Penilaian Kumulatif D30 — Formulir A

Untuk setiap \(\omega\in(0,1]\), jika \(n>1/\omega\), maka \(1/n<\omega\), sehingga \(X_n(\omega)=0\). Jadi konvergensi ke nol berlaku pada setiap titik, khususnya hampir pasti. Konvergensi hampir pasti menyiratkan konvergensi dalam probabilitas, dan konvergensi dalam probabilitas menyiratkan konvergensi dalam distribusi.

Namun \[ \mathbb E|X_n| =\int_0^{1/n}n\,d\omega =1. \] Karena limitnya nol, \(\mathbb E|X_n-0|=1\) untuk semua \(n\); jadi tidak ada konvergensi \(L^1\). Untuk \(K>0\), pilih \(n>K\). Pada penyangga \(X_n\), \(|X_n|=n>K\), sehingga \[ \mathbb E\!\left[ |X_n|\mathbf 1_{\{|X_n|>K\}} \right]=1. \] Akibatnya \[ \sup_n\mathbb E\!\left[ |X_n|\mathbf 1_{\{|X_n|>K\}} \right]\ge1 \] untuk setiap \(K\), dan limit supremum ekor tidak menuju nol. Keluarga \((X_n)\) tidak terintegralkan seragam walaupun \(\sup_n\mathbb E|X_n|=1\). Massa harapan berada pada kejadian yang makin jarang tetapi makin tinggi; inilah sebab limit tidak boleh dilewatkan melalui ekspektasi. Teorema Vitali akan memperbaiki langkah tersebut bila konvergensi dalam probabilitas dipasangkan dengan keterintegralan seragam.

Untuk sampel i.i.d., SLLN yang diizinkan memberi \[ \overline Y_n\longrightarrow\mu\quad\text{hampir pasti}, \] sedangkan CLT memberi \[ Z_n:=\frac{\sqrt n(\overline Y_n-\mu)}{\sigma} \Rightarrow N(0,1). \] Konvergensi dalam distribusi membuat \((Z_n)\) ketat. Jadi, untuk setiap \(\eta>0\), ada \(M<\infty\) sehingga, untuk semua \(n\) cukup besar, \(\mathbb P(|Z_n|>M)<\eta\). Jika juga \(\varepsilon\sqrt n/\sigma>M\), maka \[ \mathbb P(|\overline Y_n-\mu|>\varepsilon) =\mathbb P\!\left( |Z_n|>\frac{\varepsilon\sqrt n}{\sigma} \right) \le \mathbb P(|Z_n|>M)<\eta. \] Jadi \(\overline Y_n\to\mu\) dalam probabilitas. Argumen ini hanya mengendalikan peluang marginal pada setiap \(n\); ia tidak mengendalikan kejadian lintas semua \(n\) yang diperlukan untuk konvergensi hampir pasti. Konvergensi hampir pasti di sini datang dari SLLN, bukan dari CLT semata.

Terakhir, independensi memberi \[ \mathbb E[(\overline Y_n-\mu)^2] =\operatorname{Var}(\overline Y_n) =\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n\sigma^2 =\frac{\sigma^2}{n}. \] Karena itu galat baku teoretis estimator Monte Carlo \(\overline Y_n\) adalah \(\sigma/\sqrt n\). Bila \(\sigma\) tidak diketahui, ia lazim ditaksir dengan simpangan baku sampel; interval normal yang dihasilkan bersifat asimtotik kecuali ada hasil hingga-sampel tambahan. Satu jejak simulasi dapat menunjukkan perilaku yang konsisten dengan teori, tetapi tidak membuktikan SLLN, CLT, atau laju galat untuk semua realisasi.

