystyle\mathbb{R}^n$, dan misalkan $g_j:S\rightarrow \mathbb{R}$ untuk $0\leq j \leq m-1$ merupakan fungsi-fungsi

kontinu. Masalah Cauchy adalah masalah mencari fungsi $\displaystyle u: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ sedemikian sehingga

$$G\left(\boldsymbol{x}, \left\{ \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u\left(\boldsymbol{x}\right) : \boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{N}^n \ , \ |\boldsymbol{\alpha}|\leq m \right\} \right) = 0$$(3.1.1) untuk $\displaystyle\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n$,

$$u\big|_S = g_0 \ , \quad \frac{\partial{u}}{\partial \nu}\bigg|_S = g_1 \ , \ \ldots\ ,\quad \frac{\displaystyle \partial^{m-2}{u}}{\displaystyle \partial \nu^{m-2}}\bigg|_S = g_{m-2} \ \text{dan} \ \frac{\displaystyle \partial^{m-1}{u}}{\displaystyle \partial \nu^{m-1}}\bigg|_S = g_{m-1} \ ,$$(3.1.2) dengan $\displaystyle\nu:S \rightarrow \mathbb{R}^n$ merupakan fungsi terdiferensialkan sedemikian sehingga $\nu\left(\boldsymbol{x}\right)$ adalah vektor normal satuan terhadap hiperpermukaan $S$ di $\boldsymbol{x} \in S$. Ingat bahwa

$$\frac{\partial{u}}{\partial \nu}\left(\boldsymbol{x}\right) = \lim_{s\rightarrow 0} \frac{u\left(\boldsymbol{x}+s\nu\left(\boldsymbol{x}\right)\right) - u\left(\boldsymbol{x}\right) }{s} = \nabla u(\boldsymbol{x}) \cdot \nu\left(\boldsymbol{x}\right)$$ merupakan turunan berarah $u$ di $\boldsymbol{x}$ dalam arah $\nu\left(\boldsymbol{x}\right)$.

Seperti telah kita lihat pada persamaan diferensial parsial satu dimensi, tidak setiap hiperpermukaan $S$ menghasilkan Masalah Cauchy yang memiliki solusi tunggal. Nanti kita akan memberikan syarat-syarat pada $S$ yang menjamin keberadaan dan ketunggalan solusi, serta kestabilannya terhadap data awal (well-posedness).

Dengan menggunakan perubahan koordinat lokal di dekat suatu titik $\boldsymbol{p}$, kita dapat mengasumsikan bahwa hiperpermukaan $S$ didefinisikan oleh

$$S = \left\{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n : x_n = 0 \right\} \ .$$ Dengan demikian, Masalah Cauchy menjadi

$$F\left(\boldsymbol{x}, \left\{ \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u\left(\boldsymbol{x}\right) : \boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{N}^n \ , \ |\boldsymbol{\alpha}| \leq m \right\} \right) = 0$$(3.1.3) untuk $\displaystyle\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n$,

$$u\big|_S = f_0 \ , \quad \frac{\partial{u}}{\partial x_n}\bigg|_S = f_1 \ , \ \ldots \ , \quad \frac{\displaystyle \partial^{m-2}{u}}{\displaystyle \partial x_n^{m-2}}\bigg|_S = f_{m-2} \ \text{dan} \ \frac{\displaystyle \partial^{m-1}{u}}{\displaystyle \partial x_n^{m-1}}\bigg|_S = f_{m-1} \ .$$

