Penilaian Kumulatif D30 — Formulir B

Momen Poisson memberi \[ \mathbb E\!\left(\frac{N_n}{n}-1\right)^2 =\frac{\operatorname{Var}(N_n)}{n^2} =\frac1n\longrightarrow0. \] Jadi \(N_n/n\to1\) dalam \(L^2\), dan karena itu dalam probabilitas. Selain itu, \(\mathbb P(N_n=0)=e^{-n}\to0\).

Untuk \(W_k=Y_k-\mu\), fungsi karakteristiknya memenuhi \[ \psi(u)=1-\frac{\sigma^2u^2}{2}+o(u^2) \quad(u\to0). \] Independensi \(N_n\) dari sampel dan fungsi pembangkit Poisson memberi \[ \begin{aligned} \mathbb E\exp\!\left\{ it\frac{S_{N_n}-\mu N_n}{\sigma\sqrt n} \right\} &=\exp\!\left[ n\left\{\psi\!\left(\frac{t}{\sigma\sqrt n}\right)-1\right\} \right]\\ &\longrightarrow e^{-t^2/2}. \end{aligned} \] Teorema kontinuitas Lévy menghasilkan limit \(N(0,1)\).

Tuliskan \[ A_n=\frac{S_{N_n}-\mu N_n}{\sigma\sqrt n}, \qquad R_n=\frac{N_n}{n}. \] Pada \(\{N_n>0\}\), \[ \widehat\mu_n-\mu =\frac{\sigma A_n}{\sqrt n\,R_n}. \] Karena \(A_n\) ketat, \(R_n\to1\) dalam probabilitas, dan \(\mathbb P(N_n=0)\to0\), ruas kanan menuju nol dalam probabilitas. Maka \(\widehat\mu_n\to\mu\) dalam probabilitas. Selanjutnya, \[ \frac{\sqrt{N_n}(\widehat\mu_n-\mu)}{\sigma} =A_n\sqrt{\frac n{N_n}} =A_nR_n^{-1/2} \Rightarrow N(0,1) \] pada kejadian \(N_n>0\); konvensi pada kejadian nol tidak mengubah limit.

Untuk ukuran sampel deterministik \(m\), SLLN memberi konsistensi hampir pasti dan CLT memberi pendekatan normal bagi fluktuasi skala \(\sqrt m\). Jika ukuran sampel yang teramati adalah \(m>0\), independensi memberi \[ \mathbb E(\overline Y_m-\mu)^2=\frac{\sigma^2}{m}, \] sehingga galat baku teoretis rataan Monte Carlo adalah \(\sigma/\sqrt m\); secara tipikal \(m\) dekat dengan \(n\). Hasil di atas untuk \(N_n\) secara langsung membuktikan mode yang dinyatakan: probabilitas untuk konsistensi dan distribusi untuk CLT. Penguatan hampir pasti juga tersedia bila seluruh barisan ditempatkan pada satu ruang peluang: batas Chernoff Poisson membuat \(\sum_n\mathbb P(|N_n/n-1|>\varepsilon)<\infty\), sehingga Borel–Cantelli memberi \(N_n/n\to1\) hampir pasti; SLLN kemudian berlaku pada subbarisan acak \(N_n\). Penguatan ini memakai argumen tambahan, bukan semata rantai implikasi dari konvergensi dalam probabilitas. Simulasi dapat mengilustrasikan perilaku, tetapi tidak membuktikan kuantor teorema atas semua ukuran sampel dan realisasi.

Integrasi pada penampang \(x<y<1\) memberi \[ f_X(x)=\int_x^1 2\,dy=2(1-x), \qquad 0<x<1. \] Jadi satu versi kernel adalah \[ K(x,A)=\frac{\lambda(A\cap(x,1))}{1-x}, \qquad 0<x<1, \] dan, misalnya, \(K(x,\cdot)=\delta_0\) di luar \((0,1)\). Untuk himpunan Borel \(C,D\), \[ \begin{aligned} \int_C K(x,D)\,\mathbb P_X(dx) &=\int_{C\cap(0,1)} \frac{\lambda(D\cap(x,1))}{1-x}\,2(1-x)\,dx\\ &=\int_C\int_D2\mathbf1_{\{0<x<y<1\}}\,dy\,dx\\ &=\mathbb P(X\in C,Y\in D). \end{aligned} \] Ini memverifikasi disintegrasi.

