Semigrup Markov yang Kontinu Seragam

Semigrup Markov yang Kontinu Seragam

Gambaran umum

Dalam kuliah sebelumnya kita membahas sebagian teori umum semigrup operator.

Selanjutnya, kita menerjemahkan hasil-hasil tersebut ke dalam latar semigrup Markov.

Semigrup Markov di sini didefinisikan pada himpunan terhitung \(S\).

Tujuan utama kita adalah memberikan korespondensi satu-ke-satu yang tepat antara

Sifat konservatif didefinisikan di bawah dan berkaitan dengan sifat “tidak meledak” dari rantai Markov yang bersesuaian.

Kita juga akan membahas secara singkat matriks intensitas yang tidak memiliki sifat ini, beserta proses yang dibangkitkannya.

Notasi dan Terminologi

Misalkan \(S\) suatu himpunan terhitung sembarang.

Sepanjang kuliah ini, \(\RR_+=[0,\infty)\).

Misalkan \(\ell_1\) ruang Banach yang terdiri atas fungsi yang dapat dijumlahkan secara mutlak pada \(S\); yakni, semua \(g \, \colon S \to \RR\) yang memenuhi

\[ \| g \| := \sum_x |g(x)| < \infty. \]

Perhatikan bahwa \(\dD\), himpunan semua distribusi pada \(S\), termuat dalam \(\ell_1\).

Setiap matriks Markov \(P\) pada \(S\) dapat dan akan kita identifikasi dengan operator linear \(f \mapsto fP\) pada \(\ell_1\) melalui

\[ (fP)(y) = \sum_x f(x) P(x, y) \qquad (f \in \ell_1, \; y \in S). \]

Agar konsisten dengan notasi sebelumnya, kita menuliskan argumen \(P\) di sebelah kiri dan menerapkan \(P\) kepadanya seolah-olah kita mengalikan matriks \(P\) dari kiri dengan vektor baris.

Dalam latihan, Anda diminta memverifikasi bahwa persamaan mmismo mendefinisikan operator linear terbatas pada \(\ell_1\) sedemikian sehingga

\[ \|P\| = 1 \text{ dan } \phi P \in \dD \text{ setiap kali } \phi \in \dD. \]

Perhatikan bahwa komposisi \(P\) dengan dirinya sendiri setara dengan pangkat-pangkat matriks di bawah perkalian matriks.

Untuk matriks intensitas \(Q\) pada \(S\), kita dapat mencoba memperkenalkan operator yang bersesuaian secara analog melalui

\[ (fQ)(y) = \sum_x f(x) Q(x, y) \qquad (f \in \ell_1, \; y \in S). \]

Namun, jumlah dalam persamaan imislo tidak selalu terdefinisi dengan baik.1

Kita mengatakan bahwa matriks intensitas \(Q\) bersifat konservatif jika jumlah dalam persamaan imislo terdefinisi dengan baik untuk setiap \(y\) dan, selain itu, pemetaan \(f\mapsto fQ\) dalam persamaan imislo merupakan operator linear terbatas pada \(\ell_1\).

Di bawah ini kita menunjukkan cara memeriksa sifat tersebut dalam penerapan.

Catatan terminologi hilir. Dalam kuliah ini, “konservatif” adalah istilah lokal untuk syarat operator-terbatas di atas. Dalam sebagian literatur rantai Markov, “matriks-\(Q\) konservatif” hanya berarti bahwa setiap jumlah barisnya nol. Definisi sumber yang lebih kuat dipertahankan di sini agar semua pernyataan berikut dibaca dengan ruang lingkup yang tepat.

Semigrup Markov UC dan Generatornya

Misalkan \(Q\) suatu matriks intensitas konservatif pada \(S\).

Karena \(Q\) berada dalam \(\linopell\), eksponensial operator \(e^{tQ}\) terdefinisi dengan baik sebagai unsur \(\linopell\) untuk setiap \(t\geq0\).

Selain itu, berdasarkan contoh kurva eksponensial, keluarga \((P_t)\) dalam \(\lL(\ell_1)\) yang didefinisikan oleh \(P_t=e^{tQ}\) membentuk semigrup Markov UC pada \(\ell_1\).

