1A3 — Limit superior dan limit inferior

©date1994

Tidak semua mata kuliah pengantar analisis real memiliki cukup waktu untuk membahas konsep $\limsup$ dan $\liminf$.

1A3A Definisi (a)

Untuk suatu barisan bilangan real $\sequencen{a_n}$, tuliskan

$\limsup_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\sup_{m\ge n}a_m =\inf_{n\in\Bbb N}\sup_{m\ge n}a_m$,

$\liminf_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\inf_{m\ge n}a_m =\sup_{n\in\Bbb N}\inf_{m\ge n}a_m$;

jika kita mengizinkan nilai $\pm \infty$, baik ketika membentuk supremum dan infimum maupun ketika mengambil limit (lihat 112Ba), keduanya akan selalu terdefinisi, karena barisan-barisan

$\sequencen{\sup_{m\ge n}a_m}$, $\sequencen{\inf_{m\ge n}a_m}$

bersifat monoton.

1A3Ab (b)

Secara eksplisit:

$\limsup_{n\to\infty}a_n=\infty\,\iff\,\{a_n:n\in\Bbb N\}$ tidak terbatas di atas,

$\limsup_{n\to\infty}a_n=-\infty\,\iff\,\lim_{n\to\infty}a_n =-\infty$,

yakni, jika dan hanya jika untuk setiap $a\in\Bbb R$ terdapat $n_0\in\Bbb N$ sedemikian sehingga $a_n\le a$ untuk setiap $n\ge n_0$;

$\liminf_{n\to\infty}a_n=-\infty\, \iff\,\{a_n:n\in\Bbb N\}$ tidak terbatas di bawah,

$\liminf_{n\to\infty}a_n=\infty\, \iff \,\lim_{n\to\infty}a_n =\infty$,

yakni, jika dan hanya jika untuk setiap $a\in\Bbb R$ terdapat $n_0\in\Bbb N$ sedemikian sehingga $a_n\ge a$ untuk setiap $n\ge n_0$.

1A3Ac (c)

Untuk $a\in\Bbb R$ berhingga, kita mempunyai

$\limsup_{n\to\infty}a_n=a$ jika dan hanya jika (i) untuk setiap $\epsilon>0$ terdapat $n_0\in\Bbb N$ sedemikian sehingga $a_n\le a+\epsilon$ untuk setiap $n\ge n_0$ (ii) untuk setiap $\epsilon>0$ dan setiap $n_0\in\Bbb N$ terdapat $n\ge n_0$ sedemikian sehingga $a_n\ge a-\epsilon$,

sedangkan

$\liminf_{n\to\infty}a_n=a$ jika dan hanya jika (i) untuk setiap $\epsilon>0$ terdapat $n_0\in\Bbb N$ sedemikian sehingga $a_n\ge a-\epsilon$ untuk setiap $n\ge n_0$ (ii) untuk setiap $\epsilon>0$ dan setiap $n_0\in\Bbb N$ terdapat $n\ge n_0$ sedemikian sehingga $a_n\le a+\epsilon$.

Secara umum, untuk $u\in[-\infty,\infty]$, kita dapat mengatakan bahwa

$\limsup_{n\to\infty}a_n=u$ jika dan hanya jika (i) untuk setiap $v>u$ (jika memang ada) terdapat $n_0\in\Bbb N$ sedemikian sehingga $a_n\le v$ untuk setiap $n\ge n_0$ (ii) untuk setiap $v<u$ dan setiap $n_0\in\Bbb N$ terdapat $n\ge n_0$ sedemikian sehingga $a_n\ge v$,

$\liminf_{n\to\infty}a_n=u$ jika dan hanya jika (i) untuk setiap $v<u$ terdapat $n_0\in\Bbb N$ sedemikian sehingga $a_n\ge v$ untuk setiap $n\ge n_0$ (ii) untuk setiap $v>u$ dan setiap $n_0\in\Bbb N$ terdapat $n\ge n_0$ sedemikian sehingga $a_n\le v$.

1A3B

Kita mempunyai hasil-hasil dasar berikut.