Karena \(Y\) bernilai nol-satu, \[ \mathbb E[Y\mid X=x]=\mathbb P(Y=1\mid X=x) \] untuk \(x\) yang mempunyai massa positif. Jadi satu versi ialah \[ g(X)=\tfrac14\mathbf1_{\{X=0\}} +\tfrac34\mathbf1_{\{X=1\}}. \] Nilai \(g(2)\) boleh dipilih sebarang karena \(\mathbb P(X=2)=0\). Sifat menara memberi \[ \mathbb EY =\mathbb E[g(X)] =\tfrac12\cdot\tfrac14+\tfrac12\cdot\tfrac34 =\tfrac12. \]

Untuk setiap \(x\), pemetaan \(B\mapsto K_c(x,B)\) adalah ukuran peluang Bernoulli pada \(T\). Untuk setiap \(B\subseteq T\), pemetaan \(x\mapsto K_c(x,B)\) terukur karena domainnya berhingga. Jadi \(K_c\) merupakan kernel probabilitas. Selanjutnya, \[ \int_AK_c(x,B)\,\mathbb P_X(dx) =\sum_{x\in A}K_c(x,B)\mathbb P(X=x). \] Suku \(x=0\) dan \(x=1\) sama dengan probabilitas gabungan yang ditentukan oleh model, sedangkan suku \(x=2\) selalu nol. Karena itu jumlah tersebut sama dengan \(\mathbb P(X\in A,Y\in B)\), untuk setiap \(A,B\) dan setiap \(c\in[0,1]\).

Bila \(c\ne c'\), kernel \(K_c\) dan \(K_{c'}\) berbeda pada \(x=2\), tetapi \[ K_c(x,\cdot)=K_{c'}(x,\cdot) \quad\text{untuk }\mathbb P_X\text{-hampir setiap }x. \] Disintegrasi hanya mengintegralkan kernel terhadap \(\mathbb P_X\), sehingga tidak dapat mengidentifikasi nilainya pada himpunan nol marginal. Pernyataan \(Y\mid X=2\) karena itu membutuhkan pilihan versi atau struktur tambahan; hukum gabungan saja tidak memilih \(c\).

Secara umum, untuk satu \(B\) tetap, \(\mathbb E[\mathbf1_{\{Y\in B\}}\mid\mathcal G]\) hanya merupakan kelas fungsi modulo kesamaan hampir pasti. Jika versi dipilih secara terpisah untuk tak terhitung banyak \(B\), himpunan nolnya dapat bergantung pada \(B\); pilihan tersebut belum tentu aditif terhitung sebagai fungsi \(B\) pada satu \(\omega\). Distribusi bersyarat reguler adalah satu kernel \[ K:(\Omega,\mathcal G)\rightsquigarrow(T,\mathcal T) \] yang sekaligus terukur dalam \(\omega\), merupakan ukuran peluang dalam argumen himpunan, dan mewakili semua peluang bersyarat. Sasaran Borel standar memberi teorema keberadaan yang dipakai di sini dan memiliki kelas penentu terhitung \(\mathcal C\). Jika dua kernel mewakili hukum yang sama, keduanya sama hampir pasti untuk setiap \(C\in\mathcal C\). Gabungan terhitung dari himpunan nol tersebut masih nol; di luar gabungan itu kedua ukuran sepakat pada \(\mathcal C\), lalu teorema ketunggalan ukuran memberi kesamaan pada seluruh \(\mathcal T\). Kesimpulannya tetap hampir di mana-mana sebagai ukuran, bukan kesamaan pada setiap titik.

Karena \(\xi_{n+1}\) independen dari \(\mathcal F_n\), memiliki rataan nol, dan \(\xi_{n+1}^2=1\), \[ \mathbb E(S_{n+1}\mid\mathcal F_n)=S_n \] serta \[ \begin{aligned} \mathbb E(S_{n+1}^2-(n+1)\mid\mathcal F_n) &=\mathbb E(S_n^2+2S_n\xi_{n+1}+\xi_{n+1}^2-n-1 \mid\mathcal F_n)\\ &=S_n^2-n. \end{aligned} \] Keterintegralan jelas karena setiap waktu deterministik mempunyai jumlah berhingga suku terbatas.

Selanjutnya, \[ S_{(n+1)\wedge\tau}-S_{n\wedge\tau} =\xi_{n+1}\mathbf1_{\{\tau>n\}}. \] Kejadian \(\{\tau>n\}\) berada dalam \(\mathcal F_n\). Oleh karena itu, \[ \mathbb E\!\left[ S_{(n+1)\wedge\tau}-S_{n\wedge\tau} \mid\mathcal F_n \right] =\mathbf1_{\{\tau>n\}} \mathbb E(\xi_{n+1}\mid\mathcal F_n) =0. \] Jadi \((S_{n\wedge\tau})_{n\ge0}\) adalah martingal.