(Di sini, semigrup Markov \((P_t)\) merupakan sekaligus kumpulan matriks Markov dan kumpulan operator, seperti dalam persamaan mmismo.)

Teorema berikut menyatakan bahwa semigrup Markov UC hanya dapat muncul dengan cara ini.

Jika \((P_t)\) merupakan semigrup Markov UC pada \(\ell_1\), terdapat matriks intensitas konservatif \(Q\) sedemikian sehingga \(P_t=e^{tQ}\) untuk setiap \(t\geq0\).

Misalkan \((P_t)\) suatu semigrup Markov UC pada \(\ell_1\).

Karena \((P_t)\) merupakan semigrup UC pada \(\ell_1\), dari teorema karakterisasi semigrup UC terdapat \(Q\in\lL(\ell_1)\) sedemikian sehingga \(P_t=e^{tQ}\) untuk setiap \(t\geq0\).

Kita hanya perlu menunjukkan bahwa \(Q\) merupakan matriks intensitas konservatif.

Karena \((P_t)\) adalah semigrup Markov, \(P_t\) merupakan matriks Markov untuk setiap \(t\). Karena \(P_t=e^{tQ}\) untuk setiap \(t\), dapat disimpulkan bahwa \(Q\) merupakan matriks intensitas.

Kita telah membuktikan hal ini untuk kasus \(|S|<\infty\) dalam hasil matriks intensitas ruang berhingga, dan argumen yang sama tetap berlaku ketika \(|S|=\infty\).

Karena \(Q\in\lL(\ell_1)\), kita mengetahui bahwa \(Q\) merupakan operator terbatas. Jadi, \(Q\) adalah matriks intensitas konservatif.

Catatan pelengkapan hilir. Pada ruang keadaan terhitung, langkah yang diringkas di atas dapat dibaca dalam norma \(\ell_1\): untuk vektor massa satuan \(\delta_x\), konvergensi \((\delta_xP_h-\delta_x)/h\to\delta_xQ\) memberi \(Q(x,y)\geq0\) bagi \(y\neq x\). Karena konvergensi berlangsung dalam \(\ell_1\), penjumlahan koordinat boleh dilewatkan melalui limit, sehingga \(\sum_yQ(x,y)=0\). Ekspansi terhadap basis Schauder \((\delta_x)\) dari \(\ell_1\) kemudian memberikan representasi matriks persamaan imislo untuk setiap \(f\in\ell_1\). Ini menutup dua syarat matriks intensitas tanpa mengandalkan pertukaran jumlah tak berhingga yang tidak dibenarkan.

Dari teorema semigrup Markov UC kita dapat segera menyimpulkan bahwa

Sesungguhnya, hasil-hasil ini hanyalah kasus khusus dari klaim-klaim dalam teorema karakterisasi semigrup UC.

Butir kedua dari belakang merupakan persamaan Kolmogorov maju dan mundur.

Butir terakhir menunjukkan bahwa kita dapat memperoleh matriks intensitas \(Q\) dengan mengambil turunan kanan \(P_t\) pada \(t=0\).

Mari kita tinjau kembali proses Poisson \((N_t)\) pada \(S=\ZZ_+\) dengan laju \(\lambda>0\) dalam kaitannya dengan pembahasan di atas.

Semigrup \((P_t)\) yang bersesuaian bersifat UC. Karena itu, terdapat matriks intensitas konservatif \(Q\) yang memenuhi \(P_t=e^{tQ}\) untuk setiap \(t\geq0\).

Fakta ini dapat ditetapkan dengan membuktikan sifat UC, lalu menerapkan teorema semigrup Markov UC.

Alternatif lain, yang lebih mudah dalam kasus ini, adalah memberikan matriks intensitas \(Q\) secara langsung, lalu memverifikasi bahwa \(P_t=e^{tQ}\).