Komposisi dengan kernel Bernoulli memberi \[ \mathbb P(Z=1\mid X=x) =\int_x^1y\,\frac{dy}{1-x} =\frac{1+x}{2}. \] Jika \(g(y)=(1-y)h(0)+yh(1)\), maka \[ \begin{aligned} \mathbb E[g(Y)\mid X=x] &=h(0)\left(1-\frac{1+x}{2}\right) +h(1)\frac{1+x}{2}, \end{aligned} \] tepat nilai harapan \(h\) di bawah hukum Bernoulli dengan parameter \((1+x)/2\). Jadi sifat menara berlaku.

Ganti pilihan di luar \((0,1)\) dari \(\delta_0\) menjadi, misalnya, \(\delta_1\). Kedua kernel berbeda titik demi titik, tetapi himpunan tempat mereka berbeda mempunyai ukuran \(\mathbb P_X\) nol. Karena disintegrasi mengintegralkan terhadap \(\mathbb P_X\), keduanya mewakili hukum bersyarat yang sama.

Untuk satu \(B\) tetap, \(\mathbb E[\mathbf1_{\{Y\in B\}}\mid\mathcal G]\) hanya ditentukan modulo himpunan nol yang dapat bergantung pada \(B\). Pilihan terpisah bagi tak terhitung banyak \(B\) belum tentu aditif terhitung pada satu \(\omega\). Pada sasaran Borel standar tersedia satu distribusi bersyarat reguler \(K(\omega,\cdot)\) yang koheren. Jika dua kernel mewakili hukum yang sama, samakan dahulu keduanya pada kelas penentu terhitung. Gabungan terhitung himpunan nolnya tetap nol; di luar gabungan itu, ketunggalan ukuran memperluas kesamaan ke seluruh aljabar-σ sasaran.

Karena \(\xi_{n+1}\) bebas dari \(\mathcal F_n\), \[ \mathbb E(M_{n+1}\mid\mathcal F_n) =r^{S_n}\mathbb E(r^{\xi_{n+1}}) =r^{S_n}(pr+qr^{-1}) =M_n. \] Jadi \(M\) martingal. Selanjutnya, \[ M_{(n+1)\wedge\tau}-M_{n\wedge\tau} =\mathbf1_{\{\tau>n\}}(M_{n+1}-M_n). \] Indikator itu \(\mathcal F_n\)-terukur, sehingga ekspektasi bersyarat inkremennya nol. Maka \((M_{n\wedge\tau})_n\) martingal.

Ambil \(c=\min(p,q)^{a+b}>0\). Dari setiap keadaan interior, peluang mengikuti urutan langkah yang mencapai salah satu batas dalam \(a+b\) langkah paling sedikit \(c\). Dengan sifat Markov, \[ \mathbb P(\tau>k(a+b))\le(1-c)^k. \] Jadi \(\tau<\infty\) hampir pasti dan \(\mathbb E\tau<\infty\). Sebelum dan pada waktu keluar, \(S_{n\wedge\tau}\in[-a,b]\). Karena himpunan ini berhingga, \(M_{n\wedge\tau}\) dibatasi oleh konstanta deterministik; keluarga tersebut terintegralkan seragam. Maka \[ 1=\mathbb EM_0=\mathbb EM_\tau =ur^b+(1-u)r^{-a}. \] Penyelesaian memberi \[ u=\frac{1-r^{-a}}{r^b-r^{-a}} =\frac{1-r^a}{1-r^{a+b}}. \]

Proses \(L_n=S_n-(p-q)n\) adalah martingal karena \(\mathbb E\xi_{n+1}=p-q\). Penghentian pada \(\tau\wedge n\) memberi \[ \mathbb ES_{\tau\wedge n}=(p-q)\mathbb E(\tau\wedge n). \] Ruas kiri menuju \(\mathbb ES_\tau\) dengan konvergensi terdominasi karena \(|S_{\tau\wedge n}|\le\max(a,b)\); ruas kanan menuju \((p-q)\mathbb E\tau\) dengan konvergensi monoton. Karena \[ \mathbb ES_\tau=bu-a(1-u)=(a+b)u-a, \] diperoleh \[ \mathbb E\tau=\frac{(a+b)u-a}{p-q}. \] Pembilang dan penyebut mempunyai tanda sama, sehingga hasilnya positif.