Proposisi Untuk sembarang barisan $\sequencen{a_n}$, $\sequencen{b_n}$ dalam $\Bbb R$,

(a) $\liminf_{n\to\infty}a_n\le\limsup_{n\to\infty}a_n$,

(b) $\lim_{n\to\infty}a_n=u\in[-\infty,\infty]$ jika dan hanya jika $\limsup_{n\to\infty}a_n=\liminf_{n\to\infty}a_n=u$,

(d) $\limsup_{n\to\infty}(a_n+b_n) \le\limsup_{n\to\infty}a_n+\limsup_{n\to\infty}b_n$,

(e) $\liminf_{n\to\infty}(a_n+b_n) \ge\liminf_{n\to\infty}a_n+\liminf_{n\to\infty}b_n$,

(f) $\limsup_{n\to\infty}ca_n=c\limsup_{n\to\infty}a_n$ jika $c\ge 0$,

(g) $\liminf_{n\to\infty}ca_n=c\liminf_{n\to\infty}a_n$ jika $c\ge 0$,

dengan ketentuan bahwa dalam (d) dan (e) kita harus dapat menafsirkan ruas kanan pertidaksamaan menurut aturan dalam 135A, sedangkan dalam (f) dan (g) kita mengambil $0\cdot\infty=0\cdot(-\infty)=0$.

Bukti

(a) $\sup_{m\ge n}a_m\ge\inf_{m\ge n}a_m$ untuk setiap $n$, sehingga

$\limsup_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\sup_{m\ge n}a_m\ge\lim_{n\to\infty}\inf_{m\ge n}a_m=\liminf_{n\to\infty}a_n$.

(b) Dengan menggunakan uraian terakhir mengenai $\limsup_{n\to\infty}$ dan $\liminf_{n\to\infty}$ dalam 1A3Ac, serta uraian yang bersesuaian mengenai $\lim_{n\to\infty}$, kita mempunyai

\[\begin{aligned}\lim_{n\to\infty}&a_n=u\\ &\iff\text{ untuk setiap }v>u\text{ terdapat }n_1\in\Bbb N \text{ sedemikian sehingga }a_n\le v\text{ untuk setiap }n\ge n_1\\ &\qquad\text{ dan untuk setiap }v<u\text{ terdapat }n_2\in\Bbb N \text{ sedemikian sehingga }a_n\ge v\text{ untuk setiap }n\ge n_2\\ &\iff\text{ untuk setiap }v>u\text{ terdapat }n_1\in\Bbb N \text{ sedemikian sehingga }a_n\le v\text{ untuk setiap }n\ge n_1\\ &\qquad\text{ dan untuk setiap }v<u,\,\text{serta setiap }n_0\in\Bbb N \text{ terdapat }n\ge n_0\text{ sedemikian sehingga }a_n\ge v\\ &\qquad\text{ dan untuk setiap }v<u\text{ terdapat }n_2\in\Bbb N \text{ sedemikian sehingga }a_n\ge v\text{ untuk setiap }n\ge n_2\\ &\qquad\text{ dan untuk setiap }v>u,\,\text{serta setiap }n_0\in\Bbb N \text{ terdapat }n\ge n_0\text{ sedemikian sehingga }a_n\le v\\ &\iff\limsup_{n\to\infty}a_n=\liminf_{n\to\infty}a_n=u.\\\end{aligned}\]

(c) Ini sekadar soal membalik tanda dan menukar supremum dengan infimum dalam rumus-rumus tersebut:

\[\begin{aligned}\liminf_{n\to\infty}a_n &=\sup_{n\in\Bbb N}\inf_{\lower 0.4ex\hbox{$\scriptstyle m\ge n$}}a_m =\sup_{n\in\Bbb N}(-\sup_{m\ge n}(-a_m))\\ &=-\inf_{\lower 0.4ex\hbox{$\scriptstyle n\in\Bbb N$}} \sup_{m\ge n}(-a_m) =-\limsup_{n\to\infty}(-a_n).\\\end{aligned}\]

(d) Jika $v>\limsup_{n\to\infty}a_n+\limsup_{n\to\infty}b_n$, terdapat $v_1$, $v_2$ sedemikian sehingga $v_1>\limsup_{n\to\infty}a_n$, $v_2>\limsup_{n\to\infty}b_n$ dan $v_1+v_2=v$. Sekarang terdapat $n_1$, $n_2\in\Bbb N$ sedemikian sehingga $\sup_{m\ge n_1}a_m\le v_1$ dan $\sup_{m\ge n_2}b_m\le v_2$; sehingga

\[\begin{aligned}\sup_{m\ge\max(n_1,n_2)}(a_m+b_m) &\le\sup_{m\ge\max(n_1,n_2)}a_m+\sup_{m\ge\max(n_1,n_2)}b_m\\ &\le\sup_{m\ge n_1}a_m+\sup_{m\ge n_2}b_m \le v_1+v_2 = v.\\\end{aligned}\]

Karena $v$ sembarang,

$\limsup_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\inf_{n\in\Bbb N}\sup_{m\ge n}(a_m+b_m)\le\limsup_{n\to\infty}a_n+\limsup_{n\to\infty}b_n$.