Semigrup untuk proses Poisson dengan laju \(\lambda\) diberikan dalam persamaan poissemi dan dituliskan kembali di sini:

\[ P_t(j, k) = \begin{cases} e^{-\lambda t} \frac{ (\lambda t)^{k-j} }{(k-j)!} & \text{ jika } j \leq k \\ 0 & \text{ selainnya}. \end{cases} \]

Untuk matriks intensitasnya, kita ambil

\[ Q := \begin{pmatrix} -\lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & -\lambda & \lambda & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & -\lambda & \lambda & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & -\lambda & \lambda & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{pmatrix}. \]

Bentuk \(Q\) bersifat intuitif: massa probabilitas mengalir keluar dari keadaan \(i\) dan masuk ke keadaan \(i+1\) dengan laju \(\lambda\).

Jelas bahwa \(Q\) merupakan matriks intensitas, seperti diklaim.

Latihan meminta Anda memastikan bahwa \(Q\) berada dalam \(\lL(\ell_1)\).

Untuk membuktikan bahwa \(P_t=e^{tQ}\) bagi sembarang \(t\geq0\), mula-mula kita uraikan \(Q\) sebagai \(Q=\lambda(K-I)\), dengan \(K\) didefinisikan oleh

\[ K(i, j) = \mathbb 1\{j = i + 1\}. \]

Untuk \(t\geq0\) yang diberikan, kita kemudian memperoleh

\[ e^{tQ} = e^{\lambda t (K-I)} = e^{-\lambda t} e^{\lambda t K} = e^{-\lambda t} \sum_{m \geq 0} \frac{(\lambda t K)^m}{m!}. \]

Latihan meminta Anda memverifikasi bahwa pangkat-pangkat \(K\) memenuhi \(K^m(i,j)=\mathbb 1\{j=i+m\}\).

Memasukkan bentuk \(K^m\) ini menghasilkan

\[ e^{tQ}(i, j) = e^{-\lambda t} \sum_{m \geq 0} \frac{(\lambda t )^m}{m!} \mathbb 1\{j = i + m\} = e^{-\lambda t} \sum_{m \geq 0} \frac{(\lambda t )^m}{m!} \mathbb 1\{m = j-i\}. \]

Ini identik dengan persamaan poissemi2.

Sekarang dapat disimpulkan bahwa \(t\mapsto P_t\in\lL(\ell_1)\) terdiferensialkan pada setiap \(t\geq0\) dan \(Q\) merupakan generator dari \((P_t)\), dengan turunan kanan \(P_0'=Q\).

Syarat Perlu dan Cukup

Definisi kita tentang matriks intensitas konservatif sesuai untuk teori di atas, tetapi mungkin sulit diperiksa dalam penerapan dan kurang memberikan intuisi probabilistik.

Untungnya, kita memiliki karakterisasi sederhana berikut.

Matriks intensitas \(Q\) pada \(S\) bersifat konservatif jika dan hanya jika \(\sup_x|Q(x,x)|\) berhingga.

Pembuktiannya merupakan latihan yang telah dilengkapi solusi.

Ingat kembali latar rantai lompatan. Dengan mengulangi persamaan kolbackeq, kita mendefinisikan \(Q\) melalui

\[ Q(x, y) := \lambda(x) (K(x, y) - I(x, y)). \]

Fungsi \(\lambda\colon S\to\RR_+\) memberikan laju lompatan pada setiap keadaan, sedangkan \(K\) merupakan matriks Markov bagi rantai lompatan waktu diskret yang tertanam.

Sebelumnya kita membahas latar ini ketika \(S\) berhingga, tetapi perhatian kita tidak perlu dibatasi pada kasus tersebut.

Untuk \(S\) terhitung yang umum, matriks \(Q\) yang didefinisikan dalam persamaan kolbackeq_inf tetap merupakan matriks intensitas.

Jika kita tetap mengasumsikan \(K(x,x)=0\) untuk setiap \(x\), maka \(Q(x,x)=-\lambda(x)\).

Karena itu, \(Q\) bersifat konservatif jika dan hanya jika \(\sup_x\lambda(x)\) berhingga.

Dengan kata lain, \(Q\) bersifat konservatif jika himpunan laju lompatannya terbatas.

