Penguasaan gerak Brown 02 — spektrum kovarians dan aproksimasi Karhunen–Loève

Penyelesaian lengkap

1. Struktur operator kovarians

Karena kernel \((s,t)\mapsto\min\{s,t\}\) berada dalam \(L^2([0,1]^2)\), ketaksamaan Cauchy–Schwarz menunjukkan bahwa \(K\) adalah operator terbatas (bahkan Hilbert–Schmidt) dari \(H\) ke \(H\).

Untuk \(f\in H\), tulis

\[ g(t)=(Kf)(t) =\int_0^t s f(s)\,ds+t\int_t^1f(s)\,ds. \]

Teorema dasar kalkulus bagi integral Lebesgue memberi

\[ g'(t)=t f(t)+\int_t^1f(s)\,ds-t f(t) =\int_t^1f(s)\,ds \]

hampir di mana-mana. Jadi \(g(0)=0\), \(g'(1)=0\), dan \(g''(t)=-f(t)\) hampir di mana-mana.

Kernel \(\min\{s,t\}\) simetris, sehingga Fubini memberi \(\langle Kf,h\rangle=\langle f,Kh\rangle\). Untuk positivitas, gunakan

\[ \min\{s,t\}=\int_0^1 \mathbf1_{\{u\le s\}}\mathbf1_{\{u\le t\}}\,du. \]

Tonelli menghasilkan

\[ \langle Kf,f\rangle =\int_0^1\left(\int_u^1f(t)\,dt\right)^2du\ge0. \]

Jika ruas kanan nol, fungsi kontinu absolut \(F(u)=\int_u^1f(t)\,dt\) sama dengan nol hampir di mana-mana, maka sama dengan nol di mana-mana. Karena \(F'=-f\) hampir di mana-mana, diperoleh \(f=0\) dalam \(H\). Jadi \(K\) positif definit; khususnya, setiap nilai eigen bernilai positif.

2. Nilai eigen, fungsi eigen, dan kelengkapan

Andaikan \(Ke=\lambda e\) dengan \(e\ne0\). Positivitas definit memberi \(\lambda>0\). Hasil bagian pertama menunjukkan bahwa \(e\) mempunyai wakil yang memenuhi

\[ e''+\lambda^{-1}e=0, \qquad e(0)=0, \qquad e'(1)=0. \]

Dengan \(\alpha=\lambda^{-1/2}\), solusi tak nolnya berbentuk \(e(t)=c\sin(\alpha t)\). Syarat \(e'(1)=0\) memberi \(\cos\alpha=0\), jadi

\[ \alpha_n=(n-\tfrac12)\pi, \qquad \lambda_n=\frac1{\alpha_n^2}, \qquad n\ge1. \]

Karena \(\int_0^1\sin^2(\alpha_nt)\,dt=1/2\), normalisasi memberi

\[ e_n(t)=\sqrt2\sin(\alpha_nt). \]

Sebaliknya, setiap \(e_n\) memenuhi persamaan diferensial dan kedua syarat batas. Jika \(h=Ke_n-\lambda_ne_n\), maka \(h''=0\), \(h(0)=0\), dan \(h'(1)=0\); jadi \(h=0\). Dengan demikian, daftar pasangan eigen di atas lengkap sebagai daftar solusi masalah batas.

Masih harus dibuktikan bahwa rentang linear fungsi-fungsi itu rapat. Misalkan \(f\in L^2(0,1)\) ortogonal terhadap setiap \(e_n\). Bentuk refleksi genap terhadap \(1\),

\[ F(t)= \begin{cases} f(t),&0<t<1,\\ f(2-t),&1<t<2. \end{cases} \]

Untuk basis sinus \(\sin(k\pi t/2)\) pada \(L^2(0,2)\), simetri \(F(2-t)=F(t)\) membuat semua koefisien dengan \(k\) genap sama dengan nol. Untuk \(k=2n-1\), substitusi \(t\mapsto2-t\) pada setengah interval kedua memberi

\[ \int_0^2F(t)\sin\!\left(\frac{(2n-1)\pi t}{2}\right)dt =2\int_0^1f(t)\sin(\alpha_nt)\,dt=0. \]

Jadi semua koefisien sinus \(F\) nol. Kelengkapan basis sinus pada \((0,2)\) memberi \(F=0\), sehingga \(f=0\). Maka \((e_n)\) lengkap dalam \(H\).