Sebelum \(\tau\), proses berada dalam \(\{-1,0,1,2\}\). Dari \(-1\) atau \(2\), satu langkah ke arah batas cukup; dari \(0\) atau \(1\), dua langkah berturut-turut ke batas terdekat cukup. Jadi, bersyarat pada \(\{\tau>2k\}\), peluang keluar dalam dua langkah berikutnya paling sedikit \(1/4\). Dengan induksi, \[ \mathbb P(\tau>2k)\le(3/4)^k\longrightarrow0. \] Maka \(\tau<\infty\) hampir pasti; bahkan argumen ini menunjukkan ekor geometrik.

Karena \(\tau\wedge n\) terbatas, penghentian opsional memberi \[ \mathbb E S_{\tau\wedge n}=\mathbb E S_0=0. \] Selain itu, \(|S_{\tau\wedge n}|\le3\) dan \(S_{\tau\wedge n}\to S_\tau\) hampir pasti. Teorema konvergensi terdominasi memberi \(\mathbb ES_\tau=0\). Jika \(p=\mathbb P(S_\tau=3)\), maka \[ 0=\mathbb ES_\tau=3p-2(1-p)=5p-2, \] sehingga \(p=2/5\).

Terapkan penghentian opsional pada martingal \(S_n^2-n\) di \(\tau\wedge n\): \[ \mathbb E[S_{\tau\wedge n}^2]-\mathbb E[\tau\wedge n]=0. \] Ruas pertama menuju \(\mathbb E S_\tau^2\) dengan konvergensi terdominasi, karena \(S_{\tau\wedge n}^2\le9\). Ruas kedua menuju \(\mathbb E\tau\) dengan konvergensi monoton. Jadi \[ \mathbb E\tau=\mathbb E S_\tau^2 =9\cdot\frac25+4\cdot\frac35 =6. \]

Untuk waktu satu sisi \(\rho\), setiap \(\rho\wedge n\) memang terbatas dan \(\mathbb E S_{\rho\wedge n}=0\). Akan tetapi, \(S_{\rho\wedge n}\to S_\rho=1\) hampir pasti. Jika keluarga \((S_{\rho\wedge n})_n\) terintegralkan seragam, Vitali akan memberi konvergensi \(L^1\), sehingga ekspektasinya harus menuju satu—bertentangan dengan ekspektasi nol untuk setiap \(n\). Jadi keluarga itu tidak terintegralkan seragam. Kesalahan pada penerapan naif bukan penghentian pada \(\rho\wedge n\), melainkan pelewatan \(n\to\infty\) tanpa kendali ekor.

Perkalian matriks memberi \[ P^2= \begin{pmatrix} \tfrac12&0&\tfrac12\\ 0&1&0\\ \tfrac12&0&\tfrac12 \end{pmatrix}. \] Dari \(0\) atau \(2\) rantai mencapai \(1\) dalam satu langkah; dari \(1\) rantai mencapai \(0\) dan \(2\) masing-masing dengan peluang positif. Maka setiap keadaan berkomunikasi dengan setiap keadaan lain dan rantai tak tereduksi.

Grafnya bipartit dengan bagian \(\{1\}\) dan \(\{0,2\}\), sehingga waktu kembali hanya mungkin genap. Kembali dalam dua langkah mempunyai peluang positif bagi setiap keadaan. Jadi gcd waktu kembali adalah dua. Karena periodisitas konstan pada kelas komunikasi, semua keadaan berperiode dua.

Tuliskan \(\pi=(\pi_0,\pi_1,\pi_2)\). Persamaan \(\pi P=\pi\) memberi \[ \pi_0=\tfrac12\pi_1,\qquad \pi_2=\tfrac12\pi_1,\qquad \pi_1=\pi_0+\pi_2. \] Dengan \(\pi_0+\pi_1+\pi_2=1\), diperoleh \[ \pi=(\tfrac14,\tfrac12,\tfrac14). \] Ketunggalan juga mengikuti dari keterhinggaan dan ketaktereduksian rantai.

