Martingal mundur dan pelupaan kuantitatif pada rantai Markov reversibel

Prasyarat

Pembaca diharapkan menguasai nilai harapan bersyarat, sifat menara, rantai Markov homogen pada ruang keadaan berhingga, distribusi stasioner, kesetimbangan terperinci, norma \(L^2\), serta teorema konvergensi martingal mundur.

Capaian pembelajaran

Setelah menyelesaikan latihan ini, pembaca dapat:

mengenali nilai harapan bersyarat terhadap filtrasi yang menurun sebagai martingal mundur;
mengubah pembalikan waktu rantai Markov reversibel menjadi identitas operator yang eksplisit;
menurunkan laju pelupaan \(L^2\) dan batas probabilitas dari celah spektral; dan
membuktikan trivialitas aljabar-\(\sigma\) ekor tanpa menggunakan waktu henti atau teorema penghentian opsional.

Latihan

Misalkan \((X_n)_{n\ge 0}\) adalah rantai Markov stasioner pada himpunan berhingga \(E\), dengan matriks transisi \(P\) dan distribusi stasioner \(\pi\) yang memenuhi \(\pi(x)>0\) untuk setiap \(x\in E\). Operator transisi bekerja pada fungsi \(h:E\to\mathbb R\) melalui

\[ (Ph)(x)=\sum_{y\in E}P(x,y)h(y). \]

Andaikan rantai reversibel,

\[ \pi(x)P(x,y)=\pi(y)P(y,x),\qquad x,y\in E, \]

dan terdapat \(\rho\in[0,1)\) sehingga

\[ \|Ph\|_{2,\pi}\le \rho\|h\|_{2,\pi} \quad\text{untuk setiap }h\text{ dengan }\pi(h)=0, \tag{1} \]

dengan

\[ \pi(h)=\sum_{x\in E}\pi(x)h(x), \qquad \|h\|_{2,\pi}^2=\sum_{x\in E}\pi(x)h(x)^2. \]

Untuk \(n\ge0\), definisikan aljabar-\(\sigma\) masa depan

\[ \mathcal G_n=\sigma(X_n,X_{n+1},X_{n+2},\ldots), \qquad \mathcal G_\infty=\bigcap_{n\ge0}\mathcal G_n. \]

Ambil \(f:E\to\mathbb R\) dengan \(\pi(f)=0\), lalu tetapkan

\[ Y_n=\mathbb E[f(X_0)\mid\mathcal G_n]. \]

Kerjakan semua bagian berikut.

Buktikan bahwa \((Y_n,\mathcal G_n)_{n\ge0}\) adalah martingal mundur dan bahwa \[ Y_n=(P^nf)(X_n). \tag{2} \]
Buktikan batas kuantitatif \[ \mathbb E(Y_n^2)\le \rho^{2n}\|f\|_{2,\pi}^2, \qquad \mathbb P(|Y_n|\ge t) \le \min\!\left\{1,\frac{\rho^{2n}\|f\|_{2,\pi}^2}{t^2}\right\} \quad(t>0). \tag{3} \] Identifikasikan limit hampir pastinya dan limit \(L^2\) dari \(Y_n\).
Buktikan bahwa \(\mathcal G_\infty\) trivial modulo himpunan nol: untuk setiap \(A\in\mathcal G_\infty\), berlaku \(\mathbb P(A)\in\{0,1\}\).
Khusus untuk \(E=\{0,1\}\), ambil \[ P= \begin{pmatrix} 1-a & a\\ b & 1-b \end{pmatrix}, \qquad a,b\in(0,1). \] Dengan \(p=a/(a+b)\), \(\lambda=1-a-b\), dan \(f(x)=x-p\), tentukan \(Y_n\), \(\mathbb E(Y_n^2)\), serta \(\mathbb P(|Y_n|\ge t)\) secara eksak.