3. Koefisien Gaussian dan mode konvergensi

Setiap koleksi hingga integral \(\langle B,e_n\rangle\) adalah Gaussian: integral tersebut merupakan limit dalam \(L^2(\Omega)\) dari kombinasi linear hingga nilai-nilai proses Gaussian. Kovariansnya adalah

\[ \begin{aligned} \mathbb E[\langle B,e_m\rangle\langle B,e_n\rangle] &=\int_0^1\int_0^1 e_m(s)\min\{s,t\}e_n(t)\,ds\,dt\\ &=\langle Ke_m,e_n\rangle =\lambda_m\,\mathbf1_{\{m=n\}}. \end{aligned} \]

Karena itu, setiap vektor hingga \((\xi_1,\ldots,\xi_r)\) adalah Gaussian standar dengan matriks kovarians identitas. Jadi \((\xi_n)\) i.i.d. \(N(0,1)\). Selain itu,

\[ \sqrt{\lambda_n}\,\xi_n=\langle B,e_n\rangle, \]

sehingga \(B^{(N)}\) tepat proyeksi ortogonal lintasan \(B\) ke \(\operatorname{span}\{e_1,\ldots,e_N\}\). Kelengkapan basis memberi \(B^{(N)}\to B\) dalam \(H\) untuk hampir setiap lintasan. Lebih khusus,

\[ 0\le\lVert B-B^{(N)}\rVert_H^2\le\lVert B\rVert_H^2, \qquad \mathbb E\lVert B\rVert_H^2 =\int_0^1\mathbb E(B_t^2)\,dt =\frac12. \]

Konvergensi terdominasi lalu memberi konvergensi dalam \(L^2(\Omega;H)\). Pernyataan ini tidak dengan sendirinya memberi konvergensi dalam norma supremum pada \(C[0,1]\).

4. Galat pemotongan eksak

Parseval dan ortogonalitas memberi

\[ \mathbb E\lVert B-B^{(N)}\rVert_H^2 =\sum_{n>N}\mathbb E|\langle B,e_n\rangle|^2 =\sum_{n>N}\lambda_n. \]

Karena

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(n-\tfrac12)^2} =4\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(2n-1)^2} =4\left(\frac{\pi^2}{6}-\frac14\frac{\pi^2}{6}\right) =\frac{\pi^2}{2}, \]

diperoleh rumus eksak

\[ \boxed{ \mathbb E\lVert B-B^{(N)}\rVert_H^2 =\frac12-\frac1{\pi^2} \sum_{n=1}^N\frac1{(n-\tfrac12)^2}} . \]

Untuk \(N=2\),

\[ \lambda_1+\lambda_2 =\frac4{\pi^2}+\frac4{9\pi^2} =\frac{40}{9\pi^2}, \]

sehingga

\[ \boxed{ \mathbb E\lVert B-B^{(2)}\rVert_H^2 =\frac12-\frac{40}{9\pi^2} =0{,}049683628256\ldots} . \]

5. Optimalitas di antara semua subruang berdimensi \(N\)

Ambil basis ortonormal \(\phi_1,\ldots,\phi_N\) bagi \(V\). Teorema Pythagoras dan definisi operator kovarians memberi

\[ \begin{aligned} \mathbb E\lVert B-P_VB\rVert_H^2 &=\mathbb E\lVert B\rVert_H^2 -\sum_{j=1}^N\mathbb E|\langle B,\phi_j\rangle|^2\\ &=\frac12-\sum_{j=1}^N\langle K\phi_j,\phi_j\rangle. \end{aligned} \]

Ekspansikan setiap \(\phi_j\) dalam basis \((e_n)\) dan tetapkan

\[ a_n=\sum_{j=1}^N|\langle\phi_j,e_n\rangle|^2. \]

Ketaksamaan Bessel memberi \(0\le a_n\le1\), sedangkan Parseval dan jumlah hingga terhadap \(j\) memberi \(\sum_{n\ge1}a_n=N\). Karena itu,

\[ \sum_{j=1}^N\langle K\phi_j,\phi_j\rangle =\sum_{n\ge1}\lambda_na_n. \]

Jika \(d=\sum_{n=1}^N(1-a_n)\), maka \(d=\sum_{n>N}a_n\). Karena \(\lambda_n\) menurun ketat,

\[ \begin{aligned} \sum_{n=1}^N\lambda_n-\sum_{n\ge1}\lambda_na_n &=\sum_{n=1}^N\lambda_n(1-a_n) -\sum_{n>N}\lambda_na_n\\ &\ge \lambda_Nd-\lambda_{N+1}d\\ &=(\lambda_N-\lambda_{N+1})d\ge0. \end{aligned} \]

Jadi energi rata-rata yang ditangkap oleh \(V\) paling besar \(\sum_{n=1}^N\lambda_n\), dan galat rata-rata kuadratnya paling kecil sebesar \(\sum_{n>N}\lambda_n\). Jika terjadi kesamaan, ketatnya penurunan nilai eigen memaksa \(d=0\). Maka \(a_n=1\) untuk \(n\le N\), yaitu setiap \(e_n\) dengan \(n\le N\) berada di \(V\). Karena dimensi \(V\) adalah \(N\),

\[ V=\operatorname{span}\{e_1,\ldots,e_N\}. \]

Sebaliknya, subruang ini jelas mencapai kesamaan. Jadi subruang Karhunen– Loève pertama adalah peminimum unik di antara semua subruang deterministik berdimensi \(N\).