Jika \(X_0=0\), maka \(\mathcal L(X_1)=\delta_1\) dan \(\mathcal L(X_2)=(1/2,0,1/2)\). Matriks \(P^2\) menunjukkan kedua hukum tersebut tetap pada kelas paritasnya. Jadi, untuk \(n\ge1\), \[ \mathcal L(X_{2n})=(\tfrac12,0,\tfrac12), \qquad \mathcal L(X_{2n+1})=\delta_1. \] Keduanya berbeda, sehingga hukum waktu biasa tidak konvergen. Separuh waktu asimtotik berada pada masing-masing subsekuens; akibatnya \[ \frac1N\sum_{n=0}^{N-1}\mathcal L(X_n) \longrightarrow \tfrac12(\tfrac12,0,\tfrac12)+\tfrac12(0,1,0) =(\tfrac14,\tfrac12,\tfrac14)=\pi. \] Distribusi stasioner yang unik menyatakan invariansi dan rata-rata okupasi, tetapi tidak menghapus osilasi periodik. Pada rantai berhingga tak tereduksi, aperiodisitas adalah syarat tambahan yang menghasilkan konvergensi waktu biasa menuju \(\pi\).

Entri luar diagonal \(q_{ij}\) adalah laju lompatan \(i\to j\), sedangkan \(-q_{ii}=\sum_{j\ne i}q_{ij}\) adalah laju keluar total. Maka, ketika berada di \(0\), proses menunggu waktu \(\operatorname{Exp}(\lambda)\) lalu berpindah ke \(1\); ketika berada di \(1\), ia menunggu \(\operatorname{Exp}(\mu)\) lalu berpindah ke \(0\). Jadi rantai lompatan tertanam berganti \(0,1,0,1,\ldots\).

Karena nilai eigen \(Q\) adalah \(0\) dan \(-r\), atau dengan menyelesaikan persamaan maju, diperoleh \[ P_t= \begin{pmatrix} \dfrac{\mu}{r}+\dfrac{\lambda}{r}e^{-rt} & \dfrac{\lambda}{r}(1-e^{-rt}) \\[6pt] \dfrac{\mu}{r}(1-e^{-rt}) & \dfrac{\lambda}{r}+\dfrac{\mu}{r}e^{-rt} \end{pmatrix}. \] Pada \(t=0\), suku eksponensial sama dengan satu dan \(P_0=I\). Sebagai contoh verifikasi persamaan mundur, turunan entri \((0,1)\) adalah \[ \frac{d}{dt}P_{01}(t)=\lambda e^{-rt}. \] Sementara itu, \[ (QP_t)_{01} =-\lambda P_{01}(t)+\lambda P_{11}(t) =\lambda e^{-rt}. \] Perhitungan serupa berlaku untuk entri lain, sehingga \(P_t'=QP_t\). Karena \(P_t=e^{tQ}\), juga berlaku \(P_t'=P_tQ\) dan semigrup Chapman–Kolmogorov \(P_{s+t}=P_sP_t\).

Persamaan \(\pi Q=0\), \(\pi_0+\pi_1=1\), memberi \[ \pi=(\mu/r,\lambda/r). \] Ketika \(t\to\infty\), \(e^{-rt}\to0\), sehingga setiap baris \(P_t\) menuju \(\pi\). Kedua laju keluar dibatasi oleh \(q_*=\max(\lambda,\mu)\). Melalui uniformisasi, jumlah lompatan sampai waktu \(t\) didominasi oleh peubah Poisson berparameter \(q_*t\); karena itu jumlah lompatan pada selang terbatas hampir pasti berhingga dan proses tidak meledak. Pada ruang keadaan tak hingga, laju keluar dapat tak terbatas dan akumulasi waktu tunggu dapat berhingga. Sebuah matriks formal dengan entri luar diagonal nonnegatif dan jumlah baris nol belum dengan sendirinya menjamin semigrup konservatif atau ketidakmeledakan; domain operator dan kelas solusi juga dapat menjadi bagian hipotesis.

