Sekarang saya sampai pada bab lain tentang teori ukur ‘murni’, yang membahas suatu konstruksi fundamental—atau, jika Anda lebih suka memandangnya demikian, dua konstruksi, karena persoalan dalam membentuk produk dari dua ruang ukur sebarang (§251) cukup berbeda dari persoalan yang muncul pada produk dari sembarang banyak ruang probabilitas (\(\S\)254). Pekerjaan ini akan menguji teknik kita sampai batasnya: teorema-teorema fundamental yang hendak kita capai memang merupakan sasaran yang alamiah, tetapi pembuktiannya panjang dan ada banyak jebakan di samping jalan yang benar.
Gagasan utamanya adalah ‘integrasi berulang’. Anda mungkin sudah pernah melihat rumus-rumus berbentuk ‘\(\iint f(x,y)dxdy\)’ yang digunakan untuk menghitung integral fungsi dua variabel real di suatu daerah pada bidang. Salah satu teknik dasar kalkulus lanjut adalah membalik urutan integrasi; misalnya, kita mengharapkan \(\int_0^1(\int_y^1f(x,y)dx)dy\) sama dengan \(\int_0^1(\int_0^xf(x,y)dy)dx\). Dalam pengembangan materi ini, kita sudah memiliki perhitungan ketiga untuk dibandingkan dengan kedua perhitungan itu: \(\int_Df\), dengan \(D=\{(x,y):0\le y\le x\le 1\}\) dan integral diambil terhadap ukuran Lebesgue pada bidang. Dua bagian pertama bab ini dikhususkan untuk menganalisis hubungan antara ukuran Lebesgue satu dimensi dan dua dimensi yang membuat operasi-operasi tersebut sah—setidaknya dalam beberapa keadaan; sebagian pekerjaan harus digunakan untuk menguraikan dengan cermat syarat-syarat tepat yang harus dikenakan pada \(f\) dan \(D\) agar kita aman.
Integrasi berulang, dalam satu bentuk atau bentuk lain, muncul di seluruh teori ukur; karena itu cepat atau lambat kita perlu mengembangkan ungkapan yang paling umum untuk gagasan ini. Metode standarnya adalah melalui teori produk ruang-ruang ukur umum. Diberikan ruang ukur \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\), tujuannya adalah mencari suatu ukuran \(\lambda\) pada \(X\times Y\) yang setidaknya memberikan ukuran yang tepat \(\mu E\cdot\nu F\) kepada sebuah ‘persegi panjang’ \(E\times F\) jika \(E\in\Sigma\) dan \(F\in\Tau\). Ternyata sudah ada kesulitan dalam menentukan apa yang dimaksud dengan ‘ukuran produk’, dan untuk mengerjakannya dengan benar saya perlu, bahkan pada tahap ini, menguraikan dua konstruksi yang berkaitan tetapi dapat dibedakan. Konstruksi-konstruksi tersebut dan sifat elementernya mengisi seluruh §251. Dalam §252 saya beralih ke integrasi atas produk, dengan teorema Fubini dan Tonelli yang menghubungkan \(\int fd\lambda\) dengan \(\iint f(x,y)\mu(dx)\nu(dy)\). Karena konstruksi \(\lambda\) simetris terhadap kedua faktornya, secara otomatis tersedia teorema yang menghubungkan \(\iint f(x,y)\mu(dx)\nu(dy)\) dengan \(\iint f(x,y)\nu(dy)\mu(dx)\). §253 membahas ruang \(L^1(\lambda)\) dan hubungannya dengan \(L^1(\mu)\) serta \(L^1(\nu)\).
Untuk ruang ukur umum, ada hambatan dalam membentuk produk tak hingga; sebagai permulaan, jika \(\sequencen{(X_n,\mu_n)}\) adalah barisan ruang ukur, maka suatu ukuran produk \(\lambda\) pada \(X=\prod_{n\in\Bbb N}X_n\) seharusnya memenuhi \(\lambda X=\prod_{n=0}^{\infty}\mu_nX_n\), dan tidak ada jaminan bahwa produk tersebut konvergen atau berperilaku baik ketika ia konvergen. Namun, untuk ruang probabilitas, ketika \(\mu_nX_n=1\) untuk setiap \(n\), masalah ini setidaknya lenyap. Produk dari keluarga ruang probabilitas apa pun dapat didefinisikan; inilah pokok bahasan §254.
Saya mengakhiri bab ini dengan tiga bagian yang menjadi persiapan untuk Bab 27 dan 28, tetapi juga penting pada dirinya sendiri sebagai penyelidikan tentang cara struktur grup \(\BbbR^r\) berinteraksi dengan ukuran Lebesgue dan ukuran-ukuran lainnya. §255 membahas ‘konvolusi’ \(f*g\) dari dua fungsi, dengan \((f*g)(x)=\int f(y)g(x-y)dy\) (integralnya terhadap ukuran Lebesgue). Dalam §257 saya menunjukkan bahwa beberapa gagasan yang sama, setelah ditransformasikan dengan tepat, dapat digunakan untuk menguraikan konvolusi \(\nu_1*\nu_2\) dari dua ukuran pada \(\BbbR^r\); sebagai persiapan untuk ini saya menyertakan bagian tentang ukuran Radon pada \(\BbbR^r\) (§256).