Penguasaan 10.01: gerak Brown dengan luas lintasan yang ditambatkan

Hak dan provenans. Soal, petunjuk, jawaban, dan penyelesaian ini adalah materi asli berbahasa Indonesia (id-ID), disusun oleh OpenAI Codex atas arahan pengguna, dan dilisensikan dengan CC BY 4.0. Tidak ada soal donor yang disalin atau diadaptasi. Konteks gerak Brown mengikuti unit teori yang dipasangkan dan laboratorium Brown pada kursus ini, tetapi masalah observasi luas lintasan serta seluruh derivasi di bawah ditulis baru.

Prasyarat

Hasil belajar

Setelah menyelesaikan soal ini, pembaca dapat membuktikan bahwa fungsional linear lintasan Brown bersifat Gaussian, menghitung hukum bersyarat seluruh proses dari satu observasi linear, membangun proses residu yang independen, dan menafsirkan pengondisian pada kejadian bernilai peluang nol secara tepat.

Misalkan \(B=(B_t)_{0\leq t\leq1}\) adalah gerak Brown standar dan definisikan luas bertanda di bawah lintasannya dengan integral Riemann lintasan demi lintasan

\[ A=\int_0^1 B_u\,du. \]

Untuk \(t\in[0,1]\), tuliskan \(g(t)=t-t^2/2\), dan untuk \(a\in\mathbb R\) tafsirkan ``hukum \(B\) bersyarat pada \(A=a\)’’ sebagai suatu versi distribusi bersyarat reguler.

  1. Buktikan bahwa untuk setiap \(0\leq t_1<\cdots<t_m\leq1\), vektor \((B_{t_1},\ldots,B_{t_m},A)\) adalah Gaussian berpusat. Hitung \(\operatorname{Cov}(B_t,A)\) dan \(\operatorname{Var}(A)\) secara eksak.
  2. Definisikan \[ R_t=B_t-3g(t)A. \] Buktikan bahwa proses kontinu \(R\) independen dari \(A\). Gunakan hasil ini untuk menentukan fungsi rataan dan fungsi kovarians hukum bersyarat seluruh lintasan \((B_t)_{0\leq t\leq1}\) dengan syarat \(A=a\).
  3. Berikan realisasi eksplisit proses yang mempunyai hukum bersyarat tersebut, buktikan bahwa luas lintasannya sama dengan \(a\) hampir pasti, lalu hitung \[ \mathbb P(B_{1/2}>0\mid A=a) \] pada versi bersyarat reguler yang Anda peroleh. Nyatakan jawaban dengan fungsi distribusi normal baku \(\Phi\).
Petunjuk

Petunjuk 1. Aproksimasi \(A\) dengan jumlah Riemann \(A_n=n^{-1}\sum_{k=1}^n B_{(k-1)/n}\). Gunakan \(\lVert B_u-B_v\rVert_2=|u-v|^{1/2}\) untuk memperoleh \(A_n\to A\) dalam \(L^2\). Untuk kovarians, integralkan \(\min(t,u)\) pada \(u\in[0,1]\).

Petunjuk

Petunjuk 2. Koefisien regresi Gaussian untuk memprediksi \(B_t\) dari \(A\) adalah

\[ \frac{\operatorname{Cov}(B_t,A)}{\operatorname{Var}(A)}=3g(t). \]

Periksa \(\operatorname{Cov}(R_t,A)=0\). Untuk mengangkat independensi berdimensi hingga menjadi independensi proses, gunakan kontinuitas lintasan: sigma-aljabar Borel pada \(C[0,1]\) dibangkitkan oleh evaluasi pada waktu rasional.

Petunjuk

Petunjuk 3. Ambil \(X_t^{(a)}=R_t+3g(t)a\). Identitas \(\int_0^1g(t)\,dt=1/3\) menunjukkan bahwa \(\int_0^1X_t^{(a)}\,dt=a\). Pada \(t=1/2\), hitung \(g(1/2)=3/8\) sebelum menstandarkan normal bersyarat.

Jawaban ringkas. Vektor \((B_{t_1},\ldots,B_{t_m},A)\) adalah Gaussian berpusat, dan

\[ \operatorname{Cov}(B_t,A)=g(t)=t-\frac{t^2}{2}, \qquad \operatorname{Var}(A)=\frac13. \]

Proses \(R_t=B_t-3g(t)A\) independen dari \(A\). Suatu versi hukum bersyarat \(B\mid A=a\) ialah hukum proses \(X_t^{(a)}=R_t+3g(t)a\), yang mempunyai

\[ \mathbb E[X_t^{(a)}]=3g(t)a, \qquad \operatorname{Cov}(X_s^{(a)},X_t^{(a)}) =\min(s,t)-3g(s)g(t). \]

Selain itu, \(\int_0^1X_t^{(a)}\,dt=a\) hampir pasti dan

\[ \mathbb P(B_{1/2}>0\mid A=a)=\Phi\!\left(\frac{9a}{\sqrt5}\right). \]