SLLN memberi \(S_n/n\to p-q\) hampir pasti. Karena \[ \frac1n\log M_n=\frac{S_n}{n}\log(q/p) \longrightarrow(p-q)\log(q/p)<0, \] maka \(M_n\to0\) hampir pasti. Namun sifat martingal memberi \(\mathbb EM_n=1\) untuk semua \(n\). Jika \((M_n)\) terintegralkan seragam, Vitali akan memberi konvergensi \(L^1\) ke nol dan memaksa \(\mathbb EM_n\to0\), suatu kontradiksi. Jadi keterbatasan \(L^1\) melalui rataan satu tidak cukup untuk UI.

Perkalian langsung memberi \[ P^2= \begin{pmatrix} 0&0&0&1\\ 1&0&0&0\\ 1&0&0&0\\ 0&\tfrac12&\tfrac12&0 \end{pmatrix}. \] Dari \(0\) rantai mencapai \(1\) dan \(2\); keduanya mencapai \(3\), lalu \(3\) mencapai \(0\). Jadi setiap keadaan dapat mencapai semua keadaan lain, sehingga rantai tak tereduksi.

Transisi selalu bergerak melalui tiga kelas \[ C_0=\{0\},\qquad C_1=\{1,2\},\qquad C_2=\{3\} \] secara siklik. Waktu kembali harus habis dibagi tiga. Kembali dalam tiga langkah mempunyai peluang positif dari setiap keadaan, sehingga gcd waktu kembali adalah tiga dan semua keadaan berperiode tiga.

Jika \(\pi=(\pi_0,\pi_1,\pi_2,\pi_3)\), persamaan \(\pi P=\pi\) memberi \[ \pi_1=\tfrac12\pi_0,\quad \pi_2=\tfrac12\pi_0,\quad \pi_3=\pi_1+\pi_2=\pi_0,\quad \pi_0=\pi_3. \] Normalisasi menghasilkan \[ \pi=(\tfrac13,\tfrac16,\tfrac16,\tfrac13). \]

Karena \(P^3\) membawa \(\delta_0\) kembali ke \(\delta_0\), untuk setiap \(n\ge0\), \[ \mathcal L(X_{3n})=\delta_0,\quad \mathcal L(X_{3n+1})=(0,\tfrac12,\tfrac12,0),\quad \mathcal L(X_{3n+2})=\delta_3. \] Ketiga limit berbeda, sehingga tidak ada limit waktu biasa. Masing-masing kelas residu mempunyai frekuensi asimtotik \(1/3\); karena itu \[ \frac1N\sum_{k=0}^{N-1}\mathcal L(X_k) \longrightarrow \tfrac13\delta_0 +\tfrac13(0,\tfrac12,\tfrac12,0) +\tfrac13\delta_3 =\pi. \] Ketunggalan distribusi stasioner tidak menghapus osilasi akibat periodisitas.

Laju keluar adalah \(-q_{ii}\). Jadi waktu tunggu di \(0\) dan \(2\) berdistribusi \(\operatorname{Exp}(\lambda)\), sedangkan di \(1\) berdistribusi \(\operatorname{Exp}(2\lambda)\). Setelah meninggalkan \(0\) atau \(2\), proses pasti menuju \(1\); setelah meninggalkan \(1\), ia menuju \(0\) atau \(2\) dengan peluang sama. Semua laju keluar dibatasi di atas oleh \(2\lambda\). Uniformisasi, atau dominasi jumlah lompatan oleh proses Poisson berlaju \(2\lambda\), menunjukkan bahwa jumlah lompatan pada selang waktu terbatas hampir pasti berhingga.

Normalisasi proyeksi ortogonal pada ketiga ruang eigen memberi \[ P_t= \frac13 \begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix} +\frac{x}{2} \begin{pmatrix}1&0&-1\\0&0&0\\-1&0&1\end{pmatrix} +\frac{y}{6} \begin{pmatrix}1&-2&1\\-2&4&-2\\1&-2&1\end{pmatrix}, \] dengan \(x=e^{-\lambda t}\) dan \(y=e^{-3\lambda t}\). Jadi \[ P_t= \begin{pmatrix} \frac13+\frac x2+\frac y6&\frac13-\frac y3&\frac13-\frac x2+\frac y6\\ \frac13-\frac y3&\frac13+\frac{2y}3&\frac13-\frac y3\\ \frac13-\frac x2+\frac y6&\frac13-\frac y3&\frac13+\frac x2+\frac y6 \end{pmatrix}. \] Pada \(t=0\), matriks ini adalah \(I\), dan turunannya di nol adalah \(Q\). Karena dibangun sebagai \(e^{tQ}\), ia memenuhi persamaan Kolmogorov dan sifat semigrup.