Sumber menyimpulkan dari contoh ini bahwa syarat konservatif pada \(Q\) merupakan pembatasan yang relatif ringan.

Catatan kualifikasi hilir. Syarat tersebut memang mudah diperiksa dan memberikan syarat cukup yang kuat untuk tidak terjadinya ledakan. Namun, keterbatasan seragam semua laju bukan syarat perlu bagi sifat tidak meledak dan dapat mengecualikan model kelahiran atau antrean yang penting.

Kasus Ruang Keadaan Berhingga

Dari lema syarat konservatif, langsung terlihat bahwa setiap matriks intensitas bersifat konservatif ketika ruang keadaan \(S\) berhingga.

Karena itu, dalam latar ini setiap matriks intensitas \(Q\) pada \(S\) mendefinisikan semigrup Markov UC \((P_t)\) melalui \(P_t=e^{tQ}\).

Sebaliknya, jika \(S\) berhingga, setiap semigrup Markov \((P_t)\) merupakan semigrup Markov UC.

Untuk melihatnya, ingat bahwa sebagai semigrup Markov, \((P_t)\) memenuhi \(\lim_{t\to0}P_t(x,y)=I(x,y)\) untuk setiap \(x,y\) dalam \(S\).

Dalam ruang berdimensi berhingga, konvergensi titik demi titik menyiratkan konvergensi norma. Jadi, \(P_t\to I\) dalam norma operator ketika \(t\to0\) dari kanan.

Seperti yang telah kita lihat, ini cukup untuk memastikan bahwa pemetaan \(t\mapsto P_t\) kontinu dalam norma di seluruh \(\RR_+\).

Dengan demikian, \((P_t)\) merupakan semigrup Markov UC.

Dengan menggabungkan hasil-hasil tersebut dengan teorema semigrup Markov UC, kita menyimpulkan bahwa ketika \(S\) berhingga, terdapat korespondensi satu-ke-satu antara semigrup Markov dan matriks intensitas.

Dari Matriks Intensitas ke Rantai Lompatan

Kini kita memahami bahwa terdapat pasangan satu-ke-satu antara matriks intensitas konservatif dan semigrup Markov UC.

Gagasan-gagasan ini penting dari sudut pandang analitis.

Sekarang kita memberikan sudut pandang lain yang lebih erat terkait dengan probabilitas.

Sudut pandang ini penting bagi teori maupun komputasi.

Pasangan Rantai Lompatan

Mari kita sepakati bahwa \((\lambda,K)\) disebut pasangan rantai lompatan jika \(\lambda\) merupakan pemetaan dari \(S\) ke \(\RR_+\) dan \(K\) merupakan matriks Markov pada \(S\).

Mudah diverifikasi bahwa matriks \(Q\) pada \(S\) yang didefinisikan oleh

\[ Q(x, y) := \lambda(x) (K(x, y) - I(x, y)) \]

merupakan matriks intensitas.

(Dalam kuliah sebelumnya, kita melihat bahwa \(Q\) merupakan matriks intensitas bagi rantai lompatan \((X_t)\) yang dibangun melalui algoritma rantai lompatan dari pasangan rantai lompatan \((\lambda,K)\).)

Seperti yang akan kita tunjukkan, setiap matriks intensitas memiliki uraian dalam persamaan jcinmat untuk suatu pasangan rantai lompatan.

Dekomposisi Rantai Lompatan

Untuk matriks intensitas \(Q\) yang diberikan, tetapkan

\[ \lambda(x) := -Q(x, x) \qquad (x \in S). \]

Selanjutnya, kita membangun \(K\), mula-mula pada diagonal utama melalui

\[ K(x,x) = \begin{cases} 0 & \text{ jika } \lambda(x) > 0 \\ 1 & \text{ selainnya}. \end{cases} \]

Jadi, jika laju meninggalkan \(x\) positif, kita menetapkan \(K(x,x)=0\) agar rantai lompatan tertanam berpindah dari \(x\) dengan probabilitas satu ketika lompatan berikutnya terjadi.

Sebaliknya, ketika \(Q(x,x)=0\), kita menetap di \(x\) selamanya. Jadi, \(x\) merupakan keadaan penyerap.

