Maksimum gerak Brown bersyarat pada titik akhir

Penyelesaian lengkap

1. Refleksi dan subkerapatan bersama

Tetapkan \(a>0\) dan definisikan waktu pencapaian pertama

\[ \tau_a=\inf\{t\ge0:B_t=a\}. \]

Berkat kekontinuan lintasan, kejadian \(\{M\ge a\}\) sama dengan \(\{\tau_a\le1\}\). Pada kejadian ini, definisikan lintasan terefleksi

\[ \widetilde B_t= \begin{cases} B_t, & 0\le t\le\tau_a,\\ 2a-B_t, & \tau_a<t\le1. \end{cases} \]

Prinsip refleksi menyatakan bahwa transformasi ini mempertahankan ukuran Wiener dan bersifat involutif: merefleksikan lintasan yang sama sekali lagi menghasilkan lintasan semula. Jika \(B_1=x<a\), maka \(\widetilde B_1=2a-x>a\).

Karena itu, untuk setiap himpunan Borel \(A\subset(-\infty,a)\), refleksi memberi bijeksi yang mempertahankan peluang dan menghasilkan

\[ \begin{aligned} \mathbb P(M\ge a,\ B_1\in A) &=\mathbb P(B_1\in 2a-A)\\ &=\int_{2a-A}\varphi(y)\,dy\\ &=\int_A\varphi(2a-x)\,dx, \end{aligned} \]

dengan \(2a-A=\{2a-x:x\in A\}\). Jadi, pada \(x<a\),

\[ \mathbb P(M\ge a,\ B_1\in dx)=\varphi(2a-x)\,dx. \]

Secara ekuivalen, bagian lintasan yang tetap di bawah \(a\) mempunyai subkerapatan

\[ \mathbb P(M<a,\ B_1\in dx) =\bigl[\varphi(x)-\varphi(2a-x)\bigr]\,dx, \qquad x<a. \]

2. Hukum dan kerapatan bersyarat

Karena \(\varphi(x)>0\) untuk setiap \(x\in\mathbb R\), disintegrasi kerapatan pada hasil di atas memberi, mula-mula untuk hampir setiap \(x<a\),

\[ \begin{aligned} \mathbb P(M\ge a\mid B_1=x) &=\frac{\varphi(2a-x)}{\varphi(x)}\\ &=\exp\!\left( -\frac{(2a-x)^2-x^2}{2} \right)\\ &=e^{-2a(a-x)}. \end{aligned} \]

Ruas terakhir kontinu dalam \((a,x)\) pada \(x<a\). Karena hukum bersyarat hanya ditentukan hampir di mana-mana terhadap hukum \(B_1\), rumus kontinu ini memilih satu versi untuk setiap \(x\).

Selalu berlaku \(M\ge B_0=0\), dan di bawah pengondisian \(B_1=x\) juga berlaku \(M\ge x\). Jadi \(M\ge\ell(x)=\max\{0,x\}\) hampir pasti menurut hukum bersyarat. Untuk \(m>\ell(x)\), rumus refleksi dapat dipakai dengan \(a=m\) dan memberi

\[ \mathbb P(M>m\mid B_1=x)=e^{-2m(m-x)}. \]

Oleh sebab itu,

\[ F_x(m)= \begin{cases} 0, & m<\ell(x),\\[3pt] 1-e^{-2m(m-x)}, & m\ge\ell(x). \end{cases} \]

Pada \(m=\ell(x)\), rumus baris kedua juga bernilai nol: jika \(x\ge0\), maka \(m=x\); jika \(x<0\), maka \(m=0\). Selain itu, \(F_x(m)\to1\) ketika \(m\to\infty\). Jadi rumus tersebut memang fungsi distribusi dan tidak mempunyai lompatan pada batas penyangganya.

Mendiferensiasikan pada \(m>\ell(x)\) menghasilkan

\[ f_x(m) =2(2m-x)e^{-2m(m-x)}. \]

Pada daerah ini \(2m-x>0\), sehingga kerapatan nonnegatif. Karena \(F_x\) naik dari nol ke satu, integral \(f_x\) pada \((\ell(x),\infty)\) sama dengan satu.

3. Rataan bersyarat

Karena \(M\ge\ell(x)\), rumus integral ekor memberi

\[ \mathbb E[M\mid B_1=x] =\ell(x)+\int_{\ell(x)}^\infty e^{-2m(m-x)}\,dm. \]

Lengkapi kuadrat pada eksponen:

\[ -2m(m-x) =\frac{x^2}{2}-2\left(m-\frac{x}{2}\right)^2. \]

Dengan substitusi \(u=\sqrt2(m-x/2)\) dan identitas \(\ell(x)-x/2=|x|/2\), integral tersebut menjadi

\[ \begin{aligned} \int_{\ell(x)}^\infty e^{-2m(m-x)}\,dm &=\frac{e^{x^2/2}}{\sqrt2} \int_{|x|/\sqrt2}^\infty e^{-u^2}\,du\\ &=\frac{\sqrt\pi}{2\sqrt2}e^{x^2/2} \operatorname{erfc}\!\left(\frac{|x|}{\sqrt2}\right). \end{aligned} \]

Maka

\[ \boxed{ \mathbb E[M\mid B_1=x] =\max\{0,x\} +\frac{\sqrt\pi}{2\sqrt2}e^{x^2/2} \operatorname{erfc}\!\left(\frac{|x|}{\sqrt2}\right) }. \]

4. Kasus jembatan Brown standar

Hukum proses \(B\) dengan syarat \(B_1=0\) adalah hukum jembatan Brown standar pada \([0,1]\). Memasukkan \(x=0\) ke rumus sebelumnya memberi, untuk \(m\ge0\),

\[ \mathbb P(M\le m\mid B_1=0)=1-e^{-2m^2}, \qquad f_0(m)=4m e^{-2m^2}. \]

Rataan diperoleh baik dari rumus umum maupun langsung dari integral ekor:

\[ \mathbb E[M\mid B_1=0] =\int_0^\infty e^{-2m^2}\,dm =\frac{\sqrt\pi}{2\sqrt2} =\sqrt{\frac{\pi}{8}}. \]

Jika \(q_{1/2}\) menyatakan median, maka

\[ 1-e^{-2q_{1/2}^2}=\frac12, \]

sehingga

\[ \boxed{q_{1/2}=\sqrt{\frac{\log2}{2}}}. \]

Perhitungan ini juga menunjukkan mengapa pengondisian pada \(B_1=0\) tidak boleh diperlakukan sebagai pembagian dengan \(\mathbb P(B_1=0)\), yang bernilai nol. Yang dipakai adalah rasio kerapatan, lalu versi kontinu dari kernel bersyarat.