Matriks \(Q\) simetris dan jumlah setiap kolomnya nol, sehingga \[ \pi=(\tfrac13,\tfrac13,\tfrac13) \] memenuhi \(\pi Q=0\). Ketika \(t\to\infty\), \(x,y\to0\) dan setiap baris \(P_t\) menuju \(\pi\). Bukti ketidakmeledakan di atas bergantung pada batas seragam laju keluar. Pada ruang keadaan tak hingga, laju dapat tak terbatas dan waktu tunggu dapat berakumulasi dalam waktu berhingga. Karena itu matriks intensitas formal belum menjamin proses konservatif, ketidakmeledakan, domain operator yang sesuai, atau keunikan kelas solusi.

Perhitungan langsung memberi \[ R=I+\frac{Q}{2\lambda} = \begin{pmatrix} \tfrac12&\tfrac12&0\\ \tfrac12&0&\tfrac12\\ 0&\tfrac12&\tfrac12 \end{pmatrix}, \] sebuah matriks stokastik. Karena \(Q=2\lambda(R-I)\), \[ \begin{aligned} e^{tQ} &=e^{2\lambda t(R-I)} =e^{-2\lambda t}e^{2\lambda tR}\\ &=e^{-2\lambda t} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2\lambda t)^n}{n!}R^n. \end{aligned} \] Artinya, jam Poisson berlaju \(2\lambda\) menghasilkan calon waktu lompatan; pada setiap calon waktu, keadaan diperbarui menurut \(R\). Di keadaan ujung, sebagian calon lompatan adalah lompatan semu yang mempertahankan keadaan.

Karena \(\nu\) σ-terhingga, pilih \(E_1\subseteq E_2\subseteq\cdots\uparrow E\) dengan \(\nu(E_r)<\infty\). Mula-mula ambil fungsi sederhana nonnegatif \(f=\sum_jc_j\mathbf1_{C_j}\) yang didukung oleh suatu \(E_r\), dengan himpunan \(C_j\) saling lepas; khususnya \(\nu(C_j)<\infty\). Independensi hitungan Poisson memberi \[ \begin{aligned} \mathbb E e^{-\int f\,dN} &=\prod_j \mathbb E e^{-c_jN(C_j)}\\ &=\exp\!\left\{ -\sum_j(1-e^{-c_j})\nu(C_j) \right\}\\ &=\exp\!\left\{-\int(1-e^{-f})\,d\nu\right\}. \end{aligned} \] Untuk \(f\ge0\) terukur yang sebarang, aproksimasikan \(f\) dari bawah oleh fungsi sederhana yang dipotong pada \(E_r\). Konvergensi monoton pada integral dan konvergensi terbatas pada ekspektasi memperluas rumus tersebut ke semua \(f\ge0\), termasuk ketika ruas kanan bernilai nol karena eksponennya tak hingga. Untuk \(a=\nu(A)<\infty\), transformasi Laplace \[ L_A(t)=\mathbb E e^{-tN(A)}=\exp\{-a(1-e^{-t})\} \] memenuhi \(L_A'(0)=-a\) dan \(L_A''(0)=a+a^2\). Karena \(\mathbb EN(A)=-L_A'(0)\) dan \(\mathbb E[N(A)^2]=L_A''(0)\), diperoleh \(\mathbb EN(A)=a\) dan \(\operatorname{Var}N(A)=a+a^2-a^2=a\).

Untuk bilangan bulat taknegatif \(m_1,\ldots,m_k\) dengan \(\sum_jm_j=m\), independensi sebelum pengondisian memberi \[ \begin{aligned} &\mathbb P\!\left( N(A_j)=m_j,\ 1\le j\le k\mid N(A)=m \right)\\ &\quad= \frac{m!}{m_1!\cdots m_k!} \prod_{j=1}^k \left(\frac{\nu(A_j)}{\nu(A)}\right)^{m_j}. \end{aligned} \] Ini adalah hukum multinomial dan sama dengan hukum hitungan dari \(m\) lokasi i.i.d. yang masing-masing mempunyai distribusi \(\nu(\cdot\cap A)/\nu(A)\). Identitas pada semua partisi berhingga menentukan hukum lokasi bersyarat tersebut.

