Semigrup dan Generator

Semigrup dan Generator

Gambaran umum

Dalam kuliah-kuliah sebelumnya kita telah melihat bahwa, dalam latar yang dibahas di sana, setiap matriks intensitas membangkitkan suatu semigrup Markov.

Kita juga telah mengisyaratkan bahwa pasangan tersebut bersifat satu-ke-satu, dalam arti yang akan diperjelas.

Untuk memperjelas gagasan ini, kita mulai dalam latar abstrak, dengan suatu masalah nilai awal yang sembarang.

Dalam latar ini kita memperkenalkan semigrup operator umum beserta generatornya.

Setelah itu, kita dapat kembali ke kasus Markov dan menjelaskan sepenuhnya hubungan antara matriks intensitas dan semigrup Markov.

Materi di bawah ini relatif teknis. Sebagian besar kerumitannya timbul karena ruang keadaan dapat berukuran tak berhingga.

Teknisitas semacam ini sulit dihindari karena begitu banyak rantai Markov yang menarik memang memiliki ruang keadaan tak berhingga.

Pembaca diasumsikan memiliki pengetahuan dasar tentang ruang Banach.

Motivasi

Teori umum semigrup operator kontinu dimotivasi oleh masalah penyelesaian ODE linear dalam ruang berdimensi tak berhingga.2

Lebih khusus lagi, tantangannya adalah menyelesaikan masalah nilai awal seperti

\[ x'_t = A x_t, \quad x_0 \text{ diberikan} \]

dengan

Masalah ini juga disebut “masalah Cauchy abstrak”.

Mengapa kita perlu menyelesaikan masalah seperti ini?

Salah satu contohnya berasal dari PDE.

PDE memberi tahu kita bagaimana fungsi berubah seiring waktu, bermula dari deskripsi infinitesimal.

Ketika \(x_t\) merupakan suatu titik dalam ruang fungsi, masalah tersebut cocok dengan kerangka persamaan abscp.

Contoh lain berasal dari proses Markov. Seperti yang telah kita lihat, aliran distribusi sepanjang waktu dapat direpresentasikan sebagai ODE linear dalam ruang distribusi.

Jika banyaknya keadaan tak berhingga, ruang distribusinya pun berdimensi tak berhingga.

Ini merupakan versi lain dari persamaan abscp; kita akan kembali kepadanya setelah membahas teori umum.

Sebagai gambaran tingkat tinggi tentang hasil-hasil di bawah, solusi masalah Cauchy direpresentasikan sebagai lintasan \(t \mapsto U_t x_0\) dari nilai awal \(x_0\) di bawah suatu semigrup pemetaan \((U_t)\).

Operator \(A\) dalam persamaan abscp disebut “generator” dari \((U_t)\) dan merupakan deskripsi infinitesimalnya.

Catatan ruang lingkup hilir. Jika \(A\) mungkin tak terbatas, lintasan \(U_tx_0\) merupakan solusi klasik dari persamaan abscp hanya di bawah syarat domain dan keteraturan yang sesuai—khususnya \(x_0\in D(A)\). Untuk \(x_0\) umum, \(U_tx_0\) ditafsirkan sebagai solusi ringan (mild solution). Dalam kasus UC yang dibahas di bawah, generatornya terbatas dan \(D(A)=\BB\), sehingga pembedaan ini tidak menimbulkan masalah.

Pendahuluan teknis

Sepanjang kuliah ini, \((\BB, \| \cdot \|)\) adalah ruang Banach.

Ruang Operator Linear

Ingat bahwa operator linear pada \(\BB\) adalah pemetaan \(A\) dari \(\BB\) ke dirinya sendiri yang memenuhi

\[ A(\alpha g + \beta h) = \alpha A g + \beta A h, \quad \forall \, g, h \in \BB, \;\; \alpha, \beta \in \RR \]

Operator \(A\) disebut terbatas jika

\[ \| A \| := \sup_{g \in \BB, \, \| g \| \leq 1} \| A g \| < \infty \]

Ini adalah definisi biasa bagi operator linear terbatas pada ruang linear bernorma.

Himpunan semua operator linear terbatas pada \(\BB\) dinotasikan dengan \(\linop\) dan merupakan ruang Banach.