Di luar diagonal utama, yakni ketika \(x\neq y\), kita tetapkan

\[ K(x,y) = \begin{cases} \frac{Q(x,y)}{\lambda(x)} & \text{ jika } \lambda(x) > 0 \\ 0 & \text{ selainnya}. \end{cases} \]

Latihan di bawah meminta Anda memastikan bahwa untuk \(\lambda\) dan \(K\) yang baru didefinisikan,

  1. \((\lambda,K)\) merupakan pasangan rantai lompatan; dan
  2. matriks intensitas \(Q\) memenuhi persamaan jcinmat.

Kita menyebut \((\lambda,K)\) sebagai dekomposisi rantai lompatan dari \(Q\).

Kita merangkumnya dalam sebuah lema.

Suatu matriks \(Q\) pada \(S\) merupakan matriks intensitas jika dan hanya jika terdapat pasangan rantai lompatan \((\lambda,K)\) sedemikian sehingga persamaan jcinmat berlaku.

Kasus Konservatif

Dari contoh pasangan rantai lompatan, kita mengetahui bahwa matriks intensitas \(Q\) bersifat konservatif jika dan hanya jika \(\lambda\) terbatas.

Selain itu, dalam teorema semigrup Markov UC kita melihat bahwa pasangan antara matriks intensitas konservatif dan semigrup Markov UC bersifat satu-ke-satu.

Hal ini menghasilkan pernyataan berikut.

Pada \(S\), terdapat korespondensi satu-ke-satu antara himpunan-himpunan objek berikut:

  1. Himpunan semua dekomposisi rantai lompatan kanonik \((\lambda,K)\) dengan \(\lambda\) terbatas, \(K(x,x)=0\) jika \(\lambda(x)>0\), dan \(K(x,x)=1\) jika \(\lambda(x)=0\).
  2. Himpunan semua matriks intensitas konservatif.
  3. Himpunan semua semigrup Markov UC.

Catatan koreksi hilir. Sumber menyatakan butir pertama untuk semua pasangan rantai lompatan dengan \(\lambda\) terbatas. Tanpa konvensi kanonik di atas, pemetaan \((\lambda,K)\mapsto Q\) tidak injektif: transisi-diri dapat dipindahkan antara laju \(\lambda\) dan diagonal \(K\) tanpa mengubah \(Q\). Pembatasan pada dekomposisi yang baru didefinisikan memulihkan korespondensi satu-ke-satu yang dimaksud.

Simulasi

Berdasarkan pembahasan sebelumnya, kita memiliki cara sederhana untuk menyimulasikan rantai Markov dari sembarang matriks intensitas konservatif \(Q\).

Langkah-langkahnya adalah

  1. Uraikan \(Q\) menjadi pasangan rantai lompatan \((\lambda,K)\).
  2. Lakukan simulasi melalui algoritma rantai lompatan.

Dengan mengingat pembahasan persamaan Kolmogorov mundur, kita mengetahui bahwa prosedur ini menghasilkan rantai Markov dengan semigrup Markov \((P_t)\) yang memenuhi \(P_t=e^{tQ}\) untuk \(Q\) dalam persamaan jcinmat.

(Walaupun argumen kita mengasumsikan \(S\) berhingga, pembuktiannya tetap berlaku ketika \(S\) terhitung tak berhingga dan \(Q\) konservatif, dengan perubahan yang sangat kecil.)

Secara khusus, \((X_t)\) merupakan rantai Markov waktu kontinu dengan matriks intensitas \(Q\).

Melampaui Matriks Intensitas Terbatas

Jika dalam suatu penerapan kita menjumpai matriks intensitas \(Q\) yang tidak konservatif, apa yang dapat kita harapkan?

Dalam keadaan ini, setidaknya kita dapat berharap bahwa \(Q\) mempunyai suatu realisasi operator—dengan domain rapat yang dinyatakan—yang merupakan generator semigrup \(C_0\).

Jika semigrup yang dibangkitkan juga positif, mempertahankan massa, dan memenuhi syarat Markov yang sesuai, semigrup tersebut merupakan semigrup Markov.