Tuliskan \(N_R,N_B\) untuk ukuran merah dan biru. Untuk \(f,g\ge0\), rumus eksponensial Poisson memberi \[ \begin{aligned} &\mathbb E\exp\!\left\{-\int f\,dN_R-\int g\,dN_B\right\}\\ &\quad= \exp\!\left[ -\int\{1-pe^{-f}-(1-p)e^{-g}\}\,d\nu \right]\\ &\quad= \exp\!\left\{-\int(1-e^{-f})p\,d\nu\right\} \exp\!\left\{-\int(1-e^{-g})(1-p)\,d\nu\right\}. \end{aligned} \] Faktorisasi membuktikan independensi dan mengidentifikasi intensitas \(p\nu\) serta \((1-p)\nu\). Jika \(\widetilde N\) independen dari \(N\), \[ \begin{aligned} \mathbb E e^{-\int f\,d(N+\widetilde N)} &=\mathbb E e^{-\int f\,dN} \mathbb E e^{-\int f\,d\widetilde N}\\ &=\exp\!\left\{-\int(1-e^{-f})\,d(\nu+\eta)\right\}, \end{aligned} \] sehingga superposisinya merupakan ukuran acak Poisson berintensitas \(\nu+\eta\).

Jika \(\nu(C)=\infty\), pilih \(C_m\uparrow C\) dengan \(\nu(C_m)<\infty\) dan \(\nu(C_m)\to\infty\). Untuk setiap \(K\), \[ \mathbb P(N(C)\le K) \le\mathbb P(N(C_m)\le K)\longrightarrow0. \] Jadi \(N(C)=\infty\) hampir pasti. “Hingga secara lokal” hanya bermakna setelah kelas lokal—misalnya himpunan relatif kompak—ditentukan, dan memerlukan \(\nu\) hingga pada kelas itu.

Vektor \((X_s,X_t)\) Gaussian dengan rataan \((\mu s,\mu t)\). Karena \(\operatorname{Cov}(B_s,B_t)=s\), \[ \operatorname{Cov}(X_s,X_t) = \begin{pmatrix} s&s\\ s&t \end{pmatrix}. \] Identitas \[ X_t=X_s+\mu(t-s)+(B_t-B_s) \] dan kebebasan \(B_t-B_s\) dari \(\mathcal F_s\) memberi \[ X_t\mid X_s=x\sim N(x+\mu(t-s),t-s). \]

Karena \[ M_t(r)=\exp\{rB_t-r^2t/2\}, \] untuk \(u<t\), \[ \frac{M_t(r)}{M_u(r)} =\exp\{r(B_t-B_u)-r^2(t-u)/2\}. \] Faktor ini bebas dari \(\mathcal F_u\) dan mempunyai rataan satu menurut fungsi pembangkit momen normal. Jadi \(\mathbb E[M_t(r)\mid\mathcal F_u]=M_u(r)\).

Untuk \(\lambda>0\), ambil \[ r=-\mu+\sqrt{\mu^2+2\lambda}>0. \] Penghentian pada \(\tau_a\wedge n\) sah karena waktunya terbatas dan peubah berhenti dibatasi oleh \(e^{ra}\). Maka \[ 1= \mathbb E[e^{ra-\lambda\tau_a};\tau_a\le n] +\mathbb E[M_n(r);\tau_a>n]. \] Pada kejadian \(\{\tau_a>n\}\), berlaku \(X_n<a\), sehingga \[ 0\le\mathbb E[M_n(r);\tau_a>n] \le e^{ra-\lambda n}\longrightarrow0. \] Konvergensi monoton pada suku pencapaian memberi \[ \mathbb E[e^{-\lambda\tau_a};\tau_a<\infty] =e^{-ra} =\exp\!\left\{ a\left(\mu-\sqrt{\mu^2+2\lambda}\right) \right\}. \] Membiarkan \(\lambda\downarrow0\), sekali lagi dengan konvergensi monoton, memberi \[ \mathbb P(\tau_a<\infty) = \begin{cases} 1,&\mu\ge0,\\ e^{2\mu a},&\mu<0. \end{cases} \]

