Konstruksi ukuran acak Poisson pada ruang ukuran umum

Penyelesaian lengkap

1. Partisi, ruang produk, dan sifat ukuran acak

Ambil \(C_0=\varnothing\) dan

\[ C_n=\bigcup_{k=1}^nB_k, \qquad E_n=C_n\setminus C_{n-1}. \]

Maka \((E_n)_{n\ge1}\) terukur, saling lepas, menutupi \(S\), dan \(\nu(E_n)\le\nu(C_n)<\infty\). Tuliskan

\[ J_+=\{j\ge1:\lambda_j:=\nu(E_j)>0\}. \]

Untuk \(j\in J_+\), \(q_j\) adalah ukuran peluang pada \((S,\mathcal S)\) dan terkonsentrasi pada \(E_j\). Ambil ruang peluang produk

\[ (\Omega,\mathcal F,\mathbb P) =\bigotimes_{j\in J_+} \left[ (\mathbb N_0,\mathcal P(\mathbb N_0), \operatorname{Pois}(\lambda_j)) \otimes (S^{\mathbb N},\mathcal S^{\otimes\mathbb N}, q_j^{\otimes\mathbb N}) \right]. \tag{3} \]

Jika \(J_+=\varnothing\), ambil ruang peluang satu titik dan \(N=0\). Proyeksi koordinat pada (3) memberikan \(K_j\) serta \(X_{j,m}\) dengan seluruh sifat independensi yang diminta.

Untuk \(\omega\in\Omega\), definisikan ukuran

\[ N_\omega =\sum_{j\in J_+}\sum_{m\ge1} \mathbf 1_{\{m\le K_j(\omega)\}}\,\delta_{X_{j,m}(\omega)}. \tag{4} \]

Ini adalah jumlah terhitung ukuran positif. Secara eksplisit, jika \((A_\ell)_{\ell\ge1}\) saling lepas, maka Tonelli untuk deret tak negatif memberi

\[ \begin{aligned} N_\omega\!\left(\bigcup_{\ell\ge1}A_\ell\right) &=\sum_{j,m}\mathbf 1_{\{m\le K_j(\omega)\}} \mathbf 1_{\cup_\ell A_\ell}(X_{j,m}(\omega))\\ &=\sum_{j,m}\sum_{\ell\ge1} \mathbf 1_{\{m\le K_j(\omega)\}} \mathbf 1_{A_\ell}(X_{j,m}(\omega))\\ &=\sum_{\ell\ge1}N_\omega(A_\ell). \end{aligned} \]

Nilainya selalu berada dalam \(\overline{\mathbb N}_0\), dan \(N_\omega(\varnothing)=0\). Jadi \(N_\omega\) adalah ukuran pencacahan. Untuk \(A\in\mathcal S\) tetap,

\[ N(A) =\sum_{j\in J_+}\sum_{m\ge1} \mathbf 1_{\{m\le K_j\}}\mathbf 1_A(X_{j,m}) \]

adalah limit naik jumlah parsial fungsi terukur. Karena itu \(N(A)\) terukur. Sigma-aljabar \(\mathcal E\) dibangkitkan tepat oleh seluruh peta evaluasi, sehingga \(\omega\mapsto N_\omega\) terukur menuju ruang ukuran pencacahan.

2. Intensitas dan keterhinggaan pada himpunan berukuran hingga

Independensi \(K_j\) dan \((X_{j,m})_{m\ge1}\) serta Tonelli memberi

\[ \begin{aligned} \mathbb E\!\left[ \sum_{m\ge1}\mathbf 1_{\{m\le K_j\}} \mathbf 1_A(X_{j,m}) \right] &=\sum_{m\ge1}\mathbb P(K_j\ge m)q_j(A)\\ &=q_j(A)\mathbb E[K_j]\\ &=\lambda_jq_j(A)\\ &=\nu(A\cap E_j). \end{aligned} \]

Menjumlahkan lagi dan memakai bahwa \((E_j)\) mempartisi \(S\) menghasilkan

\[ \mathbb E[N(A)] =\sum_{j\in J_+}\nu(A\cap E_j) =\nu(A). \tag{5} \]

Kesamaan ini sah juga ketika kedua ruas bernilai tak hingga. Jika \(\nu(A)<\infty\), (5) memaksa \(N(A)<\infty\) hampir pasti: peubah acak tak negatif yang bernilai \(\infty\) pada kejadian berpeluang positif tidak mungkin memiliki ekspektasi hingga.