Untuk rantai kelahiran murni berlaju konstan, waktu antar-lompatan \(E_1,E_2,\ldots\) i.i.d. \(\operatorname{Exp}(\nu)\). Jika \(T_j=E_1+\cdots+E_j\), maka \(N_t=j\) tepat ketika \(T_j\le t<T_{j+1}\). Jumlah kedatangan dari pembaruan eksponensial ini mempunyai hukum \[ \mathbb P(N_t=j)=e^{-\nu t}\frac{(\nu t)^j}{j!}, \qquad j\in\mathbb Z_+. \] Sifat tanpa ingatan eksponensial memberi inkremen stasioner dan independen: sesudah suatu waktu, waktu tunggu residual memiliki lagi hukum \(\operatorname{Exp}(\nu)\) dan bebas dari masa lalu. Jadi CTMC ini adalah proses Poisson berlaju \(\nu\). Karena lajunya konstan dan terbatas, ia juga tidak meledak.

Karena \(A\cap B=\varnothing\), hitungan \(N(A)\) dan \(N(B)\) independen. Fungsi pembangkit peubah Poisson berparameter \(\alpha\) adalah \(\exp\{\alpha(z-1)\}\). Maka \[ \mathbb E[s^{N(A)}t^{N(B)}] =\mathbb E[s^{N(A)}]\mathbb E[t^{N(B)}] =\exp\{a(s-1)+b(t-1)\}. \] Sifat momen Poisson memberi \[ \mathbb EN(A)=a,\qquad \operatorname{Var}N(A)=a, \qquad \operatorname{Cov}(N(A),N(B))=0, \] dengan kovarians nol berasal dari independensi.

Untuk \(0\le k\le n\), \[ \begin{aligned} &\mathbb P(N(A)=k\mid N(A\cup B)=n)\\ &\quad= \frac{ e^{-a}a^k/k!\;e^{-b}b^{n-k}/(n-k)! }{ e^{-(a+b)}(a+b)^n/n! }\\ &\quad= \binom nk \left(\frac a{a+b}\right)^k \left(\frac b{a+b}\right)^{n-k}. \end{aligned} \] Jadi hukum bersyaratnya binomial dengan parameter \((n,a/(a+b))\). Secara lebih lengkap, \((N(A),N(B))\) bersyarat pada jumlah \(n\) adalah multinomial dengan dua sel.

Untuk sebuah \(C\) dengan \(\mu(C)<\infty\), tulis \(N_R(C)\) dan \(N_B(C)\) untuk hitungan merah dan biru. Bersyarat pada \(N(C)=m\), \[ \mathbb E[s^{N_R(C)}t^{N_B(C)}\mid N(C)=m] =(ps+(1-p)t)^m. \] Mengambil ekspektasi terhadap \(N(C)\sim\operatorname{Poisson}(\mu(C))\) memberi \[ \begin{aligned} \mathbb E[s^{N_R(C)}t^{N_B(C)}] &=\exp\{\mu(C)(ps+(1-p)t-1)\}\\ &=\exp\{p\mu(C)(s-1)\} \exp\{(1-p)\mu(C)(t-1)\}. \end{aligned} \] Faktorisasi menunjukkan bahwa dua hitungan itu independen dan masing-masing Poisson dengan parameter \(p\mu(C)\) serta \((1-p)\mu(C)\). Menerapkan argumen yang sama secara serentak pada keluarga berhingga himpunan saling lepas membuktikan sifat inkremen independen dan hukum Poisson untuk kedua ukuran acak, sekaligus independensi kedua ukuran tersebut. Jadi intensitasnya adalah \(p\mu\) dan \((1-p)\mu\).

Untuk superposisi, ambil \(f\ge0\) terukur. Independensi \(N_1,N_2\) memberi \[ \begin{aligned} \mathbb E\exp\!\left\{-\int f\,d(N_1+N_2)\right\} &=\prod_{i=1}^2 \mathbb E\exp\!\left\{-\int f\,dN_i\right\}\\ &=\exp\!\left\{ -\int(1-e^{-f})\,d(\mu_1+\mu_2) \right\}. \end{aligned} \] Ini adalah fungsional Laplace ukuran acak Poisson berintensitas \(\mu_1+\mu_2\), sehingga \(N_1+N_2\) mempunyai hukum tersebut.

