Latihan penguasaan konvergensi dan teorema limit: butir 03–04

Penyelesaian

Karena \(X_k\) iid dengan rataan \(\mu\) dan varians hingga positif, teorema limit pusat memberi

\[ T_n=\frac{\sum_{k=1}^n(X_k-\mu)}{\sqrt n} \Rightarrow\sigma Z, \qquad Z\sim\mathcal N(0,1). \]

Konvergensi dalam distribusi menyiratkan keterbatasan dalam probabilitas, jadi \(T_n=O_{\mathbb P}(1)\). Karena \(n^{-1/2}\to0\), diperoleh

\[ \overline X_n-\mu=\frac{T_n}{\sqrt n} \longrightarrow0 \quad\text{dalam probabilitas}. \]

Asumsi diferensiabilitas orde dua di \(\mu\) dan \(g'(\mu)=0\) memberikan ekspansi Taylor dalam bentuk Peano

\[ g(\mu+h)-g(\mu) =\frac{g''(\mu)}2h^2+h^2r(h), \qquad r(h)\longrightarrow0 \quad(h\to0). \]

Dengan \(h=\overline X_n-\mu\), kalikan kedua ruas dengan \(n\) untuk memperoleh

\[ Q_n =\frac{g''(\mu)}2T_n^2 +T_n^2r(\overline X_n-\mu). \]

Karena \(\overline X_n-\mu\to0\) dalam probabilitas dan \(r(h)\to0\), pemetaan kontinu lokal memberi \(r(\overline X_n-\mu)=o_{\mathbb P}(1)\). Selanjutnya \(T_n^2=O_{\mathbb P}(1)\), dan hasil kali suatu \(O_{\mathbb P}(1)\) dengan suatu \(o_{\mathbb P}(1)\) adalah \(o_{\mathbb P}(1)\). Dengan demikian,

\[ Q_n=\frac{g''(\mu)}2T_n^2+o_{\mathbb P}(1). \]

Teorema pemetaan kontinu memberi

\[ \left(T_n,\frac{g''(\mu)}2T_n^2\right) \Rightarrow \left(\sigma Z,\frac{g''(\mu)\sigma^2}{2}Z^2\right). \]

Menambahkan sisa \(o_{\mathbb P}(1)\) pada koordinat kedua dan menerapkan Slutsky membuktikan limit gabungan yang diminta.

Tuliskan

\[ U=\sigma Z, \qquad V=\frac{g''(\mu)\sigma^2}{2}Z^2. \]

Karena \(Z^2\sim\chi_1^2\), diperoleh \(V\overset d=\{g''(\mu)\sigma^2/2\}\chi_1^2\); bila \(g''(\mu)<0\), ini adalah kelipatan negatif dari peubah khi-kuadrat. Selain itu,

\[ \operatorname{Cov}(U,V) =\mathbb E[UV]-\mathbb E[U]\mathbb E[V] =\frac{g''(\mu)\sigma^3}{2}\mathbb E[Z^3] =0. \]

Namun, \(V=g''(\mu)U^2/2\). Jadi \(V\) adalah fungsi terukur tak konstan dari \(U\) dan bersifat nondegenerat karena \(g''(\mu)\ne0\) dan \(\sigma>0\). Jika \(U\) dan \(V\) independen, maka \(V\), yang terukur terhadap \(U\), harus independen dari dirinya sendiri dan karenanya degenerat; ini kontradiksi. Jadi kovarians nol di sini tidak menyiratkan independensi.

Akhirnya, dari representasi \(Q_n=O_{\mathbb P}(1)\) diperoleh

\[ \sqrt n\{g(\overline X_n)-g(\mu)\} =\frac{Q_n}{\sqrt n} \longrightarrow0 \quad\text{dalam probabilitas}. \]

Skala metode delta orde pertama menjadi degenerat karena koefisien linear \(g'(\mu)\) nol. Skala \(n\) justru mempertahankan suku kuadrat, yang berlimit pada kelipatan tak nol dari \(Z^2\).

Penyelesaian

Jika \(U>0\), pilih \(n_0\) sedemikian sehingga \(n^{-\beta}<U\) untuk semua \(n\ge n_0\). Maka \(X_n=0\) untuk semua \(n\ge n_0\). Karena \(\mathbb P(U>0)=1\), diperoleh \(X_n\to0\) hampir pasti. Konvergensi hampir pasti menyiratkan konvergensi dalam probabilitas, kemudian konvergensi dalam distribusi. Secara langsung, untuk setiap \(\varepsilon>0\) dan semua \(n\) yang cukup besar sehingga \(n^\alpha>\varepsilon\),

\[ \mathbb P(|X_n|>\varepsilon) =\mathbb P(U\le n^{-\beta}) =n^{-\beta}\longrightarrow0. \]

Untuk momen ke-\(p\) diperoleh identitas eksak

\[ \mathbb E|X_n|^p =n^{\alpha p}\mathbb P(U\le n^{-\beta}) =n^{\alpha p-\beta}. \]

Karena limitnya nol tepat ketika \(\alpha p-\beta<0\), maka \(X_n\to0\) dalam \(L^p\) tepat ketika \(\alpha p<\beta\). Barisan momen tersebut terbatas tepat ketika eksponennya tidak positif, yakni ketika \(\alpha p\le\beta\).

Tinggal memeriksa keterintegralan seragam. Tetapkan \(W_n=|X_n|^p=n^{\alpha p}\mathbf1_{\{U\le n^{-\beta}\}}\). Untuk setiap \(K>0\),

\[ \mathbb E[W_n\mathbf1_{\{W_n>K\}}] =n^{\alpha p-\beta}\mathbf1_{\{n^{\alpha p}>K\}}. \]

Tuliskan \(\delta=\alpha p-\beta\). Jika \(\delta<0\), maka

\[ \sup_{n\ge1}\mathbb E[W_n\mathbf1_{\{W_n>K\}}] =\sup_{n>K^{1/(\alpha p)}}n^\delta \longrightarrow0 \qquad (K\to\infty), \]

karena untuk pangkat negatif supremum dicapai pada bilangan bulat terkecil di atas ambang, yang menuju tak hingga bersama \(K\). Jadi \((W_n)\) terintegralkan seragam.

Jika \(\delta=0\), untuk setiap \(K\) dapat dipilih \(n\) dengan \(n^{\alpha p}>K\), dan ekspektasi ekornya sama dengan \(1\). Jika \(\delta>0\), ekspektasi ekor bahkan tak terbatas ketika \(n\to\infty\). Dengan demikian, \((|X_n|^p)\) terintegralkan seragam tepat ketika \(\alpha p<\beta\).

Pada garis batas \(\alpha p=\beta\), lonjakan setinggi \(n^\alpha\) terjadi pada kejadian berpeluang \(n^{-\beta}\). Peluang itu menghilang, tetapi tinggi dan kelangkaannya berimbang sehingga \(\mathbb E|X_n|^p=1\) untuk setiap \(n\). Inilah mekanisme hilangnya massa ke ekor: konvergensi hampir pasti dan keterbatasan momen ke-\(p\) tidak cukup untuk menukar limit dengan ekspektasi. Keterintegralan seragam adalah kendali ekor yang hilang pada batas tersebut.