Penjumlahan dan perkalian skalar unsur-unsur \(\linop\) didefinisikan dengan cara biasa. Jadi, untuk \(\alpha \in \RR\), \(A,B\in\linop\), dan \(g\in\BB\), berlaku

\[ (A + B) g = Ag + Bg, \quad (\alpha A) g = \alpha (A g) \]

dan seterusnya.

Kita menulis \(AB\) untuk menyatakan komposisi operator \(A,B\in\linop\).

Nilai yang didefinisikan dalam persamaan norml disebut norma operator dari \(A\) dan, seperti ditunjukkan notasinya, merupakan norma pada \(\linop\).

Selain merupakan norma, norma operator memiliki sifat submultiplikatif \(\|AB\|\leq\|A\|\|B\|\) untuk semua \(A,B\in\linop\).

Misalkan \(I\) adalah identitas dalam \(\linop\), sehingga \(Ig=g\) untuk setiap \(g\in\BB\).

(Sesungguhnya, \(\linop\) adalah aljabar Banach unital apabila perkalian diidentifikasi dengan komposisi operator dan \(I\) dipakai sebagai unsur identitasnya.)

Fungsi Eksponensial

Untuk \(A\in\linop\), eksponensial \(A\) adalah unsur \(\linop\) yang didefinisikan oleh

\[ e^A = \sum_{k \geq 0} \frac{A^k}{k!} = I + A + \frac{A^2}{2!} + \cdots \]

Definisi ini sama dengan definisi eksponensial matriks. Fungsi eksponensial muncul secara alami sebagai solusi ODE dalam ruang Banach. Salah satu contohnya, seperti akan kita lihat, ialah aliran distribusi yang berkaitan dengan rantai Markov waktu kontinu.

Pemetaan eksponensial memiliki sifat-sifat berikut:

Fakta terakhir mudah diperiksa dari fakta-fakta sebelumnya.

Kalkulus Operator

Tinjau fungsi

\[ \RR_+ \ni t \mapsto U_t \in \linop \]

yang dapat kita pandang sebagai lintasan waktu dalam \(\linop\), misalnya aliran operator Markov.

Kita mengatakan bahwa fungsi ini terdiferensialkan di \(\tau\in\RR_+\) apabila terdapat unsur \(T\) dari \(\linop\) sedemikian sehingga

\[ \frac{U_{\tau+h} - U_\tau}{h} \to T \; \text{ ketika } h \to 0 \]

Dalam hal ini, \(T\) disebut turunan fungsi \(t\mapsto U_t\) di \(\tau\), dan kita menulis

\[ T = U'_\tau \; \text{ atau } \; T = \frac{d}{dt} U_t \, \Big|_{t=\tau}. \]

(Konvergensi operator berlangsung dalam norma operator. Jika \(\tau=0\), limit \(h\to0\) dalam persamaan devlim adalah limit kanan.)

Jika \(U_t=tV\) untuk suatu \(V\in\linop\) yang tetap, mudah dilihat bahwa \(V\) adalah turunan \(t\mapsto U_t\) pada setiap \(t\in\RR_+\).

Dalam pembahasan kita mengenai persamaan Kolmogorov maju ketika \(S\) berhingga, kita memperkenalkan turunan pemetaan \(t\mapsto P_t\), dengan setiap \(P_t\) merupakan matriks pada \(S\).

Turunan tersebut didefinisikan dengan menurunkan \(P_t\) unsur demi unsur.

Ini berimpit dengan definisi operator-teoretis dalam persamaan devlim ketika \(S\) berhingga. Dalam hal itu, ruang \(\lL(\ell_1(S))\) yang terdiri atas semua operator linear terbatas pada \(\ell_1(S)\) berdimensi berhingga, sehingga konvergensi titik demi titik dan konvergensi norma berimpit.

Catatan klarifikasi hilir. Sumber menulis \(\ell_1\) tanpa menampilkan ketergantungannya pada \(S\). Ruang \(\ell_1\) standar pada barisan tak berhingga bukan berdimensi berhingga; klaim di atas berlaku karena di sini yang dimaksud adalah \(\ell_1(S)\) untuk himpunan keadaan berhingga \(S\).

Seperti pada kasus matriks dan skalar, kita memperoleh hasil berikut.

Keterdiferensialan Kurva Eksponensial Untuk setiap \(A\in\linop\), kurva eksponensial \(t\mapsto e^{tA}\) terdiferensialkan di setiap titik dan

\[ \frac{d}{dt} e^{tA} = e^{tA} A = A e^{tA}. \]

Pembuktiannya menjadi latihan yang telah dilengkapi solusi di bawah.