Jika \(\mu(C)=\infty\), sifat σ-terhingga menyediakan \(C_m\uparrow C\) dengan \(\mu(C_m)<\infty\) dan \(\mu(C_m)\uparrow\infty\). Untuk setiap bilangan bulat \(K\), \[ \mathbb P(N(C)\le K) \le \mathbb P(N(C_m)\le K)\longrightarrow0, \] karena parameter Poisson \(\mu(C_m)\) menuju tak hingga. Maka \(N(C)=\infty\) hampir pasti. Pada ruang topologis, “lokal” harus berarti, misalnya, himpunan relatif kompak atau himpunan terbatas. Keterhinggaan lokal memerlukan \(\mu\) hingga pada kelas tersebut; sifat Poisson saja tidak menentukannya.

Karena gerak Brown Gaussian, \((X_s,X_t)\) juga Gaussian. Rataannya adalah \[ \mathbb E(X_s,X_t)=(\alpha s,\alpha t). \] Kovarians gerak Brown memenuhi \(\operatorname{Cov}(B_s,B_t)=\min(s,t)=s\), sehingga \[ \operatorname{Cov}(X_s,X_t) =\sigma^2 \begin{pmatrix} s&s\\ s&t \end{pmatrix}. \] Lebih langsung, \[ X_t=X_s+\alpha(t-s)+\sigma(B_t-B_s), \] dan \(B_t-B_s\sim N(0,t-s)\) bebas dari \(X_s\). Maka satu versi kernel bersyarat Gaussian adalah \[ X_t\mid X_s=x\sim N\!\left(x+\alpha(t-s),\sigma^2(t-s)\right). \]

Karena \(X_t-\alpha t=\sigma B_t\), \[ M_t=\exp\{\theta\sigma B_t-\tfrac12\theta^2\sigma^2t\}. \] Untuk \(0\le s<t\), \[ \frac{M_t}{M_s} =\exp\!\left\{ \theta\sigma(B_t-B_s) -\tfrac12\theta^2\sigma^2(t-s) \right\}. \] Faktor ini bebas dari \(\mathcal F_s\). Fungsi pembangkit momen normal memberi faktor tersebut rataan satu. Karena \(M_s\) terukur terhadap \(\mathcal F_s\), \[ \mathbb E(M_t\mid\mathcal F_s) =M_s\, \mathbb E(M_t/M_s\mid\mathcal F_s) =M_s. \] Proses positif ini terintegralkan karena \(\mathbb EM_t=1\), jadi ia benar martingal.

Kontinuitas lintasan memberi \(\{T_a\le t\}=\{\sup_{0\le u\le t}B_u\ge a\}\). Prinsip refleksi memberi \[ \mathbb P(T_a\le t) =2\mathbb P(B_t\ge a) =2\!\left[ 1-\Phi\!\left(\frac a{\sqrt t}\right) \right]. \] Untuk \(t>0\), diferensiasi menghasilkan \[ \begin{aligned} f_{T_a}(t) &=2\, \phi\!\left(\frac a{\sqrt t}\right) \frac{a}{2t^{3/2}}\\ &=\frac{a}{\sqrt{2\pi}t^{3/2}} \exp\!\left(-\frac{a^2}{2t}\right). \end{aligned} \] Fungsi distribusi menuju satu ketika \(t\to\infty\), konsisten dengan \(T_a<\infty\) hampir pasti.

Tuliskan \(\Delta_{k,n}=B_{kt/n}-B_{(k-1)t/n}\). Inkremen ini independen dan \(\Delta_{k,n}\sim N(0,t/n)\). Maka \[ \mathbb EV_n =\sum_{k=1}^n\mathbb E\Delta_{k,n}^2 =n\frac tn=t. \] Independensi kuadrat serta \(\operatorname{Var}(\Delta_{k,n}^2)=2(t/n)^2\) memberi \[ \operatorname{Var}(V_n) =n\,2\left(\frac tn\right)^2 =\frac{2t^2}{n}. \] Karena \[ \mathbb E|V_n-t|^2 =\operatorname{Var}(V_n) \longrightarrow0, \] diperoleh \(V_n\to t\) dalam \(L^2\), dan karena itu juga dalam probabilitas. Untuk proses \(X\), perhitungan serupa memberi variasi kuadratik \(\sigma^2t\); bagian hanyutan berhingga-variasi tidak menyumbang pada limit kuadratik.