Petunjuk 1

Mulailah dari inklusi \(\mathcal G_{n+1}\subseteq\mathcal G_n\) dan sifat menara. Untuk (2), gunakan dua fakta secara berurutan: masa lalu dan masa depan saling bebas bersyarat pada \(X_n\), lalu pembalikan waktu rantai stasioner reversibel memiliki matriks transisi yang sama dengan \(P\).

Petunjuk 2

Untuk \(j\in E\), hitung langsung

\[ \mathbb E[f(X_0)\mid X_n=j] =\frac{1}{\pi(j)}\sum_{i\in E}\pi(i)P^n(i,j)f(i). \]

Kesetimbangan terperinci juga berlaku untuk \(P^n\). Setelah memperoleh (2), gunakan stasioneritas \(X_n\sim\pi\), iterasi (1), dan pertidaksamaan Chebyshev.

Petunjuk 3

Untuk trivialitas ekor, ambil \(A\in\mathcal G_\infty\), \(B\in\mathcal F_m:=\sigma(X_0,\ldots,X_m)\), dan \(n>m\). Definisikan

\[ q_n(x)=\mathbb P(A\mid X_n=x), \qquad r=\mathbb P(A). \]

Tunjukkan bahwa \(\pi(q_n)=r\) dan

\[ \mathbb E[\mathbf 1_A\mid\mathcal F_m] =P^{\,n-m}q_n(X_m). \]

Terapkan (1) pada \(q_n-r\), kemudian biarkan \(n\to\infty\). Terakhir, perluas independensi dari semua kejadian silinder ke \(\sigma(X_0,X_1,\ldots)\) dengan teorema kelas monoton.

Jawaban ringkas

Keluarga \((\mathcal G_n)\) menurun dan sifat menara memberi \(\mathbb E(Y_n\mid\mathcal G_{n+1})=Y_{n+1}\). Reversibilitas memberi

\[ Y_n=(P^nf)(X_n). \]

Akibatnya,

\[ \|Y_n\|_2=\|P^nf\|_{2,\pi} \le\rho^n\|f\|_{2,\pi}, \]

sehingga \(Y_n\to0\) hampir pasti dan dalam \(L^2\), serta (3) mengikuti dari Chebyshev. Kontraksi yang sama menunjukkan bahwa setiap kejadian ekor independen dari setiap blok berhingga; jadi kejadian itu independen dari dirinya sendiri dan berpeluang 0 atau 1.

Dalam kasus dua keadaan,

\[ Y_n=\lambda^n(X_n-p), \qquad \mathbb E(Y_n^2)=\lambda^{2n}p(1-p), \]

dan, untuk \(t>0\),

\[ \mathbb P(|Y_n|\ge t) =(1-p)\mathbf 1_{\{|\lambda|^np\ge t\}} +p\mathbf 1_{\{|\lambda|^n(1-p)\ge t\}}. \]

Solusi lengkap

1. Struktur martingal mundur dan rumus pembalikan waktu

Jelas bahwa \(\mathcal G_{n+1}\subseteq\mathcal G_n\). Peubah \(Y_n\) terukur terhadap \(\mathcal G_n\) dan terintegralkan karena \(E\) berhingga. Dengan sifat menara,

\[ \mathbb E[Y_n\mid\mathcal G_{n+1}] =\mathbb E\!\left[ \mathbb E[f(X_0)\mid\mathcal G_n] \mathrel{\Big|}\mathcal G_{n+1} \right] =\mathbb E[f(X_0)\mid\mathcal G_{n+1}] =Y_{n+1}. \]

Jadi, \((Y_n,\mathcal G_n)\) adalah martingal mundur.

Untuk \(n\ge1\), sifat Markov menyatakan bahwa, bersyarat pada \(X_n\), masa lalu \(\sigma(X_0,\ldots,X_{n-1})\) dan masa depan \(\sigma(X_{n+1},X_{n+2},\ldots)\) saling bebas. Oleh karena itu,

\[ Y_n=\mathbb E[f(X_0)\mid X_n]. \tag{4} \]

Untuk \(n=0\), identitas yang sama berlaku langsung karena \(Y_0=f(X_0)=P^0f(X_0)\).