Semigrup dan Generator

Untuk rantai Markov waktu kontinu dengan ruang keadaan berhingga \(S\), kita telah melihat bahwa semigrup Markov sering berbentuk \(P_t=e^{tQ}\) bagi suatu matriks intensitas \(Q\).

Bentuk ini ideal karena seluruh semigrup dicirikan secara sederhana oleh deskripsi infinitesimalnya, yaitu \(Q\).

Ternyata, ketika \(S\) berhingga, pernyataan ini selalu benar: jika \((P_t)\) merupakan semigrup Markov, terdapat matriks intensitas \(Q\) yang memenuhi \(P_t=e^{tQ}\) untuk setiap \(t\).

Selain itu, pernyataan tersebut tetap benar ketika \(S\) tak berhingga, asalkan semigrupnya memenuhi beberapa pembatasan.

Catatan ruang lingkup hilir. Pernyataan ruang keadaan berhingga memakai pengertian semigrup Markov yang kontinu di waktu nol. Untuk ruang keadaan tak berhingga, matriks intensitas umum dapat menimbulkan ledakan, kehilangan massa, atau masalah ketunggalan; karena itu pembatasan yang disebut pada kalimat sebelumnya benar-benar diperlukan untuk memperoleh semigrup Markov yang konservatif (honest), dengan massa total tetap satu.

Tujuan kita adalah merumuskan pernyataan-pernyataan ini secara tepat, mula-mula dalam latar abstrak lalu melalui spesialisasi.

Semigrup Operator

Misalkan \(U_t\) merupakan unsur \(\linop\) untuk setiap \(t\in\RR_+\).

Kita mengatakan bahwa \((U_t)\) adalah semigrup evolusi pada \(\BB\) jika \(U_0=I\) dan \(U_{s+t}=U_sU_t\) untuk setiap \(s,t\geq0\).

Catatan koreksi hilir. Sumber menyebut semigrup evolusi “pada \(\linop\)”. Keluarga tersebut terdiri atas operator dalam \(\linop\), tetapi bertindak pada ruang Banach \(\BB\); formulasi standar dan konsisten dengan definisi-definisi berikut adalah “semigrup pada \(\BB\)”.

Gagasannya ialah bahwa \((U_t)\) menghasilkan lintasan dalam \(\BB\) dari setiap titik awal \(g\in\BB\), sehingga \(U_tg\) ditafsirkan sebagai letak keadaan setelah \(t\) satuan waktu.

Semigrup evolusi \((U_t)\) disebut

Mengikuti istilah sumber uniformly continuous, selanjutnya kita mempertahankan singkatan UC untuk “kontinu seragam”.4

Kurva eksponensial adalah semigrup UC Jika \(U_t=e^{tA}\) untuk \(t\in\RR_+\) dan \(A\in\linop\), maka \((U_t)\) merupakan semigrup kontinu seragam pada \(\BB\).

Klaim bahwa \((U_t)\) merupakan semigrup evolusi langsung mengikuti sifat-sifat fungsi eksponensial di atas.

Kontinuitas dalam norma dapat dibuktikan dengan argumen yang serupa dengan argumen dalam pembuktian keterdiferensialan pada lemma keterdiferensialan kurva eksponensial.

Karena konvergensi norma pada \(\linop\) menyiratkan konvergensi titik demi titik, setiap semigrup kontinu seragam merupakan semigrup \(C_0\).

Kebalikannya tentu tidak benar—banyak semigrup \(C_0\) penting yang tidak kontinu seragam.

Bahkan, semigrup yang berkaitan dengan PDE, difusi, dan proses Markov lain pada ruang keadaan kontinu biasanya merupakan semigrup \(C_0\) tetapi bukan semigrup kontinu seragam.

Ada pula contoh penting semigrup Markov pada ruang keadaan diskret tak berhingga yang tidak kontinu seragam.

Namun, kita akan segera melihat bahwa bagi sebagian besar rantai Markov waktu kontinu yang dipakai dalam penerapan, semigrupnya kontinu seragam.

Generator

Tinjau rantai Markov waktu kontinu pada ruang keadaan berhingga dengan matriks intensitas \(Q\).