Catatan koreksi hilir. Sumber menyatakan bahwa karena \(Q\) merupakan matriks intensitas, semigrup yang dibangkitkannya pasti merupakan semigrup Markov. Untuk operator tak terbatas, bentuk matriks intensitas saja belum menjamin sifat generator, kepositifan, ketunggalan, ataupun konservasi massa. Syarat-syarat tambahan tersebut diperlukan, terutama ketika ledakan mungkin terjadi.

Realisasi minimal dari suatu matriks \(Q\) dapat hanya menghasilkan semigrup sub-Markov: massa totalnya berkurang ketika proses meledak. Bahkan jika suatu perluasan konservatif ada, ketunggalannya perlu dibuktikan. Keterbatasan seragam laju lompatan menjamin tidak terjadinya ledakan, tetapi bukan syarat perlu. Sebagai contoh, proses kelahiran murni dengan laju \(\lambda_n=n+1\) memiliki laju tak terbatas tetapi tidak meledak, sedangkan \(\lambda_n=(n+1)^2\) menghasilkan ledakan.

Untuk mengetahui kapan \(Q\) menjadi generator semigrup \(C_0\), kita perlu merujuk pada Teorema Hille–Yosida dan syarat-syarat cukup yang diturunkan darinya.

Walaupun kita tidak membahas rinciannya, patut dicatat bahwa persoalan ini berkaitan dengan ledakan.

Untuk melihat hubungannya, ingat bahwa sebagian masalah nilai awal tidak menghasilkan solusi sah yang terdefinisi untuk setiap \(t\in\RR_+\).

Salah satu contohnya adalah masalah skalar \(x'_t=1+x_t^2\), yang memiliki solusi \(x_t=\tan(t-c)\) untuk suatu konstanta \(c\) pada selang keberadaan maksimalnya.

Solusi tersebut menuju \(+\infty\) ketika \(t\uparrow c+\pi/2\) dan tidak dapat dilanjutkan sebagai solusi bernilai riil melewati waktu itu.

Masalahnya ialah lintasan waktu meledak menuju tak berhingga dalam waktu berhingga.

Persoalan yang sama dapat terjadi pada proses Markov jika laju lompatannya tumbuh cukup cepat.

Untuk pembahasan lebih lanjut, lihat, misalnya, Bagian 2.7 dari J. R. Norris, Markov Chains (Cambridge University Press, 1998), Bagian 2.7.

Catatan koreksi hilir. Sumber menyatakan bahwa \(\tan(t-c)\) “sama dengan \(+\infty\)” untuk semua \(t\geq c+\pi/2\). Formulasi di atas menyatakan fakta yang tepat: solusi klasik mencapai batas waktu berhingga dan tidak terdefinisi di titik ledakan.

Latihan

Misalkan \(P\) suatu matriks Markov pada \(S\) dan identifikasikan \(P\) dengan operator linear dalam persamaan mmismo. Verifikasi klaim-klaim dalam persamaan propp.

Solusi Untuk menentukan norma \(P\), kita menggunakan definisi dalam persamaan norml.

Untuk setiap \(f\in\ell_1\), jumlah dalam persamaan mmismo terkonvergensi secara mutlak sebagai unsur \(\ell_1\), sebab

\[ \sum_y\sum_x |f(x)|P(x,y)=\sum_x|f(x)|<\infty. \]

Identitas ini juga membenarkan pertukaran urutan jumlah di bawah, sedangkan linearitas mengikuti langsung dari linearitas setiap jumlah koordinat.

Jika \(f\in\ell_1\) dan \(\|f\|\leq1\), maka

\[ \| f P \| \leq \sum_y \sum_x |f(x)| P(x, y) = \sum_x |f(x)| \sum_y P(x, y) = \sum_x |f(x)| = \| f \|. \]

Jadi, \(\|P\|\leq1\).

Untuk melihat bahwa kesamaan berlaku, kita dapat mengulangi argumen ini dengan \(f\geq0\) dan \(\|f\|=1\), sehingga diperoleh \(\|fP\|=\|f\|=1\).