Untuk \(j\in E\), stasioneritas dan rumus Bayes memberikan

\[ \begin{aligned} \mathbb E[f(X_0)\mid X_n=j] &=\sum_{i\in E}f(i) \frac{\mathbb P(X_0=i,X_n=j)}{\mathbb P(X_n=j)}\\ &=\frac{1}{\pi(j)} \sum_{i\in E}f(i)\pi(i)P^n(i,j). \end{aligned} \tag{5} \]

Kesetimbangan terperinci untuk \(P\) menyiratkan kesetimbangan terperinci untuk setiap pangkatnya:

\[ \pi(i)P^n(i,j)=\pi(j)P^n(j,i). \]

Memasukkannya ke (5) menghasilkan

\[ \mathbb E[f(X_0)\mid X_n=j] =\sum_{i\in E}P^n(j,i)f(i) =(P^nf)(j). \]

Bersama (4), ini membuktikan (2).

2. Pelupaan kuantitatif dan identifikasi limit

Karena \(X_n\sim\pi\), identitas (2) memberi

\[ \mathbb E(Y_n^2) =\sum_{x\in E}\pi(x)(P^nf(x))^2 =\|P^nf\|_{2,\pi}^2. \]

Rata-rata \(\pi\) dipertahankan oleh \(P\), sehingga \(\pi(P^kf)=\pi(f)=0\) untuk setiap \(k\). Karena itu, (1) dapat diiterasikan:

\[ \|P^nf\|_{2,\pi} \le\rho^n\|f\|_{2,\pi}. \]

Setelah dikuadratkan, diperoleh bagian pertama (3). Pertidaksamaan Chebyshev memberi

\[ \mathbb P(|Y_n|\ge t) \le \frac{\mathbb E(Y_n^2)}{t^2} \le \frac{\rho^{2n}\|f\|_{2,\pi}^2}{t^2}; \]

menggabungkannya dengan batas trivial 1 menghasilkan bagian kedua (3).

Teorema konvergensi martingal mundur menyatakan bahwa

\[ Y_n\longrightarrow Y_\infty:=\mathbb E[f(X_0)\mid\mathcal G_\infty] \]

hampir pasti dan dalam \(L^2\). Di sisi lain, batas norma di atas menyatakan \(Y_n\to0\) dalam \(L^2\). Keunikan limit dalam probabilitas lalu memberi

\[ \mathbb E[f(X_0)\mid\mathcal G_\infty]=0 \quad\text{hampir pasti}, \]

dan \(Y_n\to0\) baik hampir pasti maupun dalam \(L^2\).

3. Trivialitas aljabar-\(\sigma\) ekor

Ambil \(A\in\mathcal G_\infty\), tetapkan \(r=\mathbb P(A)\), dan definisikan, untuk setiap \(n\),

\[ q_n(x)=\mathbb P(A\mid X_n=x),\qquad x\in E. \]

Karena \(0\le q_n\le1\) dan \(X_n\sim\pi\),

\[ \pi(q_n)=\mathbb E[q_n(X_n)]=\mathbb P(A)=r, \qquad \|q_n-r\|_{2,\pi}\le1. \tag{6} \]

Tetapkan \(m\ge0\), ambil \(B\in\mathcal F_m:=\sigma(X_0,\ldots,X_m)\), dan pilih sembarang \(n>m\). Karena \(A\in\mathcal G_\infty\subseteq\mathcal G_n\), sifat Markov memberi

\[ \mathbb E[\mathbf1_A\mid\mathcal F_n]=q_n(X_n). \]

Dengan mengondisikan sekali lagi pada \(\mathcal F_m\),

\[ \mathbb E[\mathbf1_A\mid\mathcal F_m] =\mathbb E[q_n(X_n)\mid\mathcal F_m] =P^{\,n-m}q_n(X_m). \tag{7} \]