3. Fungsional Laplace

Tetapkan \(f:S\to[0,\infty]\) terukur. Untuk \(j\in J_+\), tulis

\[ a_j=\int_S e^{-f(x)}\,q_j(\mathrm dx)\in[0,1]. \]

Bersyarat pada \(K_j=k\), titik-titik dalam sel itu iid, sehingga

\[ \mathbb E\!\left[ \left. \exp\!\left(-\sum_{m=1}^{K_j}f(X_{j,m})\right) \right|K_j=k \right] =a_j^k. \]

Dengan fungsi pembangkit distribusi Poisson,

\[ \begin{aligned} \mathbb E\!\left[ \exp\!\left(-\sum_{m=1}^{K_j}f(X_{j,m})\right) \right] &=e^{-\lambda_j}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\lambda_ja_j)^k}{k!}\\ &=\exp[-\lambda_j(1-a_j)]\\ &=\exp\!\left[-\int_{E_j}(1-e^{-f})\,\mathrm d\nu\right]. \end{aligned} \tag{6} \]

Biarkan \(N^{(n)}\) hanya menjumlahkan sel-sel \(E_j\) dengan \(j\le n\) dan \(j\in J_+\). Independensi antarsel serta (6) memberikan

\[ \mathbb E\!\left[e^{-\int f\,\mathrm dN^{(n)}}\right] =\exp\!\left[ -\int_{\cup_{j\le n}E_j}(1-e^{-f})\,\mathrm d\nu \right]. \tag{7} \]

Karena \(N^{(n)}\uparrow N\) sebagai ukuran, \(\int f\,\mathrm dN^{(n)}\uparrow\int f\,\mathrm dN\). Ruas kiri di dalam ekspektasi pada (7) turun dan dibatasi oleh \(1\), jadi konvergensi terbatas berlaku. Pada ruas kanan, konvergensi monoton untuk \((1-e^{-f})\mathbf 1_{\cup_{j\le n}E_j}\) memberi integral pada seluruh \(S\). Melewatkan \(n\to\infty\) dalam (7) membuktikan (2), termasuk kasus ketika integral pada eksponen bernilai \(\infty\).

4. Hukum Poisson dan inkremen bebas

Ambil \(f=t\mathbf 1_A\) dengan \(t\ge0\). Dari (2),

\[ \mathbb E[e^{-tN(A)}] =\exp\!\left[-\int_A(1-e^{-t})\,\mathrm d\nu\right]. \tag{8} \]

Untuk \(t=0\), kedua ruas pada (8) sama dengan \(1\). Untuk \(t>0\), integral tersebut sama dengan \((1-e^{-t})\nu(A)\) dalam arti nilai diperluas, sehingga ruas kanan dapat ditulis \(\exp[-\nu(A)(1-e^{-t})]\) tanpa membentuk hasil kali tak terdefinisi \(0\cdot\infty\).

Jika \(\nu(A)<\infty\), ruas kanan adalah transformasi Laplace—atau fungsi pembangkit pada \(z=e^{-t}\)—dari distribusi \(\operatorname{Pois}(\nu(A))\). Keunikan fungsi pembangkit pada \(\mathbb N_0\) dan keterhinggaan hampir pasti dari langkah 2 memberi

\[ N(A)\sim\operatorname{Pois}(\nu(A)). \]

Khusus \(\nu(A)=0\), ini adalah distribusi degenerat di nol. Jika \(\nu(A)=\infty\), maka untuk setiap \(t>0\) ruas kanan (8) sama dengan nol. Karena \(e^{-tN(A)}>0\) tepat pada kejadian \(\{N(A)<\infty\}\), diperoleh \(N(A)=\infty\) hampir pasti.