Sekarang, pilih sembarang \(\phi\in\dD\).

Jelas bahwa \(\phi P\geq0\), dan

\[ \sum_y (\phi P)(y) =\sum_y \sum_x \phi (x) P(x, y) =\sum_x \phi (x) \sum_y P(x, y) = 1. \]

Jadi, \(\phi P\in\dD\), seperti diklaim.

Buktikan klaim dalam lema syarat konservatif.

Solusi Berikut salah satu solusinya.

Misalkan \(Q\) suatu matriks intensitas pada \(S\).

Pertama, anggap bahwa \(m:=\sup_x|Q(x,x)|\) berhingga.

Jika \(m=0\), sifat jumlah baris nol dan ketaknegatifan unsur luar diagonal memaksa \(Q=0\). Maka \(Q\) jelas merupakan operator terbatas.

Sekarang anggap \(m>0\) dan tetapkan \(\hat P:=I+Q/m\).

Tidak sulit untuk memeriksa bahwa \(\hat P\) merupakan matriks Markov dan \(Q=m(\hat P-I)\).

Karena \(\hat P\) merupakan matriks Markov, ia menginduksi operator linear terbatas pada \(\ell_1\) melalui persamaan mmismo.

Karena \(\lL(\ell_1)\) merupakan ruang linear, \(Q\) juga berada dalam \(\lL(\ell_1)\).

Secara khusus, \(Q\) merupakan operator terbatas dan karena itu bersifat konservatif.

Sebaliknya, anggap bahwa \(Q\) konservatif tetapi \(\sup_x|Q(x,x)|\) tak berhingga.

Pilih \(x\in S\) sedemikian sehingga \(|Q(x,x)|>\|Q\|\).

Definisikan \(f\in\ell_1\) dengan \(f(z)=\mathbb 1\{z=x\}\).

Karena \(\|f\|=1\), kita memperoleh

\[ \| Q \| \geq \| f Q \| = \sum_y \left| \sum_z f(z) Q(z, y) \right| = \sum_y | Q(x, y) | \geq | Q(x, x) |, \]

yang merupakan kontradiksi.

Catatan koreksi hilir. Solusi sumber langsung membagi dengan \(m=\sup_x|Q(x,x)|\) tanpa menangani kemungkinan \(m=0\). Kasus nol dipisahkan di atas agar definisi \(\hat P=I+Q/m\) sah.

Pastikan bahwa \(Q\) yang didefinisikan dalam persamaan poissonq menginduksi operator linear terbatas pada \(\ell_1\) melalui persamaan imislo.

Solusi Linearitasnya langsung terlihat, sehingga kita berfokus pada keterbatasan.

Untuk sembarang \(f\in\ell_1\) dan pilihan \(Q\) ini, dengan konvensi \(f(-1)=0\), berlaku

\[ (fQ)(y)=\lambda\bigl(f(y-1)-f(y)\bigr) \qquad (y\in\ZZ_+). \]

Oleh karena itu, ketaksamaan segitiga memberi

\[ \begin{aligned} \|fQ\| &=\lambda\sum_{y\geq0}|f(y-1)-f(y)| \\ &\leq\lambda\sum_{y\geq0}|f(y-1)| +\lambda\sum_{y\geq0}|f(y)| \\ &=2\lambda\|f\|. \end{aligned} \]

Jadi, \(\|fQ\|\leq2\lambda\|f\|\), yang menyiratkan \(Q\in\lL(\ell_1)\) sebagaimana diperlukan.

Catatan koreksi hilir. Solusi sumber menuliskan jumlah ganda yang tidak sesuai indeks dan akan tak berhingga. Identitas koordinat yang tepat bagi \(fQ\) serta estimasi norma yang dimaksud dinyatakan secara eksplisit di atas.

Misalkan \(K\) didefinisikan pada \(\ZZ_+\times\ZZ_+\) oleh \(K(i,j)=\mathbb 1\{j=i+1\}\).