(e) Dengan menggabungkan (c) dan (d),

\[\begin{aligned}\liminf_{n\to\infty}(a_n+b_n) &=-\limsup_{n\to\infty}((-a_n)+(-b_n))\\ &\ge-\limsup_{n\to\infty}(-a_n)-\limsup_{n\to\infty}(-b_n) =\liminf_{n\to\infty}a_n+\liminf_{n\to\infty}b_n.\\\end{aligned}\]

(f) Karena $c\ge 0$,

\[\begin{aligned}\limsup_{n\to\infty}ca_n &=\inf_{n\in\Bbb N}\sup_{m\ge n}ca_m =\inf_{n\in\Bbb N}c\sup_{m\ge n}a_m\\ &=c\inf_{n\in\Bbb N}\sup_{m\ge n}a_m =c\limsup_{n\to\infty}a_n.\\\end{aligned}\]

(g) Terakhir,

$\liminf_{n\to\infty}ca_n =-\limsup_{n\to\infty}c(-a_n) =-c\limsup_{n\to\infty}(-a_n) =c\liminf_{n\to\infty}a_n$.

1A3C Catatan

Tentu saja hasil-hasil yang lazim, yakni bahwa $\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n+\lim_{n\to\infty}b_n$, $\lim_{n\to\infty}ca_n=c\lim_{n\to\infty}a_n$, merupakan akibat langsung dari 1A3B.

1A3D Bentuk lain dari gagasan yang sama

Konsep $\limsup$ dan $\liminf$ dapat diterapkan dalam konteks apa pun yang memungkinkan kita meninjau limit fungsi bernilai real. Sebagai contoh, jika $f$ adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan (sekurang-kurangnya) pada suatu interval berlubang berbentuk $\{x:0<|c-x|\le\epsilon\}$, dengan $c\in\Bbb R$ dan $\epsilon>0$, maka

$\limsup_{t\to c}f(t) =\lim_{\delta\downarrow 0}\sup_{0<|t-c|\le\delta}f(t) =\inf_{0<\delta\le\epsilon}\sup_{0<|t-c|\le\delta}f(t)$,

$\liminf_{t\to c}f(t) =\lim_{\delta\downarrow 0}\inf_{0<|t-c|\le\delta}f(t) =\sup_{0<\delta\le\epsilon}\inf_{0<|t-c|\le\delta}f(t)$,

dengan mengizinkan $\infty$ dan $-\infty$ sesuai kebutuhan. Atau, jika $f$ didefinisikan pada interval setengah-terbuka $\ocint{c,c+\epsilon}$, kita dapat mengatakan

$\limsup_{t\downarrow c}f(t) =\lim_{\delta\downarrow 0}\sup_{c<t\le c+\delta}f(t) =\inf_{0<\delta\le\epsilon}\sup_{c<t\le c+\delta}f(t)$,

$\liminf_{t\downarrow c}f(t) =\lim_{\delta\downarrow 0}\inf_{c<t\le c+\delta}f(t) =\sup_{0<\delta\le\epsilon}\inf_{c<t\le c+\delta}f(t)$.

Demikian pula, jika $f$ didefinisikan pada $\coint{M,\infty}$ untuk suatu $M\in\Bbb R$, kita mempunyai

$\limsup_{t\to\infty}f(t) =\lim_{a\to\infty}\sup_{t\ge a}f(t) =\inf_{a\ge M}\sup_{t\ge a}f(t)$,

$\liminf_{t\to\infty}f(t) =\lim_{a\to\infty}\inf_{t\ge a}f(t) =\sup_{a\ge M}\inf_{t\ge a}f(t)$.

Perluasan lebih lanjut dari gagasan ini dibahas secara singkat dalam 2A3S di Jilid 2.