Semigrup Markov \((P_t)\) ditentukan sepenuhnya oleh deskripsi infinitesimal \(Q\), dalam arti bahwa

Karena \(P_0=I\), matriks \(Q\) dapat diperoleh kembali dari semigrup melalui

\[ Q = P'_0 = \lim_{h \downarrow 0} \frac{P_h - I}{h}. \]

Dalam latar semigrup \(C_0\) yang lebih abstrak, kita mengatakan bahwa \(Q\) adalah “generator” semigrup \((P_t)\).

Secara lebih umum, jika \((U_t)\) merupakan semigrup \(C_0\), generator dari \((U_t)\) adalah operator linear \(A:D(A)\subseteq\BB\to\BB\) yang didefinisikan oleh

\[ A g = \lim_{h \downarrow 0} \frac{U_h g - g}{h} \]

untuk semua \(g\in\BB\) yang limitnya ada.

Himpunan titik tempat limit tersebut ada—domain generator—dinotasikan dengan \(D(A)\).

Catatan klarifikasi hilir. Sumber mula-mula menyebut \(A\) sebagai operator dari seluruh \(\BB\) ke dirinya sendiri, lalu mendefinisikan \(D(A)\) sebagai himpunan titik tempat limit ada. Penulisan \(A:D(A)\subseteq\BB\to\BB\) di atas menyatakan tipe operator yang mungkin tak terbatas secara tepat.

Pada tahap ini kita ingin menulis persamaan defgenr sebagai \(A=U'_0\), atau menyatakan \(U_t\) sebagai \(e^{tA}\), analog dengan kasus Markov.

Namun, ada beberapa masalah.

Pertama, limit dalam persamaan defgenr dapat gagal ada untuk sebagian \(g\in\BB\).

Memang, mengapa limit itu harus ada, sementara semigrup \(C_0\) tidak disyaratkan terdiferensialkan?

Kedua, sekalipun limitnya ada, operator linear \(A\) dapat tak terbatas—yakni, bukan unsur \(\linop\)—sehingga pernyataan seperti \(U_t=e^{tA}\) menjadi bermasalah.

Walaupun demikian, teori semigrup \(C_0\) ternyata sangat kuat. Dengan sejumlah pekerjaan, masalah teknis tersebut dapat diatasi.5

Lebih baik lagi, untuk penerapan yang hendak kita tinjau, kita dapat berfokus pada semigrup UC, yang tidak menghadapi masalah-masalah tersebut.

Bagian berikut memberikan rinciannya.

Karakterisasi Semigrup Kontinu Seragam

Dalam contoh kurva eksponensial kita melihat bahwa kurva eksponensial merupakan contoh semigrup UC.

Teorema berikut memberi tahu kita bahwa tidak ada contoh lain.

Semigrup UC adalah Kurva Eksponensial Jika \((U_t)\) merupakan semigrup UC pada \(\BB\), terdapat \(A\in\linop\) sedemikian sehingga \(U_t=e^{tA}\) untuk setiap \(t\geq0\). Selain itu,

Tiga klaim terakhir dalam teorema karakterisasi semigrup UC langsung mengikuti klaim pertama.

Pernyataan \(U_t'=AU_t=U_tA\) merupakan generalisasi persamaan Kolmogorov maju dan mundur.

Walaupun sedikit lebih rumit dalam latar Banach, pembuktian klaim pertama— adanya representasi eksponensial—merupakan perluasan langsung dari fakta bahwa setiap fungsi kontinu \(f\) dari \(\RR_+\) ke \(\RR\) yang memenuhi

juga memenuhi \(f(t)=e^{ta}\) untuk suatu \(a\in\RR\) dan setiap \(t\geq0\).

Catatan koreksi hilir. Sumber menuliskan domain \(f\) sebagai \(\RR\), tetapi hanya mengasumsikan persamaan fungsional untuk argumen tak negatif. Domain dan kesimpulan di atas dibatasi pada \(\RR_+\), tepat sesuai hipotesis yang dinyatakan.

Kita membuktikan hal yang sangat serupa dalam sifat tanpa ingatan fungsi eksponensial, mengenai sifat tanpa ingatan fungsi eksponensial.

Untuk pembahasan lebih lanjut tentang kasus skalar, lihat, misalnya, Prasanna K. Sahoo dan Palaniappan Kannappan, Introduction to Functional Equations (CRC Press, 2011).