Penyelesaian lengkap

Penyelesaian lengkap. Karena lintasan Brown kontinu hampir pasti, integral \(A\) ada sebagai integral Riemann. Untuk menunjukkan sifat Gaussian yang juga diperlukan dalam perhitungan bersyarat, ambil

\[ A_n=\frac1n\sum_{k=1}^n B_{(k-1)/n}. \]

Jika \(\pi_n(u)=(k-1)/n\) untuk \(u\in[(k-1)/n,k/n)\), ketaksamaan Minkowski dan sifat inkremen Brown memberi

\[ \begin{aligned} \lVert A-A_n\rVert_2 &\leq \int_0^1\lVert B_u-B_{\pi_n(u)}\rVert_2\,du\\ &=\int_0^1|u-\pi_n(u)|^{1/2}\,du \leq n^{-1/2}\longrightarrow0. \end{aligned} \]

Untuk setiap \(n\), vektor \((B_{t_1},\ldots,B_{t_m},A_n)\) adalah transformasi linear dari suatu vektor Gaussian berdimensi hingga. Setiap kombinasi linearnya adalah normal berpusat. Kombinasi tersebut konvergen dalam \(L^2\) ketika \(A_n\) diganti oleh \(A\), sehingga ragamnya juga konvergen; limitnya tetap normal, mungkin degenerat. Kriteria kombinasi linear untuk vektor Gaussian menyimpulkan bahwa \((B_{t_1},\ldots,B_{t_m},A)\) Gaussian berpusat.

Fubini dan \(\mathbb E[B_tB_u]=\min(t,u)\) menghasilkan

\[ \begin{aligned} \operatorname{Cov}(B_t,A) &=\int_0^1\min(t,u)\,du\\ &=\int_0^t u\,du+\int_t^1t\,du =t-\frac{t^2}{2}=g(t). \end{aligned} \]

Dengan mengintegralkan sekali lagi,

\[ \operatorname{Var}(A) =\int_0^1\operatorname{Cov}(B_t,A)\,dt =\int_0^1\left(t-\frac{t^2}{2}\right)dt =\frac13. \]

Sekarang definisikan \(R_t=B_t-3g(t)A\). Proses ini kontinu dan Gaussian, serta

\[ \operatorname{Cov}(R_t,A) =g(t)-3g(t)\operatorname{Var}(A)=0. \]

Untuk setiap kumpulan waktu hingga, vektor nilai-nilai \(R\) bersama \(A\) bersifat Gaussian. Kovarians silang nol karena itu membuat vektor nilai-nilai \(R\) independen dari \(A\). Evaluasi pada waktu rasional membangkitkan sigma-aljabar Borel \(C[0,1]\); kontinuitas \(R\) lalu menunjukkan bahwa proses \(R\), sebagai peubah acak bernilai \(C[0,1]\), independen dari \(A\).

Identitas \(B_t=R_t+3g(t)A\) sekarang memberi versi hukum bersyarat yang konkret. Untuk setiap \(a\in\mathbb R\), tetapkan

\[ X_t^{(a)}=R_t+3g(t)a. \]

Karena \(R\) independen dari \(A\), kernel \(a\mapsto\mathcal L(X^{(a)})\) memenuhi identitas disintegrasi dan merupakan distribusi bersyarat reguler \(\mathcal L(B\mid A=a)\). Bahkan kernel ini terdefinisi untuk setiap \(a\), sehingga rumusnya memberi versi kontinu yang jelas meskipun kejadian tunggal \(\{A=a\}\) berpeluang nol.

Rataannya adalah \(3g(t)a\). Fungsi kovariansnya sama dengan kovarians \(R\); untuk \(s,t\in[0,1]\),

\[ \begin{aligned} \operatorname{Cov}(R_s,R_t) &=\min(s,t)-3g(t)g(s)-3g(s)g(t) +9g(s)g(t)\operatorname{Var}(A)\\ &=\min(s,t)-3g(s)g(t). \end{aligned} \]

Selanjutnya, \(\int_0^1g(t)\,dt=1/3\), sehingga

\[ \int_0^1R_t\,dt =A-3A\int_0^1g(t)\,dt=0 \]

hampir pasti. Akibatnya,

\[ \int_0^1X_t^{(a)}\,dt =0+3a\int_0^1g(t)\,dt=a \]

hampir pasti, sebagaimana seharusnya untuk lintasan yang luasnya ditambatkan.

Terakhir, \(g(1/2)=3/8\). Di bawah hukum bersyarat,

\[ B_{1/2}\mid A=a \sim N\!\left( 3\frac38a, \frac12-3\left(\frac38\right)^2 \right) =N\!\left(\frac{9a}{8},\frac{5}{64}\right). \]

Karena simpangan bakunya \(\sqrt5/8\) dan simetri normal memberi \(1-\Phi(-x)=\Phi(x)\),

\[ \mathbb P(B_{1/2}>0\mid A=a) =\Phi\!\left( \frac{9a/8}{\sqrt5/8} \right) =\Phi\!\left(\frac{9a}{\sqrt5}\right). \]