Sekarang ambil \(A_1,\ldots,A_r\) saling lepas dengan \(\nu(A_i)<\infty\) untuk semua \(i\), serta \(t_1,\ldots,t_r\ge0\). Untuk \(f=\sum_{i=1}^rt_i\mathbf 1_{A_i}\), karena himpunan-himpunan itu saling lepas, diperoleh

\[ 1-e^{-f} =\sum_{i=1}^r(1-e^{-t_i})\mathbf 1_{A_i}. \]

Karena itu (2) menjadi

\[ \begin{aligned} \mathbb E\!\left[ e^{-\sum_{i=1}^rt_iN(A_i)} \right] &=\exp\!\left[-\sum_{i=1}^r \nu(A_i)(1-e^{-t_i})\right]\\ &=\prod_{i=1}^r\mathbb E[e^{-t_iN(A_i)}]. \end{aligned} \tag{9} \]

Keunikan transformasi Laplace bersama menunjukkan bahwa cacah-cacahnya independen. Komponen dengan ukuran tak hingga sama dengan \(\infty\) hampir pasti dan karenanya merupakan peubah acak konstan; menambah komponen semacam itu tidak merusak independensi. Jadi setiap subkeluarga hingga dari keluarga cacah pada himpunan-himpunan saling lepas adalah independen. Berdasarkan definisi independensi keluarga terhitung, seluruh keluarga tersebut independen.

5. Ketaktergantungan pada partisi dan keunikan hukum

Misalkan \(N\) dan \(\widetilde N\) diperoleh dari dua partisi sigma-hingga yang berbeda. Langkah 4 menunjukkan bahwa keduanya mempunyai hukum Poisson dengan parameter \(\nu(D)\) pada setiap \(D\in\mathcal S\), dan mempunyai cacah independen pada himpunan-himpunan saling lepas.

Ambil \(A_1,\ldots,A_r\in\mathcal S\). Untuk setiap himpunan indeks tak kosong \(I\subseteq\{1,\ldots,r\}\), bentuk atom keanggotaan

\[ D_I =\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right) \setminus\left(\bigcup_{k\notin I}A_k\right). \tag{10} \]

Atom-atom tak kosong pada (10) saling lepas, dan

\[ N(A_i)=\sum_{I:\,i\in I}N(D_I). \tag{11} \]

Jika semua \(A_i\) berukuran hingga, maka setiap \(D_I\) juga berukuran hingga. Vektor \((N(D_I))_I\) terdiri dari peubah Poisson independen dengan parameter \((\nu(D_I))_I\); hal yang sama berlaku bagi \(\widetilde N\). Rumus (11) menentukan hukum bersama \((N(A_1),\ldots,N(A_r))\), sehingga hukum itu sama untuk kedua konstruksi. Jika beberapa \(A_i\) berukuran tak hingga, koordinat yang bersangkutan sama dengan \(\infty\) hampir pasti, sedangkan argumen tadi diterapkan pada semua koordinat yang berukuran hingga. Jadi seluruh distribusi evaluasi berdimensi hingga tetap sama.

Terakhir, silinder evaluasi

\[ \left\{ m:(m(A_1),\ldots,m(A_r))\in H \right\}, \qquad H\subseteq\overline{\mathbb N}_0^{\,r}, \tag{12} \]

membentuk sistem-\(\pi\) yang membangkitkan \(\mathcal E\). Hukum \(N\) dan \(\widetilde N\) sepakat pada setiap silinder (12), karena semua distribusi evaluasi berdimensi hingganya sama. Teorema sistem-\(\pi\)–\(\lambda\) kemudian memberikan

\[ \mathcal L(N)=\mathcal L(\widetilde N) \qquad\text{pada }\mathcal E. \]

Dengan demikian (1) benar-benar membangun ukuran acak Poisson berintensitas \(\nu\) pada ruang ukuran umum, dan pilihan partisi hanyalah perangkat konstruksi, bukan bagian dari hukumnya.