Untuk pembuktian lengkap klaim pertama dalam teorema karakterisasi semigrup UC, dalam latar aljabar Banach, lihat, misalnya, Bab 7 dari Adam Bobrowski, Functional Analysis for Probability and Stochastic Processes: An Introduction (Cambridge University Press, 2005).

Latihan

Buktikan bahwa persamaan expdiffer berlaku untuk setiap \(A\in\linop\).

Solusi Untuk membuktikan kesamaan pertama, tetapkan \(t\in\RR_+\) dan ambil \(h\neq0\) dengan \(t+h\geq0\). Karena \(tA\) dan \(hA\) saling komutatif,

\[ e^{(t+h)A} - e^{tA} - h e^{tA} A = e^{tA} (e^{hA} - I - hA). \]

Sifat submultiplikatif norma pada \(\linop\) memberi

\[ \left\| \frac{e^{(t+h)A}-e^{tA}}{h}-e^{tA}A \right\| \leq \|e^{tA}\|\, \frac{\|e^{hA}-I-hA\|}{|h|}. \]

Dari definisi eksponensial dan sifat submultiplikatif,

\[ \|e^{hA}-I-hA\| \leq \sum_{k\geq2}\frac{|h|^k\|A\|^k}{k!} =e^{|h|\|A\|}-1-|h|\|A\| =O(h^2)=o(|h|). \]

Jadi ruas kanan menuju nol ketika \(h\to0\). Untuk \(t>0\) argumen ini mencakup kenaikan positif dan negatif; untuk \(t=0\) limitnya memang limit kanan. Kita memperoleh kesamaan pertama dalam persamaan expdiffer, yaitu

\[ \frac{d}{dt}e^{tA}=e^{tA}A. \]

Karena \(A\) komutatif dengan setiap pangkatnya sendiri, \(A\) juga komutatif dengan \(e^{tA}\). Maka \(e^{tA}A=Ae^{tA}\), yang membuktikan kesamaan kedua.

Catatan koreksi hilir. Dalam dua tempat, solusi sumber menghilangkan faktor \(h\): ia menulis sisa dengan \(-e^{tA}A\) dan \(-I-A\). Dengan bentuk itu sisanya tidak bernilai \(o(h)\). Faktor \(h\), estimasi deret, dan limit dari dua sisi pada titik interior dipulihkan di atas.

Dalam banyak buku, semigrup \(C_0\) didefinisikan sebagai semigrup evolusi \((U_t)\) sedemikian sehingga

\[ U_t g \to g \text{ ketika } t \to 0 \text{ untuk setiap } g \in \BB. \]

Tujuan kita adalah menunjukkan bahwa persamaan czsg2 menyiratkan kontinuitas pada setiap titik \(t\), seperti dalam definisi yang kita gunakan di atas.

Teorema Banach–Steinhaus dapat dipakai untuk menunjukkan bahwa, bagi semigrup evolusi \((U_t)\) yang memenuhi persamaan czsg2, terdapat konstanta berhingga \(\omega\) dan \(M\) sedemikian sehingga

\[ \| U_t \| \leq e^{t\omega} M \quad \text{untuk setiap } \; t \geq 0. \]

Gunakan fakta ini bersama persamaan czsg2 untuk menunjukkan bahwa, bagi setiap \(g\in\BB\), pemetaan \(t\mapsto U_tg\) kontinu pada semua \(t\).

Solusi Misalkan \((U_t)\) merupakan semigrup evolusi yang memenuhi persamaan czsg2, dan misalkan \(\omega\) serta \(M\) seperti dalam persamaan sgbound.

Pilih sembarang \(g\in\BB\) dan \(t>0\). Untuk \(h\downarrow0\), di satu sisi,

\[ U_{t+h}g=U_hU_tg\to U_tg \]

menurut persamaan czsg2, yang diterapkan pada vektor tetap \(U_tg\).

Di sisi lain, untuk \(0<h<t\), dari persamaan sgbound dan definisi norma operator,

\[ \| U_{t-h} g - U_t g\| = \| U_{t-h} ( g - U_h g) \| \leq e^{(t-h)\omega} M \| g - U_h g\| \to 0. \]

Jadi limit kanan dan limit kiri di \(t\) sama dengan \(U_tg\). Pada \(t=0\) hanya limit kanan yang relevan dan itulah persamaan czsg2. Karena setiap barisan \(t_n\to t\) akhirnya dapat dipisahkan menjadi suku-suku dari kanan, dari kiri, dan yang sama dengan \(t\), kita memperoleh \(U_{t_n}g\to U_tg\). Dengan demikian \(t\mapsto U_tg\) kontinu pada setiap \(t\in\RR_+\).