Tunjukkan bahwa, dengan \(K^m\) menyatakan hasil kali matriks ke-\(m\) dari \(K\) dengan dirinya sendiri, berlaku \(K^m(i,j)=\mathbb 1\{j=i+m\}\) bagi setiap \(i,j\in\ZZ_+\).

Solusi Untuk \(m=0\), \(K^0=I\), sehingga \(K^0(i,j)=\mathbb 1\{j=i\}\).

Sekarang, anggap bahwa pernyataan tersebut berlaku pada suatu \(m\geq0\).

Berdasarkan definisi komposisi atau perkalian matriks, kita memperoleh

\[ K^{m+1}(i, j) = \sum_n K^m(i, n) K(n, j) = \sum_n \mathbb 1\{n=i+m\}\mathbb 1\{j=n+1\} = \mathbb 1\{j=i+m+1\}. \]

Ini menyelesaikan langkah induksi dan mencakup setiap \(m\in\ZZ_+\).

Catatan pelengkapan hilir. Solusi sumber mulai dari \(m=1\) dan menulis \(K(i,j-m)\), yang berada di luar ruang keadaan ketika \(j<m\). Pembuktian di atas menyertakan \(m=0\) dan menghindari evaluasi indeks negatif.

Misalkan \(Q\) sembarang matriks intensitas pada \(S\).

Buktikan bahwa dekomposisi rantai lompatan dari \(Q\) benar-benar merupakan pasangan rantai lompatan.

Buktikan pula bahwa dekomposisi \((\lambda,K)\) ini memenuhi persamaan jcinmat.

Solusi Misalkan \(Q\) suatu matriks intensitas dan \((\lambda,K)\) dekomposisi rantai lompatan dari \(Q\).

Ketaknegatifan \(\lambda\) langsung mengikuti definisi matriks intensitas.

Untuk melihat bahwa \(K\) merupakan matriks Markov, tetapkan \(x\in S\) dan pertama-tama anggap \(\lambda(x)>0\). Maka

\[ \sum_y K(x, y) = \sum_{y \neq x} K(x,y) = \sum_{y \neq x} \frac{Q(x,y)}{\lambda(x)} = \frac{-Q(x,x)}{\lambda(x)} = 1. \]

Jika \(\lambda(x)=0\), maka \(Q(x,x)=0\). Karena unsur luar diagonal tak negatif dan jumlah baris \(Q\) sama dengan nol, \(Q(x,y)=0\) bagi setiap \(y\neq x\). Definisi persamaan kfromqxx–persamaan kfromqxy kemudian memberi \(K(x,x)=1\) dan \(K(x,y)=0\) bagi \(y\neq x\), sehingga sekali lagi \(\sum_yK(x,y)=1\).

Karena \(K\) tak negatif, \(K\) merupakan matriks Markov. Jadi, \((\lambda,K)\) merupakan pasangan rantai lompatan yang sah.

Terakhir, kita verifikasi persamaan jcinmat. Jika \(\lambda(x)>0\) dan \(y\neq x\), maka \(\lambda(x)K(x,y)=Q(x,y)\); sedangkan untuk \(y=x\),

\[ \lambda(x)(K(x,x)-1)=-\lambda(x)=Q(x,x). \]

Jika \(\lambda(x)=0\), kedua ruas persamaan jcinmat bernilai nol bagi \(y=x\) maupun \(y\neq x\), berdasarkan pengamatan pada paragraf sebelumnya. Jadi, persamaan jcinmat berlaku untuk semua \(x,y\in S\).

Catatan pelengkapan hilir. Solusi sumber menyebut verifikasi terakhir “mekanis” lalu menghilangkan rinciannya. Pemisahan kasus lengkap diberikan di atas agar pasangan latihan–solusi tetap memadai untuk belajar mandiri.

  1. Sebelumnya, kita memperkenalkan pengertian matriks intensitas ketika \(S\) berhingga, dan definisinya pada dasarnya tidak berubah dalam latar sekarang. Secara khusus, \(Q \colon S \times S \to \RR\) disebut matriks intensitas jika jumlah setiap baris \(Q\) sama dengan nol dan \(Q(x,y)\geq0\) setiap kali \(x\neq y\).↩︎