Gunakan (7), lalu kurangi \(\mathbb P(B)r\):

\[ \begin{aligned} \left|\mathbb P(A\cap B)-r\mathbb P(B)\right| &=\left| \mathbb E\!\left[ \mathbf1_B P^{\,n-m}(q_n-r)(X_m) \right] \right|\\ &\le \|\mathbf1_B\|_2 \|P^{\,n-m}(q_n-r)(X_m)\|_2\\ &\le \rho^{\,n-m}\|q_n-r\|_{2,\pi}\\ &\le \rho^{\,n-m}. \end{aligned} \tag{8} \]

Ruas kiri (8) tidak bergantung pada \(n\), sedangkan ruas kanan menuju nol. Jadi \(A\) independen dari setiap \(\mathcal F_m\). Karena kejadian-kejadian dalam \(\bigcup_m\mathcal F_m\) membentuk aljabar yang membangkitkan

\[ \mathcal F_\infty^{\mathrm{jalur}} :=\sigma(X_0,X_1,\ldots), \]

teorema kelas monoton memperluas independensi itu ke seluruh \(\mathcal F_\infty^{\mathrm{jalur}}\). Namun \(A\in\mathcal G_\infty\subseteq\mathcal F_\infty^{\mathrm{jalur}}\). Dengan memilih kejadian kedua juga \(A\), diperoleh

\[ \mathbb P(A)=\mathbb P(A\cap A)=\mathbb P(A)^2. \]

Maka \(\mathbb P(A)\in\{0,1\}\), sebagaimana diminta.

4. Perhitungan eksak untuk rantai dua keadaan

Distribusi stasionernya adalah

\[ \pi(1)=p=\frac{a}{a+b}, \qquad \pi(0)=1-p=\frac{b}{a+b}. \]

Ruang fungsi yang bermean nol terhadap \(\pi\) berdimensi satu. Untuk \(f(x)=x-p\), perhitungan langsung memberi

\[ Pf=\lambda f, \qquad \lambda=1-a-b. \]

Karena \(a,b\in(0,1)\), berlaku \(|\lambda|<1\); dalam (1) dapat diambil \(\rho=|\lambda|\). Dari (2),

\[ Y_n=(P^nf)(X_n)=\lambda^n(X_n-p). \]

Selanjutnya, \(\mathbb E[(X_n-p)^2]=p(1-p)\), sehingga

\[ \mathbb E(Y_n^2)=\lambda^{2n}p(1-p). \]

Terakhir, \(X_n=0\) dengan probabilitas \(1-p\) dan \(X_n=1\) dengan probabilitas \(p\). Pada kedua kejadian itu, berturut-turut,

\[ |Y_n|=|\lambda|^np \quad\text{dan}\quad |Y_n|=|\lambda|^n(1-p). \]

Jadi, untuk setiap \(t>0\), probabilitas eksaknya adalah

\[ \boxed{ \mathbb P(|Y_n|\ge t) =(1-p)\mathbf1_{\{|\lambda|^np\ge t\}} +p\mathbf1_{\{|\lambda|^n(1-p)\ge t\}} }. \]

Kasus eksplisit ini memperlihatkan bahwa laju geometrik bukan sekadar artefak pembuktian: untuk fungsi observasi yang merupakan fungsi eigen, faktor \(|\lambda|^n\) tepat.

Hak dan provenans

Latihan, susunan subsoal, petunjuk, jawaban, dan solusi ini ditulis secara orisinal dalam bahasa Indonesia (id-ID) untuk materi penguasaan ini. Landasan teorinya adalah definisi serta teorema konvergensi martingal mundur pada teori martingal mundur; konstruksi pelupaan spektral, pembuktian trivialitas ekor, dan spesialisasi dua keadaan di atas bukan salinan dari contoh pada sumber tersebut. Materi ini tidak menggunakan teorema penghentian opsional.

Hak cipta © 2026 para kontributor. Dilisensikan berdasarkan Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0). Anda boleh membagikan dan mengadaptasi materi ini untuk tujuan apa pun dengan atribusi yang sesuai, pranala lisensi, dan penandaan perubahan.