Penguasaan gerak Brown 05–06

Penyelesaian lengkap. Dengan independensi dan pengondisian pada jam,

\[ \begin{aligned} \varphi_Y(u) &=\mathbb E\!\left[ \mathbb E(e^{iuB_\Theta}\mid\Theta) \right]\\ &=\int_0^\infty e^{-u^2t/2}\lambda e^{-\lambda t}\,dt =\frac{\lambda}{\lambda+u^2/2} =\frac{a^2}{a^2+u^2}. \end{aligned} \]

Di sisi lain,

\[ \int_{\mathbb R}e^{iuy}\frac a2e^{-a|y|}\,dy =a\int_0^\infty e^{-ay}\cos(uy)\,dy =\frac{a^2}{a^2+u^2}. \]

Ketunggalan fungsi karakteristik menunjukkan bahwa \(f_Y(y)=(a/2)e^{-a|y|}\). Untuk \(g\) terbatas, Fubini dan pengondisian memberi

\[ \begin{aligned} \lambda\int_0^\infty e^{-\lambda t}\mathbb E[g(B_t)]\,dt &=\mathbb E[g(B_\Theta)]\\ &=\int_{\mathbb R}g(y)\frac a2e^{-a|y|}\,dy, \end{aligned} \]

yang membuktikan identitas resolven. Argumen yang sama berlaku bagi \(g\) nonnegatif dengan Tonelli.

Karena \(Y\) mempunyai kerapatan, \(\mathbb P(Y=0)=0\). Untuk himpunan Borel \(A\subseteq(0,\infty)\),

\[ \begin{aligned} \mathbb P(S=1,R\in A) &=\int_A\frac a2e^{-ar}\,dr,\\ \mathbb P(S=-1,R\in A) &=\int_A\frac a2e^{-ar}\,dr. \end{aligned} \]

Jadi \(\mathbb P(S=1)=\mathbb P(S=-1)=1/2\), kerapatan \(R\) adalah \(ae^{-ar}\mathbf1_{(0,\infty)}(r)\), dan kedua persamaan di atas memfaktorkan sebagai \(\mathbb P(S=s)\mathbb P(R\in A)\). Maka \(S\) dan \(R\) independen.

Kerapatan bersama diperoleh dengan lebih dahulu memilih \(\Theta=t\) dan lalu memakai hukum \(\mathcal N(0,t)\):

\[ f_{\Theta,Y}(t,y) =\lambda e^{-\lambda t}(2\pi t)^{-1/2} e^{-y^2/(2t)}, \qquad t>0. \]

Untuk memastikan klaim titik demi titik, bukan hanya hampir di mana-mana, definisikan

\[ m(y)=\int_0^\infty f_{\Theta,Y}(t,y)\,dt. \]

Teorema Tonelli menunjukkan bahwa \(m\) adalah suatu kerapatan marginal \(Y\). Selain itu, \(m\) kontinu: jika \(y_j\to y\), integrannya konvergen titik demi titik dan didominasi oleh fungsi terintegralkan

\[ t\longmapsto \lambda(2\pi t)^{-1/2}e^{-\lambda t}. \]

Perhitungan fungsi karakteristik di atas menunjukkan bahwa \(m\) sama hampir di mana-mana dengan kerapatan Laplace kontinu \(y\mapsto(a/2)e^{-a|y|}\). Dua fungsi kontinu yang sama hampir di mana-mana harus sama di setiap titik. Jadi \(m(y)=f_Y(y)>0\) untuk semua \(y\), dan rumus berikut mendefinisikan satu kernel probabilitas bersyarat pada seluruh \(\mathbb R\):

\[ \begin{aligned} p_{\Theta\mid Y}(t\mid y) &=\frac{f_{\Theta,Y}(t,y)}{f_Y(y)}\\ &=\sqrt{\frac\lambda\pi}\,e^{a|y|}\,t^{-1/2} \exp\!\left(-\lambda t-\frac{y^2}{2t}\right), \qquad t>0. \end{aligned} \]

Normalisasinya mengikuti dari definisi \(m\), dan keterukuran terhadap \(y\) mengikuti dari rumus eksplisit. Lebih lanjut, untuk himpunan Borel \(A\subseteq(0,\infty)\) dan \(C\subseteq\mathbb R\),

\[ \int_C\!\left[\int_Ap_{\Theta\mid Y}(t\mid y)\,dt\right]f_Y(y)\,dy =\int_C\int_A f_{\Theta,Y}(t,y)\,dt\,dy =\mathbb P(\Theta\in A,Y\in C). \]

Jadi kernel tersebut benar-benar merupakan versi distribusi bersyarat reguler untuk setiap \(y\).

