PDP - Syarat Awal

Syarat awal

Satu-satunya hal yang belum ada bagi sistem persamaan diferensial (1.3.6) dan (1.3.13) adalah sekumpulan syarat awal. Karena $\Gamma$ harus berada pada permukaan integral, kita mensyaratkan $x(0,s) = x_0(s)$ , $y(0,s) = y_0(s)$ , dan $u(0,s) = u_0(s)$ untuk $s\in I$ . Selain itu, jika (1.3.8) berlaku, maka

$\begin{aligned} p_0(s) = p(0,s) &= p(x(0,s),y(0,s)) = \frac{\partial{u}}{\partial x}(x_0(s),y_0(s)) \\ \text{dan} \\ q_0(s) = q(0,s) &= q(x(0,s),y(0,s)) = \frac{\partial{u}}{\partial y}(x_0(s),y_0(s)) \end{aligned}$

harus memenuhi

$F\left( x_0(s), y_0(s), u_0(s), p_0(s), q_0(s)\right) = 0$ karena $F\left( x_0(s), y_0(s), u(x_0(s),y_0(s)), \frac{\partial{u}}{\partial x}(x_0(s),y_0(s)), \frac{\partial{u}}{\partial y}(x_0(s),y_0(s)) \right) = 0$ untuk semua $s$ .

Selain itu, $\frac{\mathrm{d}u_0}{\mathrm{d}{s}}(s) = \frac{\mathrm{d}u(x_0(s),y_0(s))}{\mathrm{d}{s}} = \frac{\partial{u}}{\partial x}(x_0(s),y_0(s))\,\frac{\mathrm{d}x_0}{\mathrm{d}{s}}(s) + \frac{\partial{u}}{\partial y}(x_0(s),y_0(s))\,\frac{\mathrm{d}y_0}{\mathrm{d}{s}}(s)$ menghasilkan

$\frac{\mathrm{d}u_0}{\mathrm{d}{s}}(s) = p_0(s)\frac{\mathrm{d}x_0}{\mathrm{d}{s}}(s)+ q_0(s)\frac{\mathrm{d}y_0}{\mathrm{d}{s}}(s) \ .$ Oleh karena itu, syarat awal untuk $p$ dan $q$ pada $t=0$ haruslah $p_0(s)$ dan $q_0(s)$ , yaitu solusi dari (1.3.14) dan (1.3.15).

Definisi 1.3.2. Persamaan-persamaan dalam (1.3.6) dan (1.3.13) disebut persamaan karakteristik untuk persamaan diferensial parsial umum pada (1.3.1). Suatu solusi dari persamaan-persamaan karakteristik disebut strip karakteristik . kurva karakteristik adalah proyeksi pada ruang $x$ , $y$ , $u$ dari solusi persamaan-persamaan karakteristik dengan syarat awal $\left( x(0,s) , y(0,s) , u(0,s) , p(0,s) , q(0,s) \right) = \left( x_0(s) , y_0(s) , u_0(s) , p_0(s) , q_0(s) \right) \ ,$ dengan $p_0(s)$ dan $q_0(s)$ diberikan oleh

$F\left(x_0(s),y_0(s),u_0(s), p_0(s),q_0(s) \right) = 0$ dan

$\frac{\mathrm{d}u_0}{\mathrm{d}{s}}(s) = p_0(s)\frac{\mathrm{d}x_0}{\mathrm{d}{s}}(s)+ q_0(s)\frac{\mathrm{d}y_0}{\mathrm{d}{s}}(s)$ untuk $s \in I$ .

Catatan 1.3.1. Sistem persamaan (1.3.16) dan (1.3.17) mungkin tidak memiliki solusi, memiliki solusi tunggal, atau memiliki banyak solusi. Dengan kata lain, mungkin tidak ada pilihan, hanya ada satu pilihan, atau ada banyak pilihan untuk $p_0(s)$ dan $q_0(s)$ . Oleh karena itu, mungkin terdapat nol, satu, atau banyak permukaan integral yang memuat kurva awal $\Gamma$ .

Teorema 1.3.1. Misalkan $\Gamma$ merupakan kurva yang didefinisikan oleh $\left\{ (x,y,u) = \left(x_0(s), y_0(s),u_0(s)\right) : s\in I \right\} \ ,$ dengan $I$ merupakan interval terbuka dan $\displaystyle x_0, y_0, u_0 \in C_b^1(I)$ . Misalkan $p_0(s)$ dan $q_0(s)$ merupakan solusi, jika ada, dari

$F\left( x_0(s), y_0(s), u_0(s), p_0(s), q_0(s)\right) = 0$ dan

$\frac{\mathrm{d}u_0}{\mathrm{d}{s}}(s) = p_0(s)\frac{\mathrm{d}x_0}{\mathrm{d}{s}}(s)+ q_0(s)\frac{\mathrm{d}y_0}{\mathrm{d}{s}}(s)$ untuk $s\in I$ . (Lihat Catatan 1.3.6 di bawah.) Untuk $s \in I$ yang tetap, misalkan $\gamma_s = \left\{ \left(x(t,s), y(t,s), u(t,s) \right) : t \in J_s \right\}$ merupakan proyeksi pada ruang $x$ , $y$ , $u$ dari orbit solusi $(x,y,u,p,q) = \left(x(t,s), y(t,s), u(t,s), p(t,s), q(t,s) \right)$ dari (1.3.6) dan (1.3.13) dengan syarat awal

$(x(0,s),y(0,s),u(0,s),p(0,s),q(0,s)) = \left(x_0(s), y_0(s), u_0(s), p_0(s), q_0(s) \right) \ ,$ dengan $J_s \subset \mathbb{R}$ merupakan domain solusi. Jika

$\det \begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial{F}}{\partial p}(x(t,s),y(t,s),u(t,s),p(t,s),q(t,s)) & \displaystyle\frac{\partial{x}}{\partial s}(t,s) \\[0.7em] \displaystyle\frac{\partial{F}}{\partial q}(x(t,s),y(t,s),u(t,s),p(t,s),q(t,s)) & \displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}{s}}(t,s) \end{pmatrix} \neq 0$ untuk semua $(t,s)$ , maka permukaan $S$ yang diberikan oleh gabungan keluarga kurva $\displaystyle\left\{ \gamma_s \right\}_{s\in I}$ merupakan permukaan integral untuk (1.3.1) yang memuat kurva $\Gamma$ . Hanya ada satu permukaan integral yang memuat $\Gamma$ .

Catatan 1.3.6 akan dibahas pada unit berikutnya.

Tentang unit ini. Unit kumulatif ini menambahkan subbagian syarat awal, definisi persamaan karakteristik, catatan tentang solusi data awal, dan teorema konstruksi permukaan integral sampai batas sumber beku baris 1091.

Atribusi dan hak. Karya sumber oleh Benoit Dionne dilisensikan berdasarkan Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International. Terjemahan ini menandai perubahan dan menggunakan lisensi komponen yang sama. Ini bukan terbitan atau dukungan resmi Benoit Dionne maupun University of Ottawa.