Untuk \(W_t=c^{-1/2}B_{ct}\), lintasan kontinu, \(W_0=0\), dan \[ W_t-W_s=c^{-1/2}(B_{ct}-B_{cs})\sim N(0,t-s). \] Inkremen pada selang terpisah tetap independen. Jadi \(W\) memenuhi karakterisasi gerak Brown standar. Untuk \(\mu=0\), \[ T_a=\inf\{t:B_t=a\} \overset d= a^2\inf\{u:a^{-1}B_{a^2u}=1\} =a^2T_1. \] Kontinuitas lintasan dan prinsip refleksi selanjutnya memberi \[ \begin{aligned} \mathbb P\!\left(\sup_{0\le u\le t}B_u\ge a\right) &=\mathbb P(T_a\le t)\\ &=2\mathbb P(B_t\ge a) =2\left[1-\Phi\!\left(\frac a{\sqrt t}\right)\right]. \end{aligned} \]

Setiap vektor nilai \(\beta\) adalah transformasi linear vektor Gaussian dari \(B\), sehingga Gaussian dan memiliki rataan nol. Untuk \(u,v\in[0,1]\), \[ \begin{aligned} \operatorname{Cov}(\beta_u,\beta_v) &=\operatorname{Cov}(B_u-uB_1,B_v-vB_1)\\ &=\min(u,v)-uv. \end{aligned} \] Selain itu, \[ \operatorname{Cov}(\beta_t,B_1)=t-t=0. \] Setiap vektor berdimensi hingga dari \(\beta\) karena itu bebas dari \(B_1\). Karena ruang \(C[0,1]\) separabel dan sigma-aljabar Borelnya dihasilkan oleh evaluasi pada himpunan waktu rapat terhitung, \(\beta\) sebagai peubah acak bernilai lintasan bebas dari \(B_1\). Identitas \[ B_t=tB_1+\beta_t \] menunjukkan bahwa hukum \(t\mapsto ty+\beta_t\) adalah satu kernel reguler bagi \(B\mid B_1=y\). Pada \(y=0\) kernel itu adalah hukum jembatan. Karena \(\mathbb P(B_1=0)=0\), nilai tersebut merupakan pilihan versi alami yang dipilih oleh kontinuitas kernel dalam \(y\).

Untuk \(0<s<t<1\), \[ K(s,s)=s(1-s),\quad K(t,t)=t(1-t),\quad K(s,t)=s(1-t). \] Rumus kondisional Gaussian memberi \[ \mathbb E(\beta_t\mid\beta_s=x) =\frac{s(1-t)}{s(1-s)}x =\frac{1-t}{1-s}x \] dan \[ \begin{aligned} \operatorname{Var}(\beta_t\mid\beta_s) &=t(1-t) -\frac{s^2(1-t)^2}{s(1-s)}\\ &=\frac{(t-s)(1-t)}{1-s}. \end{aligned} \]

Untuk \(t=0\), \(z_n(0)=0\). Jika \(t>0\) tetap, maka untuk semua \(n\) cukup besar berlaku \(t>2/n\), sehingga \(|t-1/n|>1/n\) dan \(z_n(t)=0\). Jadi untuk setiap keluarga waktu hingga, vektor nilainya akhirnya tepat nol; seluruh FDD menuju proses nol. Namun \[ \|z_n\|_\infty=z_n(1/n)=1. \] Jika \(\delta_{z_n}\Rightarrow\delta_0\) dalam \(C[0,1]\), pemetaan kontinu \(f\mapsto\|f\|_\infty\) akan memaksa \(\|z_n\|_\infty\to0\), suatu kontradiksi. Lebih kuat, untuk setiap \(\delta>0\) dan \(n\) cukup besar dengan \(1/n\le\delta\), \[ w(z_n,\delta) \ge|z_n(1/n)-z_n(0)|=1. \] Kriteria Arzelà–Ascoli/keketatan pada \(C[0,1]\) karena itu gagal; keluarga \((\delta_{z_n})\) tidak ketat.

CLT pada satu atau beberapa waktu hanya memberi konvergensi FDD. Teorema Donsker juga memerlukan pemilihan ruang dan topologi lintasan—misalnya \(C[0,1]\) untuk interpolasi poligonal atau \(D[0,1]\) dengan topologi Skorokhod untuk proses tangga—serta keketatan hukum pada ruang tersebut. Keketatan dan identifikasi FDD bersama-sama menentukan setiap limit subsekuensial sebagai hukum gerak Brown.