Catatan pelengkapan hilir. Solusi sumber menampilkan dua limit bagi \(h_n\downarrow0\), tetapi berhenti sebelum menghubungkannya secara eksplisit dengan barisan umum yang mendekati \(t\). Langkah sekuensial terakhir di atas menutup kesimpulan yang diminta.

Melanjutkan latihan sebelumnya, semigrup UC sering didefinisikan sebagai semigrup evolusi \((U_t)\) sedemikian sehingga

\[ \| U_t - I \| \to 0 \text{ ketika } t \to 0. \]

Tunjukkan bahwa persamaan czsg3 menyiratkan kontinuitas norma pada setiap titik \(t\), seperti dalam definisi yang kita gunakan di atas.

Secara khusus, tunjukkan bahwa untuk setiap \(t_n\to t\) berlaku \(\|U_{t_n}-U_t\|\to0\) ketika \(n\to\infty\).

Solusi Solusinya serupa dengan solusi latihan sebelumnya.

Perhatikan lebih dahulu bahwa persamaan czsg3 menyiratkan persamaan czsg2, sebab

\[ \|U_tg-g\|\leq\|U_t-I\|\,\|g\|\to0. \]

Karena itu, batas persamaan sgbound tersedia. Tetapkan \(t>0\). Untuk \(h\downarrow0\), di satu sisi,

\[ \|U_{t+h}-U_t\| =\|(U_h-I)U_t\| \leq\|U_h-I\|\,\|U_t\| \to0. \]

Di sisi lain, untuk \(0<h<t\), sifat submultiplikatif norma operator dan persamaan sgbound memberi

\[ \| U_{t-h} - U_t \| = \| U_{t-h} ( I - U_h) \| \leq e^{(t-h)\omega} M \| I - U_h \| \to0. \]

Pada \(t=0\), persamaan czsg3 sendiri memberi kontinuitas kanan. Dengan memisahkan sembarang barisan \(t_n\to t\) menurut sisi pendekatannya seperti pada latihan sebelumnya, kita memperoleh \(\|U_{t_n}-U_t\|\to0\). Jadi \(t\mapsto U_t\) kontinu sebagai pemetaan ke \(\linop\).

Catatan pelengkapan hilir. Solusi sumber hanya menulis kenaikan khusus \(h_n\downarrow0\) dan memakai persamaan sgbound tanpa menyatakan mengapa batas itu tersedia. Implikasi persamaan czsg3 \(\Rightarrow\) persamaan czsg2, kedua limit satu sisi, dan reduksi barisan umum dinyatakan secara eksplisit di atas.

  1. Bahkan, salah satu perhatian utama dalam teori antrean adalah memastikan bahwa panjang antrean tidak meledak menuju tak berhingga. Masalah ini tidak dapat dikaji dengan benar kecuali ruang keadaannya boleh tak berhingga.↩︎

  2. Pengantar yang sangat baik mengenai semigrup operator, beserta penerapannya pada PDE dan proses Markov, dapat ditemukan dalam David Applebaum, Semigroups of Linear Operators (Cambridge University Press, 2019).↩︎

  3. Konvergensi deret dalam persamaan opexpo mengikuti keterbatasan \(A\) dan fakta bahwa \(\linop\) merupakan ruang Banach.↩︎

  4. Hati-hati: definisi semigrup UC mensyaratkan agar \(t\mapsto U_t\) kontinu sebagai pemetaan ke \(\linop\), bukan agar pemetaan itu kontinu seragam dalam variabel waktu. Istilah UC muncul karena, bagi semigrup UC, definisi norma operator memberi \(\sup_{\|g\|\leq1}\|U_sg-U_tg\|\to0\) ketika \(s\to t\).↩︎

  5. Uraian yang sangat baik mengenai teori umum semigrup \(C_0\) dapat ditemukan dalam Adam Bobrowski, Functional Analysis for Probability and Stochastic Processes: An Introduction (Cambridge University Press, 2005).↩︎