Mari kita asumsikan bahwa $F$, $f_0$, $f_1$, …, $f_{m-1}$ merupakan fungsi analitik. Selain itu, kita asumsikan bahwa $u$ juga analitik. Dari $u(x_1,x_2, \ldots, x_{n-1},0) = f_0(x_1,x_2, \ldots, x_{n-1})$, kita dapat menghitung

$$\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u(x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, 0) = \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} f_0(x_1, x_2, \ldots, x_{n-1})$$ untuk setiap $\displaystyle\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{N}^n$ dengan $\alpha_n = 0$. Dari $\displaystyle\frac{\partial{u}}{\partial x_n}(x_1,x_2, \ldots, x_{n-1},0) = f_1(x_1,x_2, \ldots, x_{n-1})$, kita dapat menghitung

$$\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u(x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, 0) = \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}-\boldsymbol{e}_n} f_1(x_1, x_2, \ldots, x_{n-1})$$ untuk setiap $\displaystyle\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{N}^n$ dengan $\alpha_n = 1$. Jika proses ini dilanjutkan untuk turunan $u$ hingga orde $m-1$, aturan umumnya adalah sebagai berikut: untuk $\alpha_n=j<m$, data $f_j$ memberikan

$$\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u(x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, 0) = \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}-j\boldsymbol{e}_n} f_j(x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}) \ .$$ Dengan demikian, kita dapat menghitung $\displaystyle\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u(x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, 0)$ untuk setiap $\displaystyle\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{N}^n$ dengan $\alpha_n < m$.

Masalahnya adalah menghitung $\displaystyle\frac{\displaystyle \partial^{j}{u}}{\displaystyle \partial x_n^{j}}(x_1,x_2,\ldots,x_{n-1},0)$ untuk $j\geq m$. Untuk itu, kita asumsikan bahwa (3.1.3) dapat diselesaikan terhadap $\displaystyle\frac{\displaystyle \partial^{m}{u}}{\displaystyle \partial x_n^{m}}$ untuk $\boldsymbol{x}$ di dekat hiperpermukaan $S$. Dengan kata lain, kita asumsikan bahwa kita dapat menuliskan

$$\displaystyle\frac{\displaystyle \partial^{m}{u}}{\displaystyle \partial x_n^{m}} = H\left(\boldsymbol{x}, \left\{ \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u\left(\boldsymbol{x}\right) : \boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{N}^n \ , \ |\boldsymbol{\alpha}| \leq m \ , \, \boldsymbol{\alpha} \neq m \boldsymbol{e}_n \right\} \right)$$(3.1.4) untuk $\displaystyle\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n$ di dekat $S$, dengan, seperti biasa, $\displaystyle\left\{ \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \ldots, \boldsymbol{e}_n\right\}$ merupakan basis kanonik $\displaystyle\mathbb{R}^n$. Tidak setiap hiperpermukaan $S$ memenuhi persyaratan ini. Hal inilah yang menjadi dasar klasifikasi persamaan diferensial parsial yang diberikan dalam Bab 2.

Dengan menggunakan (3.1.4), kita dapat menghitung turunan $u$ yang berorde lebih dari atau sama dengan $m$ terhadap $x_n$. Dengan demikian, semua turunan campuran $u$ di suatu titik $\boldsymbol{a} = (a_1,a_2, \ldots, a_{n-1}, 0)$ dapat dihitung. Karena kita mengasumsikan bahwa $u$ analitik, untuk $\boldsymbol{x}$ di dekat $\boldsymbol{a}$ kita dapat menuliskan

$$u\left(\boldsymbol{x}\right) = \sum_{\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{N}^n} \frac{1}{\boldsymbol{\alpha}!} \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u\left(\boldsymbol{a}\right) \left( \boldsymbol{x}- \boldsymbol{a} \right)^{\boldsymbol{\alpha}} \ ,$$ dengan

$$\boldsymbol{\alpha}! = \alpha_1!\,\alpha_2!\ldots \alpha_n!$$ dan

$$\left( \boldsymbol{x}- \boldsymbol{a} \right)^{\boldsymbol{\alpha}} = \left(x_1-a_1\right)^{\alpha_1}\,\left(x_2-a_2\right)^{\alpha_2}\ldots \left(x_n-a_n\right)^{\alpha_n} \ .$$

Inilah inti teorema berikut, yang tidak akan kita buktikan.