Jika \(y=0\), bentuknya

\[ \frac{\lambda^{1/2}}{\Gamma(1/2)} t^{-1/2}e^{-\lambda t}, \]

yakni kerapatan Gamma dengan bentuk \(1/2\) dan laju \(\lambda\).

Untuk menghitung momen pada \(y\) umum, definisikan integral normalisasi kernel posterior

\[ I_0(\lambda,y)=\int_0^\infty t^{-1/2}e^{-\lambda t-y^2/(2t)}\,dt =\sqrt{\frac\pi\lambda}\,e^{-a|y|}. \]

Kesamaan terakhir mengikuti dari \(m(y)=\lambda I_0(\lambda,y)/\sqrt{2\pi}=(a/2)e^{-a|y|}\), yang baru saja dibuktikan titik demi titik. Diferensiasi di bawah tanda integral sah ketika \(\lambda\) bergerak pada himpunan kompak yang termuat dalam \((0,\infty)\): faktor eksponensial mengendalikan ekor di tak hingga, dan \(e^{-y^2/(2t)}\) mengendalikan titik nol ketika \(y\ne0\); untuk \(y=0\), pangkat \(t^{-1/2}\), \(t^{1/2}\), dan \(t^{3/2}\) tetap terintegralkan di dekat nol. Oleh sebab itu,

\[ \mathbb E[\Theta\mid Y=y] =-\partial_\lambda\log I_0(\lambda,y) =\frac1{2\lambda}+\frac{|y|}{a}. \]

Keluarga posterior ini merupakan keluarga eksponensial dalam parameter \(-\lambda\), sehingga

\[ \operatorname{Var}(\Theta\mid Y=y) =\partial_\lambda^2\log I_0(\lambda,y) =\frac1{2\lambda^2}+\frac{|y|}{a^3}. \]

Mengganti \(a\) dengan \(\sqrt{2\lambda}\) memberi rumus pada jawaban ringkas. Posisi jauh dari nol dengan demikian menggeser posterior menuju jam yang lebih lama, sebagaimana tercermin oleh suku \(|y|/\sqrt{2\lambda}\).

Penyelesaian lengkap. Tuliskan

\[ \Delta B_{n,k}=B_{t_{n,k}}-B_{t_{n,k-1}}, \qquad f_{n,k}=f(t_{n,k-1}). \]

Karena partisi deterministik, peubah \((\Delta B_{n,k})_k\) independen dan \(\Delta B_{n,k}\sim\mathcal N(0,h_{n,k})\). Jika \(Z\sim\mathcal N(0,h)\), maka \(\mathbb E[Z^4]=3h^2\); jadi

\[ \operatorname{Var}(Z^2) =\mathbb E[Z^4]-(\mathbb E[Z^2])^2 =3h^2-h^2=2h^2. \]

Linearitas ekspektasi dan independensi kuadrat inkremen sekarang memberi

\[ \mathbb E[Q_n(f)]=\sum_{k=1}^{m_n}f_{n,k}h_{n,k} \]

serta

\[ \operatorname{Var}(Q_n(f)) =2\sum_{k=1}^{m_n}f_{n,k}^2h_{n,k}^2. \]

Karena \(f\) kontinu pada selang kompak, ia terbatas dan jumlah pertama adalah jumlah Riemann bertanda-kiri. Maka

\[ \mathbb E[Q_n(f)]\longrightarrow\int_0^T f(t)\,dt. \]

Sementara itu,

\[ \begin{aligned} \operatorname{Var}(Q_n(f)) &\le2\|f\|_\infty^2\sum_kh_{n,k}^2\\ &\le2\|f\|_\infty^2|\pi_n|\sum_kh_{n,k}\\ &=2\|f\|_\infty^2T|\pi_n|\longrightarrow0. \end{aligned} \]