Setiap vektor dari \(\beta\) merupakan transformasi linear vektor Gaussian dari \(B\), jadi \(\beta\) Gaussian. Rataannya nol. Untuk \(s,t\in[0,1]\), \[ \begin{aligned} \operatorname{Cov}(\beta_s,\beta_t) &=\operatorname{Cov}(B_s-sB_1,B_t-tB_1)\\ &=\min(s,t)-t\,s-s\,t+st\\ &=\min(s,t)-st. \end{aligned} \] Selain itu, \[ \operatorname{Cov}(\beta_t,B_1) =\operatorname{Cov}(B_t-tB_1,B_1) =t-t=0. \] Untuk waktu \(t_1,\ldots,t_k\), vektor \((\beta_{t_1},\ldots,\beta_{t_k},B_1)\) Gaussian bersama. Seluruh kovarians silang antara bagian pertama dan \(B_1\) nol, sehingga vektor jembatan itu bebas dari \(B_1\). Karena ini berlaku untuk setiap keluarga berhingga, proses \(\beta\) bebas dari peubah \(B_1\) dalam arti aljabar-σ yang dihasilkan koordinatnya.

Definisikan, untuk \(y\in\mathbb R\), ukuran peluang \(K(y,\cdot)\) pada \(C[0,1]\) sebagai hukum lintasan \[ t\longmapsto ty+\beta_t. \] Pemetaan \(y\mapsto K(y,\cdot)\) adalah kernel Borel; misalnya \((y,f)\mapsto(t\mapsto ty+f(t))\) kontinu pada \(\mathbb R\times C[0,1]\). Karena \[ B_t=tB_1+\beta_t \] dan \(\beta\) bebas dari \(B_1\), kernel ini memenuhi disintegrasi dan merupakan satu distribusi bersyarat reguler bagi hukum lintasan \(B\) diberi \(B_1=y\). Pada \(y=0\), \(K(0,\cdot)\) adalah hukum \(\beta\). Namun \(\mathbb P(B_1=0)=0\), sehingga hukum gabungan hanya menentukan kernel \(\mathcal L(B_1)\)-hampir di mana-mana. Rumus Gaussian yang kontinu dalam \(y\) memilih versi alami di nol; ia bukan nilai yang dipaksa secara titik-demi-titik oleh definisi rasio probabilitas.

Untuk waktu tetap \(t_1,\ldots,t_k\), \[ \begin{aligned} \mathbb P\!\left( (Z_n(t_1),\ldots,Z_n(t_k))\ne(0,\ldots,0) \right) &\le\sum_{j=1}^k\mathbb P(|U-t_j|<1/n)\\ &\le\frac{2k}{n}\longrightarrow0. \end{aligned} \] Jadi setiap vektor berdimensi hingga konvergen dalam probabilitas, dan karena itu dalam distribusi, ke vektor nol. Akan tetapi, setiap lintasan mencapai puncak pada \(t=U\), sehingga \[ \|Z_n\|_\infty=1 \quad\text{hampir pasti}. \] Jika \(Z_n\Rightarrow0\) dalam \(C[0,1]\), teorema pemetaan kontinu untuk fungsi kontinu \(f\mapsto\|f\|_\infty\) akan memberi \(\|Z_n\|_\infty\Rightarrow0\), suatu kontradiksi. Keluarga hukum ini tidak ketat; puncaknya makin sempit tanpa menghilang dalam norma supremum.

Teorema Donsker adalah pernyataan konvergensi lemah pada ruang lintasan tertentu—misalnya \(C[0,1]\) untuk interpolasi poligonal atau \(D[0,1]\) dengan topologi Skorokhod untuk proses tangga. CLT pada satu atau beberapa waktu hanya memberi konvergensi distribusi berdimensi hingga. Untuk menaikkannya menjadi Donsker masih diperlukan keketatan pada topologi yang disebut dan identifikasi setiap limit subsekuensial sebagai hukum gerak Brown.