Dengan memisahkan bias deterministik dan bagian terpusat,

\[ \begin{aligned} \mathbb E\!\left[ \left|Q_n(f)-\int_0^Tf(t)\,dt\right|^2 \right] &=\operatorname{Var}(Q_n(f))\\ &\quad+ \left(\mathbb E[Q_n(f)]-\int_0^Tf(t)\,dt\right)^2 \longrightarrow0. \end{aligned} \]

Inilah konvergensi \(L^2\). Bukti hanya memakai bahwa ukuran partisi \(|\pi_n|\) menuju nol; tidak ada langkah yang memerlukan panjang selang sama atau \(\pi_n\subseteq\pi_{n+1}\).

Sekarang ambil partisi diadik. Semua \(h_{n,k}=T/2^n\), sehingga

\[ \operatorname{Var}(Q_n(f)) \le \frac{2\|f\|_\infty^2T^2}{2^n}. \]

Untuk \(\varepsilon>0\), ketaksamaan Chebyshev memberikan

\[ \sum_{n=1}^\infty \mathbb P\bigl(|Q_n(f)-\mathbb E Q_n(f)|>\varepsilon\bigr) \le \frac{2\|f\|_\infty^2T^2}{\varepsilon^2} \sum_{n=1}^\infty2^{-n} <\infty. \]

Lemma Borel–Cantelli pertama—yang tidak memerlukan independensi antar-\(n\)— menyatakan, untuk setiap \(\varepsilon>0\) tetap, bahwa simpangan tersebut hanya melampaui \(\varepsilon\) sebanyak berhingga kali. Terapkan hasil ini pada \(\varepsilon=1/j\), \(j\in\mathbb N_+\), lalu iris kejadian-kejadian berprobabilitas satu yang terhitung banyaknya. Diperoleh \(Q_n(f)-\mathbb E Q_n(f)\to0\) hampir pasti. Jumlah Riemann ekspektasinya menuju integral, jadi

\[ Q_n(f)\longrightarrow\int_0^T f(t)\,dt \quad\text{hampir pasti}. \]

Pernyataan ini dibuat untuk satu \(f\) tetap. Tidak diperlukan klaim serentak atas semua fungsi kontinu yang tak terhitung banyaknya.

Untuk \(f\equiv1\), pada satu kejadian berprobabilitas satu berlaku sekaligus kekontinuan lintasan Brown dan

\[ Q_n(1)=\sum_{k=1}^{2^n} \bigl(B_{kT/2^n}-B_{(k-1)T/2^n}\bigr)^2 \longrightarrow T. \]

Andaikan sebuah lintasan pada kejadian ini mempunyai variasi total hingga \(V\) pada \([0,T]\). Kekontinuan pada selang kompak memberi kekontinuan seragam, sehingga

\[ M_n=\max_{1\le k\le2^n} |B_{kT/2^n}-B_{(k-1)T/2^n}|\longrightarrow0. \]

Definisi variasi total memberi \(\sum_k|\Delta B_{n,k}|\le V\), dan karenanya

\[ 0\le Q_n(1) \le M_n\sum_k|\Delta B_{n,k}| \le M_nV\longrightarrow0. \]

Ini bertentangan dengan \(Q_n(1)\to T>0\). Jadi variasi total lintasan Brown pada \([0,T]\) tak hingga hampir pasti.

Terakhir, determinisme partisi dipakai ketika kita menyatakan bahwa setiap inkremen mempunyai hukum \(\mathcal N(0,h_{n,k})\) dan bahwa inkremen pada selang berbeda independen. Bila titik partisi dipilih setelah seluruh lintasan dilihat, selang yang terpilih membawa informasi tentang inkremennya sendiri. Distribusi bersyaratnya tidak harus lagi Gaussian dengan varians sama dengan panjang selang, dan kuadrat inkremen tidak harus independen. Partisi acak tertentu masih dapat ditangani dengan teorema waktu henti atau prediktabilitas, tetapi itu memerlukan hipotesis dan bukti baru; perhitungan deterministik di atas tidak boleh